卷27 作圖、投影與視圖（解析版+原卷版）-【沖刺2025】中考一輪總復(fù)習(xí)2024中考真題分類提優(yōu)測(cè)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．選擇題（共10小題）
1．（2024?深圳）在如圖的三個(gè)圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線AD平分∠BAC的是（）
A．①②B．①③C．②③D．只有①
【分析】利用基本作圖對(duì)三個(gè)圖形的作法進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：根據(jù)基本作圖可判斷圖1中AD為∠BAC的平分線，圖2中AD為BC邊上的中線，圖3中AD為∠BAC的平分線．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?成都）在?ABCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA，BC于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，以大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點(diǎn)O；③作射線BO，交AD于點(diǎn)E，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若CD＝3，DE＝2，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．∠ABE＝∠CBEB．BC＝5C．DE＝DFD．BEEF=53
【分析】直接利用基本作圖對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC，再利用平行線的性質(zhì)證明∠ABE＝∠AEB得到AE＝AB＝3，則AD＝5，所以BC＝5，于是可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；接著利用平行線的性質(zhì)證明∠DEF＝∠F得到DE＝DF＝2，則可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；由于DE∥BC，則根據(jù)平行線分線段成比例定理可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：由作法得BO平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，所以A選項(xiàng)不符合題意；
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5，
∴BC＝5，所以B選項(xiàng)不符合題意；
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠ABE，
∵∠AEB＝∠DEF，
∴∠DEF＝∠F，
∴DE＝DF＝2，所以C選項(xiàng)不符合題意；
∵DE∥BC，
∴BEEF=CDDF=32，所以D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)．
3．（2024?濟(jì)南）如圖，在正方形ABCD中，分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F，作直線EF，再以點(diǎn)A為圓心，以AD的長(zhǎng)為半徑作弧交直線EF于點(diǎn)G（點(diǎn)G在正方形ABCD內(nèi)部），連接DG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)K．若BK＝2，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（）
A．2+1B．52C．3+52D．3+1
【分析】如圖，連接AG，過點(diǎn)G作GH⊥AD于點(diǎn)H，在DC上取一點(diǎn)J，使得JD＝JK，連接JK．證明∠CDK＝15°，設(shè)CK＝x，根據(jù)CD＝CB，構(gòu)建方程求解．
【解答】解：如圖，連接AG，過點(diǎn)G作GH⊥AD于點(diǎn)H，在DC上取一點(diǎn)J，使得JD＝JK，連接JK．
由作圖可知EF垂直平分線段AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，AB∥CD，
∴EF垂直平分線段CD，
∴DW＝CW，
∵AG＝AD＝CD，
∴AG＝2DW，
∵四邊形DWGH是矩形，
∴HG＝DW，
∴AG＝2GH，
∴∠DAG＝30°，
∵AD＝AG，
∴∠ADG＝∠AGD=12（180°﹣30°）＝75°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠CDK＝15°，
∵JD＝JK，
∴∠JDK＝∠JKD＝15°，
∴∠CJK＝∠JDK+∠JKD＝30°，
設(shè)CK＝x，則JK＝2x，CJ=3x，
∴CD＝2x+3x，BC＝x+2，
∵CD＝BC，
∴2x+3x＝x+2，
∴x=3?1，
∴正方形的邊長(zhǎng)BC=3?1+2=3+1．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，正方形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
4．（2024?哈爾濱）如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN交BC于點(diǎn)D連接AD，若∠B＝50°，則∠DAC＝（）
A．20°B．50°C．30°D．80°
【分析】由題意，得到DM是線段AB的垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)，得到DA＝DB，得到等腰三角形DAB的兩底角相等，再利用等腰三角形ABC得到∠C的度數(shù)，從而得到結(jié)果．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN交BC于點(diǎn)D連接AD，
∴DM是線段AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝50°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣50°＝30°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是由題意得到DM是線段AB的垂直平分線，從而得到等腰三角形，利用等邊對(duì)等角，結(jié)合條件，得到結(jié)果．
