1. 下列各式中是二次根式的是（ ）
A. B. C. -D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的定義即可求出答案．
【詳解】A、是三次根式；故本選項不符合題意；
B、-1＜0，無意義；故本選項不符合題意；
C、符合二次根式的定義；故本選項符合題意；
D、2不是二次根式，故本選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式的定義，形如（a≥0）叫二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式的定義．
2. 與可以合并的二次根式的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先對各個選項中的二次根式化簡為最簡二次根式（被開方數(shù)中不含分母且被開方數(shù)中不含有開得盡方的因數(shù)或因式），再在其中找的同類二次根式（化成最簡二次根式后的被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式）．
【詳解】解：A、為最簡二次根式，且與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
B、為最簡二次根式，且與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
C、，與是同類二次根式，故本選項符合題意；
D、為，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查二次根式的加減，能將各個選項中根式化簡為最簡二次根式，并能找對同類二次根式是本題的關(guān)鍵．
3. 各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（ ）
A. 9，16，25B. 0.3，0.4，0.5C. 1，，2D. 8，15，17
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股數(shù)定義勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，勾股定理：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方（a2+b2=c2）進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A、92+162≠252，不是勾股數(shù)，故選項A不是勾股數(shù)；
B、0.3，0.4，0.5不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項B不是勾股數(shù)；
C、不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項C不是勾股數(shù)；
D、82+152=172，都是正整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項符合題意；
故選：D．
【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．
4. 已知為實數(shù)，的值等于（ ）
A. 8B. 4C. 6D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，求得x、y的值，然后代入所求求值即可．
【詳解】∵x?2?0，即x?2，①
2-x?0，即x?2，②
由①②知，x=2；
∴y=4，
∴yx=42=16.
故選D.
【點睛】此題考查二次根式有意義的條件，解題關(guān)鍵在于掌握其定義.
5. 利用勾股定理，可以作出長為無理數(shù)的線段．如圖，在數(shù)軸上找到點，使，過點作直線垂直于，在上取點，使，以原點為圓心，以為半徑作弧，弧與數(shù)軸正半軸的交點為，那么點表示的無理數(shù)是（ ）
A. B. C. 7D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查勾股定理與數(shù)軸，能夠熟練應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理以及的長度，即可求出的長度，進(jìn)而點C表示的無理數(shù)．
【詳解】解：在中，，，
則：，即點C表示的無理數(shù)是．
故選：B．
6. 如圖是由邊長均為1的小正方形組成的網(wǎng)格，小正方形的頂點叫做格點，的三個頂點，，均在格點上．若，垂足為點，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積的求法，正確利用等面積法求出的長是解題關(guān)鍵．利用勾股定理得出的長，再利用等面積法得出的長．
【詳解】由題意，得，
由勾股定理，得，
∵，
∴．
∴，
故選：A．
7. 《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？題意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一處折斷，竹稍觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？則折斷處離地面的高度為（ ）
A. 4.55尺B. 5.45尺C. 4.2尺D. 5.8尺
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用．設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)勾股定理結(jié)合題意，列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，
結(jié)合勾股定理可得出：，
解得：．
∴折斷處離地面的高度為4.55尺．
故選：A．
8. 已知，化簡，的結(jié)果為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先將兩個根式的被開方數(shù)化為完全平方式，再根據(jù)a的取值范圍，判斷出底數(shù)的符號，然后根據(jù)二次根式的意義化簡．
【詳解】∵（a-）2+4=a2+2+=（a+）2，（a+）2-4=a2-2+=（a-）2，
∴原式=；
∵-1＜a＜0，
∴a+0；
∴原式==-a-+（a-）=-，
故選D．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，能夠熟練運用完全平方公式對被開方數(shù)進(jìn)行變形，是解答此題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在等腰中，，，且，以邊、、為直徑畫半圓，其中所得兩個月形圖案和（圖中陰影部分）的面積之和等于（ ）
A. 8B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理，陰影部分面積的計算，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理求出．先根據(jù)勾股定理求出，得出，根據(jù)求出結(jié)果即可．
【詳解】解：在等腰中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴
．
10. 如圖，在中，，，點、為上兩點，，點為外一點，且，，則下列結(jié)論：；；；，其中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．根據(jù)同角的余角相等可證，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證，，利用可證，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可證，故正確；連接，可證，所以可得，因為在中，，所以可證，故正確；根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，可證，是的垂直平分線，從而可得，又因為，所以，故正確；因為在中，所以，故錯誤．
【詳解】解：如下圖所示，

