1.若二次根式 a?2在實數(shù)范圍內有意義，則a的取值范圍是( )
A. a>2B. a≤2C. a≠2D. a≥2
2.下列式子中，為最簡二次根式的是( )
A. 12B. 3C. 4D. 12
3.若△ABC的三邊分別為a、b、c，下列給出的條件能構成直角三角形的是( )
A. a=2，b=3，c=4B. a=3，b=4，c=5
C. a=3，b=5，c=7D. a=4，b=5，c=6
4.下列運算正確的是( )
A. 2+ 3= 5B. 6÷ 2= 3C. (?2)2=?2D. 3 3? 3=3
5. 12?n是一個正整數(shù)，則n的最小正整數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.如圖，數(shù)軸上的點C表示的數(shù)是2，BC⊥OC于點C，且BC=1，連接OB，以點O為圓心，OB長為半徑畫弧與數(shù)軸交于點A，則點A表示的數(shù)是( )
A. 5B. ? 5C. 2? 5D. 5?2
7.張大爺離家出門散步，他先向正東走了30m，接著又向正南走了40m，此時他離家的距離為( )
A. 30mB. 40mC. 50mD. 70m
8.化簡1x ?x3=( )
A. ?xB. xC. ? xD. ? ?x
9.我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD，連接AC，交BE于點P.如圖所示，若S△CFP?S△AEP=3.5，AE+EB=7，則正方形ABCD的面積為( )
A. 28B. 25C. 30D. 24
10.代數(shù)式 (x+2)2+16+ x2?8x+25的最小值是( )
A. 3 10B. 4 5C. 85D. 10
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.計算： 13= ______，( 5)2= ______， (?2)2= ______．
12.長方形的長為2 3，寬為 5，則長方形的面積為______．
13.在如圖所示的圖形中，所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面積依次為6，8，24，則正方形B的面積是______．
14.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學史上稱為“希波克拉底月牙”.當AC=10，BC=5時，則陰影部分的面積為______．
15.已知a，b，c是直角三角形的三邊，其中c為斜邊，h為斜邊上的高，有下列說法：① a， b， c能組成三角形：②a2，b2，c2能組成三角形；③1a，1b，1h能組成直角三角形；④c+h，a+b，h能組成直角三角形.其中正確結論的序號是______．
16.如圖，等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC和AC上，且BD=CE=14AB，AB= 26，則CM= ______．
三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題8分)
計算：
(1) 18? 32+ 2；
(2)(3 15?2 6)÷ 3．
18.(本小題8分)
先化簡，再求值．(a+ 3)(a? 3)?a(a?4)，其中a= 52．
19.(本小題8分)
如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24．
(1)求證：CD⊥AD；
(2)求四邊形ABCD的面積．
20.(本小題8分)
如圖，有一架秋千，當它靜止在AD的位置時，踏板離地的垂直高度DE為0.7m，將秋千AD往前推送4m(即BC為4m)，到達AB的位置，此時，秋千的踏板離地的垂直高度BF為2.7m，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．
(1)求秋千的長度．
(2)如果想要踏板離地的垂直高度為1.7m時，需要將秋千AD往前推送______m.
