在2024年中考即將到來之際，學(xué)校準(zhǔn)備開展“百日誓師，指戰(zhàn)中考”活動，小星同學(xué)對會場進(jìn)行裝飾．
如圖1所示，他在會場的兩墻AB、CD之間懸掛一條近似拋物線的彩帶，如圖2所示，已知墻AB與CD等高，且AB、CD之間的水平距離BD為8米．
（1）建立模型如圖2，直接寫出兩墻AB、CD的高度，拋物線的頂點坐標(biāo)；
解決問題
（2）為了使彩帶的造型美觀，小星把彩帶從點M處用一根細(xì)線吊在天花板上，如圖3所示，使得點M到墻AB距離為3米，使拋物線F1的最低點距墻AB的距離為2米，離地面2米，求點M到地面的距離；
（3）為了盡量避免人的頭部接觸到彩帶，小星現(xiàn)將M到地面的距離提升為3米，通過適當(dāng)調(diào)整M的位置，使拋物線F2對應(yīng)的二次函數(shù)的二次項系數(shù)始終為，若設(shè)點M距墻AB的距離為m米，拋物線F2的最低點到地面的距離為n米，探究n與m的關(guān)系式，當(dāng)2≤n≤時，求m的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意得，拋物線的對稱軸為直線x＝4，
則x＝4＝﹣＝﹣，
解得：a＝0.1；
則拋物線的表達(dá)式為：y＝0.1x2﹣0.8x+3，
則點A（0，3），即AB＝CD＝3（米），
當(dāng)x＝4時，y＝0.1x2﹣0.8x+3＝1.4，
即頂點坐標(biāo)為：（4，1.4）；
（2）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a′（x﹣2）2+2，
將點A的坐標(biāo)代入上式得：3＝a′（0﹣2）2+2，
解得：a′＝，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣2）2+2，
當(dāng)x＝3時，y＝（x﹣2）2+2＝2.25（米），
即點M到地面的距離為2.25米；
（3）由題意知，點M、C縱坐標(biāo)均為3，則右側(cè)拋物線關(guān)于M、C對稱，
則拋物線的頂點的橫坐標(biāo)為：（m+8）＝4+m，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣4﹣m）2+n，
將點C的坐標(biāo)代入上式得：3＝（8﹣4﹣m）2+n，
整理得：n＝﹣m2+m﹣；
當(dāng)n＝2時，即2＝﹣m2+m﹣，
解得：m＝8﹣2（不合題意的值已舍去）；
當(dāng)n＝時，
同理可得：m＝8﹣，
故m的取值范圍為：8﹣2≤m≤8﹣．
對應(yīng)練習(xí)：
1．（2022?安徽）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．
（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段P1P2，P2P3，P3P4，MN長度之和，請解決以下問題：
（?。┬藿ㄒ粋€“”型柵欄，如圖2，點P2，P3在拋物線AED上．設(shè)點P1的橫坐標(biāo)為m（0＜m≤6），求柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達(dá)式和l的最大值；
（ⅱ）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的“”型和“”型兩種設(shè)計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時點P1的橫坐標(biāo)的取值范圍（P1在P4右側(cè)）．
【解答】解：（1）由題意可得：A（﹣6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是拋物線的頂點，
設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+8，將A（﹣6，2）代入，
（﹣6）2a+8＝2，
解得：a＝﹣，
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+8；
（2）（?。唿cP1的橫坐標(biāo)為m（0＜m≤6），且四邊形P1P2P3P4為矩形，點P2，P3在拋物線AED上，
∴P2的坐標(biāo)為（m，﹣m2+8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝﹣m2+8，P2P3＝2m，
∴l(xiāng)＝3（﹣m2+8）+2m＝﹣m2+2m+24＝﹣（m﹣2）2+26，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)m＝2時，l有最大值為26，
即柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達(dá)式為l＝﹣m2+2m+24，l的最大值為26；
（ⅱ）方案一：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝18﹣3n，
∴矩形P1P2P3P4面積為（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，
∵﹣3＜0，
∴當(dāng)n＝3時，矩形面積有最大值為27，
此時P2P1＝3，P2P3＝9，
令﹣x2+8＝3，
解得：x＝±，
∴此時P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣+9≤x≤，
方案二：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝＝9﹣n，
