本試卷共4頁，共150分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第一部分（選擇題，共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1. 已知事件A，B相互獨立，，，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算得解.
【詳解】事件A，B相互獨立，，，所以.
故選：A
2. 數(shù)列的一個通項公式可以是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)各項分子和分母特征進行求解判斷即可.
【詳解】因為
所以該數(shù)列的一個通項公式可以是
對于選項B：，故B錯誤；
對于選項C：，故C錯誤；
對于選項D：，故D錯誤.
故選：A.
3. 若隨機變量的分布列如下表，且， 則表中的值為_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)概率之和為求得的值，然后利用隨機變量的數(shù)學(xué)期望值可求出實數(shù)的值.
【詳解】由于概率之和為，則，
，解得.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望求參數(shù)值，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
4. 有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若表示取得次品的件數(shù)，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件的概率公式，結(jié)合組合計數(shù)問題及古典概率求解即得.
【詳解】依題意，
所以.
故選：C
5. 有兩臺車床加工同一型號零件，第1臺加工的次品率為，第2臺加工的次品率為，將兩臺車床加工出來的零件混放在一起，已知第1臺，第2臺車床加工的零件占比分別為，，現(xiàn)任取一件零件，則它是次品的概率為（ ）
A. 0.044B. 0.046C. 0.050D. 0.090
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)全概率公式計算可得.
【詳解】記現(xiàn)任取一件零件它是次品為事件，
則.
故選：B
6. 若數(shù)列滿足，，則（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，推導(dǎo)出數(shù)列的周期即可.
【詳解】數(shù)列中，由，得，
則，因此數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，
所以.
故選：D
7. 哈雷彗星大約每76年環(huán)繞太陽一周，因英國天文學(xué)家哈雷首先測定其軌道數(shù)據(jù)并成功預(yù)言回歸時間而得名.已知哈雷是1682年觀測到這顆彗星，則人們最有可能觀測到這顆彗星的時間為（ ）
A. 2041年～2042年B. 2061年～2062年
C. 2081年～2082年D. 2101年～2102年
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造等差數(shù)列求出其通項公式，給賦值即可．
【詳解】由題意，可將哈雷彗星的回歸時間構(gòu)造成一個首項是1682，公差為76的等差數(shù)列，
則等差數(shù)列的通項公式為，
，，
可預(yù)測哈雷彗星在本世紀回歸的年份為2062年．
故選：B．
8. 生物興趣小組在研究某種流感病毒的數(shù)量與環(huán)境溫度之間的關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)在一定溫度范圍內(nèi)，病毒數(shù)量與環(huán)境溫度近似存在線性相關(guān)關(guān)系，為了尋求它們之間的回歸方程，興趣小組通過實驗得到了下列三組數(shù)據(jù)，計算得到的回歸方程為：，但由于保存不妥，丟失了一個數(shù)據(jù)（表中用字母m代替），則（ ）
A. B. C. D. m的值暫時無法確定
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)回歸直線過樣本中心點可得解.
【詳解】由已知，，
即樣本中心為，
又回歸方程為，
即，
解得，
故選：B.
9. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，則“，使得”是“，使得”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】對等差數(shù)列的公差進行分類討論可知充分性成立，再由等差數(shù)列前n項和公式可得必要性成立，可得結(jié)論.
【詳解】根據(jù)題意可知，若等差數(shù)列的公差為0，
可知“，使得”一定能推出“，使得”，
若等差數(shù)列的公差為，
由“，使得”可知都為正數(shù)，
因此一定能推出“，使得”；
若等差數(shù)列的公差為，
由“，使得”可知都為正數(shù)，
當盡量小時，一定能推出“，使得”，
綜上可知，充分性成立；
若，使得，即，即可得；
因此至少有一項大于零，即“，使得”，
所以必要性也成立；
即“，使得”是“，使得”的充要條件.
故選：C
10. 位于坐標原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是，則質(zhì)點P移動六次后位于點的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，質(zhì)點P移動六次后位于點，在移動過程中向右移動4次向上移動2次，即6次獨立重復(fù)試驗中恰有4次發(fā)生，由其公式計算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，易得位于坐標原點的質(zhì)點P移動六次后位于點，在移動過程中向上移動4次向右移動2次，
則其概率為.
故選：C．
【點睛】本題考查二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型，考查對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，考查分析和計算能力，屬于?？碱}.
第二部分（非選擇題，共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11. 某次調(diào)研測試中，考生成績X服從正態(tài)分布．若，則從參加這次考試的考生中任意選取1名考生，該考生的成績高于90的概率為______．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性求出概率.
【詳解】考生成績X服從正態(tài)分布，
則，
所以從參加這次考試的考生中任意選取1名考生，該考生的成績高于90的概率為.
故答案為：
12. 如圖，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為，這個電路是通路的概率是______．
【答案】##0375
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用對立事件的概率公式及相互獨立事件的概率公式計算即得.