21.(本小題8分)
作圖題：
(1)在圖1中，過A點畫線段AC使AC=5，并且AC在AB上方；
(2)在(1)的基礎上，畫出∠BAC的角平分線；
(3)在圖1中，M在AB上，在邊AC上找一點N，使AN=AM；
(4)在圖2中，P、Q分別是GF、DF上的動點，GP=FQ，畫使得DP+GQ最小時點P的位置．
22.(本小題10分)
已知當a>0，b>0時，a+b≥2 ab，當且僅當a=b時取等號．
(1)當x>0時，則x+1x的最小值為______；
(2)當x>0時，求y=x2+3x+16x的最小值；
(3)如圖，已知A(?3,0)、B(0,?4)，C在x軸正半軸上，D在y軸正半軸上，△COD的面積始終為1.5，求四邊形ABCD面積的最小值．
23.(本小題10分)
在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．
(1)如圖1，點M為CB上一點，AN⊥AM，CN⊥BC，求證：△ABM≌△ACN；
(2)如圖2，∠HAK=45°，BH//CK，探究BH、CK和HK之間數(shù)量關系，并證明；
(3)如圖3，點D、E分別在邊AB和AC上，連接DC和BE交于點F，∠BFC=135°，BD=3，CE=4，則CD= ______．
24.(本小題12分)
如圖，平面坐標中，A(a,0)、B(b,0)(a、b均大于0)，C點在第二象限．
(1)若a、b滿足b= a?2+ 2?a+2，求線段AB的長度；
(2)如圖1，在(1)的條件下，若∠BCO=45°，求證：2CO2+CB2=CA2；
(3)如圖2，若∠BCO=135°，∠CAO=2∠CBO，AB=6，CA=3，求△OBA的面積．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：依題意，得
a?2≥0，
解得，a≥2．
故選：D．
二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．
考查了二次根式的意義和性質．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．
2.【答案】B
【解析】解：A． 12= 22，所以A選項不符合題意；
B. 3為最簡二次根式，所以B選項符合題意；
C. 4=2，所以C選項不符合題意；
D. 12=2 3，所以D選項不符合題意；
故選：B．
根據(jù)最簡二次根式的定義對各選項進行判斷．
本題考查了最簡二次根式：掌握最簡二次根式滿足的條件(被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式)是解決問題的關鍵．
3.【答案】B
【解析】解：A、22+32≠42，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；
B、42+32=52，能構成直角三角形，故本選項符合題意；
C、32+52≠72，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；
D、42+52≠62，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；
故選：B．
根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進行逐一判斷即可．
本題考查的是勾股定理的逆定理．解題的關鍵是掌握勾股定理的逆定理的使用方法．
4.【答案】B
【解析】解：A、兩者不是同類二次根式，不能相加，故錯誤，不符合題意；
B、 6÷ 2= 3，故正確，符合題意；
C、 (?2)2=2，故錯誤，不符合題意；
D、3 3? 3=2 3，故錯誤，不符合題意；
故選：B．
根據(jù)二次根式的運算法則及性質即可解答．
本題考查了二次根式的加減法和除法運算、二次根式的性質，掌握運算法則及性質是關鍵，同時在二次根式的學習中避免犯類似錯誤．
5.【答案】C
【解析】解：由 12?n是一個正整數(shù)，得
12?n=9，
n=3，
故選：C．
根據(jù)算術平方根是正整數(shù)，可得被開方數(shù)是能開方的正整數(shù)．
本題考查了二次根式的定義，利用開方運算是解題關鍵．
6.【答案】A
【解析】解：由數(shù)軸上的點C表示的數(shù)是2，BC⊥OC于點C，且BC=1，以點O為圓心，OB長為半徑畫弧，
得OA=OB= 12+22= 5，
則點A表示的數(shù)是 5．
故選：A．
應用勾股定理計算OB，即可得OA的長度，即可得答案．
本題主要考查了勾股定理，解題關鍵是正確計算．
7.【答案】C
【解析】解： 302+402=50m，
故選：C．
根據(jù)勾股定理直接求得斜邊，即為他離家的距離．
本題考查了正數(shù)和負數(shù)的意義以及勾股定理的運用，題目比較簡單．
8.【答案】D
【解析】解：由題可知，
x( c)2；
∴ a+ b> c，
∴ a， b， c組成三角形(這里明顯 c是最長邊)；
