卷16 特殊三角形（原卷版+解析版）-【沖刺2025】中考一輪總復(fù)習(xí)2024中考真題分類提優(yōu)測(cè)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題(每題3分，共30分)
1．（2024?蘭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝（）
A．100°B．115°C．130°D．145°
2．（2024?云南）已知AF是等腰△ABC底邊BC上的高，若點(diǎn)F到直線AB的距離為3，則點(diǎn)F到直線AC的距離為（）
A．32B．2C．3D．72
3．（2024?泰安）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE＝21°，則∠ACD的度數(shù)是（）
A．45°B．39°C．29°D．21°
4．（2024?自貢）如圖，等邊△ABC鋼架的立柱CD⊥AB于點(diǎn)D，AB長(zhǎng)12m．現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE，∠BED＝60°．則新鋼架減少用鋼（）
A．（24﹣123）mB．（24﹣83）m
C．（24﹣63）mD．（24﹣43）m
5．（2024?青海）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∠BDC＝60°，AC＝6，則BC的長(zhǎng)是（）
A．3B．6C．3D．33
6．（2024?巴中）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，CE⊥AB，BD與CE交于點(diǎn)O，且BE＝CD．下列說法錯(cuò)誤的是（）
A．BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E B．∠BDC＝3∠ABD
C．當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，△ABC是等邊三角形 D．當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，S△BOCS△ABC=34
7．（2024?淮安）如圖，用9個(gè)直角三角形紙片拼成一個(gè)類似海螺的圖形，其中每一個(gè)直角三角形都有一條直角邊長(zhǎng)為1．記這個(gè)圖形的周長(zhǎng)（實(shí)線部分）為l，則下列整數(shù)與l最接近的是（）
A．14B．13C．12D．11
8．（2024?南充）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，則線段DE長(zhǎng)度的最小值為（）
A．2B．3C．2D．3
9．（2024?南通）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m，n（m＞n）．若小正方形面積為5，（m+n）2＝21，則大正方形面積為（）
A．12B．13C．14D．15
10．（2024?安徽）如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，且CD＝AB，則BD的長(zhǎng)是（）
A．10?2B．6?2C．22?2D．22?6
二、填空題(每題3分，共18分)
11．（2024?吉林）圖①中有一首古算詩(shī)，根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于點(diǎn)C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺，可列方程為．
12．（2024?浙江）如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，則BE的長(zhǎng)為．
13．（2024?湖南）若等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為40°，則它的頂角的度數(shù)為 °．
14．（2024?臨夏州）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，將△ABC沿其底邊中線AD向下平移，使A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′滿足AA′=13AD，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是．
15．（2024?陜西）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是邊AB上一點(diǎn)，連接CE，在BC的右側(cè)作BF∥AC，且 BF＝AE，連接CF．若AC＝13，BC＝10，則四邊形EBFC的面積為．
16．（2024?武漢）如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形ABCD．直線MP交正方形ABCD的兩邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，記正方形ABCD的面積為S1，正方形MNPQ的面積為S2.若BE＝kAE（k＞1），則用含k的式子表示S1S2的值是．
三．解答題（共52分）
17．（8分）（2024?宜賓）如圖，點(diǎn)D、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點(diǎn)，且BD＝CE，BE與AD交于點(diǎn)F．求證：AD＝BE．
18．（10分）（2024?濱州）【問題背景】
某校八年級(jí)數(shù)學(xué)社團(tuán)在研究等腰三角形“三線合一”性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)：
①如圖，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，則有∠B＝∠C；
②某同學(xué)順勢(shì)提出一個(gè)問題：既然①正確，那么進(jìn)一步推得AB＝AC，即知AB+BD＝AC+CD．若把①中的BD＝CD替換為AB+BD＝AC+CD，還能推出∠B＝∠C嗎？
基于此，社團(tuán)成員小軍、小民進(jìn)行了探索研究，發(fā)現(xiàn)確實(shí)能推出∠B＝∠C，并分別提供了不同的證明方法．
【問題解決】
（1）完成①的證明；
（2）把②中小軍、小民的證明過程補(bǔ)充完整．
19．（10分）（2024?新疆）【探究】
（1）已知△ABC和△ADE都是等邊三角形．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，連接CE．請(qǐng)?zhí)骄緾A，CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CE．請(qǐng)?jiān)俅翁骄緾A，CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【運(yùn)用】
（2）如圖3，等邊三角形ABC中，AB＝6，點(diǎn)E在AC上，CE=23．點(diǎn)D是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為邊在DE的右側(cè)作等邊三角形DEF，連接CF．當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD的長(zhǎng)．
