注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，則，所以，
所以，又，
所以，則，.
故選：A．
2．若復(fù)數(shù)滿足，其共軛復(fù)數(shù)為，則下列說法正確的是（ ）
A. 對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B.
C. 的虛部為D.
2.【答案】B
【解析】由兩邊乘以得，，
所以對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，
的虛部為，，，
所以B選項(xiàng)正確，ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B
3．一組數(shù)據(jù)滿足，若去掉后組成一組新數(shù)據(jù).則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比（ ）
A. 極差變大B. 平均數(shù)變大C. 方差變小D. 第25百分位數(shù)變小
3.【答案】C
3.【解析】由于，
故，，……，，，
A選項(xiàng)，原來的極差為，去掉后，極差為，極差變小，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，原來的平均數(shù)為，
去掉后的平均數(shù)為，平均數(shù)不變，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，原來的方差為，
去掉后的方差為，
方差變小，C正確；
D選項(xiàng)，，從小到大排列，選第3個(gè)數(shù)作為第25百分位數(shù)，即，
，故從小到大排列，選擇第3個(gè)數(shù)作為第25百分位數(shù)，即，
由于，第25百分位數(shù)變大，D錯(cuò)誤.
故選：C
4．將甲、乙等8名同學(xué)分配到3個(gè)體育場館進(jìn)行冬奧會志愿服務(wù)，每個(gè)場館不能少于2人，則不同的安排方法有（ ）
A. 2720B. 3160C. 3000D. 2940
4.【答案】D
【解析】共有兩種分配方式，一種是，一種是，
故不同的安排方法有.
故選：D
5．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，且為邊上的高，為邊上的中線，則的值為（ ）
A. 2B. －2C. 6D. －6
5.【答案】D
【解析】
因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，
又BE為邊AC上的高，
所以，且在中，，
所以
.
故選：D.
6.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．如圖，，為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，中心為原點(diǎn)，橢圓的面積為，直線上一點(diǎn)滿足是等腰三角形，且，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
6.【答案】B
【解析】由題可知，，即，是以為頂角的等腰三角形，
則有：，，，
所以，又因?yàn)?，即，?br>可得：，解得，故離心率為．
故選：B．
7．若，則（ ）
A. B. C. D.
7.【答案】C
【解析】因?yàn)?，解得?br>所以，
.
故選：C.
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù)且，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A. B. 5
C. D.
8.【答案】D
【解析】對于D，為偶函數(shù)，則，
兩邊求導(dǎo)可得，則為奇函數(shù)，
則，令，則，，D對；
對于C，令，可得，則，C錯(cuò)；
對于B，，可得，
可得，
兩式相加可得，
令，即可得，B錯(cuò)；
又，
則，
，可得，
所以是以為周期的函數(shù)，
所以根據(jù)以上性質(zhì)不能推出，A不一定成立.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列命題正確的是（ ）
A. 若兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強(qiáng)
B. 若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8
C. 已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)
D. 某人解答5個(gè)問題，答對題數(shù)為，若，則
9.【答案】BCD
【解析】對于A，因?yàn)?，即組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較弱，故A錯(cuò)誤；
對于B，若樣本數(shù)據(jù)方差為，則數(shù)據(jù)的方差為，故B正確；
對于C，將這原來的30個(gè)數(shù)從小大大排列為，則，所以原來的22%分位數(shù)為，
若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個(gè)數(shù)據(jù)為，則，所以剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為，
由于互不相同，所以C正確；
對于D，某人解答5個(gè)問題，答對題數(shù)為，若，則，故D正確.
故選：BCD.
10．已知定義域在R上的函數(shù)滿足：是奇函數(shù)，且，當(dāng)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的周期B.
