人教A版高二數學選修第二冊等差數列等比數列高頻考點題型歸納練習（學生版解析版）-試卷下載-教習網

模塊二基礎知識梳理
1、等差數列的有關概念
一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,通常用字母d表示．
2、等差數列的通項公式
首項為,公差為的等差數列的通項公式為 .
3、等差數列的四種判斷方法和兩種證明方法
(1)定義法（或者）(是常數)是等差數列．
(2)等差中項法： ()是等差數列．
(3)通項公式：(為常數)是等差數列．（可以看做關于的一次函數）
(4)前項和公式：(為常數)是等差數列．(可以看做關于的二次函數，但是不含常數項）
提醒;證明一個數列是等差數列,只能用定義法或等差中項法
4、等差數列的性質
①
②若，則（特別的，當，有）
5、等差數列的前項和公式
①首項為，末項為的等差數列的前項和公式
②首項為，公差為的等差數列的前項和公式
6、等差數列前項和性質
(1)若數列是公差為的等差數列,則數列也是等差數列,且公差為
(2)設等差數列的公差為,為其前項和,則，，，,…組成公差為的等差數列
(3)在等差數列，中，它們的前項和分別記為則
(4)若等差數列的項數為,則
，。
若等差數列的項數為,則，，，
7、等比數列的概念
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母表示()
符號語言（或者）(為常數，，)
8、等比數列的判斷（證明）
①定義：（或者）（可判斷，可證明）
②等比中項法：驗證（特別注意）（可判斷，可證明）
③通項公式法：驗證通項是關于的指數型函數（只可判斷）
9、等比數列常用性質
設數列是等比數列，是其前項和．
（1）
(2)若，則，其中.特別地，若，則，其中.
10、等比數列前項和公式
若等比數列的首項為,公比為,則它的前項和
11、等比數列前項和的性質
公比為的等比數列的前項和為,關于的性質?？嫉挠幸韵滤念?
(1)數列，，，,…組成公比為（）的等比數列
(2)當是偶數時, ;當是奇數時,
模塊三核心考點梳理
(3)
考點一：等差數列的定義及應用
一、單選題
1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若數列是等差數列，則下列數列不一定是等差數列的是（）
A．B．
C．（為常數）D．
【答案】A
【分析】根據題意，結合等差數列的定義和特殊數列，逐項判定，即可求解.
【詳解】因為數列為等差數列，設公差為，可得，
對于A中，例如：等差數列，則，
此時數列不是等差數列，所以A符合題意；
對于B中，數列中，可得，所以數列為常數列，
所以數列一定是等差數列，所以B不符合題意；
對于C中，數列中，可得（常數），
所以數列一定是等差數列，所以C不符合題意；
對于D中，數列中，可得，
所以數列一定是等差數列，所以D不符合題意.
故選：A.
2．（23-24高二上·吉林·期末）已知為等差數列，則下面數列中一定是等差數列的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令等差數列通項公式為，根據等差數列定義依次判斷各項.
【詳解】若等差數列通項公式為，此時，，，，
不為常數，所以不是等差數列；
不為常數，所以不是等差數列，
為常數，所以是等差數列，
不為常數，所以不是等差數列.
故選：B
3．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知等差數列，則下列屬于該數列的項的是（）
A．-23B．-31C．-33D．-43
【答案】C
【分析】先由具體的等差數列寫出通項公式，再根據選項一一代入，驗證求出的的值滿足即可.
【詳解】由等差數列知數列首項為，公差為，故數列通項為，
分別使取選項中的值，發(fā)現僅當時，，其它沒有對應的n.
故選：C.
二、多選題
4．（23-24高二下·遼寧·期末）等比數列的公比為，則下列說法正確的是（）
A．為等差數列B．若且，則遞增
C．為等比數列D．為等比數列
【答案】ABD
【分析】根據等差數列與等比數列的定義可判斷ACD，再根據等比數列公比可判斷B選項.
【詳解】由數列為等比數列，則，則
A選項：，，
則為定值，所以數列為等差數列，A選項正確；
B選項：由，，則，
所以當時，，數列單調遞增；
當時，，數列單調遞增；所以B選項正確；
C選項：當時，，
此時不是等比數列，C選項錯誤；
D選項：當時，，
又為定值，
所以數列為等比數列，D選項正確；
故選：ABD.
5．（23-24高二下·山西長治·期末）已知數列，滿足，且，則（）
A．B．當時，是等比數列
C．當時，是等差數列D．當時，是遞增數列
【答案】BCD
【分析】對于A，直接由已知得到，即可說明A錯誤；對于B，證明，結合即可驗證；對于C，說明即可；對于D，驗證，再利用即可驗證.
【詳解】對于A，由已知有，故A錯誤；
對于B，當時，由于，且，故bn是等比數列，故B正確；
對于C，當時，由，歸納即知.
所以，從而，故是等差數列，故C正確；
對于D，當時，由于，故.
所以，從而是遞增數列，故D正確.
故選：BCD.
6．（23-24高二下·云南昆明·期末）等比數列的公比為，前項和為，為等差數列，則（）
A．B．C．為等差數列D．為等比數列
【答案】ABC
【分析】根據等差數列與等比數列的定義及公式可判斷.
【詳解】由已知為等差數列，則當時，為定值，
即為常數，
此時數列為常數列，
又數列為等比數列，
則，且，，A選項正確；
此時，B選項正確；
，，，，即為等差數列，C選項正確；
，，，不為定值，所以不為等比數列，D選項錯誤；
故選：ABC.
7．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知數列的前項和，則下列說法中正確的是（）
A．一定為等差數列
B．可能為等比數列
C．若，則一定為遞增數列
D．若，則存在，使得
【答案】BD
【分析】對于A：證明，才是等差數列，對于B：取，即可說明；對于C：證明可判斷，對于D：用二次函數的性質說明即可.
【詳解】對于A：當時，，
該通項公式為一次函數形式，所以從第二項起為等差數列，
所以數列是等差數列的條件只需滿足當時滿足的通項公式即可，
即當，，所以只有當時，才是等差數列，故A錯誤；
對于B：當時，，滿足要求，故B正確；
對于C：若，則，所以，故C錯誤；
對于D，若，函數的圖象關于直線對稱，因此，從而，故D正確.
故選：BD
8．（23-24高二下·內蒙古·期末）已知等差數列的前項和為，等比數列的前項積為，則（）
A．可能為等差數列B．不可能為等比數列
C．是等差數列D．是等比數列
【答案】AC
【分析】對于AB，舉例判斷，對于C，根據等差數列的定義結合題意分析判斷，對于D，根據等比數列的定義結合題意分析判斷，
【詳解】對于A，當為常數列時，因為為等差數列，所以為等差數列，所以A正確．
對于B，當為常數列，且時，因為是等比數列，所以為等比數列，所以B錯誤．
對于C，設的公差為，則，得，
因為，所以數列是等差數列，所以C正確．
對于D，設的公比為，則，
當時，不是常數，所以不是等比數列，所以D錯誤．
故選：AC
9．（23-24高二上·江蘇南通·期末）下列結論正確的是（）
A．若是等差數列，則是等比數列
B．若是等比數列，則是等比數列
C．若是等比數列，則是等比數列
D．若是等差數列，則是等比數列
【答案】ABD
【分析】由已知結合等比數列和等差數列的定義逐一判斷即可.
【詳解】對于A，由題意，公差，
則為非零常數，所以是等比數列，故A正確；
對于B，由題意，公比，
則為非零常數，所以是等比數列，故B正確；
對于C，當時，，
此時不是等比數列，故C錯誤；
對于D，由題意得，且
則為非零常數，所以是等比數列，故D正確.
故選：ABD.
10．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知數列滿足，，則數列（）
A．有可能是常數數列
B．有可能是等差數列
C．有可能是等比數列
D．有可能既不是等差數列，也不是等比數列
【答案】BCD
【分析】將已知等式變形為，利用反證法可判斷A選項；利用等差數列的定義可判斷B選項；利用等比數列的定義可判斷C選項；舉特例可判斷D選項.
【詳解】由可得，
即，
若對任意的，有且，此時數列是公比為的等比數列，
若對任意的，有且，此時數列是公差為的等差數列，
取數列各項為：、、、、、、，則數列滿足條件，
此時，數列既不是等差數列，也不是等比數列，BCD對，
若數列為常數列，不妨設（為常數）對任意的恒成立，
由可得，可得，與矛盾，
故數列不可能是常數列，A錯.
故選：BCD.
三、解答題
11．（23-24高二下·北京順義·期末）已知各項均為正數的等比數列滿足=8，，設.
(1)證明：數列bn是等差數列；
(2)記數列bn的前項和為，求的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)6
【分析】（1）由等比數列的基本量法，求出基本量，從而求得通項公式，再求得通項公式，從而得證.
（2）從二次函數的角度理解，求得的最大值.
【詳解】（1）設等比數列的公比為q,
∵數列是等比數列，且，則，
∴ , ∴ , ∴==2
又∵=8,∴ , ∴
∴
∴
∴數列是等差數列，首項，公差.
（2）由(1)知，
∵ ,
∴對稱軸,又，所以取
∴時，最大，最大值為6.
12．（23-24高二下·廣東揭陽·期末）給定數列，若首項且，對任意的，都有，則稱數列為“指數型數列”.
(1)已知數列為“指數型數列”，若，求；
(2)已知數列滿足，判斷數列是不是“指數型數列”？若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
(3)若數列是“指數型數列”，且，證明：數列中任意三項都不能構成等差數列.
【答案】(1)，
(2)是，證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）直接根據定義代入計算即可；
（2）根據“指數型數列"的定義可做判斷，證明時利用遞推式推出數列是等比數列，求出，再結合定義即可證明；
（3）由遞推式可得，繼而假設數列中存在三項構成等差數列，結合可推出矛盾，即可證明結論.
【詳解】（1）因為數列是“指數型數列”，所以對于任意的，
都有.因為，
所以，.
（2）數列是“指數型數列”.
證明:由，得，即，
所以數列是等比數列，且，
則，
，
所以數列是“指數型數列”.
（3）因為數列是“指數型數列”，故對任意的，
有，則，所以，
適合該式.
假設數列中存在三項構成等差數列，不妨設，
則由，得，
所以，
當為偶數且時，是偶數，而是奇數，是偶數，
故不能成立；
當為奇數且時，是偶數，而是偶數，是奇數，
故不能成立；
所以，對任意的，不能成立，
即數列中任意三項都不能構成等差數列.
【點睛】關鍵點點睛：本題第三問的關鍵是根據定義得，再對分奇偶數討論，根據數論知識得到方程不成立.
13．（23-24高二下·江西南昌·期末）若數列滿足，且，則稱數列為 “正余弦錯位數列”.已知數列為 “正余弦錯位數列”.
(1)若，求；
(2)證明：數列為等差數列.