【詳解】元件都不正常的概率，
則元件至少有一個正常工作的概率為，
而電路是通路，即元件正常工作，元件至少有一個正常工作同時發(fā)生，
所以這個電路是通路的概率.
故答案為：
13. 投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記事件A：兩次的點數(shù)不同，事件B：兩次的點數(shù)之和小于6，則在A發(fā)生條件下，B發(fā)生的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出事件A含有的基本事件數(shù)，事件含有的基本事件數(shù)，再利用條件概率公式計算即得.
【詳解】依題意，投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，有36個不同結(jié)果，其中兩次點數(shù)相同的有6個，
因此事件A含有的基本事件數(shù)為30，
事件含有，共8個結(jié)果，
所以在發(fā)生條件下發(fā)生的概率為.
故答案為：
14. 設(shè)隨機變量的分布列如下，其中，，成等差數(shù)列，且．
則_________；符合條件的的一個值為_________．
【答案】 ①. ②. 1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解；根據(jù)離散型隨機變量分布列求期望，再求值.
【詳解】由題意可知，，所以，
，，
所以，符合條件的的一個值為1.
故答案為：；1
15. 已知數(shù)列各項均為正整數(shù)，對任意的，和中有且僅有一個成立，且，．記．給出下列四個結(jié)論：
①可能為等差數(shù)列；
②中最大的項為；
③不存在最大值；
④的最小值為36．
其中所有正確結(jié)論的序號是________．
【答案】③④
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的定義判斷①；利用已知舉例說明判斷②③；求出的最小值判斷④作答.
【詳解】當時，由得，由得，
于是與僅只一個為1，即，因此數(shù)列不能是等差數(shù)列，①錯誤；
令，依題意，與均為整數(shù)，且有且僅有一個為1（即隔項為1），
若，則，
，而，，
因此，當且僅當數(shù)列為時取等號，
若，則，
，而，，
因此，當且僅當數(shù)列為時取等號，
從而的最小值為36，④正確；
當時，取，數(shù)列為：
，滿足題意，
取，，中最大的項不為，②錯誤；
由于的任意性，即無最大值，因此不存在最大值，③正確，
所以所有正確結(jié)論的序號是③④.
故答案為：③④
【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.
三、解答題共6小題，共85分．解答題應(yīng)寫出文字說明，驗算步驟或證明過程．
16. 已知數(shù)列的前n項和．
（1）求的值；
（2）當n為何值時，最小？
（3）求數(shù)列的通項公式．
【答案】（1）12； （2）或；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出的值即可.
（2）利用二次函數(shù)的最值問題求解.
（3）利用求解并驗證即可.
【小問1詳解】
數(shù)列的前n項和，
則.
【小問2詳解】
，而，
所以當或時，取得最小值.
【小問3詳解】
當時，，
而不滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式是.
17. 某抽獎活動規(guī)則如下：從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取2個球，每取出一個紅球獎勵50元．設(shè)一次抽獎隨機取出的紅球的個數(shù)為X．
（1）求隨機變量X的分布列，期望和方差；
（2）若參與一次需要花費60元，設(shè)每次抽獎的收益為Y元，直接寫出隨機變量Y的期望和方差．
【答案】（1）分布列見解析；，；
（2），.
【解析】
【分析】（1）求出的可能值及對應(yīng)的概率，列出分布列，再求出期望和方差.
（2）求出與的關(guān)系，再利用期望、方差的性質(zhì)求解.
【小問1詳解】
依題意，的所有可能值為0，1，2，
，
所以的分布列為：
期望，
方差.
【小問2詳解】
依題意，每次抽獎的收益，
所以期望,
方差.
18. 已知數(shù)列滿足，為其前項和，且.
（1）求的值；
（2）求證：；
（3）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由.
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）詳見解析.
【解析】
【分析】（1）利用，為其前項和，且，即可求的值；
（2）通過，化簡即可證明；
（3）求出數(shù)列的通項公式，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列．
【詳解】（1）解：由題意知：，即．
所以．
因為，
所以．
（2）證明：因為，
所以．
因為，
所以，即．
因為，
所以．
（3）解：數(shù)列是等差數(shù)列．
理由如下：
由（2）得：．
所以，即．
由（1）知：，所以．
所以 數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
19. 某旅游景區(qū)為吸引更多游客，計劃在官方網(wǎng)站平臺和短視頻平臺同時進行廣告宣傳，兩平臺的瀏覽用戶均可通過手機掃描景區(qū)提供的二維碼，網(wǎng)上購買該景區(qū)門票，每人限購一張. 為了解兩平臺的售票情況，從兩平臺的瀏覽用戶中各隨機抽取了1000人，對其是否購買了該景區(qū)門票進行統(tǒng)計，獲得數(shù)據(jù)如下：
景區(qū)門票在官方網(wǎng)站平臺和短視頻平臺的售價均為元/人，其售票利潤率分別是和．假設(shè)所有瀏覽用戶是否購買景區(qū)門票相互獨立．用頻率估計概率．
（1）從短視頻平臺瀏覽用戶中隨機選取人，估計此人為購買景區(qū)門票用戶的概率；
（2）從官方網(wǎng)站平臺瀏覽用戶中，隨機選取人，用表示這人的購票費用總和，求隨機變量的分布列和期望；
（3）經(jīng)統(tǒng)計，官方網(wǎng)站平臺和短視頻平臺的瀏覽用戶分別為萬人和萬人左右．該景區(qū)按瀏覽用戶的人數(shù)向兩平臺支付廣告宣傳費用，向官方網(wǎng)站平臺按元/人的標準支付，向短視頻平臺按元/人的標準支付.為了獲得最大的凈利潤（凈利潤=售票利潤-廣告宣傳費用），試分析該景區(qū)應(yīng)選擇在哪個平臺繼續(xù)加大廣告宣傳費用投入力度，并說明理由．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，75
（3）該景區(qū)應(yīng)選擇官方網(wǎng)站平臺，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用頻率來表示概率，即可求解；
（2）由題知的所有可能取值為，利用獨立重復(fù)事件的概率公式，求出相應(yīng)的概率，即可出分布列；再利用期望的計算公式，即可求解；
（3）分別求出兩個平臺的凈利潤，即可求解.
