2023屆山西省三晉名校聯(lián)盟高三下學(xué)期5月高階段性測試（七）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡集合，由條件可得，根據(jù)集合關(guān)系列不等式求的取值范圍.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，又，所以，故實數(shù)的取值范圍是.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求的代數(shù)形式，再確定其在復(fù)平面所對應(yīng)的點及其象限.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，該點在第四象限.故選：D.3．已知是圓錐的一個軸截面，分別為母線的中點，，則圓錐的側(cè)面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸截面求出底面半徑和母線長，再根據(jù)側(cè)面積公式可求出結(jié)果.【詳解】如圖：因為，所以，則圓錐底面半徑，，即母線，所以圓錐的側(cè)面積.故選：D4．記為等差數(shù)列的前項和，若，則（    ）A．30 B．28 C．26 D．13【答案】C【分析】根據(jù)條件，列出首項和公差的方程組，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，，，所以.故選：C5．函數(shù)的部分圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入特殊點及結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析即可.【詳解】由解析式可得，，排除A；觀察C、D選項，其圖象關(guān)于縱軸對稱，而，說明不是偶函數(shù)，即其函數(shù)圖象不關(guān)于縱軸對稱，排除C、D；顯然選項B符合題意.故選：B6．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算，分別利用對數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)作商即可求解.【詳解】因為，，，由，所以，由，而，則，所以，綜上：，故選：A.7．已知點為銳角的外接圓上任意一點，，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的外接圓的半徑為，根據(jù)向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算公式化簡可得，根據(jù)正弦定理可求，再求出的范圍，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可求的范圍.【詳解】因為，所以所以，設(shè)的外接圓的半徑為，則所以，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，又，所以，故，所以，所以，又在上都為增函數(shù)，所以，故，又，，，，故，所以，其中當(dāng)時，即點與點重合時左側(cè)等號成立，所以的取值范圍為.故選：B.8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交于點，過點作，垂足分別為，且為線段的中點，，則雙曲線的離心率為（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由條件證明為線段的中點，由此可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，由勾股定理可得的關(guān)系，由此可求曲線的離心率.【詳解】因為，為雙曲線的左?右焦點，所以，因為所以，又為線段的中點，所以為線段的中點，且，又為線段的中點，所以，在中，，，所以，所以，因為點在雙曲線的右支上，所以，故，在中，，，，由勾股定理可得：，所以，即，所以，又，故，所以，故選：D.【點睛】方法點睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)． 二、多選題9．如圖為國家統(tǒng)計局公布的2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費支出統(tǒng)計圖，則（    ）A．2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費支出均呈增長趨勢B．2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出的中位數(shù)為27535C．2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差大于人均消費支出的極差D．2022年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出占人均可支配收入的比例大于80%【答案】BC【分析】根據(jù)圖表逐項進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】對于，由圖知年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入呈增長趨勢，但人均消費支出2020年比2019年少，所以A不正確；對于B，由圖可知年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出的中位數(shù)為，所以B正確；對于C，年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為，人均消費支出的極差為，所以C正確；對于D，2022年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出占人均可支配收入的比例為，小于，所以D不正確.故選：BC.10．已知為坐標(biāo)原點，動點滿足，記動點的軌跡為，設(shè)為軌跡上的兩點，為直線上一動點，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．直線與軌跡有兩個公共點B．若直線為軌跡的一條切線，則的最小值為1C．當(dāng)時，的最大值是D．若為軌跡的兩條切線，則四邊形面積的最小值為1【答案】BD【分析】由條件求出點的軌跡方程，由此確定其軌跡，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系判斷A，再求切線長的最小值，由此判斷BD，結(jié)合向量的運(yùn)算判斷C.