清單01 向量的夾角
（1）如圖,已知兩個(gè)非零向量,O是平面上的任意一點(diǎn),作,則叫做向量與的夾角.
顯然,當(dāng)時(shí),與同向;當(dāng)時(shí),與反向.
（2）如果與的夾角是,我們說與垂直,記作.
清單01 數(shù)量積定義及投影向量
1、向量數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作,則
規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
2、向量的投影向量
（1）如圖（1）, 設(shè)是兩個(gè)非零向量，，作如下的變換：過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為得到，則稱上述變換為向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
（2）如圖（2）,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作,過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,則就是向量在向量上的投影向量.
（3）設(shè)與方向相同的單位向量為,與的夾角為,對(duì)任意的,都有
在上的投影向量為
清單03 數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律
1、向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)向量與都是非零向量,它們的夾角為,是與方向相同的單位向量,則
（1）；（2）；（3）；
【注】當(dāng)與同向時(shí), ；當(dāng)與反向時(shí)，.
（4）；（5）或
2、數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律
（1）；（2）；（3）
清單04 數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)向量,
（1）數(shù)量積:兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和,即
（2）向量垂直:
（3）向量的模:設(shè),則
（4）兩點(diǎn)間的距離公式:若,則
【考點(diǎn)題型一】向量的數(shù)量積（）
1．（2024·25高一下·重慶·階段練習(xí)）若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則（ ）
A．B．2C．D．
2．（2023·24高一下·北京東城·期中）已知向量，，則 ．
3．（2023·24高一下·江蘇鹽城·期中）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E在邊CD上，且，則的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·24高一下·四川樂山·期中）在中，，D為BC邊的中點(diǎn)，則 ．
5．（2023 24高一下·福建龍巖·階段練習(xí)）在 中， ，則 的值為（ ）
A．20B．C．D．
6．（2023·24高一下·北京通州·期中）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，，則 .
【考點(diǎn)題型二】求向量的模長(zhǎng)（）
7．（2023 24高一下·陜西西安·期中）已知平面向量與的夾角為，則（ ）
A．B．C．4D．12
8．（2023·24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，若，，且，則（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·24高一下·重慶九龍坡·期中）已知向量，，滿足，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．C．D．0
10．（2023·24高一下·甘肅天水·期中）已知向量，，若向量滿足，且，則的值是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023 24高一下·山東菏澤·期末）（多選）設(shè)向量，滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．向量夾角為60°
12．（2023·24高一下·江蘇徐州·期中）已知平面向量，滿足，，，則 ．
13．（2023·24高一下·浙江紹興·期中）如圖，已知等腰梯形，，，，.點(diǎn)滿足，點(diǎn)在上，滿足交于，設(shè)，.
(1)用，表示，并求的模；
(2)求的長(zhǎng).
【考點(diǎn)題型三】利用數(shù)量積解決垂直問題（）
14．（2023·24高一下·山東·期中）已知非零向量，滿足，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·24高一下·浙江溫州·期中）若向量，則與垂直的一個(gè)單位向量 .
16．（2023 24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）設(shè)向量．若，則實(shí)數(shù) .
17．（2023·24高一下·云南德宏·期中）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
18．（2023 24高一下·陜西寶雞·期中）如圖，在中，，則
19．（2023·24高一下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，設(shè)．
(1)用表示；
(2)如果，且，求．
【考點(diǎn)題型四】利用數(shù)量積求向量的夾角（）
20．（2023·24高一下·云南玉溪·期中）已知平面向量滿足，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·甘肅天水·二模）在中，若且，則為（ ）
A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形
22．（2023·24高二下·云南·階段練習(xí)）設(shè)向量，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·24高一下·河南漯河·期中）在中，，，=，BF與BC邊上的中線AE相交于點(diǎn)M.則的值為
24．（2023·24高一下·福建廈門·期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則 .
25．（2023·24高一下·江蘇徐州·期中）已知三點(diǎn)，，．
(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求x的值；
(2)若，求與的夾角大?。?br>26．（2023·24高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）設(shè)為實(shí)數(shù)，若，是平面上兩個(gè)不共線的向量，已知三點(diǎn)共線.
(1)求的值；
(2)若，與的夾角為，設(shè)與的夾角為，求的值
27．（2023·24高一下·浙江·期中）如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)且滿足，，.

