1．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如圖，中，，，和的平分線交于點P，過點P作分別交，于點D，E，則的周長為（ ）
A．不能確定B．10C．12D．14
3．在平面直角坐標系中，若A，兩點的坐標分別是，，將點向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度得到點，則點A與點（ ）
A．關于軸對稱B．關于軸對稱
C．關于原點對稱D．以上都不對
4．已知銳角三角形中，，點是、垂直平分線的交點，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
5．已知的，和的對邊分別是a，b和c，那么下列四個條件中能獨立推出是直角三角形的有（ ）個
①；②；③；④．
A．4B．3C．2D．1
6．關于二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，已知函數(shù)和的圖象交于點，則時的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個，若小朋友的人數(shù)為x，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如圖，在中，，，，點在上，將沿直線翻折后，將點落在點處，如果，那么線段的長為( )
A．1B．C．D．
10．如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點C為旋轉中心把旋轉到，則給出下列結論：①D，A，E三點共線；②平分；③；④．其中正確的有（ ）．
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題（本大題共6小題）
11．“的倍與的和不小于”可以用不等式表示為 ．
12．如圖，已知Rt△ABC的邊BC在x軸上，，且A（1，2），B（-2，0）若將△ABC平移，使點B落在點A處，則點C的對應點的坐標為
13．如圖，已知，過的中點作另一邊的垂線，垂足為點，連接，作的垂直平分線交的延長線于點，連接，作，垂足為點，則的長為 ．
14．已知是以為腰的等腰三角形，D為線段上一點，且，若恰好為一邊的，則的大小為 ．
15．對于任意實數(shù)p、q，定義一種運算，等式的右邊是通常的加減和乘法運算，例如：，請根據(jù)上述定義解決問題：若關于x的不等式組有3個整數(shù)解，則m的取值范圍是 ．
16．已知等邊的邊長為12， 點P是邊 BC上的動點， 將繞點A 逆時針旋轉60°得到， 點D是AC邊的中點， 連接PQ、DQ， 則DQ的最小值是 ．
三、解答題（本大題共9小題）
17．解下列不等式（組），并把解集表示在數(shù)軸上．
(1)；
(2)．
18．解不等式組，并求出它的所有整數(shù)解的和．
19．平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．
(1)在圖中畫出繞原點順時針旋轉后的，并寫出點的坐標．
(2)在圖中畫出關于原點成中心對稱的，并寫出點的坐標．
20．如圖，在中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉得，使點的對應點落在邊上，點的對應點為點，連接．求的長．
21．定義：若不等式組的解集是，且滿足，則稱該不等式組的解集是一個“對稱集”．若關于x的不等式組的解集是一個“對稱集”，求m的值．
22．如圖，點，分別在的邊，上，的平分線與的垂直平分線交于點，于點，于點．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
23．秦漢學校組織全體師生參加夏令營活動，現(xiàn)準備租用、兩種型號的客車（每種型號的客車至少租用一輛），其中型客車每輛租金500元，型客車每輛租金600元．已知5輛型客車和2輛型客車坐滿后共載客310人；3輛型客車和4輛型客車坐滿后共載客340人．
(1)求每輛型客車，每輛型客車坐滿后各載客多少人；
(2)若該校計劃租用型和型兩種客車共10輛，總租金不高于5500元，并能將全校420名師生全部載至目的地，請列舉出該校所有的租車方案；并比較哪種租車方案最省錢．
24．如圖在平面直角坐標系中，為原點，已知點，，，且，將點向右平移個單位長度，得到對應點．
(1)求的面積；
(2)若點為軸上的一個動點，是否存在點，使的面積等于面積的倍，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
25．問題：如圖（）點、分別在正方形的邊、上，，試判斷、、之間的數(shù)量關系．
【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把繞點逆時針旋轉，至，從而發(fā)現(xiàn)，請你利用圖（）證明上述結論．
【類比引申】如圖（），四邊形中，，，，點、分別在邊、上，則當與滿足 關系時，仍有．
【探究應用】如圖（），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形．已知米，，，，道路、上分別有景點、，且，米，現(xiàn)要在、之間修一條筆直道路，求這條道路的長（結果保留根號）
參考答案
1．【答案】D
【詳解】、不是中心對稱圖形，該選項不合題意；
、不是中心對稱圖形，該選項不合題意；
、不是中心對稱圖形，該選項不合題意；
、是中心對稱圖形，該選項符合題意；
故選．
2．【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線平行,內錯角相等，等角對等邊，角的平分線的定義，進行推理計算即可．
【詳解】解：∵和的平分線交于點P，，
∴，，
∴，
∴的周長為，
∵，
∴的周長為，
故此題答案為D．
3．【答案】C
【分析】先將向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度得到點寫出來，然后根據(jù)對稱規(guī)律作出判斷即可．
【詳解】解：∵將點向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度得到點，
∴點C坐標為，
∵，
∴點A，C關于原點軸對稱．
故選C．
4．【答案】A
【分析】連接OA、OB，由，根據(jù)三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB=115°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到OA=OB，OA=OC，根據(jù)等腰三角形的性質計算即可．
【詳解】
解：如圖，連接OA、OB，
∵∠BAC=65°，
∴∠ABC+∠ACB=115°，
∵O是AB，AC垂直平分線的交點，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
∴∠OBA+∠OCA=65°，
∴∠OBC+∠OCB=115°-65°=50°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=25°，