【答案】(1) ，，
(2)證明見解析
【分析】（1）由，，解方程求，同理可求；
（2）由條件，結合誘導公式可得或，結合條件
，證明，結合等差數列定義證明結論.
【詳解】（1）當時，由已知，，知，
又由，可知，
所以，又，所以符合題意，
同理，由，，得或，
又，所以，
由，，得，
又，符合題意.
（2）因為，所以，
所以或，
即或，
因為，
所以，，
所以，，
所以或或，
又，所以，
則，
所以，
所以數列是公差為的等差數列.
【點睛】關鍵點點睛：由，由誘導公式可得，可得或，利用好“正余弦錯位數列”的定義條件，即可得到，再利用等差數列的概念即可.
考點二：等差數列基本量的計算
一、單選題
一、單選題
1．（23-24高二下·西藏拉薩·期末）記為等差數列的前n項和，若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據已知條件列方程組求出，從而可求出
【詳解】設等差數列的公差為，
因為，，
所以，化簡得，
解得，
所以.
故選：B
2．（23-24高二下·福建福州·期末）在等差數列中，，則（）
A．7B．11C．14D．16
【答案】C
【分析】設出公差，利用等差數列通項公式基本量計算出，從而得到.
【詳解】設公差為，則，
所以
故.
故選：C
3．（23-24高二下·河南開封·期末）已知等差數列中，，，則（）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】由等差數列基本量的計算即可求解.
【詳解】設公差為，因為，，
所以，所以.
故選：B.
4．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差數列的前n項和為，若，，則（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】應用等差數列通項公式及前n項和公式基本量運算，最后求出即可.
【詳解】因為，
所以,
所以.
故選：A.
5．（23-24高二下·北京順義·期末）已知等差數列的前項和為，，，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】法一：由基本量法求出公差d和首項，再由等差數列前項和公式可得結論．法二：利用等差數列的性質即可整體代入求和.
【詳解】法一：
設等差數列的公差為d，
因為，，所以，
解得，所以.
法二：
因為在等差數列中，，
所以.
故選：C
6．（23-24高二下·山東淄博·期末）設等差數列，則（）
A．-5B．18C．23D．28
【答案】B
【分析】利用等差數列的公式即可求解.
【詳解】.
故選：B.
7．（23-24高二下·北京西城·期末）在等差數列中，，，則（）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】根據等差數列基本量運算即可.
【詳解】因為
所以.
故選：C.
8．（23-24高二下·河南·期末）已知等差數列滿足，且，則首項（）
A．B．0C．1D．3
【答案】C
【分析】根據等差數列基本量運算求解即可.
【詳解】設等差數列的公差為，
因為，且，
所以，所以．
故選：C．
二、多選題
9．（23-24高二下·遼寧大連·期末）已知等差數列的公差，前項和為，若，則下列結論中正確的有（）
A．B．
C．當時，D．當時，
【答案】BC
【分析】對于A，由等差數列求和公式結合已知即可驗算；對于B，由等差數列求和公式結合即可驗算；對于CD，由等差數列性質即可驗算.
【詳解】對于A，因為，所以，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，當時，，故C正確；
對于D，當時，
，即，故D錯誤.
故選：BC.
10．（23-24高二上·吉林延邊·期末）已知為等差數列的前項和，且，，則下列結論正確的是（）
A．B．為遞減數列
C．D．
【答案】ACD
【分析】設等差數列的公差為，根據題意，求得，得到，逐項判定，即可求解.
【詳解】設等差數列的公差為，
因為，可得，解得，
所以，所以A正確；
因為，所以數列為遞增數列，所以B錯誤；
由，可得，所以C正確；
因為，所以，所以D正確．
故選：ACD．
11．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知等差數列的前項和為，公差為，且，，則（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】利用等差中項的性質求出的值，可判斷A選項；利用等差數列的求和公式可判斷B選項；利用等差數列的基本性質可判斷CD選項.
【詳解】因為等差數列的前項和為，公差為，且，，
由等差中項的性質可得，可得，
，A對B對；
因為，則，，C錯D錯.
故選：AB.
12．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差數列的公差為，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根據題意可利用公式法求出數列的通項公式，從而可求解
【詳解】由題知數列為等差數列，
所以可知得，解得，
所以，故A、D正確.
故選：AD.
三、填空題
13．（23-24高二下·海南?？凇て谀┮阎炔顢盗械氖醉?，前項和為，若，則公差 .
【答案】
【分析】利用等差數列的性質及和的性質計算即可.
【詳解】由題意可知，
所以.
故答案為：
14．（23-24高二下·河南駐馬店·期末）已知等差數列滿足，，則通項公式為 .
【答案】
【分析】設等差數列的公差為，解出公差由等差數列的通項公式求解即可.
【詳解】設等差數列的公差為，，，
所以，解得，所以.
故答案為：
15．（23-24高二下·上海浦東新·期末）等差數列中，，則．
【答案】0
【分析】根據等差數列的通項公式求解即可．
【詳解】等差數列中，，
則公差，則．
故答案為：0.
16．（23-24高二上·陜西咸陽·期末）在等差數列中.若，則．
【答案】52
【分析】將式子和都用表示，找到它們間的聯系，求解即可.
【詳解】由于數列是等差數列，
則，
得，
所以，
故答案是：52.
四、解答題
17．（23-24高二上·新疆阿克蘇·期末）設是等差數列的前項和，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)寫出數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差數列及其前項和基本量的計算可得，由此即可得解.
（2）由等差數列前項和公式的二次函數特性即可得解.
【詳解】（1）不妨設等差數列的首項、公差分別為，
由題意，，
解得，
所以，
即數列的通項公式為.
（2）由（1）可知，所以.
考點三：等差數列項的性質
一、單選題
1．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知等差數列的前n項和為，若，則（）
A．20B．15C．10D．5
【答案】B
【分析】利用等差數列性質及前n項和公式計算即得.
【詳解】依題意，.
故選：B
2．（23-24高二下·河南信陽·期末）數列滿足，已知，則的前19項和（）
A．0B．8C．10D．19
【答案】A
【分析】由等差中項得到數列為等差數列，再由等差數列的性質得到，由等差數列前項和公式結合等差中項得到
【詳解】因為即，所以數列為等差數列，
因為且，所以，得，
所以.
故選：A.
3．（23-24高二下·貴州六盤水·期末）記等差數列的前項和為，若，則（）
A．13B．45C．65D．130
【答案】C
【分析】由等差數列的求和公式及等差數列的性質求解．
【詳解】解：，
故選：C
4．（23-24高二下·內蒙古赤峰·期末）在等差數列中，，則（）
A．9B．10C．11D．14
【答案】B
【分析】利用等差數列的性質計算即可.
【詳解】因為在等差數列中，，所以，即，
故選：B
5．（23-24高二下·四川綿陽·期末）設等差數列的前項和為，已知，則（）
A．32B．64
C．84D．108
【答案】C
【分析】根據等差數列下標和性質求出，再根據等差數列求和公式及下標和性質計算可得.
【詳解】因為，
又，即，解得，
所以.
故選：C
6．（23-24高二下·貴州遵義·期末）已知等差數列的公差為1，，則（）．
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】利用等差數列的性質可得，可求結論.
【詳解】設等差數列的公差為，則，
由等差數列的公差為1，，
所以，
所以.
故選：B.
7．（23-24高二下·廣東茂名·期末）已知一個等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項的和為，所有偶數項的和為，則此數列的項數是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據等差數列的性質與其前項和的性質求解即可.
【詳解】設該等差數列中有項，其中偶數項有項，奇數項有項，
設等差數列的前項和為，則，
為等差數列，，，解得，
，此數列的項數是項.
故選：.
二、多選題
8．（23-24高二上·山東煙臺·期末）（多選）已知等差數列的前n項和為，且，則下列結論正確的有（）
A．B．C．D．最小
【答案】BC
【分析】根據題意，由等差數列的性質分析可得，由此分析選項可得答案.
【詳解】根據題意，等差數列中，若，即，
則有，
變形可得，
對于A，，但不確定的符號，不能確定是還是，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，不確定的符號，故不能確定最小還是最大，故D錯誤.
故選：BC.
9．（23-24高二上·四川瀘州·期末）已知是公差為d的等差數列，其前n項和是，若，則下列結論正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根據條件，結合數列的通項和前項和的關系，結合選項，即可判斷.
【詳解】因為，，
所以，故A錯誤，B正確；
，故C正確；
因為，
，
所以，故D錯誤.
故選：BC
10．（23-24高二上·福建三明·期末）等差數列的前n項和為，若，則下列各項的值一定為m的是（）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】設等差數列的公差為，根據求出可判斷AB；結合等差數列的前項公式可判斷CD正確.
【詳解】設等差數列的公差為，若，
則，故A錯誤B正確；
，故C錯誤；
，故D正確.
故選：BD.
三、填空題
11．（23-24高二下·青?！て谀┮阎炔顢盗械那绊椇蜑?，且，則 .
【答案】
【分析】根據等差數列的性質及求和公式求解即可.
【詳解】解：由題意得，得.
故答案為：
12．（23-24高二下·上海金山·期末）在等差數列中，已知，則．
【答案】6
【分析】利用等差數列的性質計算即可.
【詳解】由等差數列的性質可知．
故答案為：6.
13．（23-24高二上·西藏拉薩·期末）在等差數列中，，則 .
【答案】40
【分析】根據等差數列的性質，有，然后求解即可.
【詳解】由題意有，得.
故答案為：.
考點四：等差數列和的性質
一、單選題
1．（23-24高二下·海南·期末）記為等差數列的前項和，若，則（）
A．144B．120C．108D．96
【答案】B
【分析】根據等差數列的前項和性質解題即可.
【詳解】記為等差數列的前項和,則也是等差數列.
由于，則成等差數列.
則，解得.
則成等差數列．故，則.
故選：B.
2．（23-24高二下·廣東廣州·期末）在等差數列中，為其前項和，若，，則（）
A．7B．8C．9D．12
【答案】C
【分析】利用等差數列前和的性質，得出，求解即可.
【詳解】因為數列是等差數列，且，，
所以根據等差數列前項和的性質可得成等差數列，
所以，所以，解得．
故選：C.
3．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知等差數列的前項和為，，，則（）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】根據等差數列中成等差數列求解即可.
【詳解】在等差數列中，
，，所以，
故構成公差為的等差數列，
所以，
即.
故選：C
4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知數列滿足，的前項和為，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據等差數列定義可證得數列是以為公差的等差數列，由此可得結果.
【詳解】，數列是以為公差的等差數列，
，
數列是以為公差的等差數列，.
故選：B.
5．（23-24高三上·山東淄博·期末）設為等差數列的前n項和，則“對，”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據題意判斷兩個條件都等價于，進而判斷答案即可.
【詳解】設等差數列的公差為，
若對，，即，
若，則，即為單調遞增數列，
又因為，所以，
所以，即，
所以“對，”是“”的充要條件.