，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
故正確；
如下圖所示，連接，

，
，
，，
，
在和中
，
，
，
在中，
，
，
故正確；
如下圖所示，

，，
是的垂直平分線，
，，
，
故正確；
在中，，
，
，
故錯誤；
所以正確有．
故選：A．
二、填空題（本大題共6個，每小題4分，共24分）
11. 若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用分式和二次根式有意義的條件確定關(guān)于的不等式，從而確定答案．
詳解】解：根據(jù)題意得：且，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點睛】考查了二次根式及分式有意義的條件，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．
12. 已知，，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再把、的值代入進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，
原式
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，提取公因式法因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的運算法則．
13. 如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.若，，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是__________．
【答案】76
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意可知為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由延伸一倍，從而求得風(fēng)車的一個輪子，進(jìn)一步求得四個即風(fēng)車的外圍周長．
【詳解】解：依題意，可得“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個大直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，
“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個大直角三角形的斜邊長為：，
這個風(fēng)車的外圍周長是，
故答案為：76．
14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，過點作軸的垂線，為直線上一動點，連接，，則的最小值為______．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查軸對稱—最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質(zhì)．先取點A關(guān)于直線的對稱點，連交直線于點C，連，得到，，再由軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點之間線段最短，得到當(dāng)三點共線時，的最小值為，再利用勾股定理求即可．
【詳解】解：取點A關(guān)于直線的對稱點，連交直線于點C，連，
則可知，，
∴，
即當(dāng)三點共線時，的最小值為，
∵直線垂直于y軸，
∴軸，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案為：5
15. 如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達(dá)點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了__米．
【答案】9．
【解析】
【分析】Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長，再根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計算出AD長，再利用BD=AB-AD可得BD長．
【詳解】在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸邊移動了9米，
故答案為：9．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
16. 如圖，在中，，D為邊上的動點，點D從點C出發(fā)，沿邊往點A運動，當(dāng)運動到點A時停止．已知點D運動的速度為每秒2個單位長度，設(shè)點 D 運動的時間為，當(dāng)是直角三角形時，t的值為___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，難點在于要分情況討論．分兩種情況討論即可．
【詳解】解：，
，
當(dāng)時，則點與點重合，
；
當(dāng)時，則，
，
，
，
；
綜上，當(dāng)t為或10時，是直角三角形．
故答案為：或．
三、解答題（本題共8小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 計算
（1）；
（2）．
（3）．
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】本題主要考查實數(shù)混合運算，二次根式混合運算，熟練掌握運算法則，是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運算法則，絕對值意義，二次根式性質(zhì)進(jìn)行計算即可；
（2）根據(jù)二次根式混合運算法則進(jìn)行計算即可；
（3）根據(jù)完全平方公式和平方差公式，結(jié)合二次根式混合運算法則進(jìn)行計算即可．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
【小問3詳解】
解：
．
18. 老師在數(shù)學(xué)課上提出這樣一個問題：已知，求的值．
小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：先將等式兩邊都除以x，得到的值，再利用完全平方公式求出．
參考小明的思路，解決下列問題：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由，等式兩邊都除以x，整理即可得出答案；
（2）根據(jù)題意，由，等式兩邊都除以x，得，再進(jìn)行整理即可得出答案．
【詳解】（1），
等式兩邊都除以x，
得，
，
，
；
（2），
等式兩邊都除以x，
得，

，
，

，
．
【點睛】本題主要考查了完全平方公式綜合應(yīng)用，根據(jù)材料得出解題方法是解題關(guān)鍵．
19. 如圖，將長方形沿著對角線折疊，點的對應(yīng)點為，交于點．若，，求的長．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，由折疊可得，由平行的性質(zhì)可得，得到，即可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由折疊可得，，
∵四邊形為長方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得，
∴的長為．
20. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩點，∠1=∠2．