∴矩形P1P2P3P4面積為（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)n＝時，矩形面積有最大值為，
此時P2P1＝，P2P3＝，
令﹣x2+8＝，
解得：x＝±，
∴此時P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣+≤x≤．
2.（2024春?江岸區(qū)校級月考）在建筑工人臨時宿舍外，有兩根高度相等且相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD間拉起一根晾衣繩，由于繩子本身的重力，使繩子無法繃直，其形狀可近似看成拋物線y＝x2+bx+c．已知繩子最低點距離地面米．以點B為坐標(biāo)原點，直線BD為x軸，直線AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示．
（1）求立柱AB的長度；
（2）一段時間后，繩子被抻長，下垂更多，為了防止衣服碰到地面，在線段BD之間與AB相距4米的地方加上一根立柱MN撐起繩子，這時立柱左側(cè)的拋物線F1的最低點相對點A下降了1米，距立柱MN也是1米，如圖2所示，求MN的長；
（3）若加在線段BD之間的立柱MN的長度是2.4米，并通過調(diào)整MN的位置，使拋物線F1的開口大小與拋物線y＝x2+1的開口大小相同，頂點距離地面1.92米，直接寫出MN與CD的最近距離為 4米 ．
【解答】解：（1）由題意拋物線的解析式為y＝（x﹣5）2+，
即y＝x2﹣x+3，
令x＝0，得到y(tǒng)＝3，
∴AB＝3米；
（2）由題意設(shè)拋物線F1的解析式為y＝a（x﹣3）2+2，
把A（0，3）代入解析式得：3＝a（0﹣3）2+2，
解得：a＝，
∴y＝（x﹣3）2+2，
當(dāng)x＝4時，y＝，
∴MN＝米；
（3）拋物線F1的開口大小與拋物線的開口大小相同，頂點距離地面1.92米，
∴設(shè)拋物線F1的解析式為y＝（x﹣h）2+1.92，
把A（0，3）代入解析式得：3＝（﹣h）2+1.92，
解得：h1＝﹣3.6（舍去），h2＝3.6，
∴拋物線F1的解析式為y＝（x﹣3.6）2+1.92，
∵M(jìn)N＝2.4，
∴當(dāng)y＝2.4時，（x﹣3.6）2+1.92＝2.4，
解得：x1＝1.2，x2＝6，
當(dāng)x＝1.2時，DM＝10﹣1.2＝8.8（米），
當(dāng)x＝6時，DM＝10﹣6＝4（米），
∵4＜8.8，
∴MN與CD的最近距離為4米．
故答案為：4米．
3.（2024?赤峰）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對該項目中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計了以下三個問題，請你解決．
（1）如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道ACB所在拋物線的解析式為 y＝（x+3）2+ ；
（2）如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離OE＝12米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離DE不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線BD恰好與拋物線ACB關(guān)于點B成中心對稱．
①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的解析式；
②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；
（3）為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進(jìn)行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架MN，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架BM．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與BM平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架MN上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結(jié)果保留根號）．
【解答】解：（1）由題意，水滑道ACB所在拋物線的頂點C（﹣3，），
∴可設(shè)拋物線為y＝a（x+3）2+．
又B（0，2），
∴2＝a（0+3）2+．
∴a＝．
∴拋物線為y＝（x+3）2+．
故答案為：y＝（x+3）2+．
（2）①由題意，∵拋物線BD恰好與拋物線ACB關(guān)于點B成中心對稱，
∴拋物線BD的頂點與拋物線ACB的頂點C關(guān)于點B成中心對稱．
∴B是它們的中點．
又C（﹣3，），B（0，2），
∴拋物線BD的頂點為（3，）．
∴此人騰空后的最大高度為米．
又此時可設(shè)拋物線BD為y＝a'（x﹣3）2+，
將B（0，2）代入得，
∴a'（0﹣3）2+＝2．
∴a'＝﹣．
∴拋物線BD的解析式y(tǒng)＝﹣（x﹣3）2+．
②由①得y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0，
∴0＝﹣（x﹣3）2+．
∴x＝8或x＝﹣2（舍去）．
∴OD＝8米．
又OE＝12米，
∴DE＝12﹣8＝4＞3．
∴落點D在安全范圍內(nèi)．
（3）由題意，如圖，EF即為所求鋼架．
∵ACB所在拋物線y＝（x+3）2+，
令y＝4，
∴4＝（x+3）2+．
∴x＝﹣8或x＝2（舍去）．
∴M（﹣8，4）．
又B（0，2），
