1. 下列四個(gè)式子中是分式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分母中含有字母是分式來進(jìn)行判斷即可.
【詳解】,,分母中不含字母,不是分式;
分母中含有字母,是分式;
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式,掌握分式的概念是解題的關(guān)鍵,判斷一個(gè)代數(shù)式是分式還是整式的方法:分母中含有字母的是分式,分母中不含字母的是整式.
2. 已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系的知識(shí),解題的關(guān)鍵是掌握平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),根據(jù)題意,,,求出,,進(jìn)行解答,即可.
【詳解】解:∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,
∴,,
解得:,,
∴.
故選:B.
3. 下列分式變形正確的是( )
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查分式的基本性質(zhì),熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.利用分式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】解:A、,則該選項(xiàng)不符合題意;
B、,則該選項(xiàng)不符合題意;
C、無法約分,則該選項(xiàng)不符合題意;
D、,則該選項(xiàng)符合題意;
故選:D.
4. 2024年9月9日,工業(yè)和信息化部宣布中國首臺(tái)氟化氬光刻機(jī),實(shí)現(xiàn)套刻技術(shù),標(biāo)志著我國在高端芯片制造領(lǐng)域取得了關(guān)鍵性進(jìn)展.已知8納米米,0.000000008用科學(xué)記數(shù)法可表示為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法,科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式,其中,為整數(shù),確定的值時(shí),要看把原數(shù)變成時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同,當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí),是非負(fù)數(shù),當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí),是負(fù)數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵是要正確確定的值以及的值.
【詳解】解:,
故選:B.
5. 平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A到x軸的距離為1,到y(tǒng)軸的距離為3,且在第二象限,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)第二象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù),縱坐標(biāo)是正數(shù),點(diǎn)到x軸的距離等于縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標(biāo)的絕對(duì)值解答.
【詳解】解:∵點(diǎn)A到x軸的距離為1,到y(tǒng)軸的距離為3,且在第二象限,
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是,縱坐標(biāo)是1,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是.
故選:B.
6. 若把分式中的和都擴(kuò)大到原來的倍,那么分式的值( )
A. 縮小倍B. 擴(kuò)大倍C. 縮小D. 不變
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡,熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
運(yùn)用分式的基本性質(zhì),對(duì)分子分母約分處理.
【詳解】解:,
故選:C
7. 若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則一次函數(shù)的圖象可能為( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與性質(zhì),熟知一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
先根據(jù)題意判斷出、的符號(hào),進(jìn)而可得出結(jié)論.
【詳解】解:一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,
,,

一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限,
故選:D.
8. 某快遞公司為提高配送效率,引進(jìn)了甲、乙兩種型號(hào)的“分揀機(jī)器人”,已知甲型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量比乙型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量多50件,且甲型號(hào)分揀1000件與乙型號(hào)分揀800件所用時(shí)間相同,若設(shè)甲型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量為x件,則可列方程為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用(列分式方程),讀懂題意,根據(jù)題中的等量關(guān)系正確列出方程是解題的關(guān)鍵.
設(shè)甲型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量為件,則乙型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量為件,根據(jù)題意即可直接列出方程.
【詳解】解:設(shè)甲型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量為件,則乙型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量為件,
根據(jù)題意可得:,
故選:.
9. 關(guān)于一次函數(shù),下列說法正確的是( )
A. 圖象經(jīng)過第二、三、四象限
B. 圖象與x軸交于點(diǎn)
C. 點(diǎn)在函數(shù)圖象上
D. 點(diǎn)和在函數(shù)的圖象上,若,則
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì),數(shù)來能掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判定即可.
【詳解】A、因?yàn)椋砸淮魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤,不符合題意;
B、令,則,解得,所以圖象與x軸交于點(diǎn),所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤,不符合題意;
C、當(dāng)時(shí),,所以點(diǎn)在函數(shù)圖象上,所以選項(xiàng)C正確,符合題意;
D、因?yàn)?,,所以y隨著x的增大而減小,若點(diǎn)和在函數(shù)的圖象上,當(dāng),則,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤,不符合題意.
故選:C.
10. 若關(guān)于 x 的分式方程 的解是非負(fù)數(shù),則 m的取值范圍是( )
A. m≥-4B. m≥-4 且 m≠-3C. m≥2 且 m≠3D. m≥2
【答案】B
【解析】
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解表示出x,根據(jù)方程的解為非負(fù)數(shù)求出m的范圍即可.
【詳解】解:分式方程去分母得:m+3=x-1,
解得:x=m+4,
由方程的解為非負(fù)數(shù),得到m+4≥0,且m+4≠1,
解得:m≥-4且m≠-3.
故選:B.