故選：C
6．（23-24高二下·江西撫州·期末）已知等差數列與的前項和分別為，且，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等差數列的性質與求和公式，結合已知條件求解即可.
【詳解】因為等差數列與的前項和分別為，且，
所以設，
所以
.
故選：D
7．（23-24高二上·湖北荊州·期末）已知兩等差數列，，前n項和分別是，，且滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等差數列前n項和的性質，可設、，計算即可得.
【詳解】由，bn為等差數列，故可令、，
則.
故選：C.
8．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·期末）已知等差數列，的前項和分別為，，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據，結合等差數列的前項和公式，構造出符合題意的一組與的通項公式，再進行計算即可．
【詳解】根據題意，數列、都是等差數列，顯然兩個數列都不是常數列，
，
因為等差數列前項和公式為，
所以不妨令為常數，且，
所以時，，．
，，，.
故選：A
二、多選題
9．（21-22高二上·云南曲靖·期末）記為等差數列的前項和，首項為，公差為，則下列敘述正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，且，則
D．若，則
【答案】AD
【分析】利用等差數列性質和前項和公式可得AD正確，利用等差數列前項和性質計算可得，即B錯誤，由等差數列定義以及通項公式可知若，則，可計算得出，即C錯誤.
【詳解】對于A，利用等差數列性質可得，可得，又，
則，即A正確；
對于B，利用等差數列前項和性質可得成等差數列，
又，可得，所以，
即，所以B錯誤；
對于C，由可得，兩式相減解得；
所以，即C錯誤；
對于D，易知，
即，可得，即，所以，即D正確；
故選：AD
三、填空題
10．（23-24高二上·天津·期末）設為等差數列的前項和，且，，則 .
【答案】39
【分析】由題意成等差數列，結合，即可求解.
【詳解】由題意為等差數列的前項和，且，，
所以，
而成等差數列，
所以.
故答案為：39.
11．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知等差數列的前項和分別為，且，則 .
【答案】
【分析】利用計算可得答案.
【詳解】因為，
所以，
所以，故.
故答案為：.
考點五：等差數列的應用
一、單選題
1．（23-24高二上·云南迪慶·期末）明代數學家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經給出由，，和求各項的問題，如九兒問甲歌：“一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七.借問長兒多少歲，各兒歲數要詳推.”意思是一位老人有九個兒子，不知道他們的出生年月，他們的年齡從大到小排列都差3歲，所有兒子的年齡加起來是207.只要算出長子是多少歲，其他每個兒子的歲數就可以推算出來，則該問題中老人長子的歲數為（）
A．27B．31C．35D．39
【答案】C
【分析】根據給定信息，可得九個兒子的歲數從大到小構成公差為的等差數列，再利用等差數的前n項和公式列方程求解即可.
【詳解】依題意，九個兒子的歲數從大到小構成公差為的等差數列，設長子的歲數為，
則，解得，
所以該問題中老人長子的歲數為35.
故選：C
2．（23-24高二上·河南洛陽·期末）周髀算經中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數列，小寒、立春、驚蟄日影長之和為尺，前八個節(jié)氣日影長之和為尺，則谷雨日影長為（）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】C
【分析】根據給定條件，構造等差數列，結合等差數列通項及前n項和求解即得.
【詳解】設冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種
這十二個節(jié)氣的日影長分別為，，，，前n項和，
由小寒、立春、驚蟄日影長之和為尺，前八個節(jié)氣日影長之和為尺，
得，解得，，
所以谷雨日影長為（尺）．
故選：C
3．（23-24高二上·山東臨沂·期末）中國古代數學名著《周髀算經》記載的“日月歷法”曰:“陰陽之數，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂,遂千百五二十歲”，即1遂為1520歲.某療養(yǎng)中心恰有57人，他們的年齡(都為正整數)依次相差一歲，并且他們的年齡之和恰好為三遂，則最年輕者的年齡為（）
A．52B．54C．58D．60
【答案】A
【分析】由等差數列性質以及求和公式即可得解.
【詳解】將他們的年齡從小到大依次排列為，
所以，，解得.
故選：A.
4．（22-23高二上·湖南岳陽·期末）小方是一名文學愛好者，他想利用業(yè)余時間閱讀《紅樓夢》和《三國演義》，假設他讀完這兩本書共需40個小時，第1天他讀了10分鐘，從第2天起，他閱讀的時間比前一天增加10分鐘，恰好閱讀完這兩本書的時間為（）
A．第20天B．第21天C．第22天D．第23天
【答案】C
【分析】利用等差數列定義及前n項和公式得前n天閱讀總時間為，再列不等式求恰好閱讀完這兩本書的時間.
【詳解】由題設，每天閱讀時間是首項、公差都為10的等差數列，
所以前n天閱讀總時間為分鐘，
令，則，，
又開口向上且對稱軸為，即上遞增，
，，，
所以恰好閱讀完這兩本書的時間為第22天.
故選：C
5．（23-24高二上·廣西玉林·期末）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，則第三十五層球的個數為（）
A．561B．595C．630D．666
【答案】C
【分析】根據題意，得到，結合等差數列的求和公式，即可求解.
【詳解】由題意，設各層球的個數構成數列，
可得，
所以，則.
故選：C.
二、多選題
6．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）某公司為入職員工實行每月加薪，小王入職第1個月工資為a元，從第2個月到第13個月，每月比上個月增加100元，從第14個月到第25個月，每月比上個月增加50元，已知小王前3個月的工資之和為9300元，則（）
A．
B．小王第3個月與第13個月工資之和等于第2個月與第14個月工資之和
C．小王入職后第20個月的工資為4550元
D．小王入職后前15個月的工資之和是55350元
【答案】ACD
【分析】根據給定條件，利用等差數列的定義、通項公式和前n項求和公式計算，依次判斷選項即可.
【詳解】小王入職后各月工資依次排成一列，構成數列
對于A，小王前3個月的工資之和為，解得，A正確；
對于B，當時，是等差數列，首項，公差為100，
當時，是等差數列，，公差為50，
，B錯誤；
對于C，小王入職后第13個月的工資為，
第20個月的工資為，C正確；
對于D，小王入職后前15個月的工資之和
，D正確.
故選：ACD
7．（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）《九章算術》是我國古代的數學名著，第六章《均輸》中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，問五人各得多少錢？”（注：“均輸”即按比例分配，此處指的是甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列；“錢”是古代的一種重量單位）．關于這個問題，下列說法正確的是（）
A．戊得錢是甲得錢的一半
B．乙得錢比丁得錢多錢
C．甲、丙得錢的和是乙得錢的2倍
D．丁、戊得錢的和比甲得錢多錢
【答案】ABC
【分析】根據給定條件，結合等差數列列出方程求出甲、乙、丙、丁、戊五人所得錢數，再逐項判斷即得.
【詳解】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，a，，，
依題意，，解得，，
因此甲得錢，乙得錢，丙得1錢，丁得錢，戊得錢，
戊得錢是甲得錢的一半，A正確；
乙得錢比丁得錢多錢，B正確；
甲、丙得錢的和是乙得錢的倍，C正確；
丁、戊得錢的和比甲得錢多錢，D錯誤．
故選：ABC
三、填空題
8．（2023·山東·模擬預測）某學校報告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個座位.若第10排有41個座位，則該報告廳座位的總數是 .
【答案】840
【分析】根據題意將問題轉化為等差數列問題，應用等差數列的通項公式和前項和公式，基本量運算即可求解.
【詳解】設報告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數依次排成一列，構成數列，其前項和為．
根據題意，數列是一個公差為的等差數列，且，
故．
由，
因此，則該報告廳總座位數為840個座位．
故答案為：840
9．（23-24高三上·上海靜安·期末）在國家開發(fā)西部的號召下，某西部企業(yè)得到了一筆400萬元的無息貸款用做設備更新．據預測，該企業(yè)設備更新后，第1個月收入為20萬元，在接下來的5個月中，每月收入都比上個月增長20%，從第7個月開始，每個月的收入都比前一個月增加2萬元．則從新設備使用開始計算，該企業(yè)用所得收入償還400萬無息貸款只需個月．（結果取整）
【答案】10
【分析】根據題意前6個月的收入成等比數列，且公比為，第7個月開始收入成等差數列，公差為2，先算出前前6個月之和，再計算第7,8,9,10個月的收入可得解.
【詳解】由題意設每個月的收入為數列，其前n項和記作，前6個月的收入成等比數列，且公比為，
第7個月開始收入成等差數列，公差為2，則，
又，，，，
而，，
所以該企業(yè)用所得收入償還400萬元貸款只需10個月.
故答案為：10.
考點六：等比數列及其應用
一、單選題
1．（22-23高二下·遼寧撫順·期末）已知數列，則“”是“為等比數列”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據等比數列的性質進行充分性與必要性判斷即可.
【詳解】若為等比數列，則一定成立；若，則不一定為等比數列，比如
所以“”是“為等比數列”的必要不充分條件.
故選：B.
2．（23-24高二下·上海浦東新·期末）已知是等數列，則下列數列必為等比數列的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據題意，當等差數列的各項都為時，即可判斷ABC，再由等比數列的定義即可判斷D
【詳解】設等差數列的公差為，
對于A，當等差數列的各項都為時，不是等比數列，故A錯誤；
對于B，當等差數列的各項都為時，不是等比數列，故B錯誤；
對于C，當等差數列的各項都為時，無意義，故C錯誤；
對于D，因為為常數，所以數列一定是等比數列，故D正確；
故選：D
3．（23-24高二下·北京大興·期末）若數列是等比數列，則實數的值為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據等比中項的性質計算可得.
【詳解】因為數列是等比數列，
所以，解得或，
當時，不滿足，故舍去；
當時，經檢驗符合題意，所以.
故選：B
4．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知數列的前n項和為，若，且（），則（）
A．為等比數列B．為等差數列C．為等比數列D．為等差數列
【答案】A
【分析】利用求出的通項公式并求和，然后逐一判斷選項即可.
【詳解】由得當時，，
兩式相減得，即，
又當時，，
所以數列即不是等比數列也不是等差數列，CD錯誤；
所以，
當時，
所以當時，，符合，
所以，
又時，所以為等比數列，A正確，B錯誤.
故選：A.
5．（22-23高二上·廣東深圳·期末）在數列中，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先確定公比，再利用通項公式求解.
【詳解】因為，，則，
所以為等比數列，公比，
所以.
故選：D.
二、多選題
6．（23-24高二上·湖南長沙·期末）設數列的前n項和為，下列命題正確的是（）
A．若為等差數列，則，，仍為等差數列
B．若為等比數列，則，，仍為等比數列
C．若為等差數列，則為等差數列
D．若為正項等比數列，則為等差數列
【答案】ACD
【分析】根據等差數列、等比數列的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對于選項AC：設等差數列的公差為，則，
，
同理可得，
所以，
所以仍為等差數列，故A正確；
因為，則，
所以為等差數列，故C正確；
對于選項B：取數列為，
當為偶數時，，則不能成等比數列，故B錯誤；
對于選項D：因為，設等比數列的公比為，則，
則（定值），
所以數列為等差數列，故D正確.