∴直線BM為y＝﹣x+2．
∵EF∥BM，
∴可設(shè)EF為y＝﹣x+m．
聯(lián)立方程組，
∴（x+3）2+＝﹣x+m．
∴x2+8x﹣8m+16＝0．
∴Δ＝64﹣4（﹣8m+16）＝0．
∴m＝0
∴直線EF為y＝﹣x，過原點，即F與O重合．
∵M(jìn)（﹣8，4），
∴令x＝﹣8，則y＝﹣x＝﹣×（﹣8）＝2．
∴OE＝2米，ON＝8米．
又∠ENO＝90°，
∴EF＝EO＝＝2（米）．
答：這條鋼架的長度為2米．
4．（2024秋?青山區(qū)期中）如圖，是某公園的一座拋物線形拱橋，夏季正常水位時拱橋的拱頂?shù)剿鍭B的距離為1.8m，秋季水位會下降約0.2m，此時水面CD寬度約為4.0m．
（1）如圖1，以AB的中點O為原點，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，請求拋物線的解析式；
（2）一天小明媽媽帶著小明乘坐腳踏游船想要從橋下通過，已知游船的寬度約為1.6m，船頂高出水面約為1.3m，為保證安全，游船要盡量從橋下正中間通過，且船頂與拱橋至少要間隔0.1m，請問當(dāng)水位處于正常水位（即水面為AB）時，游船是否能夠通過？并說明理由；
（3）如圖2，國慶節(jié)期間為裝點節(jié)日的氣氛，公園決定在拱橋上掛一串小彩燈，這串彩燈在拱橋中間部分與水面接近平行，兩邊自然垂下且關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，彩燈兩端的最低點到水面CD的距離為1.4m，求這串彩燈的最大長度．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+k（a≠0），
由題意得：拱頂?shù)淖鴺?biāo)為（0，1.8），點D的坐標(biāo)為（2，﹣0.2），
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+1.8；
（2）游船能夠通過．
理由：由（1）得：拋物線解析式為：y＝﹣x2+1.8，
當(dāng)x＝0.8時，y＝﹣×0.82+1.8＝1.48．
∵1.48＞1.3+0.1，
∴游船能夠通過；
（3）設(shè)此時彩燈與拋物線交于點M（a，﹣a2+1.8），
∴PM＝2a，
∵彩燈兩端的最低點到水面CD的距離為1.4m，秋季水位會下降約0.2m，
∴彩燈的最低點Q在直線y＝1.2上，
∴點N為（a，1.2），
∴MN＝﹣a2+0.6，
設(shè)彩燈的長度為w，
w＝PM+2MN
＝2a﹣a2+1.2
＝﹣a2+2a+1.2，
∵﹣1＜0，
∴a＝1時，w最大，w最大＝﹣1+2+1.2＝2.2．
答：這串彩燈的最大長度為2.2米．
例2．（2024?德化縣模擬）某航模小組研制了一種航模飛機，為了測試航模飛機的性能，飛機從水平放置的圓柱形發(fā)射臺的上底面中心A處起飛，其飛行軌跡是一條拋物線．以發(fā)射臺的下底面中心O為坐標(biāo)原點，過原點的水平線為x軸，OA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．若發(fā)射臺的高度OA為1m，測得當(dāng)飛行的水平距離為1m時，飛機的飛行高度為2.8m；當(dāng)飛行的水平距離為3m時，飛機的飛行高度為5.2m．
（1）求拋物線的解析式．
（2）求飛機飛行的最大高度及最遠(yuǎn)距離．
（3）由于發(fā)射臺可以上下升降，保證其他起飛條件不變的前提下，拋物線隨著起飛點A的上下平移而上下平移．如圖，在水平線x軸上設(shè)置回收區(qū)域PQ，OP＝11m，PQ＝1m，要使飛機恰好降落到PQ內(nèi)（包括端點P，Q），直接寫出發(fā)射臺的高度OA的取值范圍．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線表達(dá)式為：y＝ax2+bx+1，
將（1，2.8），（3，5.2）代入得，
解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣5）2+6，
∴飛機飛行的最大高度為6m，
當(dāng)y＝0時，即﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得x1＝5+，x2＝5﹣，
∴飛機飛行的最遠(yuǎn)距離為（5+）m；
（3）∵OP＝11m，PQ＝1m，
∴P（11，0），Q（12，0），
設(shè)平移后的拋物線為：y＝﹣（x﹣5）2+6+k，
將（11，0）代入得：﹣（11﹣5）2+6+k＝0，
解得：k＝1.2，
將（12，0）代入得：﹣（12﹣5）2+6+k＝0，
解得：k＝3.8，
∴1+1.2≤OA≤1+3.8，
即2.2≤OA≤4.8．
故發(fā)射臺的高度OA的取值范圍為：2.2≤OA≤4.8．
變式練習(xí)：
1．（2024秋?洛龍區(qū)期中）16世紀(jì)中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術(shù)模擬火箭運行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線y＝ax2+x和直線．其中，當(dāng)火箭運行的水平距離為9km時，自動引發(fā)火箭的第二級．若火箭第二級的引發(fā)點的高度為3.6km．
（1）求a，b的值；
（2）火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低1.35km，求這兩個位置之間的距離．
【解答】解：（1）由題意可得：
拋物線y＝ax2+x和直線均經(jīng)過點（9，3.6），
∴3.6＝81a+9，，
∴，b＝8.1；
（2）由①知：，，
∴，
∴最大值．
當(dāng)時，
則，
解得x1＝12，x2＝3，