【小問1詳解】
設(shè) “從短視頻平臺瀏覽用戶中隨機選取人，此人為購買景區(qū)門票用戶”為事件，則．
【小問2詳解】
設(shè) “從官方網(wǎng)站瀏覽平臺用戶中隨機選取1人，此人為購買景區(qū)門票用戶”為事件，
則用頻率估計概率，．
由題意，的所有可能取值為，
則，，
，．
所以隨機變量分布列為
期望為．
【小問3詳解】
官方網(wǎng)站平臺的凈利潤為（元），
短視頻平臺的凈利潤為（元）．
所以該景區(qū)應(yīng)選擇官方網(wǎng)站平臺繼續(xù)加大廣告宣傳費用的投入力度．
20. 為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的1班~8班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學(xué)生進行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)散點圖如下（x軸表示對應(yīng)的班號，y軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

（1）若用散點圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，試估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率；
（2）若從高一2班抽測的10人中隨機抽取1人，從高一5班抽測的10人中隨機抽取1人，設(shè)X表示這2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學(xué)，用“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀.直接寫出方差，，，的大小關(guān)系（無需過程）.
【答案】（1）；
（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)散點圖求出成績達到優(yōu)秀的人數(shù)，再求出古典概率.
（2）求出的可能值，并求出各個值對應(yīng)的概率，列出分布列，再求出期望.
（4）求出及的概率，再利用兩點分布求出方差并比較大小.
小問1詳解】
依題意，從高一年級的（1）班~（8）班抽測共80人，
其中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的共有，
所以估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率為.
【小問2詳解】
依題意，高一2班抽測的10人中優(yōu)秀的有6人，高一5班抽測的10人中優(yōu)秀的有7人，
則可取，
，，，
則的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望.
【小問3詳解】
依題意，，服從兩點分布，則，
，服從兩點分布，則，
，服從兩點分布，則，
，服從兩點分布，則，
所以.
21. 已知是各項均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個數(shù)，若時，規(guī)定．
（1）若，寫出及的值；
（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；
（3）設(shè)集合，求證：且．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意先分別求出，，，，則易得及的值；
（2）由題可知，分析判斷時，與題設(shè)矛盾，推得；再假設(shè)存在使得，經(jīng)推理得出與是等差數(shù)列矛盾，可得，利用等差數(shù)列基本量運算即得；
（3）根據(jù)定義得到數(shù)列是遞增數(shù)列；用反證法證明，假設(shè)存在正整數(shù)，若，則推出，與假設(shè)矛盾，所以；，所以要證，只需證，且，能推出，所以，所以，所以結(jié)論成立.
【小問1詳解】
依題意，，，，，
故得；
【小問2詳解】
由題可知，所以，所以．
若，則，
所以，與是等差數(shù)列矛盾．
所以．
設(shè)，因為是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以．
假設(shè)存使得．
設(shè)，由得．
由得，與是等差數(shù)列矛盾．
所以對任意都有．
所以數(shù)列是等差數(shù)列，．
【小問3詳解】
因為對于，所以．
所以，即數(shù)列是遞增數(shù)列．
先證明．
假設(shè)，設(shè)正整數(shù)．
由于，故存在正整數(shù)使得，所以．
因為是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以．
所以．
所以．
又因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，矛盾．
所以．
再證明．
由題可知．
設(shè)且，因為數(shù)列是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，
所以存在正整數(shù)，使得．
令．
若，則，即，所以．
所以，所以．
若，則，
所以．
所以，所以．
因為，所以．
所以．
綜上，且．
【點睛】方法點睛：本題主要考查集合新定義問題，屬于難題.對于集合新定義問題的解題策略，首先，要明確新定義的特點；其次，根據(jù)定義中的步驟對具體題目進行推理和運算，最后得到結(jié)論.
溫度（）
病毒數(shù)量（萬個）
0
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P
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