C. 在上單調(diào)遞增D. 是偶函數(shù)
10.【答案】BC
【解析】由于是奇函數(shù)，所以，則
又，則，所以，所以的周期為8，A錯(cuò)誤，，
，故B正確，
根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合，，作出函數(shù)圖象為：
由圖象可知：在上單調(diào)遞增，C正確，
由于的圖象不關(guān)于對稱，所以不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤
故選：BC
11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，B.
C. 數(shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減D. 當(dāng)時(shí)，恒有
11.【答案】ACD
【解析】由題意可得：，，
由可知：，但，
可知對任意的，都有，
對于選項(xiàng)A：若，
則，
即，故A正確；
對于選項(xiàng)B：，
即，故B錯(cuò)誤.
對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，?br>則，且，
可知是等比數(shù)列，則，
設(shè)，，
可得，，
因?yàn)?，可知為遞增數(shù)列，
所以數(shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故C正確；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br>由，可得，即，則，即；
由，可得，即，則，即；
以此類推，可得對任意的，都有，
又因?yàn)?，則，
所以，故D正確.
故選：ACD.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量，為單位向量，且滿足，則向量在向量方向的投影向量為________
12.【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，即?br>又，為單位向量，則，，
所以向量在向量方向的投影向量為.
故答案為：
13．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍是____．
13.【答案】
【解析】由，可得，即，
令，則
又在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，
則區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)，
又，則正數(shù)ω滿足，
則，則，解之得，
則正數(shù)ω的取值范圍是.
故答案為：
14．函數(shù)，若，則的最小值為___________.
14.【答案】
【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>，所以在為增函數(shù)，
，所以，
又，在為增函數(shù)，所以，即，
因?yàn)?，?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）
已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足，且，，成等比數(shù)列.
（1）求；
（2）若，求.
【解析】（1） 由正弦定理及，得，（2分）
即，（4分）
由余弦定理得，
所以，（5分）
因?yàn)?,成等比數(shù)列，所以，（6分）
所以.（7分）
（2）因?yàn)椋淼?，?分）
因?yàn)椋?，所以，?0分）
代入得，（12分）
則根據(jù)正弦定理有.（13分）
16．（15分）
已知拋物線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，
且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，證明：直線必過定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，（1分）
雙曲線的漸近線方程為，（2分）
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以，（3分）
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，（4分）
又點(diǎn)在拋物線上，所以，所以，（5分）
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（6分）
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，（8分）
方程的判別式，即，（9分）
設(shè)，則，（10分）
設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為， （11分）
則直線的方程為，（12分）
根據(jù)拋物線的對稱性可知定點(diǎn)必定在軸上，
令得：（13分）
．（14分）
直線過定點(diǎn)．（15分）
17．（15分）
如圖，三棱柱中，側(cè)面與底面垂直，且，，為側(cè)棱的中點(diǎn)，三棱錐的體積為.

（1）求三棱柱的高；
（2）已知點(diǎn)在上，且，若平面，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若，求平面與平面的夾角的余弦值.
【解析】（1） 因?yàn)槠矫妫?br>所以，
又，所以，（1分）
在中，，，
所以，（2分）
所以，
所以，（3分）
設(shè)三棱柱的高為，則，解得；（4分）
（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，
因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，?分）
所以，又平面，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫妫?，平面，?分）
所以平面平面，又平面平面，平面平面，
所以，（7分）
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，
所以，即；（8分）
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
因?yàn)閭?cè)面與底面垂直，側(cè)面底面，
所以平面，（9分）
因?yàn)榍?，所以?br>又，平面，所以平面，（10分）
又平面，所以，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫妫裕?br>，則，，，，
因?yàn)?，則，
所以，則，
又，，（11分）
設(shè)平面的法向量為，
則，取，（12分）
又，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，（13分）
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，（14分）
所以平面與平面的夾角的余弦值為.（15分）

18．（17分）
2025年冰雪節(jié)來臨之際，搭建冰雕主題樂園需要大量的冰塊，A，B，C三個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)從冰凍的江中采出尺寸相同的冰塊.在雕刻的過程中，有時(shí)會導(dǎo)致冰塊碎裂，且一旦有裂痕冰塊就不能使用了.A，B，C三個(gè)工程隊(duì)所采冰塊總數(shù)之比為6：7：5，冰塊利用率即所使用冰塊數(shù)占所采冰塊總數(shù)的比例分別為0.8，0.6，0.6.在計(jì)算以上數(shù)值的過程中忽略了少量冰塊對計(jì)算結(jié)果的影響，這種思路可用于整個(gè)問題求解的過程中.現(xiàn)在從三個(gè)工程隊(duì)采出的所有冰塊中隨機(jī)抽取冰塊，用頻率估計(jì)概率.
