滬教版高中數(shù)學(xué)必修二講義專題04 向量的應(yīng)用（考點(diǎn)解讀+考點(diǎn)歸納+10類題型）（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、《必修第二冊(cè)》目錄與內(nèi)容提要
【本章教材目錄】
在現(xiàn)實(shí)世界和科學(xué)問(wèn)題中，常常會(huì)見到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；數(shù)學(xué)中的“向量”概念就是從中抽象出來(lái)的；向量不僅有豐富的幾何內(nèi)涵，向量及其線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算還構(gòu)成了精致且有廣泛應(yīng)用的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可把有關(guān)的幾何問(wèn)題簡(jiǎn)便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問(wèn)題來(lái)處理；本章只討論平面上的向量，選擇性必修課程第3章還將把這一討論推廣到（三維）空間中，至于更一般性的推廣則是大學(xué)線性代數(shù)課程的核心內(nèi)容；高中階段向量的學(xué)習(xí)重在為解決代數(shù)、幾何、三角及物理等領(lǐng)域中的問(wèn)題提供一個(gè)簡(jiǎn)捷有效的工具；
【本章教材目錄】
第8章平面向量
8.1 向量的概念和線性運(yùn)算
8.2 向量的數(shù)量積
8.2.1向量的投影；8.2.2向量的數(shù)量積的定義與運(yùn)算律
8.3 向量的坐標(biāo)表示
8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解與坐標(biāo)表示；8.3.3向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；8.3.4向量數(shù)量積與夾角的坐標(biāo)表示
8.4 向量的應(yīng)用
【本章內(nèi)容提要】
1、平面向量的基本概念
（1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等記號(hào)表示.
（2）向量的模：向量的大小，向量的模記為.
（3）零向量：其模為，方向任意.
（4）單位向量：模為的向量；非零向量的單位向量是.
（5）平行向量：方向相同或相反的向量.
（6）相等向量：方向相同、模相等的向量.
（7）負(fù)向量：方向相反、模相等的向量.
2、向量的線性運(yùn)算
（1）平面向量的加法、減法：運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則.
（2）減去一個(gè)向量等于加上它的負(fù)向量．
（3）實(shí)數(shù)與平面向量的乘法：實(shí)數(shù)與向量的乘積，記作.
（4）設(shè)、、是平面上的任意向量，、
向量的加法滿足如下運(yùn)算律：交換律：；結(jié)合律：.
實(shí)數(shù)與向量的乘法對(duì)向量加減法滿足分配律：；；.
3. 向量的投影與數(shù)量積
（1）向量的夾角：向量與的夾角記為，其值.
（2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：.
其中，系數(shù)稱為向量在向量方向上的數(shù)量投影.
（3）向量與的數(shù)量積定義為：.
（4）向量的數(shù)量積滿足交換律，并且是線性的（即對(duì)向量的加減滿足分配律，且可與實(shí)數(shù)的乘法交換）.
4、平面向量基本定理與向量的坐標(biāo)表示
（1）平面向量基本定理：給定平面上兩個(gè)不平行的向量，則該平面內(nèi)的任意向量都可以唯一地表示為這兩個(gè)向量的線性組合，也就是說(shuō)，平面上任意兩個(gè)不平行的向量都組成了一個(gè)基.
（2）向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，把向量的起點(diǎn)放到坐標(biāo)原點(diǎn)，向量就直接用它的終點(diǎn)坐標(biāo)表示，稱為向量的坐標(biāo)表示，這樣，向量就可寫成坐標(biāo)軸正方向上的單位向量、的線性組合.
（3）給定平面上兩點(diǎn)與，則.
5、坐標(biāo)表示下的向量運(yùn)算
設(shè)向量，，則
（1）.
（2）.
（3），.
（4）.
6、向量的夾角、平行與垂直
設(shè)向量，，則
（1）.
（2）（）或（）.
（3）.
7、向量的應(yīng)用
要體會(huì)如何從各種有關(guān)的問(wèn)題中抽象出相應(yīng)的向量問(wèn)題，并用所掌握的向量方法解決這個(gè)向量問(wèn)題，從而使原問(wèn)題得以解決.
