注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.
如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出z，即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)位于第四象限.
故選：D.
2. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找出總事件共種，其中滿足條件的羅列出來共5種，代入求解.
【詳解】先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，共有種情況，
點(diǎn)數(shù)和為6的有共5種情況，所以概率為，
故選：B.
3. 已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是( )
A. 若，，則B. 若，與所成的角相等，則
C. 若，，則D. 若，，，則
【答案】D
【解析】
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理，線面角的定義，面面平行的判定定理，即可逐個(gè)選項(xiàng)判斷.
【詳解】若，，則或，A錯(cuò)；
若，與所成的角相等，則或與相交或異面，B錯(cuò)；
若，，則與平行或相交，C錯(cuò)；
若，，所以，又，則，D正確.
故選：D
4. 有一組樣本數(shù)據(jù)，，其平均數(shù)為，中位數(shù)為b，方差為c，極差為d.由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，…，，其中，則新樣本數(shù)據(jù)的( )
A. 樣本平均數(shù)為2aB. 樣本中位數(shù)為2b
C. 樣本方差為4cD. 樣本極差為
【答案】C
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由平均數(shù)的定義得到；B選項(xiàng)，的大小排列順序與變化后的的大小順序一致，故的中位數(shù)為；C選項(xiàng)，由方差得定義計(jì)算出的方差；D選項(xiàng)，由得到，D錯(cuò)誤.
【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，
則，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由于，故的大小排列順序與變化后的的大小排列順序一致，
由于的中位數(shù)為，故的中位數(shù)為，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由題意得，
所以
，C正確；
D選項(xiàng)，由于，故中最大值和最小值，經(jīng)過變化后仍然為中的最大值和最小值，
即，則，D錯(cuò)誤.
故選：C
5. 已知向量，的夾角為，若，則向量在向量上的投影向量為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得，根據(jù)投影向量的定義求解.
【詳解】由得，
即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：A
6. 已知，則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)和差公式，輔助角公式得到，再利用誘導(dǎo)公式，倍角公式求出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，故，
.
故選：C
7. 如圖，一種工業(yè)部件是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐所制成的.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為和，且圓臺(tái)的母線與底面所成的角為，圓錐的底面是圓臺(tái)的上底面，頂點(diǎn)在圓臺(tái)的下底面上，則該工業(yè)部件的體積為( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題知該圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，進(jìn)而得，圓臺(tái)，圓錐的高均為，再計(jì)算體積即可.
【詳解】解：根據(jù)題意，該圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，如圖，

所以即為圓臺(tái)母線與底面所成角，即，
分別過點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，
因?yàn)?，則四邊形為矩形，且，
因?yàn)?，，?br>所以，，所以，，且，
因?yàn)?，則，
所以，圓臺(tái)，圓錐的高均為，
所以，該工業(yè)部件的體積為
.
故選：B.
8. 在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理邊化角得到，由銳角三角形求出，然后將的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得?
即，所以，即，又，所以.
因?yàn)殇J角三角形ABC，所以，即，解得.
.
令，因?yàn)?，所以?br>則在單調(diào)遞減，
所以.
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9. 設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是( )
A. 若是純虛數(shù)，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A代入即可判斷正誤，對(duì)于B取特殊值驗(yàn)證即可，
對(duì)于C設(shè)，求得即可判斷正誤，對(duì)于D設(shè)代入驗(yàn)證即可求得.
【詳解】A. ，則，故A正確；
B.當(dāng)時(shí)，，但得不出，故B錯(cuò)誤；
C.設(shè)，則，，所以，C正確；
D.設(shè)則得，又，，
故成立，D正確.
故選：ACD.
10. 有個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字、、、，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取個(gè)球，表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則( )
A. 、相互獨(dú)立B. 、相互獨(dú)立
C. 、相互獨(dú)立D. 、相互獨(dú)立
【答案】BC
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式結(jié)合獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)判斷可出合適的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，從上述四個(gè)球中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取個(gè)球，
所有的基本事件有：、、、、、、、、
、、、，共種，
其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，
事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，
事件包含的基本事件有：、、、、、、、
，共種，
事件包含的基本事件有：、、、，共種，
對(duì)于A選項(xiàng)，，，
事件包含的基本事件有：、、、，共種，
則，故、不相互獨(dú)立，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，事件包含基本事件有：、，共種，則，
又因?yàn)椋瑒t，共、相互獨(dú)立，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，事件包含的基本事件有：、，共種，則，
則，故、相互獨(dú)立，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，故、不相互獨(dú)立，D錯(cuò).
故選：BC.
11. 如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，設(shè)點(diǎn)，，，是線段BC的五等分點(diǎn)，則( )