又∵由題意可得，若火箭第二級的引發(fā)點的高度為3.6km，
∴x1＝12不合題意，舍去；
∴當(dāng)火箭第二級高度y＝2.4km時，代入數(shù)據(jù)可得：，
∴x＝11.4，
11.4﹣3＝8.4（km），
∴這兩個位置之間的距離8.4km．
2．（2024?北京一模）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．如果她從點A（3，10）起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平時訓(xùn)練完成一次跳水動作時，全紅嬋的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出k的值為 11.25 ，直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式： y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25 ；
（2）比賽當(dāng)天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣5x2+40x﹣68，記她訓(xùn)練的入水點的水平距離為d1；比賽當(dāng)天入水點的水平距離為d2，則d1 ＜ d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達(dá)最高點B開始計時，若點B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時間t之間近似滿足y＝﹣5t2+c，如果全紅嬋在達(dá)到最高點后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的270C動作，請通過計算說明，她當(dāng)天的比賽能否成功完成此動作？
【解答】解：（1）由表格可知，圖象過點（3，10），（4，10），（4.5，6.25），
∴h＝＝3.5，
∴y＝a（x﹣3.5）2+k，
∴，
解得：，
∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
故答案為：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
（2∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
當(dāng)y＝0時：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x＝5或x＝2（不合題意，舍去）；
∴d1＝5米；
∵y＝﹣5x2+40x﹣68，
當(dāng)y＝0時：﹣5x2+40x﹣68＝0，
解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合題意，舍去）；
∴d2＝+4＞5，
∴d1＜d2，
故答案為：＜；
（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，
∴B（4，12），
∴c＝12，
∴y＝﹣5t2+12，
當(dāng)t＝1.6時，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，
∵﹣0.8＜0，
即她在水面上無法完成此動作，
∴她當(dāng)天的比賽不能成功完成此動作．
3．（2024秋?洪山區(qū)期中）2024年巴黎奧運會跳水比賽項目中，中國“夢之隊”以8金2銀1銅完美收官．如圖，某跳水運動員進(jìn)行3米跳板跳水比賽，身體（看成一點）在空中運動的路線是如圖所示的一條拋物線，已知跳板AB長為2米，跳板距離水面CD的高BC為3米，跳水曲線在離起跳點A水平距離1米時達(dá)到距水面最大高度k米，現(xiàn)以CD所在直線為x軸，CB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）當(dāng)k＝時，求這條拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，求運動員落水點與點C的距離；
（3）圖中米，CF＝6米，若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)（含點E，F(xiàn)）入水時才能達(dá)到訓(xùn)練要求，求k的取值范圍．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，可得拋物線頂點坐標(biāo)M（3，k），A（2，3），
又∵k＝，
∴可設(shè)拋物線解析為：y＝a（x﹣3）2+，
則3＝a（2﹣3）2+，
解得：a＝﹣，
故拋物線解析式為：y＝﹣（x﹣3）2+；
（2）根據(jù)題意，拋物線解析式為：y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0，則0＝﹣（x﹣3）2+，
解得：x1＝3+，x2＝3﹣（舍去）．
∴運動員落水點與點C的距離為（3+）米；
（3）根據(jù)題意，拋物線解析式為：y＝a（x﹣3）2+k，
將點A（2，3）代入可得：a+k＝3，即a＝3﹣k
若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)（含點E，F(xiàn)）入水，
則當(dāng)x＝時，y＝a+k≥0，即（3﹣k）+k≥0，
解得：k≤，
當(dāng)x＝6時，y＝9a+k≤0，即9（3﹣k）+k≤0，
解得：k≥，
故≤k≤．
4．（2024秋?閻良區(qū)期中）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
【解答】解：任務(wù)1，由題意可知，A（0，0.9），B（6，0.9），E（1，1.4）．
