1.橢圓C:x24+y25=1的焦距為( )
A. 1B. 2C. 4D. 6
2.已知某正四棱臺(tái)的上、下底面面積分別為1，16，高為2，則該正四棱臺(tái)的體積為( )
A. 12B. 14C. 15D. 16
3.若a,3,b,1成等比數(shù)列，則a?b=( )
A. 4B. 6C. 9D. 12
4.函數(shù)fx=sin2x3的最小正周期為( )
A. 3πB. 2πC. 3π2D. π
5.已知集合A=x∣3ax?2≤0，若1∈A且2?A，則( )
A. 13c>bC. c>b>aD. b>c>a
7.已知某校包含甲、乙、丙在內(nèi)的7名同學(xué)參加了某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，并包攬了前7名(排名無(wú)并列)，若甲、乙、丙中的兩人占據(jù)前兩名，則這7名同學(xué)獲獎(jiǎng)的名次情況共有( )
A. 480種B. 560種C. 720種D. 840種
8.已知∠AOB=π6,OB=2，且AB⊥OA，則xOB?OA+xOB?12OAx∈R的最小值為( )
A. 2 5B. 2 3C. 3D. 32
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知z1,z2為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 若z12=0，則z1=0B. 若z12=?z22，則z1=z2=0
C. 若z1=z2，則z12=z22D. z1?iz1=z1+iz1
10.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 2，點(diǎn)M在底面ABCD上(含邊界)，且MD1= 3，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為π2
B. 直線(xiàn)BM與平面CDD1C1所成角的正切值最大為1+ 2
C. 平面AB1C截該正方體的內(nèi)切球所得截面的面積為π3
D. 若動(dòng)點(diǎn)N在線(xiàn)段BD1上，P為B1D1的中點(diǎn)，則MN+NP的最小值為 2
11.雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)雙曲線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線(xiàn)C:x26?y2λ=1λ>0的離心率為2 33，左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)Ax0,y0y0>0在C上，點(diǎn)B6x0,0，點(diǎn)D0,t在直線(xiàn)AB上，則下列說(shuō)法正確的是( ) 附：雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1a>0,b>0在其上一點(diǎn)x0,y0處的切線(xiàn)方程為xx0a2?yy0b2=1．
A. F1F2=2 2
B. y0t=?2
C. 作F1H⊥AB于點(diǎn)H，則OH= 6(O為坐標(biāo)原點(diǎn))
D. 若AF2的延長(zhǎng)線(xiàn)交C于點(diǎn)G，則?AF1G的內(nèi)心在定直線(xiàn)上
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常認(rèn)為服從正態(tài)分布Nμ,σ2的隨機(jī)變量X只取μ?3σ,μ+3σ中的值，簡(jiǎn)稱(chēng)為3σ原則.假設(shè)某廠(chǎng)生產(chǎn)的包裝盒的厚度(單位：mm)X～N10,σ2，某天檢測(cè)員隨機(jī)抽取了一個(gè)包裝盒，測(cè)得其厚度不小于16mm，他立即判斷生產(chǎn)出現(xiàn)了異常，由此可知σ的最大值為 ．
13.已知函數(shù)fx=xx?2,x≤1x?2,13，若函數(shù)gx=fx?m至少有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ．
14.已知某種長(zhǎng)方體花崗巖的規(guī)格為30cm×20cm×10cm(其中第1,2,3個(gè)數(shù)分別為長(zhǎng)、寬、高，且長(zhǎng)≥寬≥高)，若從長(zhǎng)方體某一棱的中點(diǎn)處作垂直于該棱的截面，截取一次共可得到20cm×15cm×10cm,30cm×10cm×10cm,30cm×20cm×5cm三種不同規(guī)格的長(zhǎng)方體，按照上述方式對(duì)第1次所截得的長(zhǎng)方體進(jìn)行第2次截取，再對(duì)第2次所截得的長(zhǎng)方體進(jìn)行第3次截取，則第3次截取后得到的不同規(guī)格的長(zhǎng)方體的種數(shù)m= ，在上述m種不同規(guī)格的長(zhǎng)方體中任取1種，該種長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之差小于10cm的概率為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
某景區(qū)試賣(mài)一款紀(jì)念品，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該款紀(jì)念品的定價(jià)x(單位：元)與銷(xiāo)量y(單位：百件)的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，如下表所示：
(1)求該紀(jì)念品定價(jià)的平均值x和銷(xiāo)量的平均值y；
(2)計(jì)算x與y的相關(guān)系數(shù)；
(3)由(2)的計(jì)算結(jié)果，判斷能否用線(xiàn)性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
參考數(shù)據(jù)：i=15xi?xyi?y=?8, 6465≈0.992．
參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1nxi?xyi?y i=1nxi?x2 i=1nyi?y2．
16.(本小題15分)
已知函數(shù)fx=ex?1?lnxx．
(1)求曲線(xiàn)y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線(xiàn)方程；
(2)證明：fx在0,+∞上單調(diào)遞增．
17.(本小題15分)
已知數(shù)列an的各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和為Sn，且a2Sn=anan+1．
(1)若S3=2，求a3；
(2)若a1=1,a2=2，求Sn．
18.(本小題17分)
已知拋物線(xiàn)C:x2=2pyp>0,Q為C上一點(diǎn)．
(1)證明：以點(diǎn)Q為圓心且過(guò)點(diǎn)0,p2的圓與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切．
(2)若動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+2與C相交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)Pt,?2滿(mǎn)足OP⊥l(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且直線(xiàn)PM,PN的斜率之和為2k．
(i)求C的方程；
(ii)過(guò)點(diǎn)Q作C的切線(xiàn)l′，若l′//l，求?MPQ的面積的最小值．
19.(本小題17分)
如圖，在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)A,B,C分別在x,y,z軸上(點(diǎn)A,B,C異于點(diǎn)O)，且OA+OB+OC=3．
(1)當(dāng)S?OAB+S?OAC+S?OBC(S表示面積)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)O到平面ABC的距離．
(2)若OA=12,OB=1,OC=32，動(dòng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上(含端點(diǎn))，探究：是否存在點(diǎn)M，使得直線(xiàn)AC與平面COM所成角的正弦值為 25？若存在，求出AMBM的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)記平面ABC與平面BCO、平面ACO、平面ABO的夾角分別為α,β,γ，比較csαcsβ+csβcsγ+csγcsα與1的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
參考答案
1.B
2.B
3.C
4.A
5.C
6.D
7.C
8.D
9.AD
10.ACD
11.BCD
12.2
13.?1,1
14.8；38 ；或0.375
15.解：(1)由題可知x=1512+12.5+13+13.5+14=13，y=1514+13+11+9+8=11；
(2)計(jì)算得i=15xi?x2=2.5,i=15yi?y2=26，
故r=i=15xi?xyi?y i=15xi?x2 i=15yi?y2=?8 65≈?0.992；
(3)由(2)可知，y與x的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值近似為0.992，大于0.75且非常接近1，
說(shuō)明y與x的線(xiàn)性相關(guān)性很強(qiáng)，從而可以用線(xiàn)性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系．

