五大易錯(cuò)易混經(jīng)典例題+針對(duì)訓(xùn)練
精選5道期中真題對(duì)應(yīng)考點(diǎn)練
考點(diǎn)一：同底數(shù)冪的乘法
同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即， am·an＝am＋n (m，n都是正整數(shù)).
注：(1) 底數(shù)必須相同. (2) 適用于兩個(gè)或兩個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘 (3) 逆運(yùn)用?？糰m＋n= am·an
考點(diǎn)二：冪的乘方與積的乘方
冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘. 即： (am)n＝amn(m，n都是正整數(shù)).
積的乘方等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即， (ab)n＝anbn(n是正整數(shù)).
考點(diǎn)三：同底數(shù)冪的除法
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.即 am÷an＝am－n (a≠0，m，n都是正整數(shù)，m＞n).
注：(1)底數(shù)必須相同. (2)適用于兩個(gè)或兩個(gè)以上的同底數(shù)冪相除. (3)逆運(yùn)用?？糰m-n= am÷an
考點(diǎn)四：零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
任何不等于0的數(shù)的零次冪都等于1. a0＝1 （a≠0）
a×10-n（其中1≤|a|＜10，n是整數(shù)）
一般地，一個(gè)絕對(duì)值小于1的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為：
(2) n從左起第一個(gè)非零數(shù)前零的個(gè)數(shù).
注意: (1) 1≤|a|＜10 ，
(1)(–3)7×(–3)6 ；
(2) ；
(4) b2m·b2m+1 .
(3) –x3·x5；
注意：1.公式中的底數(shù)和指數(shù)可以是一個(gè)數(shù)、字母或一個(gè)式子.2.計(jì)算同底數(shù)冪的乘法時(shí)，要注意算式里面的負(fù)號(hào)是屬于冪的還是屬于底數(shù)的．
【變式】計(jì)算： (1) (-b)3·b·(-b)2 (2) （x-2)2·(x-2)3+(x-2)2·(2-x)3
(1)解:原式=-b3bb2 =-b3+1+2 =-b6
(2)解:原式=(x-2)2+3-(x-2)2+3 =(x-2)5-(x-2)5 =0
【變式】（1）已知a2=m，a3=n 求a5（2）已知4×22m=16，求（m-2）2021-m
解:（1）a5=a2a3=mn (2)4×22m=22×22m=22+2m=24 ∴2+2m=4 ∴ m=1 （m-2）2021-m =(1-2)2021-1 =1
【變式】計(jì)算：(1)(x－y )2 ? (x－y ) ? (x－y )5；(2)(a＋b)2 ? (a＋b)5；(3)(x＋3)3 ? (x＋3)5 ? (x＋3)．解：(1)(x－y )2·(x－y )·(x－y )5＝(x－y )2＋1＋5＝(x－y )8；(2)(a＋b)2·(a＋b)5＝(a＋b)2＋5＝(a＋b)7；(3)(x＋3)3·(x＋3)5·(x＋3)＝(x＋3)3＋5＋1＝(x＋3)9.
【例2】 計(jì)算：(1) (102)3； (2) (b5) 5 ； (3) (an) 3(4) －(x2)m；(5) (y2)3 ? y ； (6)2 (a2)6 － ( a3) 4
解：(1) (102)3= 102×3 = 106; (2) (b5)5 = b5×5 = b25 ; (3) (an) 3 = an×3 = a3n ; (4) －(x2)m = －x2×m = －x2m ; (5) (y2)3 ? y = y2×3 ? y = y7 ; (6)2 (a2)6－(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12 .
冪的乘方，底數(shù) ，指數(shù) .
(am)n=amn (m,n都是正整數(shù))
注意：公式中的a可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，當(dāng)?shù)讛?shù)為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)將其視為整體。
【變式】如果3m+2n=6，求8m×4n的值.
8m×4n =(23)m·(22)n=23m·22n =23m+2n =26=64
【變式】在255，344，433，522這四個(gè)冪中，數(shù)值最大的一個(gè)是—————.
解：255=25×11=(25)11=3211
344=34×11=(34)11=8111
433=43×11=(43)11=6411
522=52×11=(52)11=2511
所以數(shù)值最大的一個(gè)是344.
【變式】計(jì)算：(1) (103)3 ; (2) －(a2)5 ; (3) (x3)4 · x2 ;(4) [(－x)2 ]3 ; (5) (－a)2(a2)2; (6) x·x6 – (x2)2· x3 .
解: (1)(103)3=109； (2)－(a2)5=－a10； (3)(x3)4 · x2 =x12·x2=x14； (4) [(－x)2 ]3=(x2)3=x6； (5)(－a)2(a2)2=a2· a4=a6； (6)x·x6 – (x2)2· x3=x7-x4·x3=0
【變式】已知 am=2，an=3, 求:（1）a2m ，a3n的值；
=(am)2. (an)3
（3）a2m+3n 的值.
（2）am+n 的值;
【例3】計(jì)算：(1) (3x)2； (2) (－b)5 ； (3) (－2xy)4； (4) (3a2)n .
解：(1) (3x)2 = 32x2 = 9x2 ； (2) (－b)5 = (－1)5b5 = －b5 ； (3) (－2xy)4 = (－2)4 x4y4 = 16x4y4 ； (4) (3a2)n = 3n(a2)n = 3na2n .
簡單記憶：積的乘方=乘方的積
積的乘方等于每個(gè)因式分別乘方后的積.
想一想：三個(gè)或三個(gè)以上的積的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn（n是正整數(shù)）
(ab)n = anbn（n是正整數(shù)）
【變式】計(jì)算：0.1252020×(-23)2021
解：0.1252020×(-23)2021=0.1252020×(-8)2021=0.1252020×(-8)2020×（-8）=[0.125×(-8)]2020×(-8)=(-1)2020×(-8)=-8
(2)0.1252019×(－8 2020) ＝－0.1252019×8 2020 ＝－0.125 2019×82020×8 ＝－(0.125×8)2019×8 ＝－12019×8 ＝－8.