把B（6，0.9），E（1，1.4）代入y＝ax2+bx+0.9，得，
∴．
任務(wù)2，不能．理由如下：
由任務(wù)1知，該拋物線的解析式為 y＝﹣0 1x2+0.6x+0.9，
又∵y＝﹣0.1x2+0 6x+0.9＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，1.8），即繩子甩到最高處時最高點的高度為1.8米．
∵1.85＞1.8，
∴他站立時繩子不能順利從他頭頂越過．
5．（2024秋?思明區(qū)校級期中）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
【解答】解：（1）由題意，點A的坐標(biāo)為（1，18），且點A在滑道所在的拋物線上，
將x＝1，y＝18代入，得：18＝﹣4+c，
解得：c＝，
因此滑道對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣4x+；
（2）當(dāng)v＝5，t＝1時，h＝6t2＝6，l＝vt＝5×1＝5，
當(dāng)x＝5+1＝6時，y＝×62﹣4×6+＝5，OB﹣h＝18﹣6＝12＞5，
因此運動員此時沒有落在滑道上；
（3）設(shè)飛行的高度與跳臺滑道的垂直距離為：y′，
則y′＝（﹣x2+x+t）﹣（x2﹣4x+）＝﹣（x﹣）2+t﹣，
∵飛行的高度與跳臺滑道的垂直距離在8～10米的范圍內(nèi)即可獲得獎勵，
∴8＜t﹣＜10，
∴17.7＜t＜19.7，
當(dāng)t＝18或19時，該滑雪愛好者能夠獲得獎勵．
6．（2024秋?馬尾區(qū)期中）綜合與實踐
問題情境：如圖1，矩形MNKL是學(xué)?；▓@的示意圖，其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點A，B在矩形的邊MN上．現(xiàn)要對該花壇內(nèi)種植區(qū)域進(jìn)行劃分，以種植不同花卉，學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計方案．
方案設(shè)計：如圖2，AB＝6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點P，與AB交于點O，點P是拋物線的頂點，且PO＝9米．欣欣設(shè)計的方案如下：
第一步：在線段OP上確定點C，使∠ACB＝90°，用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區(qū)域，種植串串紅；
第二步：在線段CP上取點F（不與C，P重合），過點F作AB的平行線，交拋物線于點D，E．用籬笆沿DE，CF將線段AC，BC與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季．
方案實施：學(xué)校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長．為此，欣欣在圖2中以AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．請按照她的方法解決問題：
（1）在圖2中畫出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求6米材料恰好用完時DE與CF的長．
【解答】解：（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
∵OP所在直線是AB的垂直平分線，且AB＝6，
∴OA＝OB＝AB＝×6＝3．
∴點B的坐標(biāo)為（3，0），
∵OP＝9，
∴點P的坐標(biāo)為（0，9），
∵點P是拋物線的頂點，
∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+9，
∵點B（3，0）在拋物線y＝ax2+9 上，
∴9a+9＝0，
解得：a＝﹣1．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）；
（2）點D，E在拋物線y＝﹣x2+9 上，
∴設(shè)點E的坐標(biāo)為（m，﹣m2+9），
∵DE∥AB，交y軸于點F，
∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+9，
∴DE＝2m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OC＝AB＝×6．
∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6，
根據(jù)題息，得DE+CF＝6，
∴﹣m2+6+2m＝6，
解得：m1＝2，m＝0（不符合題意，舍去），
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝﹣m2+6＝2
答：DE的長為4米，CF的長為2米．
7．（2024秋?樂清市期中）如圖，某跳水運動員進(jìn)行10米跳臺跳水訓(xùn)練，水面邊緣點C的坐標(biāo)為．運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經(jīng)過原點O的拋物線．在跳某個規(guī)定動作時，運動員在空中最高處A點的坐標(biāo)為，正常情況下，運動員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰、打開動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會失誤．
（1）求運動員在空中運動時對應(yīng)拋物線的解析式并求出入水處B點的坐標(biāo)；