（1）求證：AE=CF；
（2）求證：四邊形EBFD是平行四邊形．
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解
【解析】
【分析】（1）通過證明△ADE≌△CBF，由全等三角的對應(yīng)邊相等證得AE=CF．
（2）根據(jù)平行四邊形的判定定理：對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證得結(jié)論．
【詳解】證明：（1）如圖：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，，∠3=∠4
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，
∴∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE與△CBF中，∠3=∠4，AD=BC，∠5=∠6，
∴△ADE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF
（2）∵∠1=∠2，
∴
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF
∴四邊形EBFD是平行四邊形
21. 超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因，上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點設(shè)在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？
【答案】此車超過每小時80千米的限制速度．
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，首先，根據(jù)在直角三角形中，可得到米，，再根據(jù)在直角三角形中，可得到米，根據(jù)可求得AB的長；再結(jié)合速度的計算方法，求出車的速度，然后將車的速度與80千米/時進(jìn)行比較，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：由題意知：米，，
在中，∵，，
∴米，
中，∵，
∴，
∴米；
在中，由勾股定理得米，
∴(米)，
∵從A處行駛到B處所用的時間為3秒，
∴速度為，
∴此車超過的限制速度．
22. 閱讀下列解題過程
例：若代數(shù)式的值是，求的取值范圍．
解：原式=
當(dāng)時，原式，解得 (舍去)；
當(dāng)時，原式，符合條件；
當(dāng)時，原式，解得 (舍去)．
所以，的取值范圍是
上述解題過程主要運用了分類討論的方法，請你根據(jù)上述理解，解答下列問題：
當(dāng)時，化簡：
若等式成立，則的取值范圍是
若，求的取值．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，得出；再將原式化為去絕對值即可得出答案；
（2）先將原式化為再分，，三種情況解方程，得出符合條件的即可；
（3）先將原式化為，再分，，三種情況解方程，即可求出a的值．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，
原式===
（2）原式=
當(dāng)時，原式，解得(舍去)；
當(dāng)時，原式，符合條件；
當(dāng)時，原式，解得 (舍去)．
所以，的取值范圍是；
（3）原式=
當(dāng)時，原式，解得符合條件；
當(dāng)時，原式，次方程無解，不符合條件；
當(dāng)時，原式，解得 符合條件．
所以，的值是或．
【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，運用了數(shù)形結(jié)合的思想，在解答此類問題時要注意進(jìn)行分類討論．
23. 閱讀下列一段文字，回答問題．
【材料閱讀】平面內(nèi)兩點則由勾股定理可得，這兩點間的距離．
例如，如圖1，，則．
【直接應(yīng)用】
（1）已知，求P、Q兩點間的距離；
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，，，與x軸正半軸的夾角是．
①求點B的坐標(biāo)；
②試判斷的形狀．
【答案】（1）
（2）①；②直角三角形
【解析】
【分析】本題主要考查勾股定理及逆定理，兩點間的距離等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，準(zhǔn)確計算并熟練掌握勾股定理及逆定理．
（1）根據(jù)題意，把兩點坐標(biāo)代入到公式中計算即可；
（2）①過點作軸于點，根據(jù)題意得出，即可得到最終結(jié)果；②根據(jù)題意，計算出的長，從而得出，即可得到最終結(jié)論．
【小問1詳解】
解：∵，
∴；
【小問2詳解】
①過點B作軸于點F，
∵與x軸正半軸的夾角是，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
24. 如圖，已知中，，，，是邊上的兩個動點，其中點從點開始沿方向運動，且速度為每秒1個單位長度，點從點開始沿方向運動，且速度為每秒2個單位長度，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為秒．
（1）出發(fā)2秒后，求線段的長．
（2）為何值時，是等腰三角形？
（3）當(dāng)點在邊上運動時，求能使成為等腰三角形的運動時間．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）由題意可求出，，再根據(jù)勾股定理求解即可；
（2）由等腰三角形的定義結(jié)合勾股定理可列出關(guān)于t的等式，解之即可；
（3）分類討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時和③當(dāng)時分別求解即可．
【小問1詳解】
解：出發(fā)2秒后，，，
∴；
【小問2詳解】
解：當(dāng)是等腰三角形時，只存在，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
【小問3詳解】
解：分類討論：①當(dāng)時，如圖，
則．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴,
∴；
②當(dāng)時，如圖，
∵，
∴，
解得：；
③當(dāng)時，過點C作于點E，如圖，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
綜上可知當(dāng)或或時，為等腰三角形．
【點睛】本題考查等腰三角形的定義和性質(zhì)，勾股定理，一元一次方程的實際應(yīng)用，等積法的應(yīng)用等知識．利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．

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山東省樂陵市阜昌中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期10月九年級第一次月考數(shù)學(xué)試卷
2022屆山東省樂陵市中考押題數(shù)學(xué)預(yù)測卷含解析

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