5．（2024?徐州）由8個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其左視圖為（）
A．B．C．D．
【分析】畫物體的三視圖的口訣為：主、俯：長(zhǎng)對(duì)正；主、左：高平齊；俯、左：寬相等；據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：由題干中的幾何體可得其左視圖為，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，熟練掌握其定義及畫圖方法是解題的關(guān)鍵．
6．（2024?南通）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，該幾何體是（）
A．球B．棱柱C．圓柱D．圓錐
【分析】結(jié)合三視圖與原幾何體的關(guān)系即可解決問題．
【解答】解：由所給三視圖可知，
該幾何體為圓錐．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體，熟知常見幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．
7．（2024?吉林）葫蘆在我國古代被看作吉祥之物．如圖是一個(gè)工藝葫蘆的示意圖，關(guān)于它的三視圖說法正確的是（）
A．主視圖與左視圖相同
B．主視圖與俯視圖相同
C．左視圖與俯視圖相同
D．主視圖、左視圖與俯視圖都相同
【分析】根據(jù)三視圖的定義求解即可．
【解答】解：這個(gè)幾何體的主視圖與左視圖相同，俯視圖與主視圖和左視圖不相同，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，正確把握觀察的角度是解題關(guān)鍵．
8．（2024?寧夏）用5個(gè)大小相同的小正方體搭一個(gè)幾何體，其主視圖、左視圖如圖2，現(xiàn)將其中4個(gè)小正方體按圖1方式擺放，則最后一個(gè)小正方體應(yīng)放在（）
A．①號(hào)位置B．②號(hào)位置C．③號(hào)位置D．④號(hào)位置
【分析】根據(jù)題意主視圖和左視圖即可得到結(jié)論．
【解答】解：現(xiàn)將其中4個(gè)小正方體按圖1方式擺放，則最后一個(gè)小正方體應(yīng)放在②號(hào)位置．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖判斷幾何體，掌握簡(jiǎn)單組合體三視圖的畫法和形狀是正確解答的關(guān)鍵．
9．（2024?大慶）下列常見的幾何體中，主視圖和左視圖不同的是（）
A．B．C．D．
【分析】分別畫出各個(gè)選項(xiàng)中的幾何體的主視圖、左視圖即可．
【解答】解：各個(gè)選項(xiàng)中的幾何體的主視圖，左視圖如下：
選項(xiàng)B的幾何體的主視圖、左視圖的形狀不同，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，理解視圖的定義，掌握簡(jiǎn)單幾何體三視圖的畫法和形狀是正確解答的關(guān)鍵．
10．（2024?綏化）某幾何體是由完全相同的小正方體組合而成，如圖是這個(gè)幾何體的三視圖，那么構(gòu)成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（）
A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)
【分析】根據(jù)三視圖，該幾何體的主視圖以及俯視圖可確定該幾何體共有2層3列，故可得出該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)．
【解答】解：綜合三視圖，我們可得出，這個(gè)幾何體的底層應(yīng)該有3個(gè)小正方體，第二層應(yīng)該有2個(gè)小正方體，
因此搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)為3+2＝5．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖判斷幾何體，掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”是關(guān)鍵．
二．填空題（共8小題）
11．（2024?湖南）如圖，在銳角三角形ABC中，AD是邊BC上的高，在BA，BC上分別截取線段BE，BF，使BE＝BF；分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長(zhǎng)為半徑畫弧，在∠ABC內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N．若MN＝2，AD＝4MD，則AM＝ 6 ，
【分析】由作圖過程可知，BP為∠ABC的平分線，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得MD＝MN＝2，則AD＝4MD＝8，進(jìn)而可得AM＝AD﹣MD＝6．
【解答】解：由作圖過程可知，BP為∠ABC的平分線，
∵AD是邊BC上的高，
∴AD⊥BC，
∵M(jìn)N⊥AB，
∴MD＝MN＝2．
∴AD＝4MD＝8，
∴AM＝AD﹣MD＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—基本作圖、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2024?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸正半軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點(diǎn)H，畫射線OH，若H（2a﹣1，a+1），則a＝ 2 ．
【分析】由作圖過程可知，OH為∠MON的平分線，進(jìn)而可得2a﹣1＝a+1，解方程即可．
【解答】解：由作圖過程可知，OH為∠MON的平分線，
∴∠MOH＝45°，
∴2a﹣1＝a+1，
解得a＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—基本作圖、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
13．（2024?西藏）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BC，BA于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線BP交AC于點(diǎn)F．已知CF＝3，AF＝5，則BF的長(zhǎng)為 35 ．
