【期中復(fù)習(xí)】人教B版2019 2023-2024學(xué)年必修第三冊(cè)高一下冊(cè)數(shù)學(xué) 專題05 向量的數(shù)量積（考點(diǎn)專練）.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
數(shù)量積的運(yùn)算律
利用向量的數(shù)量積判斷幾何圖形的形狀
向量的垂直問(wèn)題
向量的模
向量的夾角問(wèn)題
投影向量
題型一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
1．（22-23高一上·黑龍江牡丹江·期末）已知，，，若，則x等于（）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行求解.
【詳解】解：由題意可得，，
所以，，
所以，解得x＝4.
故選：C.
2．（21-22高一下·北京·期中）已知向量和的夾角為，，，則等于（）
A．15B．12C．6D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.
【詳解】∵向量和的夾角為，，，
∴.
故選：B.
3．（22-23高一下·北京·期中）已知平面向量，，向量與的夾角為．
(1)求與；
(2)求證：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析
【分析】（1）代入向量數(shù)量積，以及模的計(jì)算公式，即可求解；
（2）要證明向量垂直，轉(zhuǎn)化為證明.
【詳解】（1）由題意，，
；
（2）證明：由（1）得，
所以，
故．
4．（19-20高一下·河南開封·期中）在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，，，則=（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、定義，結(jié)合平面向量基本定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>菱形ABDC邊長(zhǎng)為3，，
所以，
故選：C
5．（22-23高一下·江蘇泰州·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，P，Q分別是AC，BD的中點(diǎn)，則．

【答案】/1.75
【分析】可連接，根據(jù)題意即可得出四邊形為平行四邊形，從而可得出，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．
【詳解】如圖，連接，

∵為的中點(diǎn)，為對(duì)角線的中點(diǎn)，
，，
∴四邊形為平行四邊形，
，，
，，
故答案為：
6．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，E是AD的中點(diǎn)，設(shè)，.

(1)試用，表示，；
(2)若，與的夾角為，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量加法減法的三角形法則及數(shù)乘運(yùn)算即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以.
因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，
所以
.
（2）因?yàn)椋c的夾角為，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
7．（23-24高三上·北京大興·期中）已知等邊的邊長(zhǎng)為，分別是的中點(diǎn)，則；若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．
【答案】 /
【分析】第一空：通過(guò)展開整理，帶入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；第二空：設(shè)，通過(guò)展開整理，帶入數(shù)據(jù)然后配方求最值.
【詳解】
;
若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，不妨設(shè)點(diǎn)相對(duì)更靠近點(diǎn)，
設(shè)，
，
當(dāng)時(shí)，取最小值，且為.
故答案為：；.
8．（22-23高一下·廣東深圳·期中）平面四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，且．點(diǎn)N是DC邊上的點(diǎn)，滿足．點(diǎn)M是四邊形內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）
A．13B．7C．14D．
【答案】C
【分析】當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，在上的投影向量與同向，且長(zhǎng)度最長(zhǎng)，所以此時(shí)最大，由，，求可得答案.
【詳解】如圖，
由數(shù)量積的幾何意義：兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量的方向上的投影的乘積，及點(diǎn)M是四邊形內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，在上的投影向量與同向，且長(zhǎng)度最長(zhǎng)，所以此時(shí)最大，
因?yàn)椋?br>又，
所以
，
所以的最大值為.
故選：C.
題型二數(shù)量積的運(yùn)算律
9．【多選】（23-24高二上·四川成都·期中）下列說(shuō)法正確的是（）
A．對(duì)任意向量，都有
B．若且，則
C．對(duì)任意向量，都有
D．對(duì)任意向量，都有
【答案】AD
【分析】可由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可逐一判定選項(xiàng).
【詳解】，，
可得，故選項(xiàng)A正確；
由可得，
又，可得或，
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
,
所以不一定成立，
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律可知選項(xiàng)D正確；
故選：AD.
10．【多選】（22-23高一下·四川遂寧·期中）已知、、是三個(gè)向量，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．B．
C．D．若，則
【答案】AB
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷A、B，根據(jù)數(shù)量積的定義及幾何意義判斷C、D.
【詳解】對(duì)于A：，故A正確；
對(duì)于B：，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)楸硎九c共線的向量，
表示與共線的向量，
若與不共線則與不一定相等，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若，即，
當(dāng)時(shí)，即與在方向上的投影相等，故D錯(cuò)誤；
故選：AB
11．【多選】（23-24高一上·浙江紹興·期末）下面給出的關(guān)系式中，不正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解.
【詳解】對(duì)A：由可得，而，故A說(shuō)法正確；
對(duì)B：取，則成立，但不一定成立，故B說(shuō)法錯(cuò)誤；
對(duì)C：表示與共線的向量，而表示與共線的向量，所以不一定成立，故C說(shuō)法錯(cuò)誤；
對(duì)D：，故，故D說(shuō)法錯(cuò)誤.
