（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．復(fù)數(shù)=(i是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．iB．-i
C．1D．-1
【答案】D
【詳解】
故答案為D
2．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，再進(jìn)行集合的交集運(yùn)算.
【詳解】由題知，
則，
所以．
故選：B．
3．已知向量，，若向量且，則（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求得，再由向量的模長公式即可求解.
【詳解】由題知，又因?yàn)?，所以，解得?br>所以，所以．
故選：A．
4．已知?jiǎng)t不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】判斷在上的單調(diào)性，將不等式等價(jià)于，由一元二次不等式的解法即可得解.
【詳解】，可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且時(shí)函數(shù)連續(xù)，則在上單調(diào)遞減，
不等式，可化為，即，
解得：，則原不等式的解集為：，
故選：A
5．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的長軸長為其短軸長的2倍，若該橢圓經(jīng)過圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】法一：設(shè)出橢圓方程和直線方程，直曲聯(lián)立，由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到直線的斜率，再由弦長公式解出即可得到橢圓方程；
法二：設(shè)出橢圓和直線方程，利用點(diǎn)差法求出直線斜率；再直曲聯(lián)立由弦長公式求出即可得到橢圓方程；
法三：由點(diǎn)差法得到，進(jìn)而得到，以下同“一題多解”.
【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題意知，圓的圓心為，
設(shè)該橢圓經(jīng)過圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，Ax1,y1，Bx2,y2，
顯然直線的斜率存在，設(shè)直線，即，
與橢圓方程聯(lián)立，得，
，
則，由，得，解得．
則，
所以，
解得，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：C．
法二：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題意知，圓的圓心為，半徑為，
設(shè)該橢圓經(jīng)過圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，Ax1,y1，Bx2,y2，
則為直徑的中點(diǎn)，則，，
由題知，由兩式作差，得，
即，所以，
將，，代入，得，
則直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立，得，，
所以，，
所以，
解得，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：C．
法三：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題意知，圓的圓心為，設(shè)該橢圓經(jīng)過圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，Ax1,y1，Bx2,y2，
由兩式作差得，，即，
所以．
因?yàn)?，所以．以下同一題多解．
6．已知函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出的定義域，得到是偶函數(shù)，判斷時(shí)的單調(diào)性，再借助中間值比較大小即可.
【詳解】方法一：由題知的定義域?yàn)?，，所以是偶函?shù)，
記，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br>而.
令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以，
所以，即.
方法二：由題知的定義域?yàn)?，，所以是偶函?shù)，
，當(dāng)時(shí)，，即，
所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br>而.
因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，
因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以，
所以，即.
故選：A.
7．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，若三棱錐（以為頂點(diǎn)）的側(cè)面積為6，則球的表面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將三棱錐的外接球，轉(zhuǎn)化為以為同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長方體的外接球，再令，，通過側(cè)面積為6，利用基本不等式準(zhǔn)確求出的取值范圍．即可求解；
【詳解】由題知平面，，所以三棱錐的外接球，即為以為同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長方體的外接球，
所以外接球半徑，其中，
令，，則三棱錐（以為頂點(diǎn)）的側(cè)面積為，
所以，
所以，
又因?yàn)?，即?br>所以，所以，
又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，即時(shí)，，
此時(shí)球的表面積的取得最小值為.
故選：B.
8．已知函數(shù)的定義域均為，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，，，，則（ ）
A．B．2C．D．1003
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，可得，即是上的偶函數(shù)和以4為周期的周期函數(shù)，從而也是以4為周期的周期函數(shù)，可得解.
【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以①．
因?yàn)?，所以②?br>因?yàn)棰?，所以④?br>③④得，，所以是上的偶函數(shù)，
所以①可變形為，則，
故，所以是以4為周期的周期函數(shù)．
由④可得，則也是以4為周期的周期函數(shù)．
因?yàn)?，又?br>所以，所以．
故選：C．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)性質(zhì)綜合問題時(shí)，往往借助函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性等性質(zhì)進(jìn)行推理證明，結(jié)合對稱軸、對稱中心等實(shí)現(xiàn)求和計(jì)算即可.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．某研究機(jī)構(gòu)為了探究過量飲酒與患疾病真否有關(guān)，調(diào)查了400人，得到如圖所示的列聯(lián)表，其中，則（ ）
參考公式與臨界值表：
A．任意一人不患疾病的概率為0.9
B．任意一人不過量飲酒的概率為
C．任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為
D．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為過量飲酒與患疾病有關(guān)
【答案】ACD
【分析】先求出，利用古典概型概率公式求解判斷AB，利用條件概率概念求解判斷C，求出的觀測值，即可判斷D.