故選：ACD.
7．（23-24高二下·陜西西安·期末）已知是等差數列，是等比數列，下列說法正確的是（）
A．是等比數列
B．是等差數列
C．若，則為遞減數列
D．若，則為遞增數列
【答案】AC
【分析】是等差數列，設公差為；是等比數列，設公比為，A選項由定義證明是等比數列；B選項通過舉反例時，證明不是等差數列；C選項，由得到，從而為遞減數列；D選項通過舉反例，此時數列不是單調數列.
【詳解】是等差數列，設公差為；是等比數列，設公比為，
A選項，設，則為常數，所以是等比數列，A正確；
B選項，設，當滿足是等比數列，
此時，，不是等差數列，B錯誤；
C選項，時，即，得，則為遞減數列，C正確；
D選項，當滿足是等比數列，且，，，此時不是單調數列，D錯誤.
故選：AC.
【點睛】方法點睛：證明數列是等比數列：
定義法：（常數），
等比中項法：，
通項公式法：
前項和特征法：
8．（23-24高二下·貴州黔東南·期末）在數列中，已知，，則（）
A．B．是等差數列
C．D．是等比數列
【答案】BCD
【分析】對已知遞推式變形可得是以1為首項，為公差的等差數列，則可求出，從而可求出，然后逐個分析判斷.
【詳解】，則，
因為，所以是以1為首項，為公差的等差數列，
則，則，
所以，，
所以，
所以是首項為3，公比為1的等比數列，
所以A錯誤，B，C，D均正確.
故選：BCD
9．（23-24高二下·云南昆明·期末）等比數列的公比為，前項和為，為等差數列，則（）
A．B．C．為等差數列D．為等比數列
【答案】ABC
【分析】根據等差數列與等比數列的定義及公式可判斷.
【詳解】由已知為等差數列，則當時，為定值，
即為常數，
此時數列為常數列，
又數列為等比數列，
則，且，，A選項正確；
此時，B選項正確；
，，，，即為等差數列，C選項正確；
，，，不為定值，所以不為等比數列，D選項錯誤；
故選：ABC.
10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，分形的外表結構極為復雜，但其內部卻是有規(guī)律可尋的，一個數學意義上的分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法得到一系列圖形，如圖1，在長度為1的線段AB上取兩個點C、D，使得，以CD為邊在線段AB的上方做一個正方形，然后擦掉CD，就得到圖形2；對圖形2中的最上方的線段EF作同樣的操作，得到圖形3；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設圖1，圖2，圖3，…，圖n，各圖中的線段長度和為，數列的前n項和為，則（）
A．數列是等比數列
B．
C．恒成立
D．存在正數，使得恒成立
【答案】BC
【分析】由題意寫出數列前三項，類比歸納出數列的遞推公式，利用累加法可得通項公式，結合數列的相關概念，可得答案.
【詳解】由題意可知，，
以此類推可得，，則，
所以當時，
，
經檢驗，當時，，故，
所以數列不是等比數列，故A錯誤；
所以，故B正確；
因為恒成立，故C正確；
因為，
根據一次函數與指數函數的單調性，所以數列無最大值，
因此不存在正數，使得，故 D 錯誤.
故選：BC.
三、填空題
11．（23-24高二上·湖南長沙·期末）已知數列滿足：，其前項和為，若，則 .
【答案】1
【分析】根據等比數列的定義，得到數列是公比為等比數列，結合等比數列的求和公式，即可求解.
【詳解】由數列滿足，知，否則，與矛盾，
所以數列為等比數列，且公比為，
又由，解得.
故答案為：1.
四、解答題
12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知數列的首項，且滿足．
(1)判斷數列是否為等比數列；
(2)若，記數列的前n項和為，求．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）根據等比數列定義及構造法求通項可判斷；
（2）根據等比數列求和公式、等差數列求和公式，利用數列分組求和及錯位相減法求和可得結果.
【詳解】（1）法一：若，無意義，數列不是等比數列；
若解得，則數列不是等比數列；
若即，因為，所以，
，
所以當或時，數列不是等比數列，
當且時，數列是以為首項，為公比的等比數列．
法二：若，無意義，數列不是等比數列；
若解得，則數列不是等比數列；
若即，因為，所以，
，所以，
，
所以當或時則數列不是等比數列
當且時，數列是以為首項，為公比的等比數列．
（2）由（1）知，，所以，則．
則，
令，
令 ①
所以 ②
①②相減得：
，
得．
所以.
13．（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·期末）已知數列滿足：，，設.
(1)求證：是等比數列；
(2)求數列的通項公式；
(3)求數列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）將變形為，是等比數列
（2）由（1）得到數列的通項公式
（3）結合（2）中通項利用錯位相減法求得
【詳解】（1）由，，可得.因為，即，.
所以數列是首項為1，公比為2的等比數列.
（2）由（1）可得：，即，所以.
（3）由（2）可知：，
則，可得，
兩式相減可得：.
所以.
14．（23-24高二上·河南開封·期末）已知數列的首項，且．
(1)求證：是等比數列；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由已知條件可得，結合等比數列的定義即可證明；
（2）利用等比數列和等差數列的前n項和公式即可求得結果.
【詳解】（1）由可得，
因為，所以，，
所以，
所以是以為首項，為公比的等比數列．
（2）設數列的前n項和為，則，
所以．
考點七：等比數列基本量的計算
一、單選題
1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）記為等比數列的前n項和，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設等比數列的公比為，根據題意，列出方程組，求得的值，結合等比數列的求和公式，即可求解.
【詳解】設等比數列的公比為，
因為，可得解得，
所以．
故選：A．
2．（23-24高二下·西藏拉薩·期末）遞增等比數列中，，，則（）
A．B．C．72D．144
【答案】D
【分析】設公比為，然后由已知條件列方程可求出，從而可求出.
【詳解】設公比為，因為，，
所以，得，得，
所以或（舍去），
所以，
所以.
故選：D
3．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知等比數列的前n項和為，，，則（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據通項公式求公比，再由等比數列求和公式可得首項.
【詳解】設等比數列的公比為，，
即，，
，．
故選：B．
4．（23-24高二下·吉林松原·期末）設等比數列的前項和為，且，則的公比為（）
A．1或 B．1或3C．或 D．或3
【答案】D
【分析】運用等比數列的性質公式求解即可.
【詳解】由，可得，
則，故，
解得或 .
故選：D．
5．（23-24高二下·遼寧大連·期末）記為等比數列的前項和，若，則（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】利用等比數列的通項公式和前項和公式即可求解.
【詳解】設等比數列的首項為，公比為，
由，即，解得.
所以.
故選：C.
6．（23-24高二下·遼寧錦州·期末）已知等比數列滿足，，則（）
A．1B．C．3D．
【答案】C
【分析】兩式相除即可得解.
【詳解】因為，，，，
所以.
故選：C
7．（23-24高二下·北京海淀·期末）若等比數列的前項和，則公比（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據，依次求出，依題即可求得公比.
【詳解】由，時，，
時，由解得，，
依題意，.
故選：C.
8．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知等比數列是其前項和，，則（）
A．B．8C．7D．14
【答案】C
【分析】設等比數列的公比為，根據題意求得，結合等比數列前項和的定義即可求解.
【詳解】設等比數列的公比為，
因為，可得，即，所以，
所以.
故選：C.
二、多選題
9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知等比數列中，，公比，其前項和為，則下列說法中正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】代入等比數列的通項公式和前項和公式，即可求解.
【詳解】，A正確；，故B正確；
，故C錯誤；，故D正確.
故選：ABD
10．（23-24高二上·四川涼山·期末）已知等比數列的公比為，，，數列的前項和為，則（）
A．B．
C．數列是等比數列D．
【答案】BC
【分析】A、B、C均可由等比數列的概念和通項公式可得；D選項需要利用錯位相減法求和，進而可得答案.
【詳解】由等比數列的公比為，，，可得，即，故A錯誤；
，故B正確；
又，所以，
即是一個以為首項，2為公比的等比數列，故C正確；
驗證當時的結果，此時，則，
所以，
，
，
得，
所以，故D錯誤，
故選：BC.
11．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）在等比數列中，滿足的通項公式可能是（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根據為等比數列，列出首項和公比的方程，求出首項和公比，進而根據等比數列的通項公式的求法，求出通項公式.
【詳解】因為為等比數列，，
所以，解得，即或，
所以通項公式為或.
故選：AB.
三、填空題
12．（23-24高二下·安徽淮北·期末）若是首項和公比均為3的等比數列，且，則．
【答案】2024
【分析】根據等比數列的通項即可求解.
【詳解】根據題意可知的通項公式為，當時，．
故答案為：2024
13．（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·期末）記為等比數列的前項和，若，則公比為 .
【答案】/-0.5
【分析】由，可得，化簡解出即可得出
【詳解】由，可得，
即，
故答案為：
14．（23-24高二上·湖南長沙·期末）已知數列滿足：，其前項和為，若，則 .
【答案】1
【分析】根據等比數列的定義，得到數列是公比為等比數列，結合等比數列的求和公式，即可求解.
【詳解】由數列滿足，知，否則，與矛盾，
所以數列為等比數列，且公比為，
又由，解得.
故答案為：1.
15．（23-24高二上·貴州六盤水·期末）已知等比數列的前項和為，數列的前項和為．若，則．
【答案】
【分析】由等比數列求和公式以及等比數列性質得，結合已知條件即可進一步求解.
【詳解】設等比數列公比為，則（否則，矛盾），
所以數列的通項公式為，它是以為首項、為公比的等比數列，
所以，
而，所以，
所以.
故答案為：.
考點八：等比數列項的性質
一、單選題
1．（23-24高二下·青海·期末）在等比數列中，，，則（）
A．64B．128C．D．
【答案】B
【分析】結合等比數列的性質求解．
【詳解】由題意得，得，則.
由，得.
所以.
故選：B．
2．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）已知等比數列的各項均為正數，若，則等于（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】運用等比數列的下標性質，結合對數性質可解.
【詳解】，則，
根據等比數列的性質，知道,
則，則，即，則.
故選：C.
3．（23-24高二下·山東日照·期末）已知等比數列，，為函數的兩個零點，則（）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】由題意，結合對數運算性質、等比數列性質即可求解.
【詳解】由題意是一元二次方程的兩個根，由韋達定理有，
而對于等比數列而言，，
從而
.
故選：C.
4．（23-24高二下·河南洛陽·期末）已知成等比數列，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用等比數列性質即可得出答案.
【詳解】成等比數列，，
因為與-2和-4符號一樣，所以，
.
故選：B.
5．（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知是單調遞增的等比數列，且，則公比的值是（）
A．3B．－3C．2D．－2
【答案】C
【分析】根據等邊數列的性質即可求解方程得，即可求解.