20．（12分）（2024?寧夏）綜合與實(shí)踐
如圖1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線交外角∠CAM的平分線于點(diǎn)E．
【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】
結(jié)論1：∠AEB＝ ∠ACB；
結(jié)論2：當(dāng)圖1中∠ACB＝90°時(shí)，如圖2所示，延長(zhǎng)BC交AE于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作AF的垂線交BF于點(diǎn)G，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．則AE與EG的數(shù)量關(guān)系是．
【應(yīng)用結(jié)論】
（1）求證：AH＝GF；
（2）在圖2中連接FH，AG，延長(zhǎng)AG交FH于點(diǎn)N，補(bǔ)全圖形，求證：FN=NH+2AE．
21．（12分）（2024?黑龍江）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN=12∠BAC，∠MAN在∠BAC的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在BC上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，探究如下：
由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，將△ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABP，則CN＝BP且∠PBM＝90°，連接PM，易證△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2+BP2＝MP2，則有BM2+NC2＝MN2．
（2）當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，如圖②：當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，如圖③，分別寫出線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．
卷16 特殊三角形（解析版）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?蘭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝（）
A．100°B．115°C．130°D．145°
【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B＝∠C，根據(jù)∠BAC＝130°即可求出∠C的度數(shù)，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，從而求出∠ADC的度數(shù)，問題得解．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝130°，
∴∠B＝∠C=180°?130°2=25°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?云南）已知AF是等腰△ABC底邊BC上的高，若點(diǎn)F到直線AB的距離為3，則點(diǎn)F到直線AC的距離為（）
A．32B．2C．3D．72
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：三線合一，可知AF也是頂角∠BAC的平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得到點(diǎn)F到直線AC的距離．
【解答】解：∵AF是等腰△ABC底邊BC上的高，
∴AF是頂角∠BAC的平分線，
∵點(diǎn)F到直線AB的距離為3，
∴點(diǎn)F到直線AC的距離為3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答．
3．（2024?泰安）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE＝21°，則∠ACD的度數(shù)是（）
A．45°B．39°C．29°D．21°
【分析】過點(diǎn)A作AF∥l，由平行公理的推論得出AF∥m，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度數(shù)．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AF∥l，
∵直線l∥m，
∴AF∥m，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AF∥l，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝21°，
∴∠BAF＝21°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°，
∵AF∥m，
∴∠ACD＝∠CAF＝39°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
4．（2024?自貢）如圖，等邊△ABC鋼架的立柱CD⊥AB于點(diǎn)D，AB長(zhǎng)12m．現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE，∠BED＝60°．則新鋼架減少用鋼（）
A．（24﹣123）mB．（24﹣83）m
C．（24﹣63）mD．（24﹣43）m
【分析】根據(jù)特殊直角三角形求出DE，CD和BE的長(zhǎng)，從而得出減少用鋼的長(zhǎng)度．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6，
∴CD=63，
∵∠BED＝60°，
∴DE=23，BE＝AE=43，
∴減少用鋼為（AB+AC+BC+CD）﹣（AE+BE+AB+DE）＝AC+BC+CD﹣AE﹣BE﹣DE＝24?43（cm），
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，特殊直角三角形的三邊關(guān)系，掌握特殊角的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
5．（2024?青海）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∠BDC＝60°，AC＝6，則BC的長(zhǎng)是（）
A．3B．6C．3D．33
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BD＝CD＝AD＝3，再根據(jù)∠BDC＝60°得△BCD為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出BC的長(zhǎng)．