故選A．
5．【答案】C
【分析】根據(jù)三角形內角和可以判斷①和④；根據(jù)三角形三邊關系可以判斷②；根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷③．
【詳解】解：∵
∴最大的，故①不符合題意；
∵，
∴，該a、b、c三條線段構不成三角形，故②不符合題意；
∵，
∴，
∴，則該是直角三角形，故③符合題意；
∵，
∴，則該是直角三角形，故④符合題意；
故選C．
6．【答案】A
【分析】將兩個方程相加得到的值，整體代入不等式中，解不等式即可．
【詳解】解：，
，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故選A．
7．【答案】D
【分析】利用圖象法，根據(jù)函數(shù)圖象求解即可．
【詳解】解：∵函數(shù)和的圖象交于點，
∴由圖象可得：的解集為：，
由的圖象可得：的解集為：，
∴當時的取值范圍是．
故選D．
8．【答案】C
【分析】由“每位小朋友分5個蘋果，則還剩個蘋果，且小朋友的人數(shù)為”，可得出這箱蘋果共個，結合“若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個”，即可列出關于的一元一次不等式組，此題得解．
【詳解】解：每位小朋友分5個蘋果，則還剩個蘋果，且小朋友的人數(shù)為，
這箱蘋果共個，
每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個，
，
故選C．
9．【答案】D
【分析】根據(jù)翻折變換的性質可得，，，連接，可得是等腰直角三角形，然后求出，從而得到，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，然后求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，再求出，得到是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得，然后利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)計算得到，即為的長．
【詳解】解：沿直線翻折后點落在點處，
，，，
連接，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，，
，

，
即．
故選D．
10．【答案】D
【分析】①設∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起來等于180度，即可證明D、A、E三點共線；
②根據(jù)△BCD繞著點C按順時針方向旋轉60°得到△ACE，判斷出△CDE為等邊三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，從而得到∠E=∠BAC．
④由旋轉可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE為等邊三角形，DC=DE=DB+BA．
【詳解】解：如圖，
①設∠1=x度，則∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，
∴D、A、E三點共線；故①正確；
②∵△BCD繞著點C按順時針方向旋轉60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠E=60°，
∴∠BDC=∠E=60°，
∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC平分∠BDA；故②正確；
③∵∠BAC=60°，
∠E=60°，
∴∠E=∠BAC．故③正確；
④由旋轉可知AE=BD，
又∵∠DAE=180°，
∴DE=AE+AD．
∵△CDE為等邊三角形，
∴DC=DB+DA．故④正確；
故選D．
11．【答案】
【分析】根據(jù)字母表示數(shù)及數(shù)量關系的書寫規(guī)則，不等式的概念即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
12．【答案】（4，2）
【分析】根據(jù)A、B兩點的坐標可得坐標的變化規(guī)律為橫坐標加3，縱坐標加2，再把C點的坐標橫坐標加3，縱坐標加2，即可求解．
【詳解】解：∵將△ABC平移，使點B落在點A處，點A（1，2），B（﹣2，0），
∴坐標的變化規(guī)律為橫坐標加3，縱坐標加2，
∵C（1，0），
∴點C的對應點的坐標為是（1+3，0+2），即（4，2）．
13．【答案】2
【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質求得，線段垂直平分線的性質求得，再利用證明即可求解．
【詳解】解：作于，
∵，
∴，
∵的垂直平分線交的延長線于點，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴．
14．【答案】或或
【分析】分四種情況討論，利用等腰三角形的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質求解即可．
【詳解】解：如圖，當，時，取的中點，連接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
當，時，
同理，；
當，時，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
綜上，的大小為或或．
15．【答案】
【分析】先根據(jù)已知新運算變形，再求出不等式組的解，根據(jù)已知得出關于m的不等式組，求出m的范圍即可．
【詳解】解：∵，
∴，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式組的解集為，
∵不等式組有3個整數(shù)解，
∴，
解得
16．【答案】
【分析】對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．根據(jù)旋轉的性質，即可得到，當時，的長最小，再根據(jù)勾股定理，即可得到的最小值．
【詳解】解：∵等邊的邊長為12，
∴，
由旋轉可得，
又∵
∴，
∵點D是邊的中點，
∴，
當時，的長最小，此時，，
∴，
∴．
∴的最小值是．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（）根據(jù)解一元一次不等式的步驟解答即可；
（）分別求出每個不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解；
【詳解】（1）解：去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
系數(shù)化為，得；
（2）解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式組的解集為．
18．【答案】，它的所有整數(shù)解的和為3.