A.
B.
C.
D. 的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)平面向量基本定理直接用表示；對(duì)于B：用表示后計(jì)算驗(yàn)證即可；對(duì)于C：設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)向量加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為即可；對(duì)于D： 設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值解決.
【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：同上可得
因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中，，
所以 ，
所以，
，
所以，故B正確；
對(duì)于C：設(shè)的中點(diǎn)為，則
所以，故C正確；

對(duì)于D：設(shè)的中點(diǎn)為，為線段上一點(diǎn)，設(shè)，則，

則 ，
，
所以，
作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則四邊形為邊長(zhǎng)為1的正方形，
故，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為，故D正確.
故選：BCD.
12. 如圖，在矩形ABCD中，，M為邊BC的中點(diǎn)，將沿直線AM翻折成，連接，N為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，( )

A. 異面直線CN與所成的角為定值
B. 存在某個(gè)位置使得
C. 點(diǎn)C始終在三棱錐外接球的外部
D. 當(dāng)二面角為60°時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為
【答案】AC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，找到或的補(bǔ)角為異面直線CN與所成的角，利用余弦定理求出，異面直線CN與所成的角的余弦值為定值；B選項(xiàng)，假如可證出，與矛盾；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到即為三棱錐外接球的半徑，由于，所以，可得到C正確；D選項(xiàng)，作出輔助線，找到即為二面角為平面角，即，求出各邊長(zhǎng)，再找到球心，利用半徑相等列出方程，求出外接球半徑和表面積.
【詳解】A選項(xiàng)，矩形ABCD中，，M為邊BC的中點(diǎn)，
所以為等腰直角三角形，故，，
翻折過程中，，
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)镹為線段的中點(diǎn)，所以，則或的補(bǔ)角為異面直線CN與所成的角，
因?yàn)镸為邊BC的中點(diǎn)，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，故，
所以，
其中，
由余弦定理得，
故，
故，
所以異面直線CN與所成的角的余弦值為，A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故⊥?br>假如，因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以，這與矛盾，
故假設(shè)不成立，所以不存在某個(gè)位置使得，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由于⊥，故外接圓的圓心為，設(shè)三棱錐外接球球心為，則⊥平面，
連接，則即為三棱錐外接球的半徑，
由于，所以，
所以點(diǎn)C始終在三棱錐外接球的外部，C正確；

D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)?，所以⊥，且，所以⊥?br>所以即為二面角為平面角，即，
過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，
，
因⊥，⊥，，所以⊥平面，
因?yàn)槠矫?，所以⊥?br>因?yàn)椋矫?，所以⊥平面?br>由C選項(xiàng)可知，三棱錐外接球球心為，則⊥平面，
過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，
若球心在平面上方時(shí)，如圖，此時(shí)，

