滬教版高中數(shù)學(xué)必修二講義專題02 向量的數(shù)量積（考點解讀+考點歸納+10類題型）（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、《必修第二冊》目錄與內(nèi)容提要
【本章教材目錄】
在現(xiàn)實世界和科學(xué)問題中，常常會見到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；數(shù)學(xué)中的“向量”概念就是從中抽象出來的；向量不僅有豐富的幾何內(nèi)涵，向量及其線性運算與數(shù)量積運算還構(gòu)成了精致且有廣泛應(yīng)用的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可把有關(guān)的幾何問題簡便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問題來處理；本章只討論平面上的向量，選擇性必修課程第3章還將把這一討論推廣到（三維）空間中，至于更一般性的推廣則是大學(xué)線性代數(shù)課程的核心內(nèi)容；高中階段向量的學(xué)習(xí)重在為解決代數(shù)、幾何、三角及物理等領(lǐng)域中的問題提供一個簡捷有效的工具；
【本章教材目錄】
第8章平面向量
8.1 向量的概念和線性運算
8.2 向量的數(shù)量積
8.2.1向量的投影；8.2.2向量的數(shù)量積的定義與運算律
8.3 向量的坐標(biāo)表示
8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解與坐標(biāo)表示；8.3.3向量線性運算的坐標(biāo)表示；8.3.4向量數(shù)量積與夾角的坐標(biāo)表示
8.4 向量的應(yīng)用
【本章內(nèi)容提要】
1、平面向量的基本概念
（1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等記號表示.
（2）向量的模：向量的大小，向量的模記為.
（3）零向量：其模為，方向任意.
（4）單位向量：模為的向量；非零向量的單位向量是.
（5）平行向量：方向相同或相反的向量.
（6）相等向量：方向相同、模相等的向量.
（7）負(fù)向量：方向相反、模相等的向量.
2、向量的線性運算
（1）平面向量的加法、減法：運用平行四邊形法則或三角形法則.
（2）減去一個向量等于加上它的負(fù)向量．
（3）實數(shù)與平面向量的乘法：實數(shù)與向量的乘積，記作.
（4）設(shè)、、是平面上的任意向量，、
向量的加法滿足如下運算律：交換律：；結(jié)合律：.
實數(shù)與向量的乘法對向量加減法滿足分配律：；；.
3、向量的投影與數(shù)量積
（1）向量的夾角：向量與的夾角記為，其值.
（2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：.
其中，系數(shù)稱為向量在向量方向上的數(shù)量投影.
（3）向量與的數(shù)量積定義為：.
（4）向量的數(shù)量積滿足交換律，并且是線性的（即對向量的加減滿足分配律，且可與實數(shù)的乘法交換）.
4、平面向量基本定理與向量的坐標(biāo)表示
（1）平面向量基本定理：給定平面上兩個不平行的向量，則該平面內(nèi)的任意向量都可以唯一地表示為這兩個向量的線性組合，也就是說，平面上任意兩個不平行的向量都組成了一個基.
（2）向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，把向量的起點放到坐標(biāo)原點，向量就直接用它的終點坐標(biāo)表示，稱為向量的坐標(biāo)表示，這樣，向量就可寫成坐標(biāo)軸正方向上的單位向量、的線性組合.
（3）給定平面上兩點與，則.
5、坐標(biāo)表示下的向量運算
設(shè)向量，，則
（1）.
（2）.
（3），.
（4）.
6、向量的夾角、平行與垂直
設(shè)向量，，則
（1）.
（2）（）或（）.
（3）.
7、向量的應(yīng)用
要體會如何從各種有關(guān)的問題中抽象出相應(yīng)的向量問題，并用所掌握的向量方法解決這個向量問題，從而使原問題得以解決.