1、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：
若點(diǎn)，，為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（），我們稱為點(diǎn)P分所成的比；
2、向量模的求法與證明線段相等
若已知向量：則求線段長(zhǎng)度或證明線段相等，
可用向量的模長(zhǎng)公式：；例如證明，只要證明或.
3、利用向量證明直線或線段平行
，
（1）證明直線或線段平行，用向量共線定理：
（2）證明三點(diǎn)共線：要證明三點(diǎn)共線，只要證明存在實(shí)數(shù)，
使得或或；
即利用向量共線定理先說(shuō)明共線，而后說(shuō)明有一個(gè)公共點(diǎn)即可；
4、利用向量直線或線段垂直
，
證明直線或線段垂直，常用向量垂直的條件：.
例如證明，只要證明；
5、向量求夾角問(wèn)題
，
求夾角問(wèn)題，利用夾角公式：
6、利用向量證明三角公式
證明：；證明，兩角差的余弦公式；
7、利用向量解決最值問(wèn)題
8、向量與物理問(wèn)題的交匯
題型1、利用向量解決比例問(wèn)題
例1、（1）已知兩點(diǎn)A(3，－4)，B(－9，2)在直線AB上，求一點(diǎn)P使|eq \(AP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)|eq \(AB,\s\up6(→))|.
【提示】分“eq \(AP,\s\up6(→))＝±eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))”兩類分別求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
①若點(diǎn)P在線段AB上，則eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up6(→))，∴(x－3，y＋4)＝eq \f(1,2)(－9－x，2－y)，
解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．
②若點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，則eq \(AP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(PB,\s\up6(→))，
∴(x－3，y＋4)＝－eq \f(1,4)(－9－x，2－y)，
解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．
綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－2)或(7，－6)．
【說(shuō)明】1、向量具有大小和方向兩個(gè)要素，因此共線向量模間的關(guān)系可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為向量間的等量關(guān)系，但要注意方向性；2、本例也可以直接套用定比分點(diǎn)公式求解；
（2）推導(dǎo)：定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式；
若點(diǎn)，，為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（），我們稱為點(diǎn)P分所成的比；
【解析】由結(jié)合向量的坐標(biāo)表示與相等，推導(dǎo)得

【說(shuō)明】1、其中：定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式()
2、點(diǎn)分所成的比與點(diǎn)分所成的比是兩個(gè)不同的比，要注意方向
3、點(diǎn)的位置與λ的范圍的關(guān)系：
①當(dāng)時(shí)，與同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的內(nèi)分點(diǎn)
特別地，當(dāng)時(shí)，有＝，即點(diǎn)是線段之中點(diǎn)，其坐標(biāo)為；
②當(dāng)λ＜０()時(shí)，與反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的外分點(diǎn)；
二、平面向量的模
題型2、向量法解決平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題
例2、（1）已知向量eq \(a,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝10，|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝5eq \r(2)，則|eq \(b,\s\up6(→))|等于
【答案】5；
【解析】∵eq \(a,\s\up6(→))＝(2，1)，∴eq \(a,\s\up6(→))2＝5，
又|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝5eq \r(2)，∴(eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→)))2＝50，
即eq \(a,\s\up6(→))2＋2eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))2＝50，
∴5＋2×10＋eq \(b,\s\up6(→))2＝50，∴eq \(b,\s\up6(→))b2＝25，∴|eq \(b,\s\up6(→))|＝5；
（2）已知向量eq \(a,\s\up6(→))＝(x，1)，eq \(b,\s\up6(→))＝(1，－2)，且eq \(a,\s\up6(→))⊥eq \(b,\s\up6(→))，則|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|等于
【答案】eq \r(10) ；
【解析】由題意可得eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.
再由eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，
可得|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝eq \r(10).
【說(shuō)明】向量法求平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題，即向量長(zhǎng)度的求解；
一是利用圖形特點(diǎn)選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式||2＝2求解；可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化；
二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若＝(x，y)，則||＝eq \r(x2＋y2).