【分析】先分別求出兩個不等式的解集，再找出它們的公共部分即為不等式組的解集，然后得出它的所有整數(shù)解，由此即可得．
【詳解】解：，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
則不等式組的解集為，
它的所有整數(shù)解為，
所以它的所有整數(shù)解的和為．
19．【答案】(1)見解析，
(2)見解析，
【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質作圖，再根據(jù)圖形寫出坐標即可；
（2）根據(jù)中心對稱的性質作圖，再根據(jù)圖形寫出坐標即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求作，點的坐標；
（2）解：如圖，即為所求作，點的坐標為．
20．【答案】
【分析】由旋轉的性質可求得，的長和的大小，由勾股定理可求得的長，進而可求得的長，再次利用勾股定理即可求得的長．
【詳解】解：由旋轉的性質可知：
，，，
在中，根據(jù)勾股定理可得：
，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理可得：
．
21．【答案】
【分析】解每個不等式得出，根據(jù)“對稱集”的定義得出，解方程即可．
【詳解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式組的解集為，
∵該不等式組的解集是一個“對稱集”，
∴，
解得．
22．【答案】(1)見解析；
(2).
【分析】（1）連接，，由線段垂直平分線的性質可得，根據(jù)角平分線的性質可得，，證明，根據(jù)全等三角形的性質即可得證；
（2）根據(jù)角平分線的性質可得，，證明，得到，推出，結合，即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，，
垂直平分，
，
，，平分，
，，
，
；
（2），，平分，
，，
，
，
，
，
由（1）知，，
．
23．【答案】(1)每輛型客車坐滿后載客人，每輛型客車坐滿后載客人；
(2)共有四種租車方案：①租用型客車輛，則租用型客車輛；②租用型客車輛，則租用型客車輛；③租用型客車輛，則租用型客車輛；④租用型客車輛，則租用型客車輛，其中用型客車輛，則租用型客車輛最省錢．
【分析】（1）每輛型客車坐滿后載客人，每輛型客車坐滿后載客人，根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；
（2）設租用型客車輛，則租用型客車輛，根據(jù)題意列一元一次不等式組，求整數(shù)解即可得出的值，進而得出租車方案和費用即可．
【詳解】（1）解：設每輛型客車坐滿后載客人，每輛型客車坐滿后載客人，
則，解得：，
答：每輛型客車坐滿后載客人，每輛型客車坐滿后載客人；
（2）解：設租用型客車輛，則租用型客車輛，
則，
解得：，
的可能取值為5、6、7、8，
當時，，租車費用為元；
當時，，租車費用為元；
當時，，租車費用為元；
當時，，租車費用為元；
共有四種租車方案：①租用型客車輛，則租用型客車輛；②租用型客車輛，則租用型客車輛；③租用型客車輛，則租用型客車輛；④租用型客車輛，則租用型客車輛，其中用型客車輛，則租用型客車輛最省錢．
24．【答案】(1)
(2)存在點或，使的面積等于面積的倍
【分析】（）利用非負數(shù)的性質求出點的坐標，進而可得的長度及點的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可求解；
（）設點的坐標為，分點位于點左側，點位于之間，點位于點右側三種情況，根據(jù)面積關系分別列出方程解答即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：存在點或，使的面積等于面積的倍，理由如下：
設點的坐標為，
當點位于點左側時，，不合題意；
當點位于之間時，
，，
∵的面積等于面積的倍，
∴，
解得，
∴點的坐標為；
當點位于點右側時，
，，
∵的面積等于面積的倍，
∴
解得，
∴點的坐標為；
綜上，點的坐標為或．
25．【答案】發(fā)現(xiàn)證明：證明解析；類比引申：；探究應用：米
【分析】發(fā)現(xiàn)證明：由旋轉可得，，， 即可得，即可證，得到，進而即可求證；
類比引申：延長至，使，連接， 可證，得到，， 進而由可得，即可證明，得到，即可求證；
探究應用：把繞點逆時針旋轉至，連接，過作，垂足為，可得是等邊三角形， 即得，由旋轉的性質得，，得到，點在的延長線上，為等邊三角形，解直角三角形可得米，進而得，可得，得到，即得，據(jù)此計算即可求解．
【詳解】發(fā)現(xiàn)證明：由旋轉可得，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
類比引申：當時，仍有，理由如下：
如圖（），延長至，使，連接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
故答案是：；
探究應用：如圖，把繞點逆時針旋轉至，連接，過作，垂足為，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴米，
由旋轉的性質得，，，
∵，
∴，即點在的延長線上，
∵，
∴為等邊三角形，
∵，
∴，，，
∴米，米，
∴米，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴米，
即這條道路的長為米．

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