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，因為，所以，所以動點的軌跡為以原點為圓心，為半徑的圓，因為，所以直線的方程為，因為圓心到直線的距離，所以直線與軌跡沒有公共點，A錯誤；因為直線為軌跡的一條切線，所以，所以，因為點到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且在線段上時取等號，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且在線段上時取等號，故的最小值為1，所以的面積，同理可得的面積，所以四邊形面積，當(dāng)且僅當(dāng)且在線段上時取等號，所以四邊形面積的最小值為1，所以B，D 正確；若，設(shè)圓心到直線的距離為，則，設(shè)的中點為，則，所以，因為為直線上一動點，所以無最大值，所以無最大值，C錯誤；故選：BD.11．已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上有且僅有三個對稱中心，則（    ）A．的取值范圍是B．的圖象在區(qū)間上有2條或3條對稱軸C．在區(qū)間上的最大值不可能為2D．在區(qū)間上為增函數(shù)【答案】BD【分析】化簡得，令，求出其對稱中心的橫坐標(biāo)，由及有且只有三個整數(shù)值，可得，故A不正確；令，求出其對稱軸，結(jié)合的范圍分析可知B正確；利用得，由的范圍分析可得C不正確；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得D正確.【詳解】，令，得，由結(jié)合，得，依題意有且只有三個整數(shù)值，所以，得，故A不正確；令，得，由結(jié)合，得，當(dāng)時，，此時或，函數(shù)的圖象在區(qū)間上有2條對稱軸，為，，當(dāng)時，，此時或或，函數(shù)的圖象在區(qū)間上有2條對稱軸，為，，，所以的圖象在區(qū)間上有2條或3條對稱軸，故B正確；當(dāng)時，，因為，所以，所以當(dāng)，即時，取得最大值，故C不正確；由，得，因為，所以，因為，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，故D正確.故選：BD12．如圖，在直四棱柱中，分別為側(cè)棱上一點，，則（    ）A． B．C．的最大值為 D．當(dāng)時，【答案】AD【分析】通過證明平面，可得A正確；以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算可得B不正確，C不正確，D正確.【詳解】在等腰梯形中，因為，根據(jù)平面幾何知識可得，，，在直棱柱中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，故A正確；因為兩兩垂直，所以以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，則，故B不正確；，令，則，所以當(dāng)，時，取得最小值，則，根據(jù)平面向量夾角的范圍可知，的最大值為，故C不正確；當(dāng)時，，，，所以，又與不相交，所以，故D正確.故選：AD 三、填空題13．已知，則__________.【答案】2【分析】利用兩角和的正弦公式，化簡求，再化簡求值.【詳解】已知，所以，，.故答案為：214．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求，結(jié)合二項式定理展開式的通項公式求展開式中的系數(shù).【詳解】因為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，所以，故，二項式展開式的通項，令，可得，所以展開式中的系數(shù)為，故答案為：.15．已知在平面直角坐標(biāo)系中橢圓的離心率為分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上不同于四個頂點的任意一點，延長線段到，若在軸上存在一點，滿足，垂足為，則__________.【答案】【分析】由條件結(jié)合離心率定義求，由條件證明，結(jié)合橢圓定義可得，利用中位線性質(zhì)求.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則，故，由題可知，解得.因為，所以為線段的中點，且是的垂直平分線，則.由橢圓定義可知.因為為的中點，所以.故答案為：.16．已知，且，則的最小值為__________.【答案】1【分析】由，得，構(gòu)造函數(shù)，，用導(dǎo)數(shù)得在上為增函數(shù)，可得，即，代入后再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出最小值.【詳解】因為，，所以，所以，且，所以，設(shè)，，則，因為，所以，在上為增函數(shù)，因為，所以，則，所以，所以，令，則，令，則，則在上為增函數(shù)，令得，即，則存在唯一實數(shù)，使得，即，所以當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以.所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將變形為，再利用指對同構(gòu)，設(shè)，，將化為是本題解題關(guān)鍵. 四、解答題17．從①，②，③前項和滿足中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答.已知數(shù)列的首項，且__________.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2) 【分析】（1）選①因式分解得，則有，則可得到其通項，選②兩邊同加得，則可寫出通項，選③移項整理有，則可得到其通項；（2），通過列項求和即可得到答案.【詳解】（1）選①：由，可得.因為，所以所以是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以選②：由，得，所以，所以，故數(shù)列是常數(shù)列，所以，故.選③：由，得，則，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，則.當(dāng)時，，易知也滿足上式，故的通項公式為.（2）由（1）可得，則18．鄉(xiāng)村民宿立足農(nóng)村，契合了現(xiàn)代人遠(yuǎn)離喧囂?親近自然?尋味鄉(xiāng)愁的美好追求.