題型3、平面向量模的最值問(wèn)題
例3、（1）向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))滿足|eq \(a,\s\up6(→))|＝1，eq \(a,\s\up6(→))與eq \(b,\s\up6(→))的夾角為eq \f(π,3)，則|eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))|的最小值為________．
【答案】eq \f(\r(3),2)
【解析】|eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))|2＝(eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→)))2＝eq \(a,\s\up6(→))2－2eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))2
＝1－2×1×|eq \(b,\s\up6(→))|cs eq \f(π,3)＋|eq \(b,\s\up6(→))|2
＝|eq \(b,\s\up6(→))|2－|eq \(b,\s\up6(→))|＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|eq \(eq \(b,\s\up6(→)),\s\up6(→))|－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)，
所以|eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))|≥eq \f(\r(3),2)，當(dāng)|eq \(b,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)時(shí)取得最小值eq \f(\r(3),2).
【說(shuō)明】本例是求向量模的最值（或范圍）問(wèn)題；利用平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)，建構(gòu)關(guān)于模長(zhǎng)的函數(shù)模型，利用三角函數(shù)或二次函數(shù)求解模長(zhǎng)的最值（或范圍）；
（2）已知|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝2，向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))的夾角為eq \f(π,3)，則|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|的最大值為________．
【答案】eq \f(4\r(3),3)
【解析】將|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝2兩邊平方并化簡(jiǎn)得(|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|)2－|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|＝4，
由基本不等式得|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|,2)))2＝eq \f((|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|)2,4)，故eq \f(3,4)(|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→)))2≤4，
即(|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|)2≤eq \f(16,3)，即|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|≤eq \f(4\r(3),3)，
當(dāng)且僅當(dāng)|eq \(a,\s\up6(→))|＝|eq \(b,\s\up6(→))|＝eq \f(2\r(3),3)時(shí)，等號(hào)成立，所以|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|的最大值為eq \f(4\r(3),3)；
【說(shuō)明】平面向量中的最值、范圍問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量的夾角、參數(shù)的范圍等等，解題思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問(wèn)題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合；
題型4、平面向量的夾角與垂直問(wèn)題
例4、（1）設(shè)點(diǎn)A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OABC是平行四邊形，則向量eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,6) D．eq \f(π,2)
【答案】B
【解析】∵四邊形OABC是平行四邊形，∴eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，
∴a＝6，∵eq \(OA,\s\up6(→))＝(4，2)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(2，6)，
設(shè)向量eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為θ，
∴cs θ＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))||\(OC,\s\up6(→))|)＝eq \f(4×2＋2×6,\r(42＋22)×\r(22＋62))＝eq \f(\r(2),2)，
又θ∈(0，π)，∴eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為eq \f(π,4)；
（2）已知eq \(a,\s\up6(→))＝(4，3)，eq \(b,\s\up6(→))＝(－1，2)．
①求eq \(a,\s\up6(→))與eq \(b,\s\up6(→))夾角的余弦值；
②若(eq \(a,\s\up6(→))－λeq \(b,\s\up6(→)))⊥(2eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→)))，求實(shí)數(shù)λ的值．
【解析】①因?yàn)閑q \(a,\s\up6(→))·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|eq \(a,\s\up6(→))|＝eq \r(42＋32)＝5，|eq \(b,\s\up6(→))|＝eq \r((－1)2＋22)＝eq \r(5)，
設(shè)eq \(a,\s\up6(→))與eq \(b,\s\up6(→))的夾角為θ，所以cs θ＝eq \f(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,5\r(5))＝eq \f(2\r(5),25).
②因?yàn)閑q \(a,\s\up6(→))－λeq \(b,\s\up6(→))＝(4＋λ，3－2λ)，2eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝(7，8)，
又(eq \(a,\s\up6(→))－λeq \(b,\s\up6(→)))⊥(2eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→)))，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝eq \f(52,9).
【說(shuō)明】解決向量夾角問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)
（1）求解方法：由cs θ＝eq \f(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))直接求出cs θ.
（2）注意事項(xiàng)：利用三角函數(shù)值cs θ求θ的值時(shí)，應(yīng)注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cs θ＝eq \f(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|)判斷θ的值時(shí)，要注意當(dāng)cs θ0時(shí)，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°.