1、投影向量與數(shù)量投影
（1）向量的夾角：已知兩個非零向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))，O是平面上的任意一點，作eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量eq \(a,\s\up6(→))與eq \(b,\s\up6(→))的夾角；記作〈eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))〉；
【說明】1、當(dāng)θ＝〈eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))〉=0時，eq \(a,\s\up6(→))與eq \(b,\s\up6(→))同向；當(dāng)θ＝π時，eq \(a,\s\up6(→))與eq \(b,\s\up6(→))反向；
2、垂直：如果eq \(a,\s\up6(→))與eq \(b,\s\up6(→))的夾角是eq \f(π,2)，我們說eq \(a,\s\up6(→))與eq \(b,\s\up6(→))垂直，記作eq \(a,\s\up6(→))⊥eq \(b,\s\up6(→))；
（2）向量eq \(a,\s\up6(→))在向量eq \(b,\s\up6(→))的方向上的投影向量：
設(shè)，是兩個非零向量，它們的夾角是θ，是與方向相同的單位向量，
eq \(AB,\s\up6(→))＝，eq \(CD,\s\up6(→))＝，過eq \(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq \(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，
垂足分別為A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，
我們稱上述變換為向量在向量方向上的投影向量，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量在向量上的投影向量；
記為|
【說明】（1）向量eq \(a,\s\up6(→))在向量eq \(b,\s\up6(→))上的投影向量是與向量eq \(b,\s\up6(→))平行的向量；
（2）如果向量eq \(a,\s\up6(→))與向量eq \(b,\s\up6(→))平行或垂直，向量eq \(a,\s\up6(→))在向量eq \(b,\s\up6(→))上的投影向量具有特殊性；
（3）由定義可知，投影是一個過程，而投影向量是一個結(jié)果；
（3）、向量在向量的方向上的數(shù)量投影；
其中就是向量在向量的方向上的數(shù)量投影；
2、向量的數(shù)量積及運算律
（1）向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量eq \(a,\s\up6(→))和eq \(b,\s\up6(→))，它們的夾角是θ，我們把數(shù)量|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|cs θ叫做向量eq \(a,\s\up6(→))和eq \(b,\s\up6(→))的數(shù)量積(或內(nèi)積)，
記作eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))，即eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝|eq \(a,\s\up6(→))|·|eq \(b,\s\up6(→))|cs θ.
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
（2）向量的數(shù)量積的運算律
向量數(shù)量積的運算律：已知向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))，eq \(c,\s\up6(→))和實數(shù)λ；
（1）eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→))；
（2）(λeq \(a,\s\up6(→)))·eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))·(λeq \(b,\s\up6(→)))＝λ(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→)))＝λeq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))；
（3）( eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→)))·eq \(c,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))·eq \(c,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))·eq \(c,\s\up6(→));
3、向量數(shù)量積的性質(zhì)及其應(yīng)用
數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))是非零向量，它們的夾角是θ，eq \(e,\s\up6(→))是與eq \(b,\s\up6(→))方向相同的單位向量，則
（1）eq \(a,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→))＝|eq \(a,\s\up6(→))|2或|eq \(a,\s\up6(→))|＝eq \r(eq \(a,\s\up6(→))2)；
（2）|eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))|≤|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|；
（3）eq \(a,\s\up6(→))⊥eq \(b,\s\up6(→))?eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝0；
（4）eq \(a,\s\up6(→))·eq \(e,\s\up6(→))＝eq \(e,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→))＝|eq \(a,\s\up6(→))|cs θ.
（5）當(dāng)eq \(a,\s\up6(→))∥eq \(b,\s\up6(→))時，eq \(a,\s\up6(→))·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|，eq \(a,\s\up6(→))與eq \(b,\s\up6(→))同向，,－|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|，eq \(a,\s\up6(→))與eq \(b,\s\up6(→))反向.))特別地，eq \(a,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→))＝|eq \(a,\s\up6(→))|2或|eq \(a,\s\up6(→))|＝eq \r(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→)))；
（6）|eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))|≤|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))b|；
（7）cs θ＝eq \f(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|)；
【說明】1、數(shù)量積運算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省略不寫．
2、向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，它的值可正、可負(fù)、可為0.
3、eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝0不能推出eq \(a,\s\up6(→))和eq \(b,\s\up6(→))中至少有一個零向量．
4、|eq \(a,\s\up6(→))|＝eq \r(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→)))是求向量的長度的工具．
5、區(qū)分0·eq \(a,\s\up6(→))＝0與0·eq \(a,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→)).
6、eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))>0是eq \(a,\s\up6(→))與eq \(b,\s\up6(→))的夾角為銳角的必要不充分條件；eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))

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