∴ a， b， c能組成三角形，
∴①正確；
∵a，b，c是Rt△ABC的三邊，且a2+b2=c2，h是斜邊上的高，
②∵a2+b2=c2，不符合三角形的兩邊之和大于第三邊；
∴a2、b2、c2不能組成三角形，
∴②錯誤；
③∵1a+1b=b+aab=cch=1h不符合三角形的兩邊之和大于第三邊；
∴1a，1b，1h不能組成直角三角形，
∴③錯誤．
④∵(c+h)2?h2=c2+2ch，ch=ab(直角三角形面積=兩直角邊乘積的一半=斜邊和斜邊上的高乘積的一半)，
∴2ch=2ab，
∴c2+2ch=c2+2ab，
∵a2+b2=c2，
∴c2+2ch=a2+b2+2ab，
∴(c+h)2?h2=(a+b)2，
∴h2+(a+b)2=(c+h)2，
∴c+h、a+b、h能組成直角三角形；
∴④正確；
∴正確的序號是①④．
故答案為：①④．
根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形的三邊關系進行逐個分析即可．
本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內容是解此題的關鍵，注意：如果一個三角形的三邊a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，看看是否相等即可．
16.【答案】 14
【解析】解：∵在等邊△ABC中，
∴AB=BC=AC= 26，∠ABD=∠BCE=∠BAC=60°，
∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABM+∠CBE=60°，
∴∠ABM+∠BAD=60°，
在△ABM中，∠AME=∠ABM+∠BAD=60°，∠AMB=120°，
如圖，延長ME到點P，使MP=MA，連接AP、CP，
則△AMP是等邊三角形，
∴∠MAP=∠APM=60°，AM=AP，
∴∠BAD=∠CAP=60°?∠CAD，
∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACP(SAS)，
∴∠APC=∠AMB=120°，
∴∠CPM=∠APM=60°，
∴PE平分∠APC，
如圖，過E作EK⊥AP于點K，EL⊥CP于點L，則EK=EL，
∴S△APES△CPE=12AP?EK12CP?EL=12AE?h12CE?h，
∴APCP=AECE，
∵CE=14AB=14AC，
∴APCP=AECE=3，
如圖，過C作CH⊥AP于點H，
則∠CPH=60°，
∴∠PCH=30°，
設PH=x，則CP=2x，CH= 3x，
∴AP=3CP=6x，
∴AH=AP+PH=7x，
在Rt△ACH中，AH2+CH2=AC2，
∴(7x)2+( 3x)2=( 26)2，
解得x= 22(負值舍去)，
∴CP=2x= 2，CH= 3x= 62，
∴PM=AP=6x=3 2，
過C作CG⊥PM于點G，則PG=PH= 22，CG=CH= 62，
∴MG=PM?PG=5 22，
在Rt△MCG中，CM= MG2+CG2= 14，
故答案為： 14．
先證△ABD≌△BCE(SAS)，可得∠AME=∠ABM+∠BAD=60°，∠AMB=120°，再利用60°構造等邊三角形，延長ME到點P，使MP=MA，連接AP、CP，易證△ABM≌△ACP(SAS)，所以可得PE平分∠APC，再根據(jù)角平分線的性質定理可得APCP=AECE=3，然后利用特殊角構造直角三角形，分別求出AP=PM=3 2，CP= 2，進而即可得解．
本題主要考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質和判定、角平分線的性質定理、勾股定理等內容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
17.【答案】解：(1)原式=3 2?4 2+ 2
=0；
(2)原式=3 5?2 2．
【解析】(1)根據(jù)二次根式的運算法則原式即可；
(2)根據(jù)二次根式的運算法則原式即可．
本題考查了二次根式的運算，熟練掌握二次根式的運算法則是關鍵．
18.【答案】4a?3；2 5?3．
【解析】解：(a+ 3)(a? 3)?a(a?4)
=a2?3?a2+4a
=4a?3，
當a= 52時，原式=4× 52?3=2 5?3．
根據(jù)平方差公式和單項式乘多項式將題目中的式子展開，再合并同類項即可將題目中的式子化簡，再將a的值代入化簡后的式子計算即可．
本題考查二次根式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確平方差公式的計算方法．
19.【答案】(1)證明：連接AC，
∵∠B=90°，AB=20，BC=15，
∴AC2=AB2+BC2=202+152=625，
∵CD=7，AD=24，
∴CD2=72=49，AD2=242=576，
