一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 下列各式能化簡為的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】對A：，故A錯誤；
對B：，故B錯誤；
對C：，故C正確；
對D：，故D錯誤.
故選：C.
2. 在中，，，，則（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】由題意可得，
解得.
故選：B.
3. 下列各組向量中，能作為基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】能作為基底的向量不可以是共線向量，
對A：，，，故//，不可作基底，故A錯誤；
對B：，，，故//，不可作基底，故B錯誤；
對C：，，，故，不共線，可以作基底，故C正確；
對D：，，，故//，不可作基底，故D錯誤.
故選：C.
4. 已知向量，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題可得：，故，
又，，
故.
故選：D.
5. 如圖為地動儀的模型圖，地動儀共有東、南、西、北、東南、西南、東北、西北八個方位，每個方位上均有一個含龍珠的龍頭，且每個龍頭下方均有一只蟾蜍與其對應，任何一方如有地震發(fā)生，該方向龍口所含龍珠即落入蟾蜍口中，由此便可測出地震的方向．在相距的，兩地各放置一個地動儀，在的南偏西方向，若地地動儀正東方位的龍珠落下，地地動儀東南方位的龍珠落下，則震中的位置距離地（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如圖：
由題意：中，，，.
由正弦定理可得：.
故選：B.
6. 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，由射影定理得，
而，
則，解得，而，因此，
由余弦定理，得，
則，，所以.
故選：A.
7. 如圖，在中，，，，在邊上（不與端點重合），延長到，使得，若（為常數(shù)），則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設.
因為三點共線，所以.
又，所以.
設，因為，，，
所以或（舍去）.
所以.
所以.
所以.
故選：A.
8. 已知點是所在平面內(nèi)的一點，且，，，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，
如圖所示，則，，
設，則，，，
所以，
所以.
當時，取得最小值.
故選：D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法錯誤的是（ ）
A. 單位向量都是相等向量
B. 若，則或
C. 若平面向量，，則，可能垂直
D. 對任意向量，，恒成立
【答案】ABC
【解析】對于A，單位向量的模長相等，但方向不一定相同，故A錯誤；
對于B，若，則，或，或，故B錯誤；
對于C，若平面向量，
令，即，顯然不可能，故C錯誤；
對于D，對任意向量恒成立，故D正確.
故選：ABC.
10. 設的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列條件能判定是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】在研究下列問題：
因為，所以，即，
所以，化簡得，所以是直角三角形，故A正確；
因為，由正弦定理可得，
即，
所以或，所以為等腰三角形或者直角三角形，故B錯誤；
因為，所以，
即，所以，故C正確；
因為，由正弦定理可得，
所以，或，不能確定的形狀，故D錯誤.
故選：AC.
11. 在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，且，則（ ）
A. B. 的取值范圍為
C. 的最大值為2D. 的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】對A：，
即，，
所以，故，
又為銳角三角形，，故，A正確；
對B：由A可知，，故，由正弦定理，
可得，
故可得，又，故，
則；
由為銳角三角形可得：，解得，
故，
則，則，故B錯誤；
對C：由余弦定理可得，
等式兩邊同除可得：，所以，
解得，當且僅當，即時取得等號，故C正確；
對D：，
故，
故
；
由B可知，又，故，，，
也即的取值范圍為，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 如圖為某折扇展開后的平面示意圖，已知，，，則_____．
【答案】
【解析】由題意可知，與的夾角為，
則
.
13. 在平面直角坐標系中，點，將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到向量，則在上的投影向量的坐標是_____．
【答案】
【解析】由題意，過作，垂足為，作圖如下：
由題意可知，，
為在上的投影向量，
則，，
設直線的函數(shù)解析式為，代入，解得，
則可設，則，解得，
所以.
14. 已知在中，，且，則的面積的最大值為_____．
【答案】
【解析】如圖：
設邊的中點分別為，連接.
由即；
由.
所以當時，四邊形的面積最大，為.
此時的面積也最大.
因為，且，所以.
所以.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知平面向量，，，且，．
（1）若//，且，求的坐標；
（2）若向量與的夾角是銳角，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）設，，，，即；
又，，解得或
或．
（2）由題可知，，，
與的夾角是銳角，，
解得，
又與不共線，，即，
實數(shù)的取值范圍是．
16. 已知中，，，分別為角，，的對邊，且．
（1）求；
（2）若，是的中點，且，求的面積．
解：（1）在中，由余弦定理得，
因，所以．
因為，所以．
（2）因為是的中點，所以，即，
故．
又，，所以．
因為，所以，可得，
則，．所以的面積為．
17. 在中，是邊上靠近三等分點，是的中點．
（1）以為基底表示，；
（2）設與相交于點，若，求實數(shù)與值．
解：（1）由題可知，，
所以，．
（2）由題可得，共線，，共線，如圖：
設，由（1）知，，
則，
又，由，共線，得，使得，
即，
又，不共線，所以，解得，
所以，，
又，所以．
18. 已知在中，三個內(nèi)角滿足，且為銳角．
（1）求；
（2）在內(nèi)作射線交于，使得，若，，求．
解：（1）因為，，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，又，所以．
（2）根據(jù)題意設的中點為，連接，如圖，則．
因為，所以，
所以，，
在中，，由正弦定理得，即，
化簡得，
由題知，即，所以，
則，解得，此時不存在，舍去，
或，解得，滿足題意．
綜上．
19. 在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，其中，設向量，.
（1）若，
（i）求；
（ii）設點為所在平面內(nèi)一點，且滿足，求．
（2）若，求內(nèi)切圓面積的最大值．
解：（1）（i）因為，
所以，
解得，
又因為，所以．
（ii）由，
得，
解得，，
即，可知為的外心．
由正弦定理得，所以．
（2）由及正弦定理得，
即，
即，
化簡得，
因為、、，所以，，則，
所以，．
設內(nèi)切圓半徑為，如圖，設的內(nèi)切圓分別切邊、、于點、、，
由切線長定理可得，，，
由圓的切線的性質(zhì)可知，，且，，
故四邊形為正方形，所以，，
所以，，
則
又，
當且僅當時，即當時等號成立，
所以，的內(nèi)切圓面積，
即的內(nèi)切圓面積的最大值是．

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