【詳解】由已知得，又，所以.
任意一人不患疾病的概率為，所以A正確；
任意一人不過量飲酒的概率為，所以B錯(cuò)誤；
任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為，所以C正確；
對于D，列聯(lián)表如下：
則的觀測值，由于，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為過量飲酒與患疾病有關(guān)，所以D正確.
故選：ACD
10．已知函數(shù)的最大值為2，則（ ）
A．
B．函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心是點(diǎn)
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．將的圖象先向右平移個(gè)單位長度后，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為
【答案】AB
【分析】先應(yīng)用輔助角公式化簡應(yīng)用最大值計(jì)算求參判斷A,再應(yīng)用正弦函數(shù)的對稱中心計(jì)算或代入檢驗(yàn)判斷B,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間計(jì)算判斷C,應(yīng)用函數(shù)圖象的變換得出解析式判斷D.
【詳解】對于A，因?yàn)椋ㄆ渲校液瘮?shù)的最大值為2，所以，解得，
又因?yàn)椋?，故A正確；
對于B，解法一：由A選項(xiàng)可知，，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故B正確；
解法二：由A選項(xiàng)可知，，將代入的解析式，得，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象得在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
對于D，將的圖象先向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，
再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，得到的圖象，故D錯(cuò)誤．
故選:AB．
11．已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，則下列關(guān)于雙曲線的結(jié)論正確的是（ ）
A．離心率為
B．兩條漸近線的夾角的余弦值為
C．若直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則的面積為
D．若，雙曲線上一點(diǎn)到漸近線的距離為，則點(diǎn)到另一條漸近線的距離為2
【答案】BD
【分析】對于A，根據(jù)漸近線過點(diǎn)得到即可；對于B，設(shè)漸近線的傾斜角為，則兩條漸近線的夾角為求解即可；對于C，由題意得到直線的方程為或，求得焦點(diǎn)F，由求解即可；對于D，先求得雙曲線的方程，設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.
【詳解】對于A，根據(jù)題意，漸近線的斜率，則離心率，故A錯(cuò)誤；
對于B，設(shè)漸近線的傾斜角為，則，所以，則兩條漸近線的夾角為，
所以，所以，故B正確；
對于C，若直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則直線的斜率，則直線的方程為
或，所以或，
則的面積為或，故C錯(cuò)誤；
對于D，由A選項(xiàng)可得，雙曲線的離心率，又，則，，
所以雙曲線的方程為，設(shè)，則，即，
雙曲線的兩條漸近線方程為，則點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為
，因?yàn)?，所以，故D正確．
故選：BD．
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用等差數(shù)列基本量的關(guān)系列出方程，用基本不等式或二次函數(shù)性質(zhì)求最值.
【詳解】解法一：因?yàn)?，所以?br>所以，因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．
解法二：因?yàn)椋?br>所以，所以，
則，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值64．
解法三：（基本量思想）：設(shè)數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，
當(dāng)時(shí)，取得最大值64．
故答案為：
13．若，且，則 .
【答案】
【分析】先根據(jù)已知角的范圍確定三角函數(shù)值的正負(fù)，再利用兩角和的余弦公式求出的值，最后根據(jù)的范圍確定其具體值.
【詳解】因，所以，又，所以.
根據(jù)，得，同時(shí)也能確定.
因?yàn)?，所?
.
所以
因?yàn)椋?
在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，時(shí)，.
故答案為：.
14．?dāng)?shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上首個(gè)提出二進(jìn)制計(jì)數(shù)法的人，任意一個(gè)十進(jìn)制正整數(shù)均可以用二進(jìn)制數(shù)表示.若正整數(shù)，其中或，則可以用位二進(jìn)制數(shù)表示.記的二進(jìn)制各個(gè)位數(shù)和為，則.例如，因此.已知正整數(shù)1024且，則這樣的有 個(gè)； .
