全國通用 中考數(shù)學 二次函數(shù)壓軸題專題練習 27實際應用之拋物線形綜合（不含答案版）

這是一份全國通用 中考數(shù)學 二次函數(shù)壓軸題專題練習 27實際應用之拋物線形綜合（不含答案版），共15頁。試卷主要包含了問題提出，根據(jù)以下素材，探索完成任務，綜合與實踐等內(nèi)容，歡迎下載使用。
在2024年中考即將到來之際，學校準備開展“百日誓師，指戰(zhàn)中考”活動，小星同學對會場進行裝飾．
如圖1所示，他在會場的兩墻AB、CD之間懸掛一條近似拋物線的彩帶，如圖2所示，已知墻AB與CD等高，且AB、CD之間的水平距離BD為8米．
（1）建立模型如圖2，直接寫出兩墻AB、CD的高度，拋物線的頂點坐標；
解決問題
（2）為了使彩帶的造型美觀，小星把彩帶從點M處用一根細線吊在天花板上，如圖3所示，使得點M到墻AB距離為3米，使拋物線F1的最低點距墻AB的距離為2米，離地面2米，求點M到地面的距離；
（3）為了盡量避免人的頭部接觸到彩帶，小星現(xiàn)將M到地面的距離提升為3米，通過適當調(diào)整M的位置，使拋物線F2對應的二次函數(shù)的二次項系數(shù)始終為，若設(shè)點M距墻AB的距離為m米，拋物線F2的最低點到地面的距離為n米，探究n與m的關(guān)系式，當2≤n≤時，求m的取值范圍．
對應練習：
1．（2022?安徽）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．
（1）求此拋物線對應的函數(shù)表達式；
（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段P1P2，P2P3，P3P4，MN長度之和，請解決以下問題：
（?。┬藿ㄒ粋€“”型柵欄，如圖2，點P2，P3在拋物線AED上．設(shè)點P1的橫坐標為m（0＜m≤6），求柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達式和l的最大值；
（ⅱ）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的“”型和“”型兩種設(shè)計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時點P1的橫坐標的取值范圍（P1在P4右側(cè)）．
2.（2024春?江岸區(qū)校級月考）在建筑工人臨時宿舍外，有兩根高度相等且相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD間拉起一根晾衣繩，由于繩子本身的重力，使繩子無法繃直，其形狀可近似看成拋物線y＝x2+bx+c．已知繩子最低點距離地面米．以點B為坐標原點，直線BD為x軸，直線AB為y軸建立平面直角坐標系，如圖1所示．
（1）求立柱AB的長度；
（2）一段時間后，繩子被抻長，下垂更多，為了防止衣服碰到地面，在線段BD之間與AB相距4米的地方加上一根立柱MN撐起繩子，這時立柱左側(cè)的拋物線F1的最低點相對點A下降了1米，距立柱MN也是1米，如圖2所示，求MN的長；
（3）若加在線段BD之間的立柱MN的長度是2.4米，并通過調(diào)整MN的位置，使拋物線F1的開口大小與拋物線y＝x2+1的開口大小相同，頂點距離地面1.92米，直接寫出MN與CD的最近距離為 ．
3.（2024?赤峰）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學問題進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計了以下三個問題，請你解決．
（1）如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道ACB所在拋物線的解析式為 ；
（2）如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離OE＝12米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離DE不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線BD恰好與拋物線ACB關(guān)于點B成中心對稱．
①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的解析式；
②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；
（3）為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架MN，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架BM．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與BM平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架MN上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結(jié)果保留根號）．
4．（2024秋?青山區(qū)期中）如圖，是某公園的一座拋物線形拱橋，夏季正常水位時拱橋的拱頂?shù)剿鍭B的距離為1.8m，秋季水位會下降約0.2m，此時水面CD寬度約為4.0m．
（1）如圖1，以AB的中點O為原點，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，請求拋物線的解析式；
（2）一天小明媽媽帶著小明乘坐腳踏游船想要從橋下通過，已知游船的寬度約為1.6m，船頂高出水面約為1.3m，為保證安全，游船要盡量從橋下正中間通過，且船頂與拱橋至少要間隔0.1m，請問當水位處于正常水位（即水面為AB）時，游船是否能夠通過？并說明理由；