【分析】作GF⊥BA于點(diǎn)G，因?yàn)椤螩＝90°，所以CF⊥BC，由作圖得BF平分∠ABC，所以GF＝CF＝3，而AF＝5，則AG=AF2?GF2=4，再證明BG＝BC，則12AB?GF=12AF?BC＝S△ABF，得12×3（BG+4）=12×5BG，求得BG＝6，則BF=GF2+BG2=35，于是得到問題的答案．
【解答】解：作GF⊥BA于點(diǎn)G，則∠AGF＝∠BGF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴CF⊥BC，
由作圖得BF平分∠ABC，
∴GF＝CF＝3，
∵AF＝5，
∴AG=AF2?GF2=52?32=4，
∵BG=BF2?GF2=BF2?32=BF2?9，BC=BF2?CF2=BF2?32=BF2?9，
∴BG＝BC，
∵12AB?GF=12AF?BC＝S△ABF，
∴12×3（BG+4）=12×5BG，
解得BG＝6，
∴BF=GF2+BG2=32+62=35，
故答案為：35．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
14．（2024?山東）如圖，已知∠MAN，以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與AM、AN相交于點(diǎn)B，C；分別以B，C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線AP．分別以A，B為圓心，以大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D，E，作直線DE分別與AB，AP相交于點(diǎn)F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，則F到AN的距離為 2 ．
【分析】如圖，過F作FH⊥AC于H，證明∠BAP＝∠CAP，DE⊥AB，AF=BF=12AB=2，再證明∠FAH＝45°，再結(jié)合勾股定理可得答案．
【解答】解：如圖，過F作FH⊥AC于H，
由作圖可得：∠BAP＝∠CAP，DE⊥AB，AF=BF=12AB=2，
∵∠PQE＝67.5°，
∴∠AQF＝67.5°，
∴∠BAP＝∠CAP＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠FAH＝45°，
∴AH=FH=22AF=2，
∴F到AN的距離為2；
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：基本作圖，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)，逐步操作．
15．（2024?遼寧）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD＝a，AB＝10，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作弧，與BC相交于點(diǎn)E，連接AE．以點(diǎn)E為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與EA，EC相交于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AEC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線EP，與AD相交于點(diǎn)F，則FD的長(zhǎng)為 a﹣10 （用含a的代數(shù)式表示）．
【分析】利用基本作圖得到AE＝AB＝10，EF平分∠AEC，接著證明∠AEF＝∠AFE得到AF＝AE＝10，然后利用FD＝AD﹣AF求解．
【解答】解：由作法得AE＝AB＝10，EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE＝10，
∴FD＝AD﹣AF＝a﹣10．
故答案為：a﹣10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了列代數(shù)式、平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．
16．（2024?甘孜州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA，BC于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)F，作射線BF交AC于點(diǎn)G．則∠ABG的大小為 35 度．
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣40°）＝70°，
由作圖可知BG平分∠ABC，
∴∠ABG=12∠ABC＝35°．
故答案為：35．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息．
17．（2024?濱州）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．
（1）AB的長(zhǎng)為 13 ；
（2）請(qǐng)只用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出以AB為邊的矩形ABCD，使其面積為263，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)C，D的位置是如何找到的（不用證明）：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和矩形的面積，可以得到AD與AB的乘積為263，從而可以得到點(diǎn)C和點(diǎn)D ．
【分析】（1）根據(jù)題意和勾股定理，可以求得AB的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和矩形的面積，可以得到AD與AB的乘積為263，從而可以得到點(diǎn)C和點(diǎn)D，然后畫出這個(gè)矩形即可．
【解答】解：（1）由圖可得，
AB=22+32=13，
故答案為：13；
（2）如圖所示，四邊形ABCD即為所求，理由：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和矩形的面積，可以得到AD與AB的乘積為263，從而可以得到點(diǎn)C和點(diǎn)D，
具體的計(jì)算過程：由圖可知：△ABF∽ADE，
則AEBF=ADBA，
即23=AD13，
解得AD=2133，
∴AD?AB=2133×13=263，
這樣找到點(diǎn)D，同理可以找到點(diǎn)C，
即圖中ABCD即為所求，