由勾股定理得，，
故，解得，不合要求，舍去；
若球心在平面的下方時(shí)，如圖，此時(shí)，

由勾股定理得，，
故，解得，滿足要求，
代入上式可得外接球半徑為，
三棱錐的外接球的表面積為.
故當(dāng)二面角為60°時(shí)，三棱錐的外接球表面積為，D錯(cuò)誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知一組數(shù)據(jù)：24，30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為______.
【答案】36
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義得到第30百分位和第50百分位，即可求解．
【詳解】因?yàn)?，故這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，
因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為，
所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為，
故答案為：36．
14. 已知，，則的值為______.
【答案】##15
【解析】
【分析】先利用正切的和角公式打開，得到,再根據(jù)和差角的正余弦公式化簡(jiǎn)，弦切互換代入即可求解.
【詳解】由，代入，解得，
.
故答案為：.
15. 在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，與的平分線交于點(diǎn)，則的值為______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的值.
【詳解】由，可得，
由正弦定理可得，即，
整理可得，由余弦定理可得，
因?yàn)?，則，所以，，
因?yàn)榕c的平分線交于點(diǎn)，
所以，.
故答案為：.
16. 在正四棱柱中，已知，，則點(diǎn)到平面的距離為______；以A為球心，2為半徑的球面與該棱柱表面的交線的總長(zhǎng)度為______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空1：利用等體積法球點(diǎn)到面的距離；空2：由題意可知：球A僅與平面、平面、平面和平面相交，分別分析球A與各面交線的形狀，運(yùn)算求解即可.
【詳解】空1：由題意可得：，
因?yàn)槠矫?，平面，可得?br>設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d,
因?yàn)?，則，解得，
即點(diǎn)到平面的距離為；
空2：由題意可知：球A僅與平面、平面、平面和平面相交，
因?yàn)?，此時(shí)球A與平面的交線為半徑為2的圓的，
則交線的長(zhǎng)度為；
設(shè)球A與棱的交點(diǎn)為，即，可得，
則，
且為銳角，則，即，
所以球A與平面的交線為半徑為2的圓的，
則交線的長(zhǎng)度為；
同理可得：球A與平面的交線的長(zhǎng)度；
可知，所以球A與平面的交線為半徑為的圓的，
則交線的長(zhǎng)度為；
所以球面與該棱柱表面的交線的總長(zhǎng)度為.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法
(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．
(2)利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知向量，.
(1)若∥，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由∥，可得，則可求出，再利用正切的二倍角公式可求得結(jié)果；
(2)對(duì)兩邊平方化簡(jiǎn)可得，則得，求出，對(duì)利用二倍角公式化簡(jiǎn)即可得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)椤?，向量?br>所以，
當(dāng)時(shí)，不成立，則，從而，
所以
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>即，故，
因?yàn)椋?br>所以.
當(dāng)時(shí)，不成立，則，故，
所以.
18. 如圖，四棱錐的底面為梯形，，，底面，平面平面，點(diǎn)在棱上，且.

(1)證明：平面；
(2)證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】(1)過作交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的判定定理證明即可.
(2)利用線面垂直的性質(zhì)定理，面面垂直的性質(zhì)定理證明即可.
【小問1詳解】
在平面中，
過作交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，所?
又，所以.
又，所以，
所以四邊形為平行四邊形.
所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)榈酌妫矫妫?br>所以.
在平面中，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面?br>平面平面，
所以平面，又平面，所以.
又平面，平面，，所以平面.
又平面，所以.
19. 近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行營(yíng)銷形式.某直播平臺(tái)有800個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務(wù)買賣雙方，該直播平臺(tái)打算用分層抽樣的方式抽取60個(gè)直播商家進(jìn)行問詢交流.