（2）若運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，恰好距點C的水平距離為5米，問該運動員此次跳水會不會失誤？通過計算說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，將（0，0）代入得：
，
∴拋物線的解析式為，
當(dāng)y＝﹣10時，，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，﹣10）；
（2）當(dāng)距點E水平距離為5時，對應(yīng)的橫坐標(biāo)為，
將代入，
即，
∵，
∴該運動員此次跳水失誤了．
8．（2024秋?羅定市期中）海豚是生活在海洋里的一種動物，它行動敏捷，彈跳能力強，羅定海洋公園里的海豚表演吸引了眾多家庭前來觀看．在進(jìn)行跳水訓(xùn)練時，海豚身體（看成一點）在空中的運動路線可以近似看成拋物線的一部分．如圖，在某次訓(xùn)練中，以海豚起跳點（出水點）O為原點，點O與海豚落水點（水面）所在直線為x軸，垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，海豚離水面的高度y（單位：m）與距離起跳點O的水平距離x（單位：m）之間具有函數(shù)關(guān)系y＝ax2+2x，海豚在跳起過程中碰到（不改變海豚的運動路徑）飼養(yǎng)員吊在空中的小球，小球與點O的水平距離為3m，與水面的高度為4.5m．
（1）求海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度；
（2）當(dāng)海豚離水面的高度是時，求與起跳點O的水平距離．
【解答】解：（1）海豚離水面的高度y（單位：m）與距離起跳點O的水平距離x（單位：m）之間具有函數(shù)關(guān)系y＝ax2+2x，把（3，4.5）代入得：
9a+2×3＝4.5，
解得，
∴，
∴海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是6m；
（2）由題意得：，
解得x1＝8，x2＝4，
答：海豚與起跳點O的水平距離是8m或4m．
9．（2024秋?西城區(qū)校級期中）如圖1，某公園在入園處搭建了一道“氣球拱門”，拱門兩端落在地面上，若將拱門看作拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)拱門上的點到O點的水平距離為x（單位：m）時，它距地面的豎直高度為y（單位：m）．
（1）經(jīng)過對拱門進(jìn)行測量，發(fā)現(xiàn)x與y的幾組數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該拱門的高度（即最高點到地面的距離）和跨度（即拱門底部兩個端點間的距離），并求y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式．
（2）在一段時間后，公園重新維修拱門，在同樣的坐標(biāo)系下，新拱門上的點距地面的豎直高度y（單位：m）與它到O點的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.18（x﹣h）2+7.30，若記原拱門的跨度為d1，新拱門的跨度為d2，則d1 ＜ d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【解答】解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)可得：拱門對應(yīng)的拋物線經(jīng)過（2，4）和（10，4），
∴拱門對應(yīng)的拋物線的對稱軸為x＝＝6，
∴拱門對應(yīng)的拋物線的頂點坐標(biāo)為（6，7.2），
∴拱門的高度（即最高點到地面的距高）為7.2米．
由題意：拱門對應(yīng)的拋物線經(jīng)過（0，0）和（12，0），
∴拱門的跨度（即拱門底部兩個端點間的距離）＝12﹣0＝12（米）．
設(shè)y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣6）2+7.2，
將（2，4）代入得：4＝16a+7.2，
∴a＝﹣0.2．
∴y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣0.2（x﹣6）2+7.2；
（2）將（0，0）代入y＝﹣0.18（x﹣h）2+7.30，
則0＝﹣0.18（0﹣h）2+7.30，
解得：h＝±（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），
∴拋物線y＝﹣0.18（x﹣h）2+7.30與x軸的另一個交點為（，0），
∴新拱門的跨度為d2＝．
∵＝122＝144＝，＝，
∴，
∴d1＜d2．
故答案為：＜．
10.（2024?東城區(qū)一模）小明是一位羽毛球愛好者，在一次單打訓(xùn)練中，小明對“挑球”這種擊球方式進(jìn)行路線分析，球被擊出后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，擊球點P到球網(wǎng)AB的水平距離OB＝1.5m．
小明在同一擊球點練習(xí)兩次，球均過網(wǎng)，且落在界內(nèi)．
第一次練習(xí)時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．
第二次練習(xí)時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）的幾組數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上述信息，回答下列問題：
（1）直接寫出擊球點的高度；
