國慶黃金周天氣晴朗，果果一家開著車去杭州小姨家作客，途中加油時的數字引起了果果的興趣，她將記錄的數據整理成下表，請你幫忙完成.
果果在收音機里聽到新中國成立以來，我國已經進行了七次人口普查，她將我國七次人口普查的人口數做成了統(tǒng)計表.
(1)在這一變化過程中，有幾個變量？分別是什么？
(2)在這一變化過程中，兩個變量之間有什么關系？
隨著 的變化而變化.
對于 的每一個值， 都有唯一的值與它對應.
姨父說最近村子里有黃鼠狼，果果準備幫助姨父用一段20m長的柵欄圍一個長方形雞舍……（1）當長方形的寬為2m時，長為 ____ m；（2）當長方形的寬為4m時，長為 ____ m；（3）當長方形的寬為b m時，長為 ______ m.
（4）長方形的長是寬的函數嗎？為什么？
（5）長方形的寬是長的函數嗎？為什么？
（6）長方形的面積是寬的函數嗎？為什么？
你能從他制作的表格中獲得哪些信息？水位高低與水庫容量有什么關系？
果果的小姨鄰居小明的爸爸是某市水庫管理員，他將水庫的水位變化與水庫蓄水量變化情況列成下表：
從表中可以看到，水庫蓄水量隨著水位的升高而增大，隨著水位的下降而減小，當水位穩(wěn)定時，蓄水量也穩(wěn)定不變.
果果想著寒假也來小姨這里玩，也是上網查閱了杭州冬季一天的氣溫變化曲線.
隨著 的變化而變化.
任意給出這天中的某一時刻t，你能說出這一時刻的氣溫T嗎？
對于 的每一個值， 都有唯一的值與它對應.
在這一變化過程中，兩個變量之間有什么關系？
同學們,你們能從剛才的幾個變化過程中找到它們的共同之處嗎？
對于 的每一個值， 有_____值與之對應.
每個變化過程中都有___個變量，
其中 變化時， 也___________；
一般地，在某個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數. 如果當x=a時y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數值.
凡此變數函彼變數，則此為彼之函數 . （這里的“函”有包含的意思.）
函數一語，起用于公元1692 年，最早見自德國數學家萊布尼茲的著作. 他是德國最重要的自然科學家、數學家、物理學家、歷史學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人.他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻.
(1)求當x=2，3，-3時，函數的值；(2)求當x取什么值時，函數的值為0.
解：（1）當x=2時，y= ; 當x=3時，y= ; 當x=-3時，y=7. （2）令 解得x= 即當x= 時，y=0.
下列關于變量x ，y 的關系式：?y =5x-9；?y =-x2+32；?y =6|x|-1；④ ；⑤y2-6x=100，其中表示y 是x 的函數關系的是 ．
一個x值有兩個y 值與它對應
(1)若每噸民用自來水的價格為2.8元，所交水費金額為y（元）， 使用自來水的數量為x（噸）， 則 y 是 x 的函數嗎？為什么？
(2)底邊為6(m)的三角形面積為s(㎡),高為h (m)， s是h的函數嗎？為什么？
（3）根據小魚的條數與所需火柴棒的根數的關系，s是n的函數嗎？ 為什么？
氣溫的攝氏度數x與華氏度數y之間可用數學式子進行轉化，華氏度數y是不是攝氏度數x的函數？為什么？
解：在把攝氏度轉化為華氏度的過程中，華氏度y隨著攝氏度x的變化而變化；
所以y是x的函數.
下列變化過程中，兩個變量之間是否存在確定的依賴關系？其中一個變量是另一個變量的函數嗎？
近年來上海市區(qū)的環(huán)境綠化不斷得到改善，下表是上海市區(qū)人均綠化面積變化的一些統(tǒng)計數據：
解：兩個變量是年份和人均綠化面積. 由表可知，隨著所列年份的變化，上海市區(qū)人均綠化面積也在變化；對于所列的每一個年份，在表格中都可以找到這一年人均綠化面積的數值. 所以人均綠化面積是年份的函數.
請用含自變量的式子表示下列問題中的函數關系：（1）汽車以60 km/h 的速度勻速行駛，行駛的時間為 t（單位：h），行駛的路程為 s（單位：km）；（2）多邊形的邊數為 n，內角和的度數為 y．
問題（1）中，t ?。? 有實際意義嗎？ 問題（2）中，n 取2 有意義嗎？
　　根據剛才問題的思考，你認為函數的自變量可以取任意值嗎？　　在實際問題中，函數的自變量取值范圍往往是有限制的，在限制的范圍內，函數才有實際意義；超出這個范圍，函數沒有實際意義，我們把這種自變量可以取的數值范圍叫函數的自變量取值范圍．
下列函數中自變量x的取值范圍是什么？
解：根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理，可知 2x+y=180°,有 y=180°-2x. 由于等腰三角形的底角只能是銳角，所以自變量的取值范圍是 0＜x＜90°.
等腰三角形頂角的度數y是底角度數x的函數，試寫出這個函數關系式，并求出自變量x的取值范圍.
4.表達式是復合式時，自變量的取值是使各式成立的公共解.
3.表達式是偶次根式時，自變量的取值必須使被開方數為非負數.表達式是奇次根式時，自變量取全體實數；
1.表達式是整式時，自變量取全體實數；
2.表達式是分式時，自變量的取值要使分母不為0；
自變量的 取值范圍
函數在某個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么x是自變量，y是x的函數.
1.使函數解析式有意義2.符合實際意義
4.設路程為s，時間為t，速度為v，當v=60時，路程和時間的關系式為 ，這個關系式中， 是常量， 是變量， 是 的函數.
5.油箱中有油30kg,油從管道中勻速流出，1h流完，則油箱中剩余油量Q（kg）與流出時間t（min）之間的函數關系式是 ，自變量t的取值范圍是 .
6.分別寫出下列各問題中的函數關系及自變量的取值范圍：
（1）某地民用電費標準為每度電 0.50 元，電費 y（元）是用電度數 x 的函數；
y = 0.5x (x ≥ 0)
（2）已知等腰三角形的面積為 20 cm2，設它的底邊長為 x (cm)，底邊上的高 y (cm) 是 x的函數；
（3）在一個半徑為 10 cm 的圓形紙片中剪去一個半徑為 r（cm）的同心圓， 得到一個圓環(huán)，設圓環(huán)的面積為 S（cm2），S 是 r 的函數.
S = π(100 - r2)(0 < r < 10)
7.為了加強居民的節(jié)水意識，某市制定了如下用水收費標準：每戶每月的用水不超過10噸時，水價為每噸1.2元；超過10噸時，超過部分按每噸1.8元收費，該市某戶居民5月份用水x噸(x>10)，應交水費y元.請求出y和x的表達式，并判斷y是否為x的函數.
8.求下列函數中自變量 x 可以取值的范圍：

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19.1.1 變量與函數

版本： 人教版（2024）

年級： 八年級下冊

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