故答案為：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和矩形的面積，可以得到AD與AB的乘積為263，從而可以得到點(diǎn)C和點(diǎn)D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、勾股定理、矩形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
18．（2024?天津）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，F(xiàn)，G均在格點(diǎn)上．
（I）線段AG的長(zhǎng)為 2 ；
（II）點(diǎn)E在水平網(wǎng)格線上，過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點(diǎn)作切線，分別與AE，AF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B，C，△ABC中，點(diǎn)M在邊BC上，點(diǎn)N在邊AB上，點(diǎn)P在邊AC上．請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M，N，P，使△MNP的周長(zhǎng)最短，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)M，N，P的位置是如何找到的（不要求證明）如圖，根據(jù)題意，切點(diǎn)為M；連接ME并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)M1；取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)D和格點(diǎn)H，連接DH并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)M2；連接M1M2，分別與AB，AC相交于點(diǎn)N，P，則點(diǎn)M，N，P即為所求．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理可得結(jié)論；
（Ⅱ）作點(diǎn)M關(guān)于AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)M1，M2，連接M1M2，分別與AB，AC相交于點(diǎn)N，P，△PMN的周長(zhǎng)＝線段M1M2的長(zhǎng)，等腰三角形AM1M2的腰長(zhǎng)為AM，當(dāng)AM的值最小時(shí)，M1M2的值最小，此時(shí)M是切點(diǎn)，由此作出圖形即可．
【解答】解：（I）AG=12+12=2；
（II）如圖，點(diǎn)M，N，P即為所求．
方法：如圖，根據(jù)題意，切點(diǎn)為M；連接ME并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)M1；取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)D和格點(diǎn)H，連接DH并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)M2；連接M1M2，分別與AB，AC相交于點(diǎn)N，P，則點(diǎn)M，N，P即為所求．
故答案為：如圖，根據(jù)題意，切點(diǎn)為M；連接ME并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)M1；取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)D和格點(diǎn)H，連接DH并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)M2；連接M1M2，分別與AB，AC相交于點(diǎn)N，P，則點(diǎn)M，N，P即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，勾股定理，三角形的外接圓與外心，切線的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最值問題．
三．解答題（共7小題）
19．（2024?廣東）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作∠A的平分線AD交BC于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點(diǎn)D為圓心，DC長(zhǎng)為半徑作⊙D．求證：AB與⊙D相切．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可．
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE＝CD，則DE為⊙D的半徑，結(jié)合切線的判定可知，AB與⊙D相切．
【解答】（1）解：如圖，AD即為所求．
（2）證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
∴DE為⊙D的半徑，
∴AB與⊙D相切．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、切線的判定，熟練掌握角平分線的性質(zhì)及作圖方法、切線的判定是解答本題的關(guān)鍵．
20．（2024?揚(yáng)州）如圖，已知∠PAQ及AP邊上一點(diǎn)C．
（1）用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點(diǎn)O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交射線AQ于點(diǎn)B，用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上求作點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（3）在（1）、（2）的條件下，若sinA=35，CM＝12，求BM的長(zhǎng)．
【分析】（1）作AC的垂直平分線交AQ于點(diǎn)O．
（2）作AC的垂直平分線交AQ于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑畫圓交AQ于點(diǎn)B，作∠CBQ的角平分線交AP于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求；
（3）可以假設(shè)BC＝3k，AB＝5k，則AC＝4k，證明△MBC≌△MBH（AAS），推出BC＝BH＝3k，推出AH＝AB+BH＝8k，推出MH＝6k，構(gòu)建方程求解．
【解答】解：（1）如圖點(diǎn)O即為所求；