（2）求小明第二次練習(xí)時，羽毛球的飛行高度y與水平距離x滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)第一次、第二次練習(xí)時，羽毛球落地點與球網(wǎng)的距離分別為d1，d2，則d1 ＜ d2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝﹣0.2（0﹣2.5）2+2.35＝1.1，
故擊球點的高度為1.1m；
（2）由表格信息可知，第二次練習(xí)時，拋物線的頂點為（3，2），
設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣3）2+2，
過點（4，1.9），
∴1.9＝a（4﹣3）2+2，
解得a＝﹣0.1，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣0.1（x﹣3）2+2，
（3）∵第一次練習(xí)時，當(dāng)y＝0時，0＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．
解得x1＝+2.5，x2＝﹣+2.5＜0（舍去），
∴d1＝+2.5﹣1.5＝+1，
∵第二次練習(xí)時，當(dāng)y＝0時，0＝﹣0.1（x﹣3）2+2．
解得x1＝+3，x2＝﹣+3＜0（舍去），
∴d2＝+3﹣1.5＝+1.5，
∵+1＜+1.5，
∴d1＜d2，
故答案為：＜
11．（2024秋?武漢期中）小嘉同學(xué)經(jīng)常運用數(shù)學(xué)知識對羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，C在x軸上，球網(wǎng)AB與y軸的水平距離OA＝3m，CA＝2m，擊球點P在y軸上．若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系C1：y＝﹣0.4（x﹣a）2+3.2；若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足一次函數(shù)關(guān)系C2：y＝﹣0.4x+b，且當(dāng)羽毛球的水平距離為2m時，飛行高度為2m．
（1）求a，b的值．
（2）小嘉經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，若選擇扣球的方式，剛好能使球過網(wǎng)，求球網(wǎng)AB的高度．并通過計算判斷如果選擇吊球的方式能否使球過網(wǎng)．
（3）通過對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若擊球高度下降0.3m，則在吊球路線的形狀保持不變的情況下，直接寫出他應(yīng)該向正前方移動 米吊球，才能讓羽毛球剛好落在點C正上方0.4m處．
【解答】解：（1）∵扣球時，當(dāng)羽毛球的水平距離為2m時，飛行高度為2m，
∴﹣0.8+b＝2，
解得b＝2.8，
∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣0.4x+2.8；
當(dāng)x＝0時，y＝2.8，
則點P的坐標(biāo)為（0，2.8），
∴2.8＝﹣0.4（0﹣a）2+3.2，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去）；
（2）令y＝﹣0.4x+2.8中x＝3，則y＝﹣0.4×3+2.8＝1.6，
∴球網(wǎng)AB的高度為1.6m，
選擇吊球，二次函數(shù)y＝﹣0.4（3﹣1）2+3.2＝1.6，
∴選擇吊球的方式也剛好能使球過網(wǎng)；
（3）∵吊球路線的形狀保持不變，擊球高度下降0.3m，
∴點P的坐標(biāo)為（0，2.5），
設(shè)向前移動m米，則二次函數(shù)解析式為y＝﹣0.4（x﹣1﹣m）2+c，
將點（5，0.4）及點P的坐標(biāo)代入，
得，
解得，
∴他應(yīng)該向正前方移動米吊球，才能讓羽毛球剛好落在點C正上方0.4m處．
12．（2024秋?香洲區(qū)校級期中）雜技團進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點）的路線是拋物線的一部分，如圖所示．
（1）求演員彈跳離地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.6米，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4米，問這次表演是否成功？請說明理由．
【解答】解：（1）由題意，∵二次函數(shù)為y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴當(dāng)x＝時，y有最大值，y最大值＝．
∴演員彈跳離地面的最大高度是4.5米．
（2）能成功表演．理由是：
當(dāng)x＝4時，y＝﹣×42+2×4+2＝3.6．
即點B（4，3.6）在拋物線y＝﹣x2+2x+2上，
因此，能表演成功．
13．（2024??？悼h模擬）如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器．將發(fā)石車置于山坡底部O處，以點O為原點，水平方向為x軸方向，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，將發(fā)射出去的石塊當(dāng)作一個點看，其飛行路線可以近似看作拋物線y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墻，其豎直截面為ABCD，墻寬BC＝2米，BC與x軸平行，點B與點O的水平距離為28米、垂直距離為6米．