【答案】45 4095
【分析】第一空：由題意：是2～10位二進(jìn)制數(shù)，得到的前10位中恰有兩個(gè)1，其余位均為即可求解；
第二空：是最大的6位二進(jìn)制數(shù)，從而說明1～63的二進(jìn)制數(shù)中，時(shí)共有個(gè)二進(jìn)制數(shù)，時(shí)共有個(gè)二進(jìn)制數(shù)，時(shí)共有個(gè)二進(jìn)制數(shù)，…，時(shí)共有個(gè)二進(jìn)制數(shù)，進(jìn)而可求解；
【詳解】詳解：（1），要使，
則是位二進(jìn)制數(shù)，且的前10位中恰好有兩個(gè)1，
其余位均為0，因?yàn)樽罡呶槐貫?，
所以有個(gè)滿足題意的的值.
（2）由于是最大的6位二進(jìn)制數(shù)，故的二進(jìn)制數(shù)中最少1個(gè)1，最多6個(gè)1，即當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，位二進(jìn)制數(shù)最高位必為1，其余位為0，
故共有個(gè)二進(jìn)制數(shù)（或者理解為前6位中恰有1個(gè)1，其余位均為0）；
當(dāng)時(shí)，位二進(jìn)制數(shù)最高位必為1，其余位只有一個(gè)1，故共有個(gè)二進(jìn)制數(shù)（或者理解為前6位中恰有2個(gè)1，其余位均為0）；當(dāng)時(shí)，位二進(jìn)制數(shù)最高位必為1，其余位只有2個(gè)1，故共有個(gè)二進(jìn)制數(shù)（或者理解為前6位中恰有3個(gè)1，其余位均為0）；
…
當(dāng)時(shí)，6位二進(jìn)制數(shù)全是1，故共有個(gè)二進(jìn)制數(shù)，
所以
.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛： 第二空：由是最大的6位二進(jìn)制數(shù)，得到；分別討論，，，…，時(shí)二進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)即可.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）
記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知且.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用兩角和的正弦公式、三角形內(nèi)角和為以及，結(jié)合正弦定理得到，從而求解出即可求解；
（2）利用三角形面積公式求解出，結(jié)合余弦定理求解出，再利用三角形面積公式即可求解.
【詳解】（1），
因?yàn)?，所以?br>所以，（2分）
因?yàn)?，所以，所以由正弦定理可知，?分）
所以等價(jià)于，
因?yàn)椋?，所以，即?br>又因?yàn)?，所以?分）
（2）因?yàn)椋獾?，?分）
由余弦定理得，解得，（10分）
由三角形面積公式得，（12分）
解得（13分）
16．（15分）
如圖，在四棱錐中，，底面是矩形，且，．側(cè)面是面積為的直角三角形，其中．點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，連接．
(1)證明：直線平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）法1，取的中點(diǎn)，利用線面平行的判斷，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)推理得證.法2，利用垂直關(guān)系證明直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.
（2）法1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用定義法求出線面角的正弦值.法2，由（1）中空間直線坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法求解.