（2）如圖，點(diǎn)B點(diǎn)M即為所求；
（3）由作圖可知OA＝OC＝OB，
∴∠ACB＝90°，
∵sinA=BCAB=35，
∴可以假設(shè)BC＝3k，AB＝5k，則AC＝4k，
∵BM平分∠CBQ，MC⊥CB，MH⊥BQ，
∴∠MBC＝∠MBH，∠MCB＝∠BHM＝90°，
∵BM＝BM，
∴△MBC≌△MBH（AAS），
∴BC＝BH＝3k，
∴AH＝AB+BH＝8k，
∵sinA=MHAM=35，
∴AM＝10k，MH＝MC＝6k，
∴12＝6k，
∴k＝2，
∴BH＝6，MH＝12，
∴BM=BH2+MH2=62+122=6 5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
21．（2024?陜西）如圖，已知矩形ABCD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊CD上求作一點(diǎn)P，使S△PBC=14S矩形ABCD（保留作圖痕跡，不寫作法）
【分析】作CD的垂直平分線交CD于P點(diǎn)，連接BP，則利用CP=12CD得到S△PBC=12S△DBC=14S矩形ABCD．
【解答】解：如圖，點(diǎn)P為所作．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形面積公式和矩形的性質(zhì)．
22．（2024?威海）感悟?如圖1，在△ABE中，點(diǎn)C，D在邊BE上，AB＝AE，BC＝DE．求證：∠BAC＝∠EAD．
應(yīng)用?（1）如圖2，用直尺和圓規(guī)在直線BC上取點(diǎn)D，點(diǎn)E（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）如圖3，用直尺和圓規(guī)在直線AC上取一點(diǎn)D，在直線BC上取一點(diǎn)E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【分析】感悟：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明；
應(yīng)用：（1）已A為圓心，分別以AB，AC的長(zhǎng)為半徑作圓交BC于點(diǎn)D，E即可；
（2）延長(zhǎng)AC到D，使CD＝AC，再作∠CDE＝∠BAC即可．
【解答】感悟：過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，
∵AB＝AE，BC＝DE，
∴∠BAH＝∠EAH，∠CAH＝∠DAH，
∴∠BAC＝∠DAE；
應(yīng)用：（1）解：如圖2：點(diǎn)D，E即為所求；
（2）如圖3：點(diǎn)D，E即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖，掌握等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（2024?長(zhǎng)春）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形ABCD，使其是軸對(duì)稱圖形且點(diǎn)C、D均在格點(diǎn)上．
（1）在圖①中，四邊形ABCD面積為2；
（2）在圖②中，四邊形ABCD面積為3；
（3）在圖③中，四邊形ABCD面積為4．
【分析】（1）畫正方形ABCD即可．
（2）結(jié)合軸對(duì)稱圖形的定義，使四邊形ABCD的對(duì)角線相互垂直平分，且對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2和3即可．
（3）畫長(zhǎng)和寬分別為2，22的矩形即可．
【解答】解：（1）如圖①，四邊形ABCD即為所求．
（2）如圖②，四邊形ABCD即為所求．
（3）如圖③，四邊形ABCD即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．
24．（2024?寧夏）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合）．請(qǐng)僅用無刻度直尺按要求作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．
（1）過點(diǎn)A作一條直線，將△ABC分成面積相等的兩部分；
（2）在邊AB上找一點(diǎn)P′，使得BP′＝CP．
【分析】（1）過A，D兩點(diǎn)畫直線AD．利用點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)和三角形面積公式可判斷直線AD滿足條件；
（2）連接BP交AD于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P，利用圓周角定理得到∠ADB＝90°，則△ABC為等腰三角形，然后利用對(duì)稱性可得到點(diǎn)P′滿足條件．
【解答】解：（1）如圖，直線AD為所作；
（2）如圖，點(diǎn)P′為所作．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理．
25．（2024?連云港）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，EC＝ED，AC∥BD．
（1）求證：△AEC≌△BED；
（2）用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：求作菱形DMCN，使得點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BD上．
（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）
【分析】（1）根據(jù)平行，得出∠A＝∠B，∠ACD＝∠BDC，利用AAS證明全等；
（2）過點(diǎn)E作CD垂線即可．
【解答】（1）證明：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AEC 和△BED中，
∠A=∠B∠C=∠DEC=ED，
∴△AEC≌△BED（AAS）；
（2）如圖，四邊形DMCN即為所求作的菱形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，菱形的構(gòu)造，掌握菱形的對(duì)角線互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵．題號(hào)
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答案
B
D
D
C
A
D
A
B
B
A

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