(1)試用向量，表示，；
(2)若，，求向量，夾角的余弦值.
【考點(diǎn)題型五】根據(jù)向量夾角為銳鈍角求參數(shù)（）
28．（2023·24高一下·北京海淀·期末）已知向量，是兩個(gè)單位向量，則“與的夾角為銳角”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
29．（2023·24高一下·山東聊城·期中）已知向量，，則“”是“向量與的夾角為銳角”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
30．（2023·24高二上·上海黃浦·期中）已知，如果與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 .
31．（2023·24高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知向量，的夾角為，且，，當(dāng)向量與的夾角為鈍角時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
32．（2023·24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）已知與的夾角為.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求的值;
(3)若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【考點(diǎn)題型六】投影向量（）
33．（2024·25高二上·上?！て谥校┮阎蛄?，.
(1)若與的夾角為，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求向量在向量上的投影向量坐標(biāo).
34．（2024·25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知向量，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
35．（2024·25高三上·重慶·期中）已知平面向量為單位向量，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為 ．
36．（2024·25高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知向量，則向量在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
37．（2024·25高二上·四川達(dá)州·期中）已知空間單位向量，的夾角為，向量，則向量在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
38．（2023·24高一下·江蘇連云港·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．
(1)若三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若是銳角三角形，求實(shí)數(shù)取值范圍；
(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得在上的投影向量是？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值，若不存在請(qǐng)說明理由．
【考點(diǎn)題型七】數(shù)量積的最值與范圍問題（）
39．（2023·24高一下·湖北·期中）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，E為邊BC的中點(diǎn)，為邊CD的中點(diǎn)，為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
40．（2023·24高一下·福建泉州·期中）在中，，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
41．（2023·24高一下·浙江·期中）已知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心的圓上，且，則的最大值是 ．
42．（2023·24高三上·云南保山·期末）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（ ）

A．B．C．D．
43．（2023·24高一下·遼寧大連·期中）在2022年2月4日舉行的北京冬奧會(huì)開幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪花元素為觀眾帶來了一場(chǎng)視覺盛宴，象征各國(guó)、各地區(qū)代表團(tuán)的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形（如圖②）．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，則 ；若點(diǎn)是正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最大值為 ．
44．（2023高一下·山東臨沂·期中）如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為 ．

45．（2023·24高一下·江蘇淮安·期中）已知等腰中，底邊長(zhǎng)為2，腰長(zhǎng)為為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是 .
46．（2023·24高一下·福建三明·期中）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，過中心的直線與兩邊，分別交于點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，則的取值范圍是 ；若是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是 .
47．（2023·24高一下·河南南陽·期中）如圖，在面積為3的中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線EF上，則的最小值為 .
【考點(diǎn)題型八】新定義問題（）
48．（2023·24高一下·山東聊城·期中）設(shè)向量與的夾角為，定義，已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
49．（2023·24高三上·湖南·階段練習(xí)）（多選）定義：，兩個(gè)向量的叉乘的模，則下列命題正確的是（ ）
A．若平行四邊形ABCD的面積為4，則
B．在正中，若，則
C．若，，則的最小值為
D．若，，且為單位向量，則的值可能為
50．（2023·24高一下·福建龍巖·期中）（多選）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義：：；.若平面向量滿足，且和都在集合中，則的值可能是（ ）
A．1B．C．D．
51．（2023·24高一下·湖北武漢·期中）（多選）對(duì)非零向量，定義運(yùn)算“（*）”：，其中為與的夾角，則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若Rt中，，則
D．若中，，則是等腰三角形
52．（2023·24高一下·山東臨沂·期中）已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫作把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)．已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，若點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ．
53．（2023·24高一下·吉林延邊·期中）如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點(diǎn)的斜坐標(biāo)定義為：若（為與軸、軸同方向單位向量），則點(diǎn)的斜坐標(biāo)為.若在該斜坐標(biāo)系中，， ，則為

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