【解答】解：∵點(diǎn)D是Rt△ABC斜邊AC的中點(diǎn)，AC＝6，
∴BD＝CD＝AD=12AC＝3，
∵∠BDC＝60°，
∴△BCD為等邊三角形，
∴BC＝BD＝3．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
6．（2024?巴中）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，CE⊥AB，BD與CE交于點(diǎn)O，且BE＝CD．下列說法錯(cuò)誤的是（）
A．BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E
B．∠BDC＝3∠ABD
C．當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，△ABC是等邊三角形
D．當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，S△BOCS△ABC=34
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，連接DE，根據(jù)CE⊥AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)得DE＝AD＝CD＝1/2AC，則BE＝DE，進(jìn)而得點(diǎn)D在線段BD的垂直平分線上，由此可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷；
對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)∠ABD＝α，根據(jù)BE＝DE得∠EDB＝∠ABD＝α，的∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，再根據(jù)DE＝AD得∠A＝∠AED＝2α，則∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，由此可對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行判斷；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，則BE＝1/2AB，CE是線段AB的垂直平分線，由此得AC＝BC，然后根據(jù)BE=12AB，CD=12AC，BE＝CD得AB＝AC，由此可對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行判斷；
對(duì)于選項(xiàng)D，連接AO并延長(zhǎng)交BC于F，根據(jù)E為AB中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)得點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，再根據(jù)△ABC是等邊三角形得∠OBC＝∠OAC＝30°，則OA＝OB，進(jìn)而得OB＝2OF，AF＝3OF，由此得S△OBC=12BC?OF，S△ABC=12BC?AF=32BC?OF，由此可對(duì)選項(xiàng)D進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．
【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，
連接DE，如圖1所示：
∵CE⊥AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴DE為Rt△AEC斜邊上的中線，
∴DE＝AD＝CD=12AC，
∵BE＝CD，
∴BE＝DE，
∴點(diǎn)D在線段BD的垂直平分線上，
即線段BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E，
故選項(xiàng)A正確，不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)B，
設(shè)∠ABD＝α，
∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠ABD＝α，
∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，
∵DE＝AD，
∴∠A＝∠AED＝2α，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，
即∠BDC＝3∠ABD，
故選B正確，不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)C，
當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，則BE＝1/2AB，
∵CE⊥AB，
∴CE是線段AB的垂直平分線，
∴AC＝BC，
∵BE=12AB，CD=12AC，BE＝CD，
∴AB＝AC，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等邊三角形，
故選C正確，不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)D，
連接AO，并延長(zhǎng)交BC于F，如圖2所示：
當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，
∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，
∴根據(jù)三角形三條中線交于一點(diǎn)得：點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，
∵當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC，
∴∠OBC＝∠OAC＝30°，
∴OA＝OB，
在Rt△OBF中，OB＝2OF，
∴OA＝OB＝2OF，
∴AF＝OA+OF＝3OF，
∴S△OBC=12BC?OF，S△ABC=12BC?AF=32BC?OF，
∴S△OBCS△ABC=13，
故選項(xiàng)D不正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
7．（2024?淮安）如圖，用9個(gè)直角三角形紙片拼成一個(gè)類似海螺的圖形，其中每一個(gè)直角三角形都有一條直角邊長(zhǎng)為1．記這個(gè)圖形的周長(zhǎng)（實(shí)線部分）為l，則下列整數(shù)與l最接近的是（）
A．14B．13C．12D．11
【分析】根據(jù)勾股定理分別求出第一個(gè)、第二個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)，根據(jù)規(guī)律得到第九個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)，根據(jù)估算無理數(shù)的大小的方法解答．
【解答】解：第一個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)=12+12，
第二個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)=12+(2)2=3，