【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程,分式方程的解,時(shí)刻注意分母不為0這個(gè)條件.解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題.
二.填空題(共6小題,每小題4分,共24分)
11. 要使分式有意義,的取值應(yīng)滿足______.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式有意義的條件,分式有意義則分母不能為零.
根據(jù)題意得到,得出.
【詳解】解∶ 分式有意義,
,
,
故答案為:.
12. 函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為__________.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的知識(shí),牢記直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵;根據(jù)題意,當(dāng)時(shí)計(jì)算y的值,即可得到答案.
【詳解】根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,
∴函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為,
故答案為:.
13. 將一次函數(shù)的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位,得到一次函數(shù)的圖象,則b的值為________.
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的平移,根據(jù)一次函數(shù)平移的規(guī)律即可求解,掌握一次函數(shù)平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:將一次函數(shù)的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位,得到,
∵一次函數(shù)的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位,得到一次函數(shù),
∴,
∴,
故答案為:.
14. 計(jì)算:______.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式的減法,熟練掌握分式的減法法則是解題關(guān)鍵.根據(jù)分式的減法法則計(jì)算即可得.
【詳解】解:,
故答案為:.
15. 已知,則的值為___________.
【答案】1
【解析】
【分析】本題考查代數(shù)式求值.熟練掌握整體代入思想,是解題關(guān)鍵.
根據(jù),可得,又因?yàn)椋僬w代入即可解答.
【詳解】解:∵,
∴,
∴.
故答案為:1.
16. 貨車和轎車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā),沿同一公路相向而行.轎車出發(fā)后休息,直至與貨車相遇后,以原速度繼續(xù)行駛,設(shè)兩車出發(fā)時(shí)間為x(單位:h),貨車、轎車與甲地的距離為(單位:),(單位:),圖中的線段、折線分別表示,與x之間的函數(shù)關(guān)系.則以下結(jié)論中,所有正確結(jié)論的序號(hào)為______
①轎車行駛的速度為;
②貨車行駛的速度為;
③線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為;
④兩車出發(fā)2小時(shí)或4小時(shí)后相距.
【答案】①③
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,從函數(shù)圖像獲取信息是解題的關(guān)鍵.
根據(jù)圖形可得轎車行駛(千米),用路程除以時(shí)間可得轎車的速度計(jì)可以判斷①,
根據(jù)圖形可得小時(shí)的路程為600千米,根據(jù)路程除以時(shí)間求得貨車的速度,可以判斷②;
設(shè)直線的解析式為:,待定系數(shù)法求解析式,繼而得到點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)題意得出點(diǎn)坐標(biāo)為:,然后待定系數(shù)法求解析式即可判斷③;
待定系數(shù)法求得解析式,根據(jù)當(dāng)轎車休息前與貨車相距時(shí),當(dāng)轎車休息后與貨車相距時(shí),分別列出一元一次方程,解方程即可求解判斷④.
【詳解】解:由圖象可得,轎車行駛(千米),轎車的速度為:,故①正確;
由圖象可得,貨車行駛的速度為:,故②錯(cuò)誤;
由題意可得所在直線為關(guān)于x的正比例函數(shù),
設(shè)直線的解析式為:,
將代入得:,
解得,
∴;
則時(shí),,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,
∵轎車在休息前行駛,休息后按原速度行駛,
∴轎車行駛后需.
∴點(diǎn)坐標(biāo)為:.
設(shè)線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為,
將點(diǎn)代入得:
,
解得,
∴線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為,故③正確;
設(shè)段的函數(shù)解析式為,
將代入得:
,
解得,
∴.
當(dāng)轎車休息前與貨車相距時(shí),有,

解得;
當(dāng)轎車休息后與貨車相距時(shí),有,
,
解得.
即兩車出發(fā)小時(shí)或小時(shí)后相距,故④錯(cuò)誤;
綜上分析可知:正確說法有①③,
故答案為:①③.
三.解答題(共9小題,共86分)
17. 計(jì)算:(π﹣2)0+|﹣3|﹣+(﹣)﹣2.
【答案】-
【解析】
【分析】按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】解:原式
18. 解方程:.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查解分式方程,熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵;
根據(jù)解分式方程的步驟,即可求解;
【詳解】解:原方程去分母得:,
去括號(hào):
移項(xiàng)得:
解得:,
檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,
故原方程的解為
19. 先化簡,再求值:,其中.
【答案】,
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值,先計(jì)算括號(hào)中的異分母分式減法,同時(shí)將除法寫成乘法,再計(jì)算乘法,最后將代入計(jì)算即可,掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:原式
,
當(dāng)時(shí),
原式.
20. 已知一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn),且過點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)P為該一次函數(shù)上的一點(diǎn),且點(diǎn)C為該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn),若,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
(