∵49+576=625，即CD2+AD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，
∴CD⊥AD；
(2)解：S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC
=12AB?BC+12AD?CD
=12×20×15+12×24×7
=150+84
=234．
【解析】(1)連接AC，利用勾股定理求出AC2的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理進行解答即可；
(2)利用S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC進行計算即可．
本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形是解題的關鍵．
20.【答案】秋千的長度為5米；
3．
【解析】解：(1)由題意知，DE=0.7米，BF=2.7米，CE=BF=2.7米，
∴CD=CE?DE=2.7?0.7=2(米)，
設AB=x米，則AC=(x?2)米，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC2+BC2=AB2，
即(x?2)2+42=x2，
解得x=5，
即秋千的長度為5米；
(2)∵踏板離地的垂直高度BF為2.7米，
∴CD=1.7?0.7=1(米)
∴AC=5?1=4(米)，
∴BC= AB2?AC2=3(米)，
即需要將秋千AD往前推送3米，
故答案為：3．
(1)設AB=x米，則AC=(x?2)米，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程求解即可；
(2)由題意得出AC的長，再根據(jù)勾股定理求出BC的長即可．
本題考查了勾股定理的應用，熟記勾股定理是解題的關鍵．
21.【答案】見解析．
【解析】解：(1)如圖1，AC即為所求；
(2)如圖1，AE即為所求；
(3)如圖1，點M即為所求；
(4)如圖2，點P即為所求．
(1)根據(jù)勾股定理求解；
(2)根據(jù)等腰三角形的性質作出BC的中點E，連接AE即可；
(3)連接CM，根據(jù)等腰三角形的性質即可作出點M；
(4)由正方形的性質作出格點K，連接DK與FG的交點即為點P．
本題考查了作圖的應用與設計，掌握矩形的性質，正方形的性質，等腰三角形的性質和軸對稱的性質是解題的關鍵．
22.【答案】2；
11；
272．
【解析】解：(1)由題可知x+1x≥2 x?1x=2，
即x+1x的最小值為2，
故答案為：2；
(2)y=x2+3x+16x=x+16x+3，
∵x+16x≥2 x?16x=8，
∴y≥11，
∴y的最小值為11；
設OC=x，
∵S△OCD=12OC?OD=32，
∴OD=3x，
∴AC=3+x，BD=4+3x，
∴S四邊形ABCD=12AC?BD
=12(3+x)(4+3x)
=12(12+9x+4x+3)
=12(4x+9x+15)，
∵4x+9x≥2 4x?9x=12，
∴S四邊形ABCD =12(4x+9x+15)≥272，
即四邊形ABCD面積的最小值為272．
(1)根據(jù)題意直接列式求解即可；
(2)化簡可得y=x2+3x+16x=x+16x+3，進而參考題干例子的方法求解即可；
(3)設OC=x，易得OD=3x，進而根據(jù)S四邊形ABCD=12AC?BD可得S四邊形ABCD=12(4x+9x+15)，再利用題干方法求解即可．
本題主要考查了基本不等式、坐標與圖形面積、分式運算、對角線互相垂直的四邊形面積等內容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
23.【答案】證明見解析；
BH2+CK2=HK2.證明見解析；
3 5．
【解析】(1)證明：∵AM⊥AN，
∴∠MAN=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CN⊥BC，
∴∠BCN=90°，
∴∠ACN=45°，
∴∠B=∠ACN，
在△ABM和△ACN中，
∠B=∠ACNAB=AC∠BAM=∠CAN，
∴△ABM≌△ACN(ASA)；
(2)解：BH2+CK2=HK2．
證明：過點A作AG⊥AH，AG=AH，則∠HAK=∠KAG=45°，
∵AK=AK，
∴△AKH≌△AKG(SAS)，
∴KH=GK，
由(1)知∠BAH=∠CAG，
∵AB=AC，AH=AG，
∴△ABH≌△ACG(SAS)，
∴BH=CG，∠ABH=∠ACG，
∵BH//CK，
∴∠CBH=∠BCK，
∴∠ACG=∠ABH=45°+∠BCK，
∵∠ACK=∠AC?∠BCK=45°?∠BCK，
∴∠ACG+∠ACK=90°，
即∠KCG=90°，
∴KC2+CG2=KG2，
∴KC2+BH2=HK2；
(3)解：過點B作BG//DC，且BG=DC，連接CG，EG，過點B作BM⊥CG，交其延長線于點M，延長CM至點N，使MN=AE，連接BN，