（1）若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為10米，
①求拋物線的解析式；
②試通過計算說明石塊能否飛越防御墻；
（2）若要使石塊恰好落在防御墻頂部BC上（包括端點B、C），求a的取值范圍．
【解答】解：（1）①設(shè)石塊運行的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x﹣20）2+10，
把（0，0）代入解析式得：400a+10＝0，
解得：a＝﹣，
∴解析式為：y＝﹣（x﹣20）2+10，即y＝﹣x2+x（0≤x≤40）；
②石塊能飛越防御墻AB，理由如下：
把x＝30代入y＝﹣x2+x得：
y＝﹣×900+30＝7.5，
∵7.5＞6，
∴石塊能飛越防御墻AB；
（3）由題可知B（28，6），拋物線y＝a（x﹣20）2+k，
∴把（0，0），（28，6）代入得：，
解得a＝﹣；
把C（30，6），（0，0）代入解析式，
解得a＝﹣，
∴a的取值范圍為﹣≤a≤﹣．
14．（2024秋?邕寧區(qū)校級月考）小明同學(xué)探究“二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2+k中k的值與圖象和x軸兩個交點之間的距離s的數(shù)量關(guān)系（k＞0），經(jīng)實際的操作測量數(shù)據(jù)小明繪制出了如下數(shù)據(jù)表格（表1），然后在平面直角坐標(biāo)系中，描出表格中各對數(shù)值所對的點，得到圖2．小明由圖二中點的分布情況得到了的結(jié)論．將該圖象起名為“躺平的拋物線”
【發(fā)現(xiàn)問題】課后小明在拋擲一個乒乓球時，發(fā)現(xiàn)其運動軌跡與水平距離，最大高度有一定的規(guī)律和聯(lián)系，于是使用頻閃相機進(jìn)行探究．
【提出問題】每次該球反彈的最大高度有什么規(guī)律？如何求得乒乓球的大致水平移動距離？
【得到規(guī)律】多次實驗后，小明發(fā)現(xiàn)該球的運動軌跡可以用二次函數(shù)來刻畫，近似看作如圖3所示y＝﹣（x﹣h）2+k的圖象，每次反彈后的最大高度是上一次的．
【分析思路】認(rèn)真思考后，小明很快想到了計算方法．以地面為x軸，拋出點到地面垂直距離所在直線為y軸，小球運動方向和地面上方分別為兩軸正方向（小球的體積，半徑忽略不計）．利用公式，可求出s值，如圖3所示．
【解決問題】小明拋出乒乓球后，該球在距拋出點水平距離0.5m處到達(dá)最大高度2m．該球在第五次觸地后不再反彈，滾動2m后停止運動．
（1）設(shè)第一段拋物線為C1，求出C1的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求該球停止運動時距拋出點的水平距離．
【解答】解：（1）∵該球在距拋出點水平距離0.5m處到達(dá)最大高度2m．
∴y＝﹣（x﹣0.5）2+2；
（2）令0＝﹣（x﹣0.5）2+2，
解得：（舍）；
∵每次反彈后的最大高度是上一次的，
∴第一次觸地反彈后的最大高度為：（m），；
第二次觸地反彈后的最大高度為：m，；
第三次觸地反彈后的最大高度為：m，；
第四次觸地反彈后的最大高度為：m，；
∴該球停止運動時距拋出點的水平距離為：．
水平距離x/m
0
3
3.5
4
4.5
豎直高度y/m
10
10
k
10
6.25
問題背景
如圖1是某校利用大課間開展陽光體育跳大繩活動的瞬間，跳繩時，繩甩到最高處時的形狀可以看作拋物線，為了了解學(xué)生的身高與跳繩時所站位置之間的關(guān)系，九年級數(shù)學(xué)實踐活動小組開展了一次探究活動．

素材1
如圖2，小組成員測得甲、乙兩名同學(xué)拿繩的手間距AB為6米，到地面的距離AO和BD均為0.9米．

素材2
如圖2，身高為1.4米的小麗站在距點O的水平距離為1米的點F處，繩子甩到最高處時剛好通過她的頭頂點E．以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
問題解決
任務(wù)1
設(shè)此拋物線的解析式為y＝ax2+bx+0.9，求a、b的值．
任務(wù)2
身高為1.85米的張老師也想?yún)⒓哟舜翁K活動，問：他站立時繩子能否順利從他頭頂越過？請說明理由.
如何設(shè)計滑雪愛好者滑雪軌跡問題？
素材1
圖1是某跳臺滑雪場地的截面示意圖．平臺AB長為1米，平臺AB距地面18米．以地面所在直線為x軸，過點B垂直于地面的直線為y軸，取1米為單位長度，建立如圖2的平面直角坐標(biāo)系．已知滑道對應(yīng)的函數(shù)為．



素材2
運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落過程中的某位置（忽略空氣阻力）．設(shè)運動員飛出時間為t秒，運動員與點A的豎直距離為h米，運動員與點A的水平距離為l米．
素材3
實驗表明：h＝6t2，l＝vt．
素材4
滑雪場規(guī)定：滑雪愛好者在飛行的過程中，若5≤x≤7時，飛行的高度與跳臺滑道的垂直距離在8～10米的范圍內(nèi)即可獲得獎勵．
問題解決
任務(wù)1
確定滑道形狀
根據(jù)圖2，求滑道拋物線的解析式；
任務(wù)2
確定滑雪愛好者與滑道位置關(guān)系
根據(jù)圖3，當(dāng)v＝5，t＝1時，判斷此時滑雪愛好者是否在滑道上？
任務(wù)3
確定滑雪愛好者的滑雪方案
滑雪愛好者從A處飛出，飛出的路徑近似看成函數(shù)，若該滑雪愛好者能夠獲得獎勵，求整數(shù)t的值．
x/m
2
3
6
8
10
12
y/m
4
5.4
7.2
6.4
4
0
水平距離x/m
0
1
2
3
4
飛行高度y/m
1.1
1.6
1.9
2
1.9

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