五大易錯(cuò)易混經(jīng)典例題+針對(duì)訓(xùn)練
精選5道期中真題對(duì)應(yīng)考點(diǎn)練
1、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：
（2）相同字母的冪分別相乘
（3）只在一個(gè)單項(xiàng)式中現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為積的一個(gè)因式.
單×單＝(系數(shù)×系數(shù))(同底數(shù)冪×同底數(shù)冪)(單獨(dú)的冪)
注意：（1）注意符號(hào) （2）運(yùn)算順序 （3）防止遺漏
2、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.
m(a+b+c)= ma+mb+mc (m，a，b，c都是單項(xiàng)式)
3、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則
一般地，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq
兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于這兩數(shù)的平方差
左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的積，并且有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；
右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.
(a+b)(a-b)=a2-b2
注意：公式中的a和b，既可以是具體的數(shù)，也可以是 單項(xiàng)式或者多項(xiàng)式.
考點(diǎn)三：完全平方公式
完全平方公式的文字?jǐn)⑹觯?br/> 兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.
(a+b)2= a2 +2ab+b2(a-b)2= a2 - 2ab+b2
注：公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.
1、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：
（2）相同字母的冪分別相除
（3）對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式.
單÷單＝(系數(shù)÷系數(shù))(同底數(shù)冪÷同底數(shù)冪)(單獨(dú)的冪)
注意：（1）注意符號(hào) （2）運(yùn)算順序 （3）防止遺漏
(am +bm+cm) ÷m
多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加.
2、多項(xiàng)式除單項(xiàng)式法
注意：兩項(xiàng)相除時(shí)，先定符號(hào).
題型一：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘
【例1】計(jì)算： （1）(－5a2b)(－3a)；　　?。?）(2x)3(－5xy2)．
解： (－5a2b)(－3a) ＝[(－5)×(－3)](a2·a)·b ＝15a3b；　　　
解： (2x)3(－5xy2) ＝8x3·(－5xy2) ＝[8×(－5)](x3·x)·y2 ＝－40x4y2．
注意:（1）系數(shù)相乘；（2）相同字母的冪相乘；（3）其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.
單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.
單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法法則
【變式】已知6an＋1bn＋2與－3a2m－1b的積與2a5b6是同類項(xiàng)，求m，n的值．分析：先將單項(xiàng)式相乘，再根據(jù)同類項(xiàng)的定義得到關(guān) 于m，n的方程．解：(6an＋1bn＋2)(－3a2m－1b)＝－18a2m＋nbn＋3，所以－18a2m＋nbn＋3與2a5b6是同類項(xiàng)．所以2m＋n＝5 ①，n＋3＝6 ②.由②解得n＝3，代入①解得m＝1.所以m＝1，n＝3.
【變式】有理數(shù)x，y滿足條件|2x＋4|＋(x＋3y＋5)2＝0，求(－2xy)2·(－y2)·6xy2的值．解：由題意得2x＋4＝0，x＋3y＋5＝0，解得x＝－2，y＝－1.所以(－2xy)2·(－y2)·6xy2＝4x2y2·(－y2)·6xy2＝－24x3y6.當(dāng)x＝－2，y＝－1時(shí)，原式＝－24×(－2)3×(－1)6＝－24×(－8)×1＝192.
【變式】計(jì)算：(1)(－3x)2－8x·2x； (2)(－4xy2)·(2x2y)2.
解：原式＝(－4xy2)(4x4y2)＝－16x5y4
解： 原式＝9x2－16x2＝－7x2
解：原式＝4ab2·(－a6b3)＝－4a7b5
題型二：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘
【例2】 計(jì)算：(1) 2ab(5ab2+3a2b)；(2) ；(3) 5m2n(2n + 3m－n2)； (4) 2(x+y2z + xy2z3)·xyz .解：(1) 2ab(5ab2+3a2b)=2ab·5ab2 + 2ab·3a2b =10a2b3 +6a3b2；
(3) 5m2n(2n + 3m－n2) =5m2n·2n +5m2n·3m－5m2n·n2 =10m2n2 +15m3n－5m2n3 ； (4) 2(x + y2z + xy2z3)·xyz =(2x +2 y2z + 2xy2z3)·xyz =2x·xyz +2 y2z·xyz +2xy2z3·xyz =2x2yz +2xy3z2 +2x2y3z4.
【變式】先化簡(jiǎn)，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2.
解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2＝－28a2＋15a， 當(dāng)a＝2時(shí)，原式＝－82.
【變式】化簡(jiǎn)求值：x(x2－1)＋2x2(x＋1)－3x(2x－5)，其中，x＝－1.
解：原式＝x3－x＋2x3＋2x2－6x2＋15x ＝3x3－4x2＋14x當(dāng)x＝－1時(shí)，原式＝3×(－1)3－4×(－1)2＋14×(－1) ＝－3－4－14 ＝－21
題型三：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
【例3】計(jì)算：(1) (1－x) (0.6－x)； (2) (2x + y) (x－y) .