（3）如圖2，國慶節(jié)期間為裝點節(jié)日的氣氛，公園決定在拱橋上掛一串小彩燈，這串彩燈在拱橋中間部分與水面接近平行，兩邊自然垂下且關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，彩燈兩端的最低點到水面CD的距離為1.4m，求這串彩燈的最大長度．
例2．（2024?德化縣模擬）某航模小組研制了一種航模飛機，為了測試航模飛機的性能，飛機從水平放置的圓柱形發(fā)射臺的上底面中心A處起飛，其飛行軌跡是一條拋物線．以發(fā)射臺的下底面中心O為坐標原點，過原點的水平線為x軸，OA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．若發(fā)射臺的高度OA為1m，測得當飛行的水平距離為1m時，飛機的飛行高度為2.8m；當飛行的水平距離為3m時，飛機的飛行高度為5.2m．
（1）求拋物線的解析式．
（2）求飛機飛行的最大高度及最遠距離．
（3）由于發(fā)射臺可以上下升降，保證其他起飛條件不變的前提下，拋物線隨著起飛點A的上下平移而上下平移．如圖，在水平線x軸上設(shè)置回收區(qū)域PQ，OP＝11m，PQ＝1m，要使飛機恰好降落到PQ內(nèi)（包括端點P，Q），直接寫出發(fā)射臺的高度OA的取值范圍．
變式練習：
1．（2024秋?洛龍區(qū)期中）16世紀中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術(shù)模擬火箭運行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線y＝ax2+x和直線．其中，當火箭運行的水平距離為9km時，自動引發(fā)火箭的第二級．若火箭第二級的引發(fā)點的高度為3.6km．
（1）求a，b的值；
（2）火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低1.35km，求這兩個位置之間的距離．
2．（2024?北京一模）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標系xOy．如果她從點A（3，10）起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平時訓練完成一次跳水動作時，全紅嬋的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出k的值為 ，直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式： ；
（2）比賽當天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣5x2+40x﹣68，記她訓練的入水點的水平距離為d1；比賽當天入水點的水平距離為d2，則d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達最高點B開始計時，若點B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時間t之間近似滿足y＝﹣5t2+c，如果全紅嬋在達到最高點后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的270C動作，請通過計算說明，她當天的比賽能否成功完成此動作？
3．（2024秋?洪山區(qū)期中）2024年巴黎奧運會跳水比賽項目中，中國“夢之隊”以8金2銀1銅完美收官．如圖，某跳水運動員進行3米跳板跳水比賽，身體（看成一點）在空中運動的路線是如圖所示的一條拋物線，已知跳板AB長為2米，跳板距離水面CD的高BC為3米，跳水曲線在離起跳點A水平距離1米時達到距水面最大高度k米，現(xiàn)以CD所在直線為x軸，CB所在直線為y軸建立平面直角坐標系．
（1）當k＝時，求這條拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，求運動員落水點與點C的距離；
（3）圖中米，CF＝6米，若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)（含點E，F(xiàn)）入水時才能達到訓練要求，求k的取值范圍．
4．（2024秋?閻良區(qū)期中）根據(jù)以下素材，探索完成任務．
5．（2024秋?思明區(qū)校級期中）根據(jù)以下素材，探索完成任務．
6．（2024秋?馬尾區(qū)期中）綜合與實踐
問題情境：如圖1，矩形MNKL是學?；▓@的示意圖，其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點A，B在矩形的邊MN上．現(xiàn)要對該花壇內(nèi)種植區(qū)域進行劃分，以種植不同花卉，學校面向全體同學征集設(shè)計方案．
方案設(shè)計：如圖2，AB＝6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點P，與AB交于點O，點P是拋物線的頂點，且PO＝9米．欣欣設(shè)計的方案如下：
第一步：在線段OP上確定點C，使∠ACB＝90°，用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區(qū)域，種植串串紅；
第二步：在線段CP上取點F（不與C，P重合），過點F作AB的平行線，交拋物線于點D，E．用籬笆沿DE，CF將線段AC，BC與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季．