16.解：(1)由題可知f′x=ex?1xlnx+1?lnxx2，則f′1=1，
又f1=0，
故所求切線(xiàn)方程為y=x?1．
(2)由(1)知f′x=ex?1xlnx+1?lnxx2，x>0，
因?yàn)閤2>0,ex?1>0，所以設(shè)gx=xlnx+1?lnx，則g′x=lnx?1x+1，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知g′x在0,+∞上單調(diào)遞增，且g′1=0，
所以當(dāng)00，
從而f′x>0，故fx在0,+∞上單調(diào)遞增．

17.解：(1)令n=2，可得a2S2=a2a3，
∵a2≠0，∴S2=a3，
∵S3=S2+a3=2a3=2，
∴a3=1．
(2)由題意得，2Sn=anan+1．
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn?1=an?1an，
∴2Sn?2Sn?1=anan+1?an?1an，即2Sn?Sn?1=anan+1?an?1，
∴2an=anan+1?an?1，
∵an≠0，∴an+1?an?1=2n≥2，
∴數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均成公差為2的等差數(shù)列，
∴a2n?1=1+2n?1=2n?1,a2n=2+2n?1=2n，
∴an=n．
當(dāng)n≥2時(shí)，an+1?an=n+1?n=1，故數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴Sn=nn+12．

18.解：(1)由題可知點(diǎn)0,p2為C的焦點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)F，拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=?p2．
∵Q為C上一點(diǎn)，∴由拋物線(xiàn)的定義得QF等于點(diǎn)Q到C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離，
∴以Q為圓心且過(guò)點(diǎn)0,p2的圓與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切．
(2)
設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2．
(i)當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)M,N關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P0,?2，
直線(xiàn)PM,PN關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，kPM+kPN=0=2k成立．
當(dāng)k≠0時(shí)，由OP⊥l得kOP=?1k，直線(xiàn)OP的方程為y=?1kx，
將點(diǎn)P的坐標(biāo)t,?2代入，可得t=2k，則P2k,?2．
聯(lián)立直線(xiàn)l與C的方程，可得x2?2pkx?4p=0，
∴x1+x2=2pk,x1x2=?4p．
∵kPM+kPN=2k，
∴y1+2x1?2k+y2+2x2?2k=kx1+4x1?2k+kx2+4x2?2k=kx1+4x2?2k+kx2+4x1?2kx1?2kx2?2k=2k，
化簡(jiǎn)可得2k2+2x1+x2?4k=0，則2k2+22pk?4k=0，
由k2+2≠0得，2pk?4k=0，由k≠0得p=2，
故C的方程為x2=4y．
(ii)設(shè)直線(xiàn)l′:y=kx+n，
與C的方程聯(lián)立，可得x2?4kx?4n=0，
由Δ=16k2+16n=0，得n=?k2，
由x2?4kx+4k2=0得xQ=2k，yQ=xQ24=k2，故點(diǎn)Q2k,k2．
設(shè)MN的中點(diǎn)為E，
∵x1+x2=2pk=4k，
∴x1+x22=2k,y1+y22=kx1+x2+42=2k2+2，故E2k,2k2+2．
∵P2k,?2,?2+2k2+22=k2，∴P,Q,E三點(diǎn)共線(xiàn)，且Q為線(xiàn)段PE的中點(diǎn)，
∴?MPQ的面積為△MEP的面積的12，
由E為MN的中點(diǎn)得，△MEP的面積為?MNP的面積的12，
∴?MPQ的面積為?MNP的面積的14．
∵x1+x2=2pk=4k,x1x2=?4p=?8，
∴MN= 1+k2? x1+x22?4x1x2= 1+k2? 16k2+32=4 1+k2? k2+2．
∵點(diǎn)P2k,?2到直線(xiàn)MN:kx?y+2=0的距離d=2k2+4 k2+1，
∴S?MPQ=18?MN?d=12? k2+2?2k2+4=k2+232≥232=2 2，
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立，故?MPQ的面積的最小值為2 2．

19.解：(1)不妨設(shè)OA=a,OB=b,OC=c，則a+b+c=3,且a,b,c>0，
故S?OAB+S?OAC+S?OBC=ab+ac+bc2=ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac6≤2a2+2b2+2c2+2ab+2bc+2ac6=(a+b+c)26=32，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立，S?OAB+S?OAC+S?OBC取得最大值，此時(shí)AB=BC=AC= 2．
記點(diǎn)O到平面ABC的距離為d．
因?yàn)閂O?ABC=13×S?ABC×d=13×12× 32×( 2)2×d= 3d6，
又VO?ABC=13?S?OAB?OC=13×12×1×1×1=16，
所以 3d6=16，解得d= 33．
所以，點(diǎn)O到平面ABC的距離為 33．
(2)由題可知A12,0,0,B0,1,0,C0,0,32，
故AB=?12,1,0,AC=?12,0,32,OC=0,0,32．
設(shè)AM=λAB=?λ2,λ,00≤λ≤1，則M1?λ2,λ,0,OM=1?λ2,λ,0．
設(shè)p=x,y,z為平面COM的法向量，
則p?OM=0,p?OC=0,即1?λ2x+λy=0,32z=0,可取p=2λ,λ?1,0．
記直線(xiàn)AC與平面COM所成的角為θ，
則sinθ=csp,AC=p?ACp?AC=λ 5λ2?2λ+1? 102= 25，
解得λ=12，則AMBM=1．
所以，存在線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M滿(mǎn)足題意，此時(shí)AMBM=1．
(3)結(jié)論：csαcsβ+csβcsγ+csγcsα≤1.下面給出證明：
同(1)設(shè)OA,OB,OC的長(zhǎng)度分別為a,b,c，則Aa,0,0,B0,b,0,C0,0,c,AB=?a,b,0,AC=?a,0,c．
顯然平面BCO的一個(gè)法向量為m=1,0,0．
設(shè)平面ABC的法向量為n=s,t,r，
則?as+bt=0,?as+cr=0,可取n=bc,ac,ab，
所以csα=csm,n=m?nm?n=bc a2b2+b2c2+c2a2，
同理得csβ=ac a2b2+b2c2+c2a2,csγ=ab a2b2+b2c2+c2a2，
故有cs2α+cs2β+cs2γ=b2c2+a2c2+a2b2a2b2+b2c2+c2a2=1．
要證．csαcsβ+csβcsγ+csγcsα≤1，
即證csαcsβ+csβcsγ+csγcsα≤cs2α+cs2β+cs2γ①.
事實(shí)上，有(csα?csβ)2+(csβ?csγ)2+(csγ?csα)2≥0，
化簡(jiǎn)得cs2α+cs2β+cs2γ≥csαcsβ+csβcsγ+csγcsα，
則①式得證，故csαcsβ+csβcsγ+csγcsα≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)csα=csβ=csγ即OA=OB=OC=1時(shí)等號(hào)成立，命題得證．
x
12
12.5
13
13.5
14
y
14
13
11
9
8

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