故選：BCD
題型三利用向量的數(shù)量積判斷幾何圖形的形狀
12．（21-22高二上·甘肅臨夏·期中）在中，若，則三角形ABC為三角形.（填“銳角”?“鈍角”或“直角”）
【答案】鈍角
【分析】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)，判斷出A的范圍，可得結(jié)論.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>故，而A為三角內(nèi)角，故A為鈍角，
所以是鈍角三角形.
故答案為：鈍角.
13．（22-23高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結(jié)論正確的為（）
A．一定為鈍角三角形B．一定不為直角三角形
C．一定為銳角三角形D．可為任意三角形
【答案】D
【分析】
根據(jù)數(shù)量積的概念即可判斷為銳角，再利用三角形的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>所以為銳角，但是不能確定其它角是否為銳角、直角或鈍角，所以不能確定的形狀，
故可為任意三角形.
故選：D
14．（2011·黑龍江·三模）若O是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（）
A．等邊三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可以得出，進(jìn)而得到，由此可判斷出的形狀.
【詳解】∵，，
∴，兩邊平方，化簡(jiǎn)得∴.
∴為直角三角形.
因?yàn)椴灰欢ǖ扔冢圆灰欢榈妊苯侨切?
故選：D.
題型四向量的垂直問(wèn)題
15．（23-24高三上·湖北·期中）已知平面向量，，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
解得，
故選：A.
16．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知向量，若，則（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合平面向量垂直的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：D
17．（2023·浙江寧波·一模）若是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價(jià)轉(zhuǎn)換為，從而即可求解.
【詳解】由題意有，
又因?yàn)榕c垂直，
所以，
整理得，解得.
故選：B.
18．（23-24高三上·山東日照·期中）已知向量，，其中，，，若，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】/
【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及向量垂直的表示列方程求參數(shù)即可.
【詳解】，
又，則
故答案為：
19．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知向量，滿足，，且，的夾角為.
(1)求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到，結(jié)合數(shù)量積的計(jì)算公式，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）解：由向量，，且，的夾角為，可得，
則.
（2）解：因?yàn)?，所以?
即，即，
可得，即，解得.
20．（23-24高一上·浙江·期末）已知平面向量滿足與的夾角為．
(1)求；
(2)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)條件得，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，化簡(jiǎn)后解方程即可.
【詳解】（1）因?yàn)榕c的夾角為，
所以，
所以
.
（2）因?yàn)椋?br>所以
，
化為，解得.
題型五向量的模
21．（22-23高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知向量，，若，則 .
【答案】
【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示及模的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.
【詳解】向量，，，則，解得，即，
所以.
故答案為：
22．（23-24高三上·河南·期中）已知單位向量與單位向量的夾角為，則（）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】遇模平方，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得答案.
【詳解】由題意，，與的夾角為，
則，
所以，
故選：D.
23．（22-23高一下·新疆喀什·期中）已知向量，其中，，則 .
【答案】
【分析】
先算出，再運(yùn)用向量的模的公式計(jì)算即得.
【詳解】由，可得：，
則.
故答案為：.
24．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知，，與的夾角為，則．
【答案】
【分析】
根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，求得，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由向量，，與的夾角為，可得，
所以.
故答案為：.
25．（23-24高二上·湖北恩施·期中）平面向量與的夾角為，已知，，則 .
【答案】
【分析】首先求出，根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又與的夾角為且，
所以，
所以.
故答案為：
26．（23-24高三上·遼寧·期中）已知向量，的夾角為，且，，則 .
【答案】3
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所?
故答案為：3
27．（21-22高三·陜西西安·階段練習(xí)）若向量與的夾角為，，則等于（）
A．2B．4C．6D．12
【答案】C
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，從而求得.
【詳解】因?yàn)?br>，
，解得（負(fù)根舍去）.
故選：C
28．【多選】（22-23高一下·廣東深圳·期中）已知平面向量，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】因?yàn)椋瑑蛇吰椒娇傻?，即可求得，從而可判斷選項(xiàng)ABC，進(jìn)而求得，從而可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】因?yàn)?，兩邊平方可得?br>所以，即.
對(duì)于A，，解得，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由選項(xiàng)A可知，所以，D正確.
故選：AD
29．（23-24高三上·重慶·期中）已知向量，，，，與的夾角為，則的值最小時(shí)，實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】/0.2
【分析】
根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】，
由于，
故當(dāng)時(shí)，此時(shí)取最小值，
故答案為：
題型六向量的夾角問(wèn)題
30．（22-23高一下·新疆喀什·期中）已知向量，，則與的夾角為 .
【答案】
【分析】利用向量夾角的公式，代入計(jì)算，即可求解.
【詳解】由題意設(shè)與的夾角為，，
所以，解得.
故答案為：.
31．（23-24高三上·寧夏銀川·期中）設(shè)是兩個(gè)單位向量，向量，且，則的夾角為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律求解即可.