【詳解】解：由是單調遞增的等比數列且，
所以是的兩個實數根，且，
得，故．
故選：C．
6．（23-24高二下·廣西欽州·期末）在等比數列中，，則（）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】由等比數列的性質即可求解.
【詳解】由題意得，得．
故選：C
7．（23-24高二下·北京西城·期末）在等比數列中，若，，則（）
A．4B．6C．2D．±6
【答案】A
【分析】應用等比數列通項公式性質求解即可.
【詳解】因為是等比數列，所以.
故選：A.
8．（23-24高二下·江西贛州·期末）正項等比數列中，，則（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據等比數列的性質求出即可得解.
【詳解】由等比數列性質可知，解得，
所以，
故選：B
二、多選題
9．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知等比數列的公比為，前項積為，若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】先通過條件確定和的取值情況，然后利用等比數列的性質計算即可.
【詳解】由已知，又，，
所以，，A正確，B錯誤；
，
，
，
所以，C正確，D錯誤.
故選：AC.
10．（23-24高二上·內蒙古·期末）已知公比為的正項等比數列的前項積為，則（）
A．
B．當時，
C．
D．當，且取得最小值時，只能等于6
【答案】ABC
【分析】A，C項通過等比數列的性質即可得出結論；B，D項，根據等比數列的公比和前項和即可得出結論.
【詳解】由題意，，
在正項等比數列中，，
A項，，A正確；
B項，當時，因為，所以，可得，B正確；
C項，，C正確．
D項，當時，因為，所以，則的最小值為或，D錯誤．
故選：ABC.
三、填空題
11．（23-24高二上·上海寶山·期末）已知數列是等比數列，且，，則．
【答案】
【分析】根據等比數列性質若，則，化簡已知條件即可求解.
【詳解】根據等比數列的性質若，則，有，，
所以化為，即，
又因為，所以.
故答案為：
12．（23-24高二下·福建福州·期末）在等比數列中，，，則
【答案】4
【分析】由等比數列的性質求解．
【詳解】在等比數列中，奇數項都是同號的，則，
由，得，
故答案為：4
13．（23-24高二下·陜西榆林·期末）在各項均為正數的等比數列中，，則．
【答案】3
【分析】根據等比數列性質和對數運算即可.
【詳解】由題意得.
故答案為：3.
14．（23-24高二下·遼寧·期末）在等比數列中，，則 .
【答案】
【分析】運用等比數列性質求解即可.
【詳解】由于，由等比數列性質知道，則；
由于，由等比數列性質知道；則.
故答案為：.
15．（23-24高二下·四川達州·期末）在等比數列中，，，則．
【答案】
【分析】利用等比數列的性質可求得，又，可求.
【詳解】因為，又數列bn是等比數列，所以，所以，
由數列bn是等比數列，可得，又，所以，
所以.
故答案為：.
16．（23-24高二下·上?！て谀┮阎獢盗袨檎椀缺葦盗校?，，則．
【答案】3
【分析】利用等比數列的性質可得答案.
【詳解】等比數列中，
因為，所以，
又為正項的等比數列，所以.
故答案為：3.
考點九：等比數列和的性質
一、單選題
1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知正項等比數列滿足，則數列的公比為（）
A．2B．1C．D．或
【答案】A
【分析】設出公比，根據，計算出答案.
【詳解】設等比數列公比為，由題意得，故，解得.
故選：A.
2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）設是等比數列的前項和，若，則（）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】成等比數列，得到方程，求出，得到答案.
【詳解】由題意得，，
因為成等比數列，故，
即，解得，
故.
故選：B
3．（23-24高二上·河南開封·期末）記為等比數列的前項和，若，則（）
A．21B．18C．15D．12
【答案】A
【分析】根據等比數列性質得到成等比數列，求出，得到答案.
【詳解】因為為等比數列的前項和且，
所以成等比數列，即3，6，成等比數列，
所以，所以．
故選：A．
4．（23-24高三上·山西·期末）已知等比數列的前項和為，若，，則（）
A．8B．26C．80D．54
【答案】C
【分析】根據等比數列前n項和的片段和的性質，即可求得答案.
【詳解】在等比數列中，，，，也成等比數列，
因為，，所以，所以，，
所以，
故選：C.
5．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知等比數列滿足，則（）
A．24B．36C．48D．108
【答案】C
【分析】通過計算即可.
【詳解】設等比數列的公比為，
則，即，同理，
所以，所以，
所以.
故選：C.
6．（23-24高二上·河北保定·期末）設等比數列的前n項和為，已知，，則（）
A．144B．324C．400D．364
【答案】D
【分析】由等比數列的性質得到，，成等比數列，從而得到方程，求出答案.
【詳解】因為，，成等比數列，所以，
即，解得．
故選：D
7．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）等比數列中，為的前n項和，若，則（）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根據構成等比數列求解即可.
【詳解】因為為等比數列，，設，
所以構成等比數列.
所以構成等比數列，所以，所以.
故選：A
二、多選題
8．（23-24高二下·遼寧大連·期末）下列關于數列與其前項和的命題，表述正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．若是等比數列，，則D．若，則數列單調遞增
【答案】AD
【分析】利用數列周期性判斷A；求出通項公式判斷B；利用等比數列片段和的性質計算判斷C；作商求出通項并確定單調性判斷D.
【詳解】對于A，由，得，則數列的周期為3，
又，因此，A正確；
對于B，，則數列是等比數列，，
當，而不滿足上式，B錯誤；
對于C，是等比數列，，則成等比數列，
其首項為1，公比為3，則，C錯誤；
對于D，，當時，，
當，，滿足上式，
因此且，則數列單調遞增，D正確.
故選：AD
9．（23-24高二下·廣東·期末）已知數列，其前項和記為，則（）
A．若是等差數列，且，則
B．若是等差數列，且，則
C．若是等比數列，且，其中為常數，則
D．若是等比數列，則也是等比數列
【答案】BC
【分析】舉反例判斷AD選項，由等差等比數列的前項和公式判斷BC選項.
【詳解】A選項中，當等差數列是常數列時，由，就不能得到，所以A是錯誤的；
B選項中，設等差數列公差為，由前項和，
可知，所以B是正確的；
C選項中，由可知，等比數列公比不為1，設公比為，
由等比數列前和公式得，則有，，
則常數，所以C是正確的；
D選項中，等比數列中，當公比時，若，有，則就不是等比數列，所以D是錯誤的；
故選：BC．
三、填空題
10．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）設是等比數列的前項和，若，，則= .
【答案】
【分析】由，又，，成等比數列，求出，即可求出的值.
【詳解】由題意得，則，
因為，，成等比數列，故，
即，解得，
故.
故答案為：.
11．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知等比數列的前項和為，且，，則的值為．
【答案】
【分析】法一：根據等比數列求和公式化簡可得解；法二：根據等比數列前項和的性質可得解.
【詳解】由數列為等比數列，
當時，，則，此方程無解，
法一：
當時，，
所以，化簡可得，
所以；
法二：
由等比數列可知當時，，不滿足題意，
且當時，，，仍成等比數列，
即，
即，
解得，
故答案為：.
12．（23-24高二下·吉林長春·期末）設等比數列的前n項和是.已知，則 .
【答案】1200
【分析】根據等比數列片段和的性質分析求解.
【詳解】因為是等比數列的前項和且，
可知，，，也成等比數列，
又因為,，則，
可得，，
所以，.
故答案為：1200.
考點十：等比數列的應用
一、單選題
1．（23-24高二下·海南?？凇て谀┬∶魍瑢W利用暑假時間到一家商場勤工儉學，該商場向他提供了三種付款方式：第一種，每天支付150元；第二種，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三種，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明預計工作12天，從總收入最高的角度，小明會選擇哪種方式領取報酬（）
A．第一種B．第二種C．第三種D．無法判斷
【答案】C
【分析】由已知結合等差數列與等比數列的求和公式即可判斷．
【詳解】第一種可以領取報酬元；
第二種每天的報酬構成以為首項，公差為的等差數列，
則第二種可以領取報酬元；
第三種每天的報酬構成以為首項，公比為的等比數列，
則第三種可以領取報酬元，
因為，從總收入最高的角度，小明會選擇第三種方式領取報酬．
故選：C．
2．（23-24高二上·湖北荊門·期末）在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數.一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定，假設某種傳染病的基本傳染數，平均感染周期為7天，那么感染人數由1（初始感染者）增加到3333大約需要的天數為（）（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……參考數據：）
A．42B．43C．35D．49
【答案】A
【分析】由題意得感染人數形成等比數列，然后利用等比數列求和公式列不等式，結合指對互化解不等式即可求解.
【詳解】設第n輪感染的人數為，則數列是，公比的等比數列，
由，可得，兩邊取對數得，
所以，所以，故需要的天數約為.
故選：A
3．（23-24高三下·山東濟南·開學考試）已知甲植物生長了一天，長度為，乙植物生長了一天，長度為.從第二天起，甲每天的生長速度是前一天的倍，乙每天的生長速度是前一天的，則甲的長度第一次超過乙的長度的時期是（）（參考數據：?。?br>A．第6天B．第7天C．第8天D．第9天
【答案】C
【分析】設甲植物每天生長的長度構成等比數列，甲植物每天生長的長度構成等比數列，設其前項和分別為、，依題意得到、的通項公式，即可求出、，再由得到，最后根據指數函數的性質及對數的運算性質計算可得.
【詳解】設甲植物每天生長的長度構成等比數列，甲植物每天生長的長度構成等比數列，設其前項和分別為、（即天后樹的總長度），
則，，
所以，
，
由，可得，
即，即，
解得或（舍去），
由則，因為，
即，又，所以的最小值為.
故選：C
【點睛】關鍵點睛：本題關鍵是利用等比數列求出公式求出天后樹的總長度，從而得到不等式，再結合指數函數的性質解得.
4．（23-24高二上·安徽黃山·期末）我國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關”，其大意是：有一個人要去某關口，路程為里，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到達該關口，則此人第三天走的路程為（）
A．48里B．45里C．43里D．40里
【答案】A
【分析】設第六天走的路程為里，則第五天走的路程為里，依此往前推，第一天走的路程為里，根據前六天的路程之和為里，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．
【詳解】設第六天走的路程為里，則第五天走的路程為里，
依此往前推，第一天走的路程為里，
結合題意可得：，
解得，
則第三天走的路程為里.
故選：A.
5．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）一個彈性小球從10米高處自由落到地面后彈起到原來的一半高度，再自由落到地面后又彈起到上一次的一半高度，如此反復進行下去，則小球第五次落地時經過的路程為（）
A．29.375米B．19.375米
C．38.75米D．28.75米
【答案】D
【分析】分別求出每次落地經過的路程，相加即可求解.