【詳解】（1）法1，取的中點(diǎn)，連接．
由為的中點(diǎn)，得且，由四邊形為矩形，得且，
則且，又為的中點(diǎn)，則且，（3分）
四邊形為平行四邊形，于是，而平面，平面，
所以平面（6分）
法2：取的中點(diǎn)，連接，由，，，
平面，得平面，又，于是平面，
而平面，則，又，則直線兩兩垂直，（2分）
以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
在中，，，則，
在中，，，（4分）
則，
則，即，因此，（5分）
又平面，平面，所以平面（6分）
（2）法1：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．
由，，，平面，得平面，（8分）
而平面，則，又，平面，則平面，（10分）
因此即為直線與平面所成的角，（11分）
在中，，由，得，
在中，，，
而平面，則，又，于是，
在中，，為中點(diǎn)，則，（12分）
由，，得，
則，即，解得，在中，，（14分）
所以直線與平面所成角的正弦值為（15分）
法2：由（1）得，，，（9分）
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，（12分）
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，（14分）
所以直線與平面所成角的正弦值為（15分）
17．（15分）
某項(xiàng)團(tuán)體比賽分為兩輪，第一輪由團(tuán)隊(duì)隊(duì)員輪流與AI人工智能進(jìn)行比賽，若挑戰(zhàn)成功，則參加第二輪攻擂賽，與上任擂主爭奪此次團(tuán)體賽的擂主．現(xiàn)有甲隊(duì)參加比賽，隊(duì)中共有3名事先排好順序的隊(duì)員．
(1)第一輪與AI對戰(zhàn)，比賽的規(guī)則如下：若某隊(duì)員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該隊(duì)員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該隊(duì)員結(jié)束闖關(guān)并由下一位隊(duì)員接力去闖第一關(guān)，若某隊(duì)員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位隊(duì)員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有隊(duì)員全部上場參加了闖關(guān)，該隊(duì)挑戰(zhàn)活動(dòng)結(jié)束．已知甲隊(duì)每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為，，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.用表示甲隊(duì)闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束時(shí)上場闖關(guān)的成員人數(shù)，求的分布列和期望．
(2)甲隊(duì)已經(jīng)順利進(jìn)入第二輪，現(xiàn)和擂主乙隊(duì)1－3號隊(duì)員進(jìn)行比賽，規(guī)則為：雙方先由1號隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號隊(duì)員比賽……直到有一方隊(duì)員全被淘汰，另一方獲得勝利．已知甲隊(duì)三名隊(duì)員每場比賽的勝率分別為，，，若要求甲隊(duì)獲得擂主的概率大于，問是否滿足？請說明理由．
【答案】(1)分布列見解析，
(2)滿足，理由見解析
【分析】（1）求出的可能取值和對應(yīng)的概率，得到分布列，計(jì)算出期望值；
（2）分三種情況：①一人參賽全勝獲得擂主，②兩人參賽獲得擂主，③三人參賽獲得擂主，求出相應(yīng)的概率，從而得到，得到不等式，得到結(jié)論.
【詳解】（1）由題意知，的所有可能取值為1，2，3，（1分）
則，
，
，（4分）
所以的分布列為
（5分）
所以．（7分）
（2）滿足題意，理由如下：
分三種情況：
①一人參賽全勝獲得擂主，該事件發(fā)生的概率設(shè)為，則，（9分）
②兩人參賽獲得擂主，該事件發(fā)生的概率設(shè)為，
則，（10分）
③三人參賽獲得擂主，該事件發(fā)生的概率設(shè)為，
若在第一局被淘汰，淘汰掉乙隊(duì)三人，概率為，
若在第二局被淘汰，淘汰掉乙隊(duì)兩人，
概率為，
若在第三局被淘汰，淘汰掉乙隊(duì)一人，
概率為
，（12分）
故，
因?yàn)椋?br>所以要使甲隊(duì)獲勝的概率大于，即，則，
即，化簡得，（13分）
當(dāng)時(shí)，代入可得，滿足題意．（15分）
18．（17分）
已知．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
(2)若恰有1個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)．
①求極大值與極小值的和；
②判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【答案】(1)
(2)①0；②3
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率再點(diǎn)斜式得出切線方程；
（2）先求出導(dǎo)函數(shù)，再分和兩種情況得出零點(diǎn)結(jié)合計(jì)算得出極大值與極小值的和為0，再應(yīng)用零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】（1）由題可得，函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，，（2分）
當(dāng)時(shí)，，，（4分）
故切點(diǎn)為1,0，切線在該點(diǎn)處的斜率為，
故曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，即．（5分）
（2）由（1）得，
因?yàn)榉帜冈诙x域內(nèi)恒成立，所以導(dǎo)函數(shù)的符號取決于分子的符號，
令，其對應(yīng)一元二次方程的判別式．（6分）
若，此時(shí)，則且不恒為0，所以f'x≥0且不恒為0，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，故沒有極值點(diǎn)，（7分）
若，此時(shí)或，則gx=0有兩個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，則同號．
當(dāng)時(shí)，，兩根均為負(fù)數(shù)，則gx>0在0,+∞上恒成立，所以f'x>0，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，則沒有極值點(diǎn)；（9分）
當(dāng)時(shí)，，兩根均為正數(shù)，故當(dāng)或時(shí)，gx>0，所以f'x>0，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
當(dāng)時(shí)，gx

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