解：(1) (1－x) (0.6－x)=1×0.6－1× x + x×0.6 + x·x=0.6－x－0.6x+ x2 =0.6－1.6x+ x2 ；
(2) (2x + y) (x－y) =2x·x－2x·y + y·x－y·y =2x2－2xy+xy－y2=2x2－xy－y2.
【變式】計(jì)算:(1)(3x+1)(x+2)； (2)(x-8y)(x-y)； (3) (x+y)(x2-xy+y2).
解： (1) 原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2 =3x2+6x+x+2
(2) 原式=x·x-xy-8xy+8y2
=x2-9xy+8y2；
(3) 原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2 =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 = x3+y3.
【變式】先化簡(jiǎn)，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，原式＝－8＋2－15＝－21.
【變式】計(jì)算：（1）x(x2+x-1)-(2x2-1)(x-4)．
解：原式=x3+x2-x-(2x3-8x2-x+4)=x3+x2-x-2x3+8x2+x-4=-x3+9x2-4.
（2）(x+5)(2x-3)-2x(x2-2x+3).
解：原式=2x2-3x+10x-15-2x3+4x2-6x=-2x3+6x2+x-15.
【例4】利用平方差公式計(jì)算：(1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)；(3) (－m+n)(－m－n) .解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2；(2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ；(3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .
= ( x + y)2 – z2
解： 原式=[( x + y) + z][( x + y) – z]
【變式】利用平方差公式計(jì)算：
( x + y+z)( x + y – z).
當(dāng) m = 2 時(shí)，原式 = 24 – 16 = 0
= (m2 – 4)(m2 + 4)
=(m + 2)(m – 2)(m2 + 4)
解:（1） (m + 2)(m2 + 4)(m – 2)
【變式】先化簡(jiǎn)，再求值 ：
(m + 2)(m2 + 4)(m – 2)，其中m = 2.
【變式】先化簡(jiǎn)，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，原式＝5×12－5×22＝－15.
【變式】計(jì)算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1).
解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(24－1)(24＋1)(28＋1) ＝(28－1)(28＋1) ＝216－1
題型五：平方差公式與幾何圖形
【例5】如圖①，從邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，再沿著線段AB剪開(kāi)，把剪成的兩張紙片拼成如圖②的等腰梯形．(1)設(shè)圖①中陰影部分面積為S1，圖②中陰影部分面積為S2，請(qǐng)直接用含a，b的代數(shù)式表示S1，S2；(2)請(qǐng)寫出上述過(guò)程所揭示的乘法公式．
分析：直先計(jì)算圖①中陰影部分面積為S1＝a2－b2，再計(jì)算圖②中陰影部分面積為S2＝ (2b＋2a) (a－b)，然后根據(jù)面積相等得到乘法公式．解：(1) S1＝a2－b2， S2＝ (2b＋2a)(a－b) ＝(a＋b)(a－b)． (2) (a＋b)(a－b)＝ a2－b2.
解：李大媽吃虧了．理由如下：原正方形的面積為a2，改變邊長(zhǎng)后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大媽吃虧了．
【變式】王大伯家把一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對(duì)李大媽說(shuō)：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)原價(jià)租給你，你看如何？”李大媽一聽(tīng)，就答應(yīng)了．你認(rèn)為李大媽吃虧了嗎？為什么？
【變式】如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開(kāi)，拼成右邊的長(zhǎng)方形．根據(jù)圖形的變化過(guò)程寫出的一個(gè)正確的等式是(　　)A.a(a－b)＝a2－abB.(a－b)2＝a2－2ab＋b2C.(a－b)2＝a2－b2D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
【變式】(1)如圖①,可以求出陰影部分的面積是　　　 (寫成兩數(shù)平方差的形式); (2)若將陰影部分裁剪下來(lái),重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,如圖②,則這個(gè)長(zhǎng)方形的寬是　　　　,長(zhǎng)是　　　,面積是　　　　　 (寫成多項(xiàng)式乘法的形式); (3)比較圖①②中陰影部分的面積,可以得到什么結(jié)論?
結(jié)論:(a+b)(a-b)=a2-b2.
解: 原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)] = x2－(2y－3)2 = x2－(4y2－12y+9) = x2－4y2+12y－9.
【例6】運(yùn)用乘法公式計(jì)算:(1) (x+2y－3)(x－2y+3) ;
(2) (a+b－5)2.
解：原式= [(a+b)－5]2 = (a+b)2－10(a+b)+52 = a2+2ab+b2－10a－10b+25
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或－61.
