一、單選題（本大題共8小題）
1．橢圓的焦距為（ ）
A．1B．2C．4D．6
2．已知某正四棱臺(tái)的上、下底面面積分別為1，16，高為2，則該正四棱臺(tái)的體積為（ ）
A．12B．14C．15D．16
3．若成等比數(shù)列，則（ ）
A．4B．6C．9D．12
4．函數(shù)的最小正周期為（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合，若且，則（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
7．已知某校包含甲、乙、丙在內(nèi)的7名同學(xué)參加了某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，并包攬了前7名（排名無并列），若甲、乙、丙中的兩人占據(jù)前兩名，則這7名同學(xué)獲獎(jiǎng)的名次情況共有（ ）
A．種B．種C．種D．種
8．已知，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．3D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．
10．已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在底面上（含邊界），且，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為
B．直線與平面所成角的正切值最大為
C．平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面的面積為
D．若動(dòng)點(diǎn)在線段上，為的中點(diǎn)，則的最小值為
11．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則下列說法正確的是（ ）
附：雙曲線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.
A．
B．
C．作于點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）
D．若的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則的內(nèi)心在定直線上
三、填空題（本大題共3小題）
12．統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常認(rèn)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取中的值，簡(jiǎn)稱為原則.假設(shè)某廠生產(chǎn)的包裝盒的厚度（單位：），某天檢測(cè)員隨機(jī)抽取了一個(gè)包裝盒，測(cè)得其厚度不小于16，他立即判斷生產(chǎn)出現(xiàn)了異常，由此可知的最大值為 .
13．已知函數(shù)，若函數(shù)至少有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
14．已知某種長(zhǎng)方體花崗巖的規(guī)格為（其中第個(gè)數(shù)分別為長(zhǎng)、寬、高，且長(zhǎng)寬高），若從長(zhǎng)方體某一棱的中點(diǎn)處作垂直于該棱的截面，截取一次共可得到三種不同規(guī)格的長(zhǎng)方體，按照上述方式對(duì)第1次所截得的長(zhǎng)方體進(jìn)行第2次截取，再對(duì)第2次所截得的長(zhǎng)方體進(jìn)行第3次截取，則第3次截取后得到的不同規(guī)格的長(zhǎng)方體的種數(shù) ，在上述種不同規(guī)格的長(zhǎng)方體中任取1種，該種長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之差小于的概率為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．某景區(qū)試賣一款紀(jì)念品，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該款紀(jì)念品的定價(jià)（單位：元）與銷量（單位：百件）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，如下表所示：
(1)求該紀(jì)念品定價(jià)的平均值和銷量的平均值；
(2)計(jì)算與的相關(guān)系數(shù)；
(3)由（2）的計(jì)算結(jié)果，判斷能否用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，并說明理由.
參考數(shù)據(jù)：.
參考公式：相關(guān)系數(shù).
16．已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：在上單調(diào)遞增.
17．已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)和為，且.
(1)若，求；
(2)若，求.
18．已知拋物線為上一點(diǎn).
(1)證明：以點(diǎn)為圓心且過點(diǎn)的圓與的準(zhǔn)線相切.
(2)若動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且直線的斜率之和為.
（i）求的方程；
（ii）過點(diǎn)作的切線，若，求的面積的最小值.
19．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別在軸上（點(diǎn)異于點(diǎn)），且.
(1)當(dāng)（表示面積）取得最大值時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.
(2)若，動(dòng)點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），探究：是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
(3)記平面與平面、平面、平面的夾角分別為，比較與1的大小關(guān)系，并說明理由.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】由題意得，，故，
∴橢圓的焦距為2.
故選B.
2．【答案】B
【詳解】.
故選B.
3．【答案】C
【詳解】根據(jù)等比中項(xiàng)的概念可得，.
故選C.
4．【答案】A
【詳解】的最小正周期為.
故選A.
5．【答案】C
【詳解】由題可知且
解得.
故選C.
6．【答案】D
【詳解】由題可知，故.
故選D.
7．【答案】C
【詳解】甲、乙、丙中選兩人占前兩名，有種情況，其余五名可任意排列，
故所有的情況有種.
故選C.
8．【答案】D
【詳解】如圖所示：
由題意得.
設(shè)，
則.
作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接.
由題可知，
則，
在中，由余弦定理可得；
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).
故選D.
9．【答案】AD
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
得，得，即，故A正確；
對(duì)于B，令，可知，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，令，
可知，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確.
故選AD.