∵GB//DC，BG=CD，
∴四邊形DBGC是平行四邊形，
∴BD=CG=3，AB/?/CM，
∴四邊形ABMC為矩形，
∵AB=AC，
∴四邊形ABMC為正方形，
∴AB=BM，∠A=∠ABM=∠BMC=90°，
∵∠BFC=135°，
∴∠EBG=45°，
∴∠ABE+∠MBG=45°，
∵AB=BM，∠A=∠BMN，AE=MN，
∴△ABE≌△MBN(SAS)，
∴∠ABE=∠MBN，
∴∠NBG=∠EBG=45°，
∵BG=BG，
∴△EBG≌△NBG(SAS)，
∴EG=NG=AE+MG，
∴EG= CE2+CG2=5，
設MG=x，則AE=5?x，CM=x+3，
∴AC=AE+CE=9?x，
∴9?x=x+3，
∴x=3，
∴BM=6，
∴BG= BM2+MG2=3 5，
∴CD=3 5．
故答案為：3 5．
(1)根據(jù)ASA可證明△ABM≌△ACN；
(2)過點A作AG⊥AH，AG=AH，則∠HAK=∠KAG=45°，證明△AKH≌△AKG(SAS)，得出KH=GK，由(1)知∠BAH=∠CAG，證明△ABH≌△ACG(SAS)，得出BH=CG，∠ABH=∠ACG，證出∠KCG=90°，則可得出結論；
(3)過點B作BG//DC，且BG=DC，連接CG，EG，過點B作BM⊥CG，交其延長線于點M，延長CM至點N，使MN=AE，連接BN，證明△ABE≌△MBN(SAS)，得出∠ABE=∠MBN，證明△EBG≌△NBG(SAS)，得出EG=NG=AE+MG，求出MG和BG，可得出答案．
本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
24.【答案】2 2；
證明過程見解答；
274．
【解析】(1)解：∵b= a?2+ 2?a+2，
∴a?2≥0，2?a≥0，
∴a=2，b=2，
∴A(2,0)、B(0,2)，
∴OA=2，OB=2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB= 2OA=2 2；
(2)證明：如圖1，過點O作OD⊥OC交CB的延長線于點D，連接AD，
∴∠COD=90°，
∵∠BCO=45°，
∴∠ODC=45°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOD=90°?∠BOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=45°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=45°+45°=90°，
∴CD2+AD2=CA2，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD2=2CO2，
∴2CO2+CB2=CA2；
(3)解：如圖2，過點O作OH⊥OC交CB的延長線于點H，過點C作CG⊥BC交x軸于點G，
∴∠COH=∠BCG=∠HCG=90°，
∵∠BCO=135°，
∴∠OCG=∠BCO?∠BCG=135°?90°=45°，
∴∠OCH=∠HCG?∠OCG=90°?45°=45°，
∴∠OHC=45°，
∴△COH是等腰直角三角形，
∴OC=OH，
設∠CBO=α，
∴∠CAO=2∠CBO=2α，
∵∠BCG=∠BOA=90°，∠BEC=∠GEO，
∴∠CBE=∠OGE=α，
∴∠ACG=∠CAO?∠AGC=α，
∴∠ACG=∠AGC=α，
∴AC=AG，
∵∠OHB=∠OCG=45°，∠OBH=∠OGC=α，OH=OC，
∴△OBH≌△OGC(AAS)，
∴OB=OG，
設OA=a，OB=b，
∵AB=6，
∴a2+b2=36，
∵AG=CA=3=OG?OA=OB?OA，
∴b?a=3，
∴(b?a)2=9，
∴a2+b2?2ab=9，
∴2ab=a2+b2?9=36?9=27，
∴△OBA的面積=12×OA?OB=12ab=274．
(1)求出a=2，b=2，然后根據(jù)勾股定理求出AB；
(2)過點O作OD⊥OC交CB的延長線于點D，連接AD，證明△COD是等腰直角三角形，然后證明△AOD≌△BOC(SAS)，得AD=BC，∠ADO=∠BCO=45°，所以∠ADC=90°，然后利用勾股定理即可解決問題；
(3)如圖2，過點O作OH⊥OC交CB的延長線于點H，過點C作CG⊥BC交x軸于點G，證明△COH是等腰直角三角形，得OC=OH，設∠CBO=α，得∠CAO=2∠CBO=2α，證明∠ACG=∠AGC=α，得AC=AG，然后證明△OBH≌△OGC(AAS)，得OB=OG，設OA=a，OB=b，根據(jù)完全平方公式得2ab=27，進而可以求△OBA的面積．
本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．

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