題型5、用向量法求夾角的應(yīng)用
例5、（1）已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，則△ABC的形狀是( )
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【答案】A
【解析】由題設(shè)知eq \(AB,\s\up6(→))＝(8，－4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－6，8)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝8×2＋(－4)×4＝0，即eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→)).所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．
（2）設(shè)P(－3，－2)，Q(x，2)，則eq \(OP,\s\up6(→))與eq \(OQ,\s\up6(→))的夾角為鈍角時(shí)，x的取值范圍為_____．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，3))∪(3，＋∞)
【解析】因?yàn)镻(－3，－2)，Q(x，2)，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(－3，－2)，eq \(OQ,\s\up6(→))＝(x，2)，
當(dāng)eq \(OP,\s\up6(→))與eq \(OQ,\s\up6(→))的夾角為鈍角時(shí)，eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝－3x－4－eq \f(4,3)，
當(dāng)eq \(OP,\s\up6(→))與eq \(OQ,\s\up6(→))反向共線時(shí)，(－3，－2)＝k(x，2)(k1)，
則eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λ(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→)).
又因?yàn)镃，O，D三點(diǎn)共線，令eq \(OD,\s\up6(→))＝－μeq \(OC,\s\up6(→))(μ>1)，
則eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,μ)eq \(OD,\s\up6(→))＝－eq \f(λ,μ)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1－λ,μ)eq \(OB,\s\up6(→))(λ>1，μ>1)，所以m＝－eq \f(λ,μ)，n＝－eq \f(1－λ,μ)，
則m＋n＝－eq \f(λ,μ)－eq \f(1－λ,μ)＝－eq \f(1,μ)∈(－1，0)．
7、在△ABC中，若(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝0，則△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形狀無(wú)法確定
【答案】C
【解析】(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \(CA,\s\up6(→))2－eq \(CB,\s\up6(→))2＝0，即|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|，即CA＝CB，則△ABC是等腰三角形；
8、在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(EM,\s\up6(→))的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D．[0，1]
【答案】 C
【解析】將正方形放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，
設(shè)E(x，0)，0≤x≤1.
則Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，C(1，1)，
所以eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，\f(1,2)))，eq \(EC,\s\up6(→))＝(1－x，1)，
所以eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(EM,\s\up6(→))＝(1－x，1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，\f(1,2)))
＝(1－x)2＋eq \f(1,2).
因?yàn)?≤x≤1，所以eq \f(1,2)≤(1－x)2＋eq \f(1,2)≤eq \f(3,2)，
即eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(EM,\s\up6(→))的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))).
9、一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動(dòng)了8 m，其中|F1|＝2 N，方向?yàn)楸逼珫|30°；|F2|＝4 N，方向?yàn)楸逼珫|60°；|F3|＝6 N，方向?yàn)楸逼?0°.求這三個(gè)力的合力F所做的功．
【解析】如圖所示，以物體的重心O為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
則F1＝(1，eq \r(3))，
F2＝(2eq \r(3)，2)，
F3＝(－3,3eq \r(3))，
∴F＝F1＋F2＋F3＝(2eq \r(3)－2,2＋4eq \r(3))．
又位移s＝(4eq \r(2)，4eq \r(2))，
∴合力F所做的功W＝F·s＝(2eq \r(3)－2)×4eq \r(2)＋(2＋4eq \r(3))×4eq \r(2)＝24eq \r(6)(J)．
∴合力F所做的功為24eq \r(6) J.
10、如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))(m，n均為正實(shí)數(shù))，求：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值．
【解析】由題意得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))
＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC，\s\up6(→))－\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,4)n))eq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，
由P，B，C三點(diǎn)共線得，
m－eq \f(1,4)n＋n＝m＋eq \f(3,4)n＝1(m，n>0)，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(3,4)n))
＝eq \f(7,4)＋eq \f(3n,4m)＋eq \f(m,n)≥eq \f(7,4)＋2eq \r(\f(3n,4m)·\f(m,n))
＝eq \f(7,4)＋eq \r(3)＝eq \f(7＋4\r(3),4)(當(dāng)且僅當(dāng)3n2＝4m2，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4－2\r(3)，,n＝－4＋\f(8\r(3),3))) 時(shí)取等號(hào))，
則eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值為eq \f(7＋4\r(3),4).

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多