【變式】計(jì)算：（-3a2）3-a·a5+（4a3）2.
解：（-3a2）3-a·a5+（4a3）2=-27a6-a6+16a6=-12a6.
【變式】已知10x=a，5x=b，求50x的值.【變式】已知2x+5y-9=0,求4x·32y的值.(結(jié)果用同底數(shù)冪表示)
解：50x=（10×5）x=10x×5x=ab．
解：由2x+5y-9=0，得2x+5y=9.所以4x·32y=22x·25y=22x+5y=29.
【變式】計(jì)算：已知3×9m×27m=321，求m的值；
解：因?yàn)?×9m×27m=321，所以3×32m×33m=321. 所以31+5m=321. 所以1+5m=21. 解得m=4.
題型四：同底數(shù)冪的除法
【例4】計(jì)算：(1) a7÷a4 ； (2) (－x)6÷(－x)3 ； (3)－m8÷m2 ； (4) (xy)4÷(xy) ；(5) b2m + 2÷b2 ；
解：(1) a7÷a4 = a7－4 = a3 ；(2) (－x)6÷(－x)3 = (－x)6－3 = (－x)3 = －x3 ； (3)－m8÷m2=－m8-2=－m6；(4) (xy)4÷(xy) = (xy)4－1 = (xy)3 = x3y3 ；(5) b2m+2÷b2 =b2m + 2－2 =b2m.
這就是說，同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
一般地，設(shè)m、n為正整數(shù)，且m>n，a≠0 ，有：
am÷an=am-n
①同底數(shù)冪相除運(yùn)算中，相同底數(shù)可以是不為0的數(shù)字或字母，或單項(xiàng)式、多項(xiàng)式．②同底數(shù)冪相除運(yùn)算中，也可以是兩個(gè)或兩個(gè)以上的同底數(shù)冪相除，冪的底數(shù)必須相同，相除時(shí)指數(shù)才能相減．
【變式】計(jì)算： (1)－m8÷m2 ÷m3； (2)(x－y)5÷(y－x)2. 分析：將相同底數(shù)冪直接利用同底數(shù)冪除法法則計(jì)算， 把不同底數(shù)冪化成相同底數(shù)冪，再利用同底數(shù) 冪除法法則計(jì)算可得結(jié)果．解：(1) －m8÷m2÷m3 =－m8-2 ÷m3 =－m6÷m3 =－m6-2=－m4 ； (2)原式＝(x－y)5÷(x－y)2＝(x－y)5－2＝(x－y)3.
【變式】已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
解：∵am＝12，an＝2，a＝3， ∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
【變式】計(jì)算：　　　　　　　　　　　　　(1)4n＋1÷43n＋1; (2)8n÷8n＋2.
【變式】已知3m＝5，3n＝2，求32m－3n＋1的值.
題型五：零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
【例5】用小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示下列各數(shù)：
（1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4.
【變式】計(jì)算4－(－4)0的結(jié)果是(　　)　　　　　　　　　　　　　A. 3 B. 0 C. 8 D. 4
【變式】計(jì)算：　　　　　　　　　　　　　　(1) (2)a－4÷a－6.
解：原式＝a－4－(－6)＝a2.
【變式】計(jì)算：　　　　　　　　　　　　　　(3)5－4÷5－3; (4)(－3)0÷(－3)－3.
解：原式＝(－3)0－(－3)＝(－3)3＝－27
題型六：科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)
【例6】用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：(1)0.000 04；(2)0.034；(3)0.000 000 45.
解：(1)0.000 04＝4×10-5；(2)0.034＝3.4×10-2；(3)0.000 000 45＝4.5×10-7.
分析：數(shù)清每個(gè)數(shù)中左起第一個(gè)非0的數(shù)字前面有幾個(gè)0，用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)10的指數(shù)就是負(fù)幾.
【變式】納米是非常小的長度單位，1nm=10-9m.把1nm3的物體放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空間可以放多少個(gè)1nm3的物體（物體之間隙忽略不計(jì)）？
答：1mm3的空間可以放1018個(gè)1nm3的物體.
【變式】把下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原：(1)7.2×10-5；(2)1.5×10-4.
分析：(1)n＝－5，還原后的數(shù)中7前面有5個(gè)0(包括最后整數(shù)部分的那個(gè)0)； (2)n＝－4，還原后的數(shù)中1 前面有4個(gè)0(包括最后整數(shù)部分的那個(gè)0)．
解：(1)7.2×10－5＝0.000 072；(2)1.5×10－4＝0.000 15.
【變式】某顆粒物的直徑是0.0000025米,把0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為　　　　.
【變式】據(jù)測(cè)算,5萬粒芝麻的質(zhì)量約為200 g,那么一粒芝麻的質(zhì)量約為　　　　g.(用科學(xué)記數(shù)法表示)
【變式】用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)： 0.000 000 72； 0.000 861； 0.000 000 000 342 5
解：(1)0.000 000 72＝7.2×10-7. (2)0.000 861＝8.61×10-4. (3)0.000 000 000 342 5＝3.425×10-10.
易錯(cuò)點(diǎn)一：冪的運(yùn)算中的字母關(guān)系
易錯(cuò)點(diǎn)二：利用冪的運(yùn)算比較大小
易錯(cuò)點(diǎn)三：冪的運(yùn)算新定義問題
易錯(cuò)點(diǎn)四：冪的運(yùn)算中等于1的情況
易錯(cuò)點(diǎn)五：冪的混合運(yùn)算

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