……
第九個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)=12+(9)2=10，
則這海螺圖形周長(zhǎng)＝1+1×9+10=10+10，
∵與10最接近的整數(shù)是3，
∴與10+10最接近的整數(shù)是13，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，找到規(guī)律是關(guān)鍵．
8．（2024?南充）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，則線段DE長(zhǎng)度的最小值為（）
A．2B．3C．2D．3
【分析】先利用30°的正切求出AC的長(zhǎng)，再在Rt△ACD中，用∠CAD的正切值可求出CD的長(zhǎng)，最后利用角平分線的性質(zhì)及垂線段最短即可解決問題．
【解答】解：法一：
在Rt△ABC中，
tanB=ACBC，
∴AC=33×6=23．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=12×60°=30°．
在Rt△ACD中，
tan∠CAD=CDAC，
∴CD=33×23=2．
∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，
∴點(diǎn)D到AB邊的距離等于線段CD的長(zhǎng)，
即線段DE長(zhǎng)度的最小值為2．
法二：
當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE最?。?br>∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DE．
令DC＝DE＝x，
則BD＝6﹣x．
∵∠DAB=12×60°=30°，
∴∠B＝∠DAB，
∴DA＝DB＝6﹣x．
在Rt△DAE中，
sin∠DAB=DEAD，
∴DE=12AD，
則x=12(6?x)，
解得x＝2，
∴DE＝2．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、垂線段最短及含30度角的直角三角形，熟知角平分的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
9．（2024?南通）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m，n（m＞n）．若小正方形面積為5，（m+n）2＝21，則大正方形面積為（）
A．12B．13C．14D．15
【分析】依據(jù)題意，由中間小正方形的邊長(zhǎng)為（m﹣n），根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出大正方形的面積為（m2+n2），進(jìn)而可以得解．
【解答】解：由題意可知，中間小正方形的邊長(zhǎng)為m﹣n，
∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①，
∵（m+n）2＝21，
∴m2+n2+2mn＝21②，
①+②得2（m2+n2）＝26，
∴大正方形的面積為：m2+n2＝13，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．
10．（2024?安徽）如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，且CD＝AB，則BD的長(zhǎng)是（）
A．10?2B．6?2C．22?2D．22?6
【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB＝22，AH＝BH＝CH=2，由勾股定理可求DH的長(zhǎng)，即可求解．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴AB＝22，AH＝BH＝CH=2，
∵CD＝AB＝22，
∴DH=CD2?CH2=8?2=6，
∴DB=6?2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共6小題）
11．（2024?吉林）圖①中有一首古算詩(shī)，根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于點(diǎn)C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺，可列方程為 x2+22＝（x+0.5）2 ．
【分析】在Rt△AB'C中，由勾股定理得出方程即可．
【解答】解：在Rt△AB'C中，由勾股定理得，
AC2+B'C2＝AB'2，
即x2+22＝（x+0.5）2，
故答案為：x2+22＝（x+0.5）2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．
12．（2024?浙江）如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，則BE的長(zhǎng)為 4 ．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AED＝∠C，根據(jù)題意得到∠BEC＝∠C，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BE．
【解答】解：∵D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴BC＝2DE＝2×2＝4，DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
13．（2024?湖南）若等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為40°，則它的頂角的度數(shù)為 100 °．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：由題知，
∵等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為40°，
∴這個(gè)等腰三角形的另一個(gè)底角的度數(shù)為40°，
∴等腰三角形的頂角的度數(shù)為：180°﹣2×40°＝100°．
故答案為：100．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟知等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2024?臨夏州）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，將△ABC沿其底邊中線AD向下平移，使A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′滿足AA′=13AD，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是 439 ．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可求出AD的長(zhǎng)，再由AA′=13AD可得出A′D的長(zhǎng)，最后根據(jù)平移的性質(zhì)求出A′D所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)即可解決問題．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°．