方案實施：學校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長．為此，欣欣在圖2中以AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標系．請按照她的方法解決問題：
（1）在圖2中畫出坐標系，并求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）求6米材料恰好用完時DE與CF的長．
7．（2024秋?樂清市期中）如圖，某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練，水面邊緣點C的坐標為．運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經(jīng)過原點O的拋物線．在跳某個規(guī)定動作時，運動員在空中最高處A點的坐標為，正常情況下，運動員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰、打開動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會失誤．
（1）求運動員在空中運動時對應拋物線的解析式并求出入水處B點的坐標；
（2）若運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，恰好距點C的水平距離為5米，問該運動員此次跳水會不會失誤？通過計算說明理由．
8．（2024秋?羅定市期中）海豚是生活在海洋里的一種動物，它行動敏捷，彈跳能力強，羅定海洋公園里的海豚表演吸引了眾多家庭前來觀看．在進行跳水訓練時，海豚身體（看成一點）在空中的運動路線可以近似看成拋物線的一部分．如圖，在某次訓練中，以海豚起跳點（出水點）O為原點，點O與海豚落水點（水面）所在直線為x軸，垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標系，海豚離水面的高度y（單位：m）與距離起跳點O的水平距離x（單位：m）之間具有函數(shù)關(guān)系y＝ax2+2x，海豚在跳起過程中碰到（不改變海豚的運動路徑）飼養(yǎng)員吊在空中的小球，小球與點O的水平距離為3m，與水面的高度為4.5m．
（1）求海豚此次訓練中離水面的最大高度；
（2）當海豚離水面的高度是時，求與起跳點O的水平距離．
9．（2024秋?西城區(qū)校級期中）如圖1，某公園在入園處搭建了一道“氣球拱門”，拱門兩端落在地面上，若將拱門看作拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標系，當拱門上的點到O點的水平距離為x（單位：m）時，它距地面的豎直高度為y（單位：m）．
（1）經(jīng)過對拱門進行測量，發(fā)現(xiàn)x與y的幾組數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該拱門的高度（即最高點到地面的距離）和跨度（即拱門底部兩個端點間的距離），并求y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式．
（2）在一段時間后，公園重新維修拱門，在同樣的坐標系下，新拱門上的點距地面的豎直高度y（單位：m）與它到O點的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.18（x﹣h）2+7.30，若記原拱門的跨度為d1，新拱門的跨度為d2，則d1 d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
10.（2024?東城區(qū)一模）小明是一位羽毛球愛好者，在一次單打訓練中，小明對“挑球”這種擊球方式進行路線分析，球被擊出后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，擊球點P到球網(wǎng)AB的水平距離OB＝1.5m．
小明在同一擊球點練習兩次，球均過網(wǎng)，且落在界內(nèi)．
第一次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．
第二次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）的幾組數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上述信息，回答下列問題：
（1）直接寫出擊球點的高度；
（2）求小明第二次練習時，羽毛球的飛行高度y與水平距離x滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)第一次、第二次練習時，羽毛球落地點與球網(wǎng)的距離分別為d1，d2，則d1 d2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
11．（2024秋?武漢期中）小嘉同學經(jīng)常運用數(shù)學知識對羽毛球比賽進行技術(shù)分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網(wǎng)AB與y軸的水平距離OA＝3m，CA＝2m，擊球點P在y軸上．若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系C1：y＝﹣0.4（x﹣a）2+3.2；若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足一次函數(shù)關(guān)系C2：y＝﹣0.4x+b，且當羽毛球的水平距離為2m時，飛行高度為2m．
（1）求a，b的值．