【詳解】前五次落地經過的路程分別為10米、10米、5米、2.5米、1.25米，其和為28.75米，
故選：D
6．（23-24高二上·重慶·期末）古代“微塵數”的計法：“凡七微塵，成一窗塵；合七窗塵，成一兔塵；合七兔塵，成一羊塵；合七羊塵，成一牛塵；合七牛塵，成于一蟣；合于七蟣，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麥；合七大麥，成一指節(jié)；累七指節(jié)，成于半尺……”這里，微塵、窗塵、兔塵、羊塵、牛塵、蟣、虱、芥子、大麥、指節(jié)、半尺的長度構成了公比為7的等比數列．那么1指節(jié)是（）
A．兔塵B．羊塵C．兔塵D．羊塵
【答案】A
【分析】設1微塵為，求出1兔塵為，1羊塵為，1指節(jié)為，從而可得答案.
【詳解】設1微塵為，
因為微塵、窗塵、兔塵、羊塵、牛塵、蟣、虱、芥子、大麥、指節(jié)、半尺的長度，
構成了公比為7的等比數列，
所以1窗塵為，1兔塵為，1羊塵為，1牛塵為，
1蟣為，1虱為，1芥子，1大麥，1指節(jié)為，
因為，所以1指節(jié)是兔塵，A正確，C不正確；
因為，所以1指節(jié)是羊塵，BD不正確；
故選：A.
二、填空題
7．（23-24高二上·廣東深圳·期末）一個乒乓球從高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的，在第3次著地時，乒乓球經過的總路程為 .
【答案】/
【分析】由已知條件列算式計算數據.
【詳解】依題意可得，第3次著地時，乒乓球經過的總路程為.
故答案為：
8．（23-24高三上·遼寧大連·期末）十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現代數學的基礎.著名的“康托三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作：再將剩下的兩個區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：...，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和小于，則操作的次數的最大值為 .
（參考數據：）
【答案】5
【分析】根據題意求出第次操作后去掉的各區(qū)間長度之和，列不等式結合所給參考數據即可得.
【詳解】記表示第次去掉的長度，，第2次操作，去掉的線段長為，
第次操作，去掉的線段長度為，
，則，
由的最大值為5.
故答案為：5
9．（23-24高二上·江蘇南京·期末）如圖，正方形的邊長為2cm，取正方形各邊的中點E，F，G，H，作第二個正方形，然后再取正方形各邊的中點I，J，K，L，作第三個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，當操作次數無限增大時，所有這些正方形的面積之和將無限趨近于常數．
【答案】8
【分析】根據題意，正方形邊長成等比數列，正方形的面積等于邊長的平方可得，然后根據等比數列的前n項和的公式即可求解.
【詳解】設第n個正方形的邊長為，第個正方形的邊長為，
即，即數列是首項為，公比為的等比數列，
，故數列是首項為，公比為的等比數列，
，
所以如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于8，
故答案為：8.
三、解答題
10．（23-24高二上·浙江金華·期末）在一次招聘會上，兩家公司開出的工資標準分別為：公司A：第一年月工資3000元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加300元：公司B：第一年月工資3720元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎上遞增，設某人年初想從這兩家公司中選擇一家去工作．
(1)若此人選擇在一家公司連續(xù)工作年，第年的月工資是分別為多少？
(2)若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則從哪家公司得到的報酬較多？（）．
【答案】(1)公司：（元）；公司：（元）
(2)從公司得到的報酬較多
【分析】（1）根據所給條件分布求出在公司、第年的月工資；
（2）分別利用等差數列、等比數列求和公式求出總報酬，即可判斷.
【詳解】（1）選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加元,
則他第年的月工資是：（元）；
選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎上遞增．
則他第年的月工資（元）．
（2）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則在公司、公司得到的報酬分別為：
公司A：
（元）．
公司B：（元），
因為，故從公司得到的報酬較多.
11．（23-24高二上·山東威?！て谀┘住⒁覂杉移髽I(yè)同時投入生產，第年的利潤都為萬元（），由于生產管理方式不同，甲企業(yè)前年的總利潤為萬元，乙企業(yè)第年的利潤比前一年的利潤多萬元，設甲、乙兩家企業(yè)第年的利潤分別為萬元，萬元.
(1)求，；
(2)當其中某一家企業(yè)的年利潤不足另一家企業(yè)同年的年利潤的時，該家企業(yè)將被另一家企業(yè)兼并收購. 判斷哪一家企業(yè)有可能被兼并收購，如果有這種情況，出現在第幾年.
【答案】(1)，
(2)在第年甲企業(yè)兼并收購乙企業(yè)
【分析】（1）根據前n項和公式求通項結合累加計算即可；
（2）根據數列的單調性判斷即可.
【詳解】（1）當時，
，
所以，
由題意知，，
所以
，
相加得，
當時也滿足上式，所以.
（2）當時，，，可得，
因此當或時，不可能出現兼并收購的情況，
當時，，，所以，
由題意知，甲企業(yè)可能兼并收購乙企業(yè)，
如果出現兼并收購的情況，必滿足，
由，化簡得，
令，
當時，，所以滿足，
，
當時，，即，
所以，
當時，，即，
，
綜上可知，當時，，
所以在第年甲企業(yè)兼并收購乙企業(yè).
模塊四優(yōu)選提升題
考點一：等比數列前n項和的最值問題
一、單選題
1．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知等差數列的前項和為，若，，則當取得最小值時，（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根據給定條件，結合等差數列性質，探討數列單調性，并確定非正數項即可得解.
【詳解】等差數列中，，，則，
因此數列是遞增等差數列，前5項均為負數，從第6項起為正，
所以當取得最小值時，.
故選：B
2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是等差數列的前項和，若，則使的最小整數（）
A．12B．13C．24D．25
【答案】C
【分析】根據條件得到，再利用等差數列的性質及前項和公式，即可求出結果.
【詳解】等差數列的前項和為，由，且，
得，所以，
則數列的公差，所以數列是遞增的等差數列，
且當時，，當時，，
又，
所以使成立的最小的為24，
故選：C．
3．（23-24高二上·福建龍巖·期末）已知數列是公差為的等差數列，是其前項和，且,，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差數列的基本性質可得出，結合以及等差數列的通項公式可判斷AB選項，利用等差數列的求和公式可判斷C選項，推導出，結合數列的單調性可判斷D選項.
【詳解】因為數列是公差為的等差數列，是其前項和，且，，
則，
所以，，
所以，，A對；
，則，B錯；
，C對；
因為，則，
又因為，所以，數列是單調遞增數列，
當時，；當時，.
綜上所述，，D錯.
故選：C.
4．（23-24高二上·廣東·期末）已知數列的通項公式，其前項和為，則取最小值時的值為（）
A．1012B．1013C．1014D．1015
【答案】A
【分析】根據給定條件，確定數列的單調性，再求出的的最大值即得.
【詳解】數列的通項公式，顯然數列是遞增數列，
由，得，而，因此數列的前1012項均為負數，從第起為正，
所以取最小值時的值為1012.
故選：A
5．（23-24高二上·福建寧德·期末）已知等差數列的前項和為．若，，則當取最大值時，的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差數列的基本性質可知，當時，，當時，，即可得出結論.
【詳解】因為等差數列的前項和為，，可得，
又因為，則數列的公差為，
所以，數列為單調遞減數列，
則當時，，當時，，
故當時，取最大值.
故選：B.
6．（23-24高二上·天津和平·期末）若是等差數列，表示的前n項和，，則中最小的項是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據等差數列的前n項和公式可得，再結合等差數列的性質判斷處的符號，即可得出答案.
【詳解】因為，
所以，
因為，所以，
所以公差，
故當時，，當時，，
所以當時，取得最小值，
即中最小的項是.
故選：B.
二、多選題
7．（23-24高二下·云南·期末）已知等差數列的公差為，前項和為，若，則下列結論正確的是（）
A．
B．若，則
C．當時，取得最小值
D．當時，滿足的最大整數的值為25
【答案】ABD
【分析】由得到，進而求得即可判斷A；，，成等差數列，即可判斷B；因為，分類討論當，，即可判斷C；因為，所以，，所以，，即可判斷D.
【詳解】因為，
所以，
即，所以，故A正確．
因為，，成等差數列，
所以，而，則，故B正確．
因為，由得，
即，所以，所以對稱軸為：，
所以當時，開口向上，當，取得最小值，
當時，開口向下，當，取得最大值，故C錯誤．
因為，數列單調遞增，所以，，
則，，又因為，
所以當時，滿足的最大整數的值為25，D正確．
故選：ABD
8．（23-24高二下·四川樂山·期末）已知等差數列的公差為d，前n項和為，若，，則下列說法正確的是（）
A．B．C．D．最小值為
【答案】BCD
【分析】根據給定條件，求出等差數列的公差d及首項，再逐項計算判斷即得.
【詳解】依題意，，解得，
對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，由，得，即數列前5項均為負數，從第6項起為正數，
因此，D正確.
故選：BCD
9．（23-24高二下·四川成都·期末）等差數列的前項和為，則（）
A．B．
C．D．當時，的最小值為 16
【答案】ABD
【分析】對于A，由等差數列性質即可判斷；對于B，由公差的定義即可判斷；對于C，作差結合公差小于0即可判斷；對于D，只需注意到，由此即可判斷.
【詳解】對于A，由題意，故A正確；
對于B，，其中為等差數列的公差，即，故B正確；
對于C，，即，故C錯誤；
對于D，由題意，
從而當，，且，故D正確.
故選：ABD.
10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差數列的前項和為，若，，則下列結論正確的是（）
A．數列是遞增數列B．
C．當取得最大值時，D．
【答案】CD
【分析】設出公差，利用等差數列求和公式得到，，，，從而對選項一一判斷，得到答案.
【詳解】ABD選項，設的公差為，
，故，
，故，
所以，且，，即是遞減數列，AB錯誤，D正確.
C選項，由于是遞減數列，，，故當取得最大值時，，C正確.
故選：CD
三、填空題
11．（23-24高二下·北京懷柔·期末）已知等差數列的前項和，若，則；前項和的最大值為．
【答案】 16
【分析】根據等差數列的通項公式，利用即可求得，從而求得，從二次函數的角度思考，可求出的最大值.
【詳解】設等差數列的公差為，則
，解得，
所以，，
當時，的最大值為,
故答案為：，16.
12．（23-24高二上·山東濟南·期末）已知等差數列首項，公差，則前n項和的最大值為．
【答案】16
【分析】利用等差數列前項和公式和,結合二次函數的性質即可求解．
【詳解】等差數列首項，公差，
．
則前項和的最大值為16．
故答案為：16．
13．（23-24高二上·江蘇南京·期末）設為數列的前項和，若，則的最小值為
【答案】
【分析】利用等差數列的前項和公式處理即可.
【詳解】易知，，由二次函數性質得，對稱軸為，結合一定為正整數，故在時，取得最小值,此時最小值為.