（1）若只取1塊，求它是由B隊(duì)所采的概率；
（2）若抽取2塊，其中由A隊(duì)采出的冰塊數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）假設(shè)每年使用的冰塊數(shù)一樣多，已知往年任意一塊冰被利用的概率為0.65，那么能否判斷今年冰塊的利用率有顯著提升？你有什么好的建議？
【解析】（1）由題意知，冰塊之間是沒有差異的，所以，從三個(gè)工程隊(duì)采出的所有冰塊中隨機(jī)抽取一塊抽到每一塊冰的可能性可以看作是相等的.
因?yàn)锳，B，C三個(gè)工程隊(duì)所采冰塊總量之比為6：7：5，（2分）
所以若只取1塊，它是B隊(duì)所采的概率為.（3分）
（2）據(jù)題意知在計(jì)算過程中可以忽略少量冰塊對計(jì)算結(jié)果影響，
即可以將“從三個(gè)工程隊(duì)采出的所有冰塊中隨機(jī)抽取”看作是有放回的抽取.
設(shè)事件A，B，C分別表示隨機(jī)抽取的一塊冰是由A，B，C二個(gè)隊(duì)分別采回的，（4分）
與（1）同理可求得若只取1塊，則，（5分）
由B，C兩隊(duì)所采的概率為.（6分）
依題意可知的取值為0，1，2，且.（7分）
所以，，，（9分）
所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.（10分）
（3）設(shè)事件表示冰塊被利用，由（2）知，.（11分）
所以，，.（12分）
又（13分）
，（14分）
即今年冰塊的利用率約為0.67.（15分）
可見，今年冰塊的利用率比往年提升了約.（16分）
但依據(jù)該數(shù)據(jù)還不能判斷今年冰塊的利用率有顯著提升.若要判斷提升是否顯著，
可以進(jìn)一步查閱數(shù)據(jù)，構(gòu)造相關(guān)統(tǒng)計(jì)量再進(jìn)行判斷.（17分）
19．（17分）
已知函數(shù).
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，求的取值范圍；
（3）若的定義域?yàn)?，求的取值集?
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，.（1分）
.（3分）
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即.（4分）
（2），即.
①當(dāng)時(shí)，，原不等式恒成立.（5分）
②當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增.
令，解得.（6分）
當(dāng)時(shí)，，原不等式恒成立
當(dāng)時(shí)，，原不等式等價(jià)于，
化簡得.
令函數(shù).（7分）
若，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即原不等式恒成立.
若，則存在，
所以0不恒成立，即原不等式不恒成立.（8分）
若，則在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?，?分）
所以當(dāng)時(shí)，，即原不等式恒成立.
綜上，的取值范圍為.（10分）
（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可得，不符合題意.（11分）
當(dāng)時(shí)，
，不符合題意（12分）
當(dāng)時(shí)，滿足，符合題意.（13分）
當(dāng)時(shí)，，解得或，
所以的定義域?yàn)?（14分）
.
要使得，則必須滿足，
即，解得（舍去）.
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，（15分）
.
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（16分）
因?yàn)?，所以，滿足題意.
綜上，的取值集合為.（17分）0
1
2
P

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