(1)應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？
(2)在問詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的60個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)(單位：元)，所得頻率直方圖如圖②所示.
(i)估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)(求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)的數(shù)值為代表)；
(ii)若將平均日利潤(rùn)超過470元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)質(zhì)商家”的個(gè)數(shù).
【答案】(1)小吃類21家，生鮮類9家.
(2)(i)中位數(shù)為元，平均數(shù)為440元；(ii)256.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)分層抽樣的定義計(jì)算即可；
(2)(i)根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計(jì)算即可；
(ii)根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)來估計(jì)總體中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)即可.
【小問1詳解】
根據(jù)分層抽樣知：
應(yīng)抽取小吃類家，生鮮類家，
所以應(yīng)抽取小吃類21家，生鮮類9家.
【小問2詳解】
(i)根據(jù)題意可得，解得，
設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)?，?br>所以，解得，
所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)為元.
平均數(shù)為,
所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的平均數(shù)為440元.
(ii)，
所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為256.
20. 每年的月日為國(guó)際數(shù)學(xué)日，為慶祝該節(jié)日，某中學(xué)舉辦了數(shù)學(xué)文化節(jié)，其中一項(xiàng)活動(dòng)是“數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”，競(jìng)賽共分為兩輪，每位參賽學(xué)生均須參加兩輪比賽，若其在兩輪競(jìng)賽中均勝出，則視為優(yōu)秀，已知在第一輪競(jìng)賽中，學(xué)生甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪競(jìng)賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪競(jìng)賽中是否勝出互不影響.
(1)若，求甲恰好勝出一輪的概率；
(2)若甲、乙各勝出一輪的概率為，甲、乙都獲得優(yōu)秀的概率為會(huì).
(i)求，，的值；
(ii)求甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率.
【答案】(1)
(2)(i)，；(ii)
【解析】
【分析】(1)利用互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式求解即可.
(2)(i)利用對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率公式表示出和，即可求解；(ii)利用對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率公式即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)“甲在第一輪競(jìng)賽中勝出”為事件，
“甲在第二輪競(jìng)賽中勝出”為事件，
“乙在第一輪競(jìng)賽中勝出”為事件，
“乙在第二輪競(jìng)賽中勝出”為事件，
則，，，相互獨(dú)立，
且，，，.
設(shè)“甲恰好勝出一輪”為事件，
則，，互斥.
當(dāng)時(shí)，
.
所以當(dāng)，甲恰好勝出一輪的概率為.
【小問2詳解】
由(1)知，(i)記事件為“甲、乙各勝出一輪”，
事件為“甲、乙都獲得優(yōu)秀”，
所以，.
因?yàn)榧?、乙兩人在每輪?jìng)賽中是否勝出互不影響，
所以
，
，
則，解得或(舍去).
綜上，，.
(ii)設(shè)事件為“甲獲得優(yōu)秀”，事件為“乙獲得優(yōu)秀”，
于是“兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀”，
且，，
所以，，
所以.
故甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率為.
21. 在①，②，③的面積
這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.
在中，角、、對(duì)邊分別為、、，已知______.
(1)求角；
(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分
【答案】(1)條件選擇見解析，
(2)
【解析】
【分析】(1)選①：由余弦定理結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)可得出，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；
選②：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
選③：由三角形的面積公式、切化弦以及三角恒等變換化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；
(2)設(shè)，則，在、中分別利用正弦定理，結(jié)合可得出，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)可得出的值，即為所求.
【小問1詳解】
解：若選擇①：因?yàn)椋Y(jié)合余弦定理，
得，即，
由正弦定理可得，所以，
又，所以，所以，即，
又，所以；
若選擇②：因?yàn)椋?br>結(jié)合正弦定理可得，
即，
，
即，
又，，故，即，
所以，即，
因?yàn)?，，所以，得?br>若選擇③：條件即，
又，，
所以，
即，所以，
又因?yàn)?，則，所以，
又因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
解：設(shè)，則.

因?yàn)椋?，故?br>所以，
在中，由正弦定理可得，即，
在中，同理可得，，
因?yàn)?，所以，即?br>整理得，即.
22. 如圖，在三棱錐中，底面BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面BCD，點(diǎn)E在棱BC上，且，其中.

(1)若二面角為30°，求AB的長(zhǎng)；
(2)若，求DE與平面ACD所成角的正弦值的取值范圍.
【答案】(1)1 (2).
【解析】
【分析】(1)取CD中點(diǎn)F，連接BF，AF，則，再由平面BCD，得，，所以可得，則，所以為二面角的平面角，從而可求出AB的長(zhǎng)；
(2)由，得，表示出，設(shè)E到平面ACD的距離為d，再由等體積法可得，在中利用余弦定理可得，設(shè)DE與平面ACD所成角為，則可表示出，從而可求出其范圍.
【小問1詳解】
取CD中點(diǎn)F，連接BF，AF.
因?yàn)闉榈冗吶切危?
因?yàn)槠矫鍮CD，BC，平面BCD，
所以，，
又因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)镕為CD中點(diǎn)，所以.
因此為二面角的平面角，
所以.
所以在直角三角形ABF中，.
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫鍮CD，所以.
在中，，
所以，
所以.
設(shè)E到平面ACD的距離為d，
所以，
所以.
因?yàn)椋?br>所以，解得.
在中，由余弦定理得，
所以.
設(shè)DE與平面ACD所成角為.
則
令，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以DE與平面ACD所成角的正弦值的取值范圍是.

相關(guān)試卷

江蘇省鎮(zhèn)江市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題（教師版含解析）：

這是一份江蘇省鎮(zhèn)江市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題（教師版含解析），共24頁(yè)。試卷主要包含了 已知，若，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)：

這是一份江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)，共34頁(yè)。試卷主要包含了 已知，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版含解析）：

這是一份江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版含解析），共20頁(yè)。試卷主要包含了 “”是“”的， 設(shè)，則的大小關(guān)系為， 已知都是正數(shù)，且，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）
精品解析：江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

精品解析：江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）
江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含解析

2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部