故答案為:
14．（23-24高二上·吉林·期末）已知為等差數列的前n項和，為其公差，且，給出以下命題：
①；②；③使得取得最大值時的n為8；④滿足成立的最大n值為17
其中正確命題的序號為 .
【答案】①③
【分析】由及等差數列前n項和的函數性質判斷①③；應用等差數列前n項和公式可得，并令得，即可判斷②④.
【詳解】由，即存在最大值，故，①③對；
則，即，
可得，故，且，②錯；
令，則且，即，而，
所以，故，即滿足成立的最大n值為15，④錯.
故答案為：①③
四、解答題
15．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差數列的前項和為，；
(1)求等差數列的前項和及的最大值；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)，210；
(2)212.
【分析】（1）根據給定條件，利用等差數列前項和公式，結合性質求出公差及首項即可得解.
（2）由（1）求出數列的通項公式，判斷項的正負，再結合（1）的結論求解即得.
【詳解】（1）等差數列的前項和為，由，得，解得，
由，得，解得，則，公差，
因此，對稱軸為，因為，則當或時，，
所以，的最大值為210.
（2）由（1）知，，則，
所以
.
16．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差數列中，，
(1)求的通項公式
(2)求數列的前n項和的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列出關于等差數列首項公差d的方程組，解之即可求得首項和公差d的值，進而得到的通項公式；
（2）利用等差數列的單調性即可求得數列的前n項和的最小值．
【詳解】（1）設等差數列首項為，公差為d，
則，解之得，
則的通項公式為
（2）由的通項公式為，可得數列為遞增數列，且
則
故數列前n項和的最小值為．
考點二：等比數列前n項積的最值問題
一、單選題
1．（23-24高二上·廣東肇慶·期末）數列的前n項和為，滿足，則數列的前n項積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據給定的遞推公式求出，進而求出數列通項，借助單調性求解即得.
【詳解】依題意，，，則，當時，，
兩式相減得，即，因此數列是以512為首項，為公比的等比數列，
于是，顯然數列單調遞減，當時，，當，，
所以當或時，數列的前n項積最大，最大值為.
故選：B
2．（23-24高二下·山西晉城·期末）已知等比數列滿足，公比，且，，則當最小時，（）
A．1012B．1013C．2022D．2023
【答案】A
【分析】根據題意結合等比數列的性質可推得以及，即可判斷數列的的增減性以及項與1的大小關系，由此即可求得答案.
【詳解】由題意知，故，
則，即，
結合等比數列滿足，公比，可知，
由，得，
即得，故，即，
由此可得，
故當最小時，，
故選：A
3．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正項等比數列的前項積為，且，則下列結論正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】B
【分析】結合等比數列的性質及數列的單調性判斷各選項即可.
【詳解】由已知數列各項均為正，因此乘積也為正，公比，若，則，
由等比數列性質知，所以，故選項A錯誤；
又，因為，所以，所以，
則，故先增后減，所以，故選項B正確；
若，則，又，無法判斷與1的大小，即無法判斷與1的大小，故與大小沒法判斷，故選項CD錯誤.
故選：B
二、多選題
4．（23-24高二上·江蘇常州·期末）在等比數列中，，為數列的前項積，下列說法正確的有（）
A．
B．
C．若，則的最大項為
D．若，則的最小項為
【答案】AC
【分析】根據條件可得，可得出選項A正確；選項B，因為，從而判斷出選項B的正誤；選項C，利用，結合選項C的條件，可得，進而有，，而，，再比較即可判斷出選項C的正確；選項D，根據條件得出，而，，再比較即可判斷出選項D的正誤.
【詳解】設等比數列的公比為，所以，
又，所以，解得，故選項A正確，
對于選項B，因為，又，所以，
得到，故選項B錯誤，
對于選項C，因為，又，所以，
又，所以，則有，，
又，所以數列中的奇數項為負數，偶數項為正數，
所以，，
又，，故選項C正確，
對于選項D，因為，又，所以，
又，，所以，
又數列中的奇數項為負數，偶數項為正數，
且，，
又，，，又，
而，若，則，此時，故選項D錯誤，
故選：AC.
【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于選項C和D的判斷，對于選項C，利用條件得到，再比較即可，對于選項D，利用條件得到，再比較即可.
5．（23-24高二下·河南開封·期末）已知為等差數列的前n項和，為等比數列的前n項積，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】對于A，令結合基本不等式可舉出反例，對于B，由等差、等比中項即可判斷；對于C，由等差數列求和公式以及等差數列性質即可判斷；對于D，直接由定義驗算即可.
【詳解】對于A，設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
若，
則，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D正確.
故選：BCD.
6．（23-24高二上·江蘇南京·期末）設等比數列的公比為，前項積為，且滿足條件，則下列選項正確的是（）
A．
B．
C．的值是中最大的
D．使成立的最大自然數等于4044
【答案】AD
【分析】先由條件分類討論得到，，再利用等比數列的性質即可求解.
【詳解】，，，
同號，且或，
若，則不同號；
若，則，不滿足要求；
故可得，，故A正確；
，且，可得，故B錯；
，又，且最大，故C錯；
，且為等比數列，
由等比數列的性質可得，，
使成立的最大自然數等于4044，故D正確.
故選：AD.
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于推得，進而得到，從而得解.
7．（23-24高二下·陜西渭南·期末）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，若，，且，則下列結論正確的是（）
A．B．
C．數列中的最大值是D．數列無最大值
【答案】ABC
【分析】根據題中條件，分析出為單調遞減的數列，，.A選項利用即可判斷正確；B選項利用等比中項即可判斷正確；C選項可分析出數列中多少項比大即可判斷；D選項，利用C的判斷，可判斷D的正誤.
【詳解】由，，可得為單調遞減的數列且，
由可得，.
A選項：，顯然A正確；
B選項：，
根據等比中項可得，顯然B正確；
C選項：由，為單調遞減的數列且，
可知的前2023項（包含2023項）都大于1，從第2024項（包含2024項）往后都小于1，
所以數列中的最大值是，所以C正確；
D選項：由C正確可知，有最大值，所以D錯誤.
故選：ABC.
8．（23-24高二上·福建福州·期末）設等比數列的公比為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結論正確的是（）
A．B．C．D．的最小值為
【答案】AC
【分析】根據題意，由，得的范圍，由變形得，因此可得，由此分析選項是否正確，即可得答案
【詳解】根據題意，等比數列的公比為，由，所以，
若，得，變形得，
又且，則，故，故A對；
由，故B錯；
，故C對；
因為又且，所以等比數列遞增數列，而，則的最小值為，故D錯；
故選：AC
三、填空題
9．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知數列滿足，，且.若是數列的前項積，求的最大值為 .
【答案】
【分析】根據數列的遞推公式推理得到等比數列，求出通項，寫出的表達式，利用指數函數和二次函數的單調性即可求得其最大值.
【詳解】由和知，故有，可知數列為等比數列，
公比為，首項為，故通項為：，
于是，
因，為增函數，故當或時，取得最大值，為.
故答案為：.
10．（23-24高二下·北京順義·期末）已知各項均為正數的等比數列，，，則；前項積的最小值為 .
【答案】 8 /0.015625
【分析】根據題意結合等比數列通項公式可得，進而可得，令，運算求解即可得的最小值.
【詳解】設等比數列的公比為，
由題意可得：，解得，
可得，所以；
令，解得，
所以的最小值為.
故答案為：8；.
考點三：數列的新定義問題
一、單選題
1．（23-24高二下·北京房山·期末）已知數列：，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，依此類推. 是數列的前項和，若，則的值可以等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將數列分組，使每組第一項均為1，第一組：，第二組：，第三組：，……，第組：，根據等比例數列前項和公式對選項逐一驗證即可.
【詳解】將數列分組，使每組第一項均為1，即：
第一組：
第二組：
第三組：
……
第組：
根據等比例數列前項公式，得每組和分別為：，
每組含有的項數分別為.
所以
若，即，
將選項A代入，若，則，即為前5組與第6組的第1個數的和，
此時，無解；
同理若，則，此時，即，符合題意；
同理若，則，此時，無解；
同理若，則，此時，無解；
綜上可知，，
故選：
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于找出數列的規(guī)律，對該數列進行分組，利用等比數列前項和公式構造方程，即可求解.
2．（23-24高二下·北京順義·期末）對于數列，若存在，使得對任意，有，則稱為“有界變差數列”．給出以下四個結論：
① 若等差數列為“有界變差數列”，則的公差等于0；
② 若各項均為正數的等比數列為“有界變差數列”，則其公比q的取值范圍是0,1；
③ 若數列是“有界變差數列”，滿足，則是“有界變差數列”；
④ 若數列是“有界變差數列”，滿足，則是“有界變差數列”；
其中所有正確結論的個數是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】對于①，利用反證法即可判斷；對于②，討論和，，并結合等比數列求和及性質即可判斷；對于③④，證明若，均為有界變差數列，且，則是有界變差數列，即可判斷.
【詳解】對于①，假設的公差不等于0，則,
故，
所以不存在，使得對任意，有，
所以若等差數列為“有界變差數列”，則的公差等于0，故正確①；
對于②，因為的各項均為正數，所以，，
，
當時，，，
任取即可，所以為有界變差數列．
當時，，
若，則，
令即可，所以為有界變差數列，
若，則，
當時，，
顯然不存在符合條件的，故不是有界變差數列．
綜上，的取值范圍是，故②錯誤；
先證明若，均為有界變差數列，且，則是有界變差數列．
由有界變差數列的定義可知，
，
．
因為
，
所以．
故
，
因此，
所以是有界變差數列．
對于③，易知，設,則，且，
由前面結論知是有界變差數列，即是“有界變差數列”，故正確③；
對于④，因為，所以，
所以是有界變差數列，故④正確.
故所有正確結論的個數是3.
故選:C.
【點睛】關鍵點點睛：對于③④，先證明若，均為有界變差數列，且，則是有界變差數列．
3．（23-24高二下·江西撫州·期末）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現有這樣一列數：.其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和.后來人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”.記為“斐波那契數列”的前項和，若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意得當時，，變形的可證得，，再結合已知條件可求得結果.
【詳解】由題意得當時，，則，
所以，，……，，，
所以
，
所以，所以，
因為當時，，則，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：此題考查遞推數列的性質，解題的關鍵是對“斐波那契數列”的正確理解，得到當時，，考查計算能力，屬于中檔題.
4．（23-24高二下·河南南陽·期末）設為正整數，數列是公比不為1的等比數列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的3個數都能構成等比數列，則稱數列是可分數列.現有下列3個命題：
①數列是可分數列；
②數列是可分數列；
③數列是可分數列.
其中真命題的個數為（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根據可分數列的定義即可驗證結論
【詳解】對于①，由于從數列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，能構成等比數列，所以數列是可分數列，故①正確；
對于②，由于從數列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，都能構成等比數列，所以數列是可分數列，故②正確；對于③，由于從數列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，都能構成等比數列，所以數列是可分數列，故③正確；所以真命題有個.