又∵AD是△ABC的中線，
∴AD⊥BC．
在Rt△ABD中，
sinB=ADAB，
∴AD=12×2=1，
∴BD=22?12=3．
∴AA′=13AD=13，
∴A′D=1?13=23．
令A(yù)′B′與BD的交點(diǎn)為M，A′C′與CD的交點(diǎn)為N，
由平移可知，
∠A′MD＝∠B＝30°，
在Rt△A′DM中，
tan∠A′MD=A′DMD，
∴MD=2333=233．
∵A′M＝A′N，
∴MN＝2MD=433，
∴S重疊部分=12×433×23=439．
故答案為：439．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，熟知圖形平移的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
15．（2024?陜西）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是邊AB上一點(diǎn)，連接CE，在BC的右側(cè)作BF∥AC，且 BF＝AE，連接CF．若AC＝13，BC＝10，則四邊形EBFC的面積為 60 ．
【分析】將四邊形EBFC的面積轉(zhuǎn)化為S△CBF+S△CBE，然后進(jìn)行求解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF∥AC，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
過點(diǎn)C作CM⊥AB，CN⊥BF，
則：CM＝CN，
∵S△ACE=12AE?CM，S△CBF=12BF?CN，且BF＝AE，
∴S△CBF＝S△ACE，
∴四邊形EBFC的面積＝S△CBF+S△CBE＝S△ACE+S△CBE＝S△CBA，
∵AC＝13，
∴AB＝13，
設(shè)AM＝x，則BM＝13﹣x，
由勾股定理，得：CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，
∴132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，
解得：x=11913，
∴CM=132?(11913)2=12013，
∴S△CBA=12AB?CM=60，
∴四邊形EBFC的面積為60，
故答案為：60．
解法二：過點(diǎn)A作AH⊥BC，可得AH＝12，得出S△ABC=12×10×12=60．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
16．（2024?武漢）如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形ABCD．直線MP交正方形ABCD的兩邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，記正方形ABCD的面積為S1，正方形MNPQ的面積為S2.若BE＝kAE（k＞1），則用含k的式子表示S1S2的值是 k2+1(k?1)2 ．
【分析】方法一：由BE＝kAE可想到構(gòu)造8字型相似，再利用比例線段求解即可；方法二：見到45°可構(gòu)造等腰直角三角形，再利用手拉手全等和一個(gè)角平分線比例定理即可求解．
【解答】解：方法一：如圖，過A作AG∥BP交FE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵AG∥BP，
∴∠GAE＝∠PBE，∠AGE＝∠BPE，
∴△AGE∽△PBE，
∴AGBP=AEBE=1k，
設(shè)AG＝1，則BP＝k，
∵∠NMP＝45°，
∴∠AMG＝45°，AM＝AG＝1，
∵AN＝BP＝k，
∴MN＝k﹣1，
∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，
∴S1S2=k2+1(k?1)2；
方法二：如圖，過B作BG⊥BP交FE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則△GBP是等腰直角三角形，
易證△GBA≌△PBC，
∴∠BGP＝∠AGP＝45°，
根據(jù)角平分線比例定理得：AGBG=AEBE=1k，
設(shè)AG＝1，則BG＝k，
∴AM＝1，MD＝k＝AN，
∴MN＝k﹣1，
∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，
∴S1S2=k2+1(k?1)2；
故答案為：k2+1(k?1)2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理得證明及正方形得性質(zhì)、相似的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)和添加合適輔助線是解題關(guān)鍵．
三．解答題（共5小題）
17．（2024?宜賓）如圖，點(diǎn)D、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點(diǎn)，且BD＝CE，BE與AD交于點(diǎn)F．求證：AD＝BE．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，由此可依據(jù)“SAS”判定△ABD和△BCE全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，
在△ABD和△BCE中，
AB=BC∠ABD=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
18．（2024?濱州）【問題背景】
某校八年級(jí)數(shù)學(xué)社團(tuán)在研究等腰三角形“三線合一”性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)：
①如圖，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，則有∠B＝∠C；
②某同學(xué)順勢(shì)提出一個(gè)問題：既然①正確，那么進(jìn)一步推得AB＝AC，即知AB+BD＝AC+CD．若把①中的BD＝CD替換為AB+BD＝AC+CD，還能推出∠B＝∠C嗎？
基于此，社團(tuán)成員小軍、小民進(jìn)行了探索研究，發(fā)現(xiàn)確實(shí)能推出∠B＝∠C，并分別提供了不同的證明方法．
【問題解決】
（1）完成①的證明；
（2）把②中小軍、小民的證明過程補(bǔ)充完整．
【分析】（1）根據(jù)AD⊥BC，可以得到∠ADB＝∠ADC＝90°，然后根據(jù)SAS可以證明△ADB≌△ADC，從而可以得到結(jié)論成立；
（2）根據(jù)小軍的證明過程可知：分別延長(zhǎng)DB，DC至E，F(xiàn)兩點(diǎn)，使得BE＝BA，CF＝CA，然后作出輔助線，再根據(jù)全等三角形的判定方法和等腰三角形的性質(zhì)，可以證明結(jié)論成立；由小民的證明過程可知，是根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求的結(jié)論成立的，寫出相應(yīng)的證明過程即可．