某鎮(zhèn)在旅游旺季前夕，為了解各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿的品質(zhì)，隨機(jī)抽取了8家規(guī)模較大的鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計得到各家的房間數(shù)如下表：民宿點甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品質(zhì)型民宿6164101110912(1)從這8家中隨機(jī)抽取3家，在抽取的這3家的普通型民宿的房間均不低于10間的條件下，求這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間的概率；(2)從這8家中隨機(jī)抽取4家，記X為抽取的這4家中普通型民宿的房間不低于15間的家數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)條件概率公式即可求解.(2)根據(jù)超幾何分布，即可求出分布列和期望.【詳解】（1）由題可知這8家鄉(xiāng)村民宿中普通型民宿的房間不低于10間的有6家，品質(zhì)型民宿和普通型民宿的房間均不低于10間的有4家.記“這3家的普通型民宿的房間均不低于10間”為事件，“這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間”為事件，則，所以.（2）這8家鄉(xiāng)村民宿中普通型民宿的房間不低于15間的有3家，故的所有可能取值為.，，所以的分布列如下表：0123所以.19．如圖，在四棱柱中，(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為棱的中點，線段交于點平面，且，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）由（1）的信息，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.【詳解】（1）設(shè)交于點，連接，如圖，因為，則點在線段的垂直平分線上，即有為的中點，又因為，則，又平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，而平面，則平面平面，在平面內(nèi)過作，又平面平面，因此平面，射線兩兩垂直，以為原點，射線的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因為為棱的中點，則點是正的重心，又，平面，且，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.20．如圖，在中，分別為邊上一點，.(1)若，求的長；(2)若，求的長.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中由余弦定理求，在中由勾股定理求的長；（2）設(shè)，在中由正弦定理求得，再由正弦定理求.【詳解】（1）在中由余弦定理可得，又，所以，所以，解得或，因為為的斜邊，，故，所以，且；（2）設(shè)，則，又，故，因為，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以，設(shè)，則，故，因為，所以，所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所以.21．已知點是拋物線的焦點，準(zhǔn)線與軸的交點為，點是拋物線上任一動點.當(dāng)點的橫坐標(biāo)為8時，的面積為.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)是拋物線的準(zhǔn)線上的兩個不同點，點的橫坐標(biāo)大于1，坐標(biāo)原點到的邊的距離都等于1，求的周長的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解.（2）設(shè)點，點，點，通過點到直線、的距離為1，得到是關(guān)于的方程的兩個不等實根.從而得到根與系數(shù)的關(guān)系，從而求出面積的最小值，即可求出周長的最小值.【詳解】（1）將代入拋物線方程，得.因為的面積為，所以，解得所以拋物線的方程為.（2）設(shè)點，點，點，則直線的方程為，即.由原點到直線的距離為1，可得，故.由條件知，上式化簡得.同理有.所以是關(guān)于的方程的兩個不等實根.由根與系數(shù)的關(guān)系可得.所以.因為，所以，又點到直線的距離為，所以的面積為.令，則.因為，上述兩個不等式都當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故面積的最小值為.因為原點到的三邊距離都等于1，所以，所以的周長為，所以的周長的最小值為.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)若的圖象與直線恰有兩個不同的公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上有兩個零點即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，則，而，所以的圖象在點處的切線方程為，即.（2）設(shè)，其定義域為，則，①若，即，當(dāng)時，當(dāng)時， 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為時，時，，所以要使有兩個零點，則，解得，故；②若，即，由，解得，所以有且僅有1個零點，則不符合題意；③若，即，由，得或，由，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為時，時，，所以要使有兩個零點，則或，若，解得，不符合題意；若，設(shè)，則化為，當(dāng)時，，所以無解，即無解，故不符合題意；④若，即恒成立，則在上單調(diào)遞增，從而最多有1個零點，則不符合題意.⑤若，即，由，得或，由，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為時，時，，所以要使有兩個零點，則或，若，解得，不符合題意，若，設(shè)，則化為，令，則，設(shè)，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，從而，所以在上單調(diào)遞減，所以，則無解，即無解，故不符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】思路點睛：涉及含參的函數(shù)零點問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題. 

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