【變式】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個(gè)完全平方式，求m的值．
【變式】計(jì)算：　　　　　　　　　　　　　　(1)(3x＋5y)2;
解：原式＝(3x)2＋2·3x·5y＋(5y)2 ＝9x2＋30xy＋25y2
【變式】計(jì)算：　　　　　　　　　　　　　　(1)(4x－3y)2;
解：原式＝(4x)2－2·4x·3y＋(3y)2 ＝16x2－24xy＋9y2
題型七：完全平方公式的運(yùn)用
【例7】七年級(jí)2班的49名同學(xué)準(zhǔn)備定制統(tǒng)一的T恤去春游，據(jù)了解，一件T恤的價(jià)格為49元，班長(zhǎng)小亮正在計(jì)算總的費(fèi)用時(shí)，小明立馬給出答案，2401元。你知道小明為什么算這么快嗎？
【變式】計(jì)算：(1)(x+3)2－x2； (2) (a+b+3)(a+b－3)；(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .
解：(1) (x+3)2－x2= x2+6x+9－x2=6x+9
(2) (a+b+3)(a+b－3)= [(a+b) +3] [(a+b)－3] = (a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3)= x2+10x+25－(x2－5x+6) = x2+10x+25－x2+5x－6= 15x+19 .
【變式】已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.
分析：將兩數(shù)的和(差)的平方式展開(kāi)，產(chǎn)生兩數(shù)的平方和與這兩數(shù)積的兩倍，再將條件代入求解．
解：因?yàn)閍2＋b2＝13，ab＝6， 所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25； (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.
【變式】已知(a＋b)2＝19，ab＝2.(1)求a2＋b2的值；(2)求(a－b)2的值.
解：(1)(a＋b)2＝19則a2＋b2＋2ab＝19將ab＝2代入，得a2＋b2＋2×2＝19則a2＋b2＝15
(2)(a－b)2＝a2＋b2－2ab ＝15－2×2 ＝11
【變式】一個(gè)圓的半徑長(zhǎng)為r(r>2) cm，減少2 cm后，這個(gè)圓的面積減少了多少？
解：∵圓的半徑長(zhǎng)為r(r＞2) cm，減少2 cm后的半徑變?yōu)?r－2) cm.則半徑減少后圓的面積為：π(r－2)2＝π(r2－4r＋4)＝πr2－4πr＋4π.∴圓的面積減少了：πr2－(πr2－4πr＋4π)＝(4πr－4π) cm2.
題型八：?jiǎn)雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式
分析：（1）（2）直接運(yùn)用單項(xiàng)式除法的運(yùn)算法則；（3）要注意運(yùn)算順序：先乘方，再乘除；（4）鼓勵(lì)學(xué)生悟出：將（2a+b）視為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算．
(2)10a4b3c2÷5a3bc =(10÷5) a4-3b3-1c2-1=2ab2c；
(3)(2x2y)3·(-7xy2) ÷14x4y3 = 8x6y3·(-7xy2) ÷14x4y3 = -56x7y5 ÷14x4y3 = -4x3y2 ；
(4)(2a+b)4÷ (2a+b)2 = (2a+b)4-2 = (2a+b)2 = 4a2+4ab+b2 .
【變式】已知(－3x4y3)3÷ ＝mx8y7，求n－m的值 .導(dǎo)引：先利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算等式左邊的式子，再與等式右邊的式子進(jìn)行比較求解．解：因?yàn)? ＝18x12－ny7，所以18x12－ny7＝mx8y7.因此m＝18，12－n＝8.所以n＝4，所以n－m＝4－18＝－14.
題型九：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
解：(1) (6ab+8b)÷2b = 6ab÷2b+8b÷2b = 3a+4 ；(2) (27a3-15a2+6a)÷3a = 27a3÷3a +(-15a2)÷3a +6a÷3a =9a2-5a+2 ；
解：(3) (9x2y-6xy2)÷3xy = 9x2y÷3xy +(-6xy2) ÷3xy = 3x -2y； (4)
(1) (3xy+y) ÷y
解：原式=3xy÷y+y÷y
(2) (12a3b2-6a2)÷3a
解：原式=12a3b2÷3a+(－6a2)÷3a
=4a2b2+(－2a)
(3) (12a3b2-6a2)÷(-3a)
解：原式=12a3b2÷(-3a)+(－6a2)÷(-3a)
【變式】化簡(jiǎn)求值：[(x－y)2＋y(4x－y)－8x]÷2x，其中，x＝8，y＝2 021.
【變式】化簡(jiǎn)求值：[(2x－y)(2x＋y)－(2x＋y)2]÷(－y)，其中，x＝2，y＝－3.
解：原式＝[4x2－y2－(4x2＋4xy＋y2)]÷(－y) ＝(4x2－y2－4x2－4xy－y2)÷(－y) ＝(－2y2－4xy)÷(－y) ＝2y＋4x當(dāng)x＝2，y＝－3時(shí)，原式＝2×(－3)＋4×2＝－6＋8＝2.
易錯(cuò)點(diǎn)一：乘法公式的變形求值
易錯(cuò)點(diǎn)三：平方差公式與幾何圖形
易錯(cuò)點(diǎn)四：整式乘法的規(guī)律計(jì)算
易錯(cuò)點(diǎn)五：完全平方公式的綜合

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