【解答】證明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ADB和△ADC中，
AD=AD∠ADB=∠ADCBD=CD，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴∠B＝∠C；
（2）小軍的證明過程：
分別延長(zhǎng)DB，DC至E，F(xiàn)兩點(diǎn)，使得BE＝BA，CF＝CA，如圖所示，
∵AB+BD＝AC+CD，
∴BE+BD＝CF+CD，
∴DE＝DF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠ADF＝90°，
在△ADE和△ADF中，
AD=AD∠ADE=∠ADFDE=DF，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴∠E＝∠F，
∵BE＝BA，CF＝CA，
∴∠E＝∠BAE，∠F＝∠CAF，
∵∠ABC＝∠E+∠BAE，∠ACB＝∠F+∠CAF，
∴∠ABC＝∠ACB；
小民的證明過程：
∵AD⊥BC，
∴△ADB 與△ADC均為直角三角形，
根據(jù)勾股定理，得：AD2+BD2＝AB2，AD2+CD2＝AC2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2+CD2＝AC2+BD2，
∵AB+BD＝AC+CD，
∴AB﹣CD＝AC﹣BD，
∴（AB﹣CD）2＝（AC﹣BD）2，
∴AB2﹣2AB?CD+CD2＝AC2﹣2AC?BD+BD2，
∴AB?CD＝AC?BD，
∴ABAC=BDCD，
又∵∠ADB＝∠ADC，
∴△ADB∽△ADC，
∴∠B＝∠C．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
19．（2024?新疆）【探究】
（1）已知△ABC和△ADE都是等邊三角形．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，連接CE．請(qǐng)?zhí)骄緾A，CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CE．請(qǐng)?jiān)俅翁骄緾A，CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【運(yùn)用】
（2）如圖3，等邊三角形ABC中，AB＝6，點(diǎn)E在AC上，CE=23．點(diǎn)D是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為邊在DE的右側(cè)作等邊三角形DEF，連接CF．當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD的長(zhǎng)．
【分析】（1）①根據(jù)條件易證△ABD≌△ACE（SAS），再進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化易得答案；②與第①小問思路一樣，證出△ABD≌△ACE（SAS）即可；
（2）由△CEF為直角三角形可知，需要分類討論確定哪個(gè)角是直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)D的位置關(guān)系去討論即可，因?yàn)辄c(diǎn)D是動(dòng)點(diǎn)，所以按照前面兩問帶給我們的思路，去構(gòu)造類似的全等三角形，進(jìn)而討論求解即可．
【解答】解：（1）①CE+CD＝CA．理由如下，
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD
∵BD+CD＝BC，
∴CE+CD＝CA．
②CA+CD＝CE．理由如下，
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，
∵CB+CD＝BD，
∴CA+CD＝CE．
（2）過E作EH∥AB，則△EHC為等邊三角形．
①當(dāng)點(diǎn)D在H左側(cè)時(shí)，如圖1，
∵ED＝EF，∠DEH＝∠FEC，EH＝EC，
∴△EDH≌△EFC（SAS），
∴∠ECF＝∠EHD＝120°，
此時(shí)△CEF不可能為直角三角形．
②當(dāng)點(diǎn)D在H右側(cè)，且在線段CH上時(shí)，如圖2，
同理可得∴△EDH≌△EFC（SAS），
∴∠FCE＝∠EHD＝60°，∠FEC＝∠DEH＜∠HEC＝60°，
此時(shí)只有∠CFE有可能為90°，
當(dāng)∠CFE＝90°時(shí)，∠EDH＝90°，
∴ED⊥CH，
∵CH＝CE＝23，
∴CD=12CH=3，
又∵AB＝6，
∴BD＝6?3．
③當(dāng)點(diǎn)D在H右側(cè)，且HC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，
此時(shí)只有∠CEF＝90°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠CED＝30°，
∵∠ECH＝60°，
∴∠EDC＝CED＝30°，
∴CD＝CE＝23，
∴BD＝6+23．
綜上：BD的長(zhǎng)為6?3或6+23．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形綜合題，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
20．（2024?寧夏）綜合與實(shí)踐
如圖1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線交外角∠CAM的平分線于點(diǎn)E．
【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】
結(jié)論1：∠AEB＝ 12 ∠ACB；
結(jié)論2：當(dāng)圖1中∠ACB＝90°時(shí)，如圖2所示，延長(zhǎng)BC交AE于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作AF的垂線交BF于點(diǎn)G，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．則AE與EG的數(shù)量關(guān)系是 AE＝EG ．
【應(yīng)用結(jié)論】
（1）求證：AH＝GF；
（2）在圖2中連接FH，AG，延長(zhǎng)AG交FH于點(diǎn)N，補(bǔ)全圖形，求證：FN=NH+2AE．
【分析】【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論1：根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC＝2∠ABE，∠CAM＝2∠EAM，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
結(jié)論2：由結(jié)論1得到∠AEB=12∠ACB，求得∠AED=12∠ACB＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝EG；
【應(yīng)用結(jié)論】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EFG＝∠EHA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG＝HA；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF＝EH，求得GN＝HN，由AN＝AG+GN，得到FN=2AE+HN．
【解答】【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】解：結(jié)論1：∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵AE是∠CAM的平分線，
∴∠CAM＝2∠EAM，
∵∠CAM＝∠ACB+∠ABC，
∴2∠EAM＝∠ACB+2∠ABE，
∵∠EAM＝∠AEB+∠ABE，
∴2（∠AEB+∠ABE）＝∠ACB+2∠ABE，
∴∠AEB=12∠ACB，
故答案為：12；
結(jié)論2：由結(jié)論1知，∠AEB=12∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AED=12∠ACB＝45°，
∵EH⊥AF，
∴∠AEH＝90°，
∴∠AEB＝∠BEG＝45°，
∵∠ABE＝∠GBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△GBE（ASA），
∴AE＝EG；
故答案為：AE＝EG；
【應(yīng)用結(jié)論】證明：（1）在Rt△AFC中，∠EFG+∠EAH＝90°，
在Rt△AEH中，∠AHE+∠EAH＝90°，
∴∠EFG＝∠EHA，
在△EFG和△EHA中，
∠EFG=∠EHA∠FEG=∠AEHEG=AE，
∴△EFG△EHA（AAS）；
∴FG＝HA；
（2）證明：補(bǔ)全圖形如圖所示，
在Rt△AEG中，
∵∠EAG＝∠EGA＝45°，
∴AG=2AE，
∴Rt△EFG≌Rt△EHA（HL），
∴EF＝EH，
∵∠FEH＝90°，
∴∠EFH＝∠EHF＝45°，
∴∠AFN＝∠FAN＝45°，∠NGH＝∠AGE＝45°，
∴FN＝AN，∠NGH＝∠NHG＝45°，
∴GN＝HN，
又∵AN＝AG+GN，
∴FN=2AE+HN．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．角平分線的定義，外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
21．（2024?黑龍江）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN=12∠BAC，∠MAN在∠BAC的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在BC上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，探究如下：
由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，將△ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABP，則CN＝BP且∠PBM＝90°，連接PM，易證△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2+BP2＝MP2，則有BM2+NC2＝MN2．
（2）當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，如圖②：當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，如圖③，分別寫出線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．
【分析】類比（1）中示例方法在圖②③中構(gòu)造輔助線，先證△ACN≌△ABQ（SAS），再證△AQM≌△ANM，最后利用勾股定理轉(zhuǎn)化等線段即可．
【解答】解：圖②的結(jié)論是BM2+NC2+BM?NC＝MN2．
證明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H，
∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，
∴△ACN≌△ABQ（SAS），
∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，
又∵∠CAN+∠BAM＝30°，
∴∠BAM+∠QAB＝30°，
即∠QAM＝∠MAN，
又∵AM＝AM，
∴△AQM≌△ANM（SAS），
∴MN＝QM；
∵ABQ＝60°，∠ABC＝60°，
∴∠QBH＝60°，
∴∠BQH＝30°，
∴BH=12BQ，QH=32BQ，
∴HM＝BM+BH＝BM+12BQ，
在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（32BQ）2+（BM+12BQ）2＝QM2，
整理得BM2+BQ2+BM?BQ＝QM2．
∴BM2+NC2+BM?NC＝MN2．
圖③的結(jié)論是：BM2+NC2﹣BM?NC＝MN2．
證明：以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H，
∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，
∴△ACN≌△ABQ（SAS），
∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，
又∵∠CAN+∠BAM＝60°，
∴∠BAM+∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，
又∵AM＝AM，
∴△AQM≌△ANM（SAS），
∴MN＝QM，
在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∠BQH＝30°，
∴BH=12BQ，QH=32BQ，
HM＝BM﹣BH＝BM?12BQ，
在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（32BQ）2+（BM?12BQ）2＝QM2，
整理得BM2+BQ2﹣BM?BQ＝QM2．
∴BM2+NC2﹣BM?NC＝MN2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形得判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵．小軍
小民
證明：分別延長(zhǎng)DB，DC至E，F(xiàn)兩點(diǎn)，使得……
證明：∵AD⊥BC，
∴△ADB 與△ADC均為直角三角形
根據(jù)勾股定理，得……
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
A
D
B
C
B
B
小軍
小民
證明：分別延長(zhǎng)DB，DC至E，F(xiàn)兩點(diǎn)，使得……
證明：∵AD⊥BC，
∴△ADB 與△ADC均為直角三角形
根據(jù)勾股定理，得……

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多