【詳解】由可得，
又因?yàn)槭莾蓚€(gè)單位向量，所以，
所以，即，
解得，因?yàn)?，所以的夾角為，
故選：A
32．（22-23高一·四川巴中·期末）設(shè)非零向量，滿足，，則向量的夾角等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先將等式兩邊平方，可得，再用平面向量的夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】
由等式，兩邊平方得：，
則，且，所以.
，即.
故選：B.
33．（2020·陜西咸陽(yáng)·三模）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可推出，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即,即，
又，所以，即，
而，所以，
故選：B
34．（22-23高一下·北京東城·期末）設(shè)為非零向量，，則“夾角為鈍角”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】
將模的關(guān)系平方得到，進(jìn)而判斷即可.
【詳解】由，
平方得，，
即，
又因?yàn)?，即?br>所以，所以?shī)A角為鈍角或平角，
所以“夾角為鈍角”是“”的充分不必要條件.
故選：A
35．（18-19高一下·河南鶴壁·期末）已知，，.
(1)求；
(2)求向量與的夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，以及求向量的模的方法，求出；
（2）設(shè)向量與的夾角的夾角為，根據(jù)兩個(gè)向量的夾角公式，求出的值.
【詳解】（1）已知，，
，
，
；
（2）設(shè)向量與的夾角的夾角為，
則，
向量與的夾角的余弦值為.
36．（23-24高三上·青海西寧·期中）已知向量，，，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)模長(zhǎng)公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可由夾角公式求解.
【詳解】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故選：D
37．（22-23高一下·福建廈門·期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則 .
【答案】
【分析】如圖所示，建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，就是，的夾角，利用向量的夾角公式求解.
【詳解】如圖所示，建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系.
則，，，，
，.
由于就是，的夾角.
.
故答案為：
38．（22-23高一下·湖北武漢·期中）已知平面向量．
(1)若，且，求的坐標(biāo)；
(2)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及垂直求解即可；
（2）由題意可得且與不共線，進(jìn)而根據(jù)平面向量數(shù)量積和共線的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】（1）由，
所以，
設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋裕?br>解得，或，
所以的坐標(biāo)為或.
（2）由，
所以，
因?yàn)榕c的夾角為銳角，
所以且與不共線，
，
解得且，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
39．（22-23高一下·廣東揭陽(yáng)·期中）已知向量，若與的夾角為；若與的夾角為鈍角，則取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)與的數(shù)量積小于0，且不共線可得.
【詳解】與的夾角為鈍角，
，
又與的夾角為，
所以，即，解得，
又與不共線，所以，
所以取值范圍為.
故選：D
題型七投影向量
40．（23-24高二上·廣東惠州·期中）已知、為單位向量且夾角為，設(shè)，，則在上的投影向量為 .
【答案】
【分析】
首先利用數(shù)量積公式求得，再由投影向量的概念和公式求解在上的投影向量即可.
【詳解】因?yàn)?、為單位向量且夾角為，且，，
則，
所以，，且，
所以，在上的投影向量為.
故答案為：.
41．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知平面上兩單位向量，，，則在上的數(shù)量投影為 .
【答案】/
【分析】
根據(jù)向量投影的概念公式，即可得出答案.
【詳解】根據(jù)題意：，為兩單位向量，且，
所以在上的數(shù)量投影為.
故答案為：.
42．（23-24高三上·福建·期中）已知非零向量，滿足，，若，則向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)為．
【答案】
【分析】根據(jù)已知求出.結(jié)合已知推得，求出，然后即可根據(jù)投影向量得出答案.
【詳解】由已知可得，.
因?yàn)椋?br>所以，
解得或（舍去），
所以，，
所以，向量在向量方向上的投影向量為，坐標(biāo)為.
故答案為：.
43．（23-24高二上·上海寶山·期中）已知，，則向量在方向上的數(shù)量投影為．
【答案】/
【分析】
利用數(shù)量投影的定義以及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量在方向上的數(shù)量投影.
【詳解】因?yàn)?，，則向量在方向上的數(shù)量投影為
.
故答案為：.
44．（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知向量、滿足，則在方向上的投影數(shù)量為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出的值，再利用投影數(shù)量的定義可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，，
則，可得，
所以，在方向上的投影.
故選：D.
45．（23-24高三上·上海浦東新·期中）已知滿足，且，則在上數(shù)量投影的最小值為．
【答案】
【分析】據(jù)題意設(shè)，代入條件可推得點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)數(shù)量投影概念得出數(shù)量投影與有關(guān)，利用直線和圓的位置關(guān)系求得的范圍，進(jìn)而求出數(shù)量投影最小值．
【詳解】設(shè)，則，
由，可得，
即，
所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，
又在上數(shù)量投影為，
令，則由直線與圓有公共點(diǎn)，
可得，即，
解得，
故在上數(shù)量投影的最小值為．
故答案為：．

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