（2）小嘉經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，若選擇扣球的方式，剛好能使球過網(wǎng)，求球網(wǎng)AB的高度．并通過計算判斷如果選擇吊球的方式能否使球過網(wǎng)．
（3）通過對本次訓練進行分析，若擊球高度下降0.3m，則在吊球路線的形狀保持不變的情況下，直接寫出他應該向正前方移動 米吊球，才能讓羽毛球剛好落在點C正上方0.4m處．
12．（2024秋?香洲區(qū)校級期中）雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點）的路線是拋物線的一部分，如圖所示．
（1）求演員彈跳離地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.6米，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4米，問這次表演是否成功？請說明理由．
13．（2024??？悼h模擬）如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠程攻擊的武器．將發(fā)石車置于山坡底部O處，以點O為原點，水平方向為x軸方向，建立如圖2所示的平面直角坐標系，將發(fā)射出去的石塊當作一個點看，其飛行路線可以近似看作拋物線y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墻，其豎直截面為ABCD，墻寬BC＝2米，BC與x軸平行，點B與點O的水平距離為28米、垂直距離為6米．
（1）若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為10米，
①求拋物線的解析式；
②試通過計算說明石塊能否飛越防御墻；
（2）若要使石塊恰好落在防御墻頂部BC上（包括端點B、C），求a的取值范圍．
14．（2024秋?邕寧區(qū)校級月考）小明同學探究“二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2+k中k的值與圖象和x軸兩個交點之間的距離s的數(shù)量關(guān)系（k＞0），經(jīng)實際的操作測量數(shù)據(jù)小明繪制出了如下數(shù)據(jù)表格（表1），然后在平面直角坐標系中，描出表格中各對數(shù)值所對的點，得到圖2．小明由圖二中點的分布情況得到了的結(jié)論．將該圖象起名為“躺平的拋物線”
【發(fā)現(xiàn)問題】課后小明在拋擲一個乒乓球時，發(fā)現(xiàn)其運動軌跡與水平距離，最大高度有一定的規(guī)律和聯(lián)系，于是使用頻閃相機進行探究．
【提出問題】每次該球反彈的最大高度有什么規(guī)律？如何求得乒乓球的大致水平移動距離？
【得到規(guī)律】多次實驗后，小明發(fā)現(xiàn)該球的運動軌跡可以用二次函數(shù)來刻畫，近似看作如圖3所示y＝﹣（x﹣h）2+k的圖象，每次反彈后的最大高度是上一次的．
【分析思路】認真思考后，小明很快想到了計算方法．以地面為x軸，拋出點到地面垂直距離所在直線為y軸，小球運動方向和地面上方分別為兩軸正方向（小球的體積，半徑忽略不計）．利用公式，可求出s值，如圖3所示．
【解決問題】小明拋出乒乓球后，該球在距拋出點水平距離0.5m處到達最大高度2m．該球在第五次觸地后不再反彈，滾動2m后停止運動．
（1）設(shè)第一段拋物線為C1，求出C1的函數(shù)表達式．
（2）求該球停止運動時距拋出點的水平距離．
水平距離x/m
0
3
3.5
4
4.5
豎直高度y/m
10
10
k
10
6.25
問題背景
如圖1是某校利用大課間開展陽光體育跳大繩活動的瞬間，跳繩時，繩甩到最高處時的形狀可以看作拋物線，為了了解學生的身高與跳繩時所站位置之間的關(guān)系，九年級數(shù)學實踐活動小組開展了一次探究活動．

素材1
如圖2，小組成員測得甲、乙兩名同學拿繩的手間距AB為6米，到地面的距離AO和BD均為0.9米．

素材2
如圖2，身高為1.4米的小麗站在距點O的水平距離為1米的點F處，繩子甩到最高處時剛好通過她的頭頂點E．以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系．
問題解決
任務1
設(shè)此拋物線的解析式為y＝ax2+bx+0.9，求a、b的值．
任務2
身高為1.85米的張老師也想?yún)⒓哟舜翁K活動，問：他站立時繩子能否順利從他頭頂越過？請說明理由.
如何設(shè)計滑雪愛好者滑雪軌跡問題？
素材1
圖1是某跳臺滑雪場地的截面示意圖．平臺AB長為1米，平臺AB距地面18米．以地面所在直線為x軸，過點B垂直于地面的直線為y軸，取1米為單位長度，建立如圖2的平面直角坐標系．已知滑道對應的函數(shù)為．



素材2
運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落過程中的某位置（忽略空氣阻力）．設(shè)運動員飛出時間為t秒，運動員與點A的豎直距離為h米，運動員與點A的水平距離為l米．
素材3
實驗表明：h＝6t2，l＝vt．
素材4
滑雪場規(guī)定：滑雪愛好者在飛行的過程中，若5≤x≤7時，飛行的高度與跳臺滑道的垂直距離在8～10米的范圍內(nèi)即可獲得獎勵．
問題解決
任務1
確定滑道形狀
根據(jù)圖2，求滑道拋物線的解析式；
任務2
確定滑雪愛好者與滑道位置關(guān)系
根據(jù)圖3，當v＝5，t＝1時，判斷此時滑雪愛好者是否在滑道上？
任務3
確定滑雪愛好者的滑雪方案
滑雪愛好者從A處飛出，飛出的路徑近似看成函數(shù)，若該滑雪愛好者能夠獲得獎勵，求整數(shù)t的值．
x/m
2
3
6
8
10
12
y/m
4
5.4
7.2
6.4
4
0
水平距離x/m
0
1
2
3
4
飛行高度y/m
1.1
1.6
1.9
2
1.9