10．【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)正方體性質(zhì)可得，可知，
故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的四分之一圓，如下圖所示：
則其軌跡的長(zhǎng)度為，故A正確；
對(duì)于B，易知當(dāng)點(diǎn)位于棱上時(shí)，直線與平面所成的角最大，
此時(shí)，即直線與平面所成角的正切值最大為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，易知內(nèi)切球的半徑為，球心位于正方體的中心，其到平面的距離為，
易知，，點(diǎn)平面的距離為；
可得球心到平面的距離為，
故截面圓的半徑滿足，則所得截面的面積為，故C正確；
對(duì)于D，如下圖：
先固定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最小，
再讓點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
此時(shí)，故D正確.
故選ACD.
11．【答案】BCD
【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為.根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限.
對(duì)于A，由題意得，，，解得，
故，，A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，由題可知雙曲線右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故，則，
∴直線的斜率存在，
∵點(diǎn)在直線上，∴，
∴，則，
∵，∴，故，解得，故B正確.
對(duì)于C，由題意得，點(diǎn)處的切線方程為，切線斜率為，
∵，故直線與雙曲線相切，是切點(diǎn).
由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，雙曲線上任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角，
則平分，延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，
則為等腰三角形，，
∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
∴，故C正確.
對(duì)于D，記的內(nèi)心為，則是的平分線，是的平分線，
由選項(xiàng)C可得，直線是雙曲線的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)，設(shè)，
則直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立兩式，解得，
由得，，設(shè)直線，
則式可化為，即點(diǎn)在定直線上，故D正確.
故選BCD.
12．【答案】2
【詳解】解析由題可知，解得，故的最大值為2.
13．【答案】
【詳解】因?yàn)?，作出的大致圖象如圖所示，
則至少有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線與的圖象至少有2個(gè)交點(diǎn)，
由圖可知，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
14．【答案】 8 /0.375
【詳解】列表如下，重復(fù)的去掉.
由表可知，第3次截取后得到的不同規(guī)格的長(zhǎng)方體的種數(shù).
在上述8種不可規(guī)格的長(zhǎng)方體中任取1種，該種長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之差小于10cm的有共3種，
故所求概率為.
15．【答案】(1)13；11
(2)
(3)可以用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系，理由見解析
【詳解】（1）由題可知，；
（2）計(jì)算得，
故；
（3）由（2）可知，與的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值近似為0.992，大于0.75且非常接近1，
說明與的線性相關(guān)性很強(qiáng)，從而可以用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系.
16．【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題可知，則，
又，
故所求切線方程為.
（2）由（1）知，，
因?yàn)椋栽O(shè)，則，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
從而，故在上單調(diào)遞增.
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）令，可得，
∵，∴，
∵，
∴.
（2）由題意得，.
當(dāng)時(shí)，，
∴，即，
∴，
∵，∴，
∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均成公差為2的等差數(shù)列，
∴，
∴.
當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)（i）；（ii）.
【詳解】（1）由題可知點(diǎn)為的焦點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為.
∵為上一點(diǎn)，∴由拋物線的定義得等于點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，
∴以為圓心且過點(diǎn)的圓與的準(zhǔn)線相切.
（2）
設(shè).
（i）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)，
直線關(guān)于軸對(duì)稱，成立.
當(dāng)時(shí)，由得，直線的方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，則.
聯(lián)立直線與的方程，可得，
∴.
∵，
∴，
化簡(jiǎn)可得，則，
由得，，由得，
故的方程為.
（ii）設(shè)直線，
與的方程聯(lián)立，可得，
由，得，
由得，，故點(diǎn).
設(shè)的中點(diǎn)為，
∵，
∴，故.
∵，∴三點(diǎn)共線，且為線段的中點(diǎn)，
∴的面積為的面積的，
由為的中點(diǎn)得，的面積為的面積的，
∴的面積為的面積的.
∵，
∴.
∵點(diǎn)到直線的距離，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的面積的最小值為.
19．【答案】(1);
(2)存在，;
(3)，理由見解析.
【詳解】（1）不妨設(shè)，則且，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取得最大值，此時(shí).
記點(diǎn)到平面的距離為.
因?yàn)椋?br>又，
所以，解得.
所以，點(diǎn)到平面的距離為.
（2）由題可知，
故.
設(shè)，則.
設(shè)為平面的法向量，
則即可取.
記直線與平面所成的角為，
則，
解得，則.
所以,存在線段的中點(diǎn)滿足題意，此時(shí).
（3）結(jié)論：.下面給出證明：
同（1）設(shè)的長(zhǎng)度分別為，則.
顯然平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的法向量為，
則可取，
所以，
同理得，
故有.
要證.，
即證①.
事實(shí)上，有，
化簡(jiǎn)得，
則①式得證，故，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，命題得證.
12
12.5
13
13.5
14
14
13
11
9
8
原始狀態(tài)
第1次截取
第2次截取
，
第3次截取
，
,
,

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