故選：D
5．（23-24高二下·江西新余·期末）數列，稱為斐波那契數列，又稱黃金分割數列，是由十三世紀意大利數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”.該數列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和.記該數列的前項和為，則下列結論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】，，，……，，相加得到答案.
【詳解】由題意得，
故，，，……，，
上面的式子相加得，
又，故.
故選：A
二、多選題
6．（23-24高二下·甘肅·期末）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現有這樣一列數：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”．記斐波那契數列為，其前項和為，則（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用給定定義逐個選項分析數列性質求解即可.
【詳解】依題意可得，A正確；
由，B錯誤；
，C正確；
，累加得，D正確．
故選：ACD
【點睛】關鍵點點睛：本題考查數列，解題關鍵是利用題目給定定義，然后結合累加法得到所證明的等量關系即可．
7．（23-24高二下·山東淄博·期末）南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列. 如數列，它的前后兩項之差組成新數列，新數列為等差數列，則數被稱為二階等差數列，現有二階等差數列，其前6項分別為，設其通項公式則下列結論中正確的是（）
A．數列的公差為2B．
C．數列的前7項和最大D．
【答案】BD
【分析】利用二階等差數列定義可知數列的公差為，可得，計算可知B正確，再由累加法可得，利用數列的函數性質可得數列的前6項和最大，將代入計算可得D正確.
【詳解】因為二階等差數列，其前6項分別為4，8，10，10，8，4，
從第二項開始，每一項與前一項的差組成新數列的前5項為，
易知新數列的公差為，即數列的公差為，即A錯誤.
易知是以首項為4，公差為的等差數列，
利用等差數列前項和公式可得,即B正確.
由等差數列通項公式可得，
所以，，……，，
累加可得；
，
利用二次函數性質可知當時，數列單調遞減，且前6項均為正數，
易知，所以，因此數列的前6項和最大，即C錯誤；
由可得，即D正確.
故選：BD
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據二階等差數列定義求出數列的通項公式，再由數列的函數性質可得結論.
8．（23-24高二下·云南曲靖·期末）為提高學生學習數學的熱情，某校積極籌建數學興趣小組，小組成員仿照教材中等差數列和等比數列的概念，提出“等積數列”的概念：從第二項起，每一項與前一項之積為同一個常數（不為0）.已知數列是一個“等積數列”，，其前項和為，則下列說法正確的是（）
A．B．
C．的一個通項公式為D．
【答案】ACD
【分析】根據數列新定義可得，結合已知確定通項公式，進而逐項判斷正誤.
【詳解】由“等積數列”定義得：，而，則，
因此數列奇數項相同，偶數項相同，又，則當為奇數時，，
由，得，則當為偶數時，，
對于A，，A正確；
對于B，，B錯誤；
對于C，若，則當為奇數時，，當為偶數時，，符合題意，C正確；
對于D，當為奇數時，，滿足，
當為偶數時，，滿足，D正確.
故選：ACD
【點睛】關鍵點點睛：涉及數列新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，由給定的數列結合新定義探求數列的相關性質，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.
9．（23-24高二下·湖北武漢·期末）冒泡排序是一種計算機科學領域的較簡單的排序算法，其基本思想是：通過對待排序序列從左往右，依次對相鄰兩個元素比較大小，若，則交換兩個數的位置，使值較大的元素逐漸從左移向右，就如水底下的氣泡一樣逐漸向上冒，重復以上過程直到序列中所有數都是按照從小到大排列為止.例如：對于序列進行冒泡排序，首先比較，需要交換1次位置，得到新序列，然后比較，無需交換位置，最后比較，又需要交換1次位置，得到新序列最終完成了冒泡排序，同樣地，序列需要依次交換完成冒泡排序.因此，和均是交換2次的序列.現在對任一個包含個不等實數的序列進行冒泡排序，設在冒泡排序中序列需要交換的最大次數為，只需要交換1次的序列個數為，只需要交換2次的序列個數為，則（）
A．序列是需要交換3次的序列B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根據題意，不妨設序列的n個元素為，由題意可判斷A中序列交換次數；再根據等差數列前項和公式即可判斷B；得出只要交換1次的序列的特征即可判斷C；利用累加法求出通項公式即可判斷D.
【詳解】對A，序列，比較，無需交換位置，比較，需要交換1次位置，得到新序列，比較，無需交換位置，最后比較，需要交換1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交換2次，故A錯誤；
對B，不妨設序列的n個元素為，交換次數最多的序列為，
將元素n冒泡到最右側，需交換次次，
將元素n-1冒泡到最右側，需交換次次，
，
故共需要，
即最大交換次數，故B正確；
對C，只要交換1次的序列是將中的任意相鄰兩個數字調換位置的序列，故有個這樣的序列，即，故C正確；
對D，當n個元素的序列順序確定后，將元素n+1添加進原序列，
使得新序列（共n+1個元素）交換次數也是2，
則元素n+1在新序列的位置只能是最后三個位置，
若元素n+1在新序列的最后一個位置，
則不會增加交換次數，故原序列交換次數為2（這樣的序列有個），
若元素n+1在新序列的倒數第二個位置，則會增加1次交換，
故原序列交換次數為1（這樣的序列有個），
若元素n+1在新序列的倒數第三個位置，
則會增加2次交換，故原序列交換次數為0（這樣的序列有1個），
因此，，
所以，顯然，
所以，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：在解與數列新定義相關的題目時，理解新定義是解決本題的關鍵.
三、填空題
10．（23-24高二下·遼寧·期末）設高斯函數x表示不超過的最大整數（如），已知，則；．
【答案】 4285 2
【分析】由的定義求出即可,求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數列，求出即可．
【詳解】.，
∴，，
，
同理可得：；；
，；，，…
∴.
故是一個以周期為6的周期數列，
則.
故答案為：4285，2.
【點睛】關鍵點點睛：第二空的關鍵是得出是一個以周期為6的周期數列，由此即可順利得解.
11．（23-24高二下·上?！て谀┰跀盗兄校舸嬖趦蓚€連續(xù)的三項與相同（），則稱是“3階可重復數列”．已知給定項數為m（）的數列，其中一定是“3階可重復數列”，則m的最小值是．
【答案】11
【分析】由題意可知連續(xù)3項共有8種情況，然后分類討論，分，和根據題意討論即可.
【詳解】因為數列的每一項只可以是0或1，所以連續(xù)3項共有種不同的情況，
若，則數列中有9組連續(xù)3項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，
即項數為11的數列一定是“3階可重復數列”，
若，數列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3階可重復數列”，
則時，均存在不是“3階可重復數列”的數列，
所以，要使數列一定是“3階可重復數列”，則的最小值為11，
故答案為：11
【點睛】思路點睛：關于新定義題的思路有：
（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結合數學知識進行解答.
四、解答題
12．（23-24高二下·河北·期末）設n為正整數，數列是首項為1，公比為的等比數列.從中任意選取兩項和，若它們的和大于，則稱該選取為“有效選取”.
(1)當時，求所有“有效選取”的種數；
(2)若，證明：對于任意的n，都存在“有效選取”；
(3)若，證明：對于任意的n，數列中存在兩項和，使得它們的差的絕對值大于.
【答案】(1)13
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）寫出數列各項，運算可得滿足條件的“有效選取”；
（2）轉化為證明的最大值大于恒成立，結合特殊取值與二項式定理利用放縮法即可證明；
（3）轉化為證明的最大值大于，構造利用單調性可證明其最小值大于，即得證命題.
【詳解】（1）由題意，，
當時，數列為，共有項，
從中任意選取兩項和，則所有取法有種；
若為“有效選取”，則，且，
當時，；當時，，
故不是有效選取,而其余取值都滿足，
故所有“有效選取”的種數共有種；
（2）由題意，等比數列為，
因為，所以，即該數列為遞增數列，
故，，即的最大值為.
由，可得
，
①當時，；
②當時，；
③當時，.
綜上，任意，當時，都有.
即當時，對于任意的n，當時，都有，
即對于任意的n，都存在“有效選取”.
（3）由（2）知，數列為遞增數列，
則，，
即的最大值為，
令，因為，則隨的增大而增大.
所以，
故當時，任意，恒成立，故恒成立，
即任意，存在，即數列兩項，它們的差的絕對值大于.
故當時，對于任意的n，數列中存在兩項和，使得它們的差的絕對值大于.
【點睛】方法點睛：求解與數列有關的不等式恒成立問題，一般可轉化數列的最值問題，先判斷數列的單調性進而求最值，而研究數列單調性的一般方法有：一是轉化為函數的單調性，利用已知函數的單調性或變換定義域求導研究；二是利用數列單調性的定義，通過的符號判斷來研究.
13．（23-24高二下·北京房山·期末）若數列滿足：對任意，都有，則稱是“數列”．
(1)若，，判斷，是否是“數列”；
(2)已知是等差數列，，其前項和記為，若是“數列”，且恒成立，求公差的取值范圍；
(3)已知是各項均為正整數的等比數列，，記，若是“數列”，不是“數列”，是“數列”，求數列的通項公式．
【答案】(1)數列是“數列”；數列bn不是“數列”；
(2)
(3)或
【分析】（1）直接根據“數列”的定義進行判斷即可；
（2）由是等差數列結合是“數列”可知公差，結合等差數列求和公式用含的式子表示，進一步結合恒成立即可求解；
（3）由“數列”的每一項（）均為正整數，可得且，進一步可得單調遞增，故將任意性問題轉換為與1比較大小關系可得的范圍，結合，或，注意此時我們還要分情況驗證是否是“數列”，從而即可得解.
【詳解】（1）對于數列而言，若，則,
所以數列是“數列”；
對于數列而言，若，則，則數列不是“數列”；
（2）因為等差數列是“數列”，所以其公差．
因為，所以，
由題意，得對任意的恒成立，
即對任意的恒成立．
當時，恒成立，故；
當時，對任意的恒成立，即
對任意的恒成立，
因為，所以．
所以的取值范圍是.
（3）設等比數列的公比為，因為，所以，
因為“數列”的每一項均為正整數，由得，
所以且，
因為，
所以，所以單調遞增，
所以在數列中，“”為最小項，
而，從而在數列中，“”為最小項．
因為是“數列”，則只需，所以，
因為數列不是“數列”，則，所以，
因為數列的每一項均為正整數，即，所以或，
（1）當時，，則，
令，
又，
所以為遞增數列，
又，
所以對于任意的，都有，即，
所以數列為“數列”，符合題意．
（2）同理可知，當時，，則，
令，
又，
所以為遞增數列，
又，
所以對于任意的，都有，即，
所以數列為“數列”，符合題意．
綜上，或.
【點睛】關鍵點點睛：第三問的關鍵是首先將恒成立任意性問題轉換為與1比較大小得出的值，回過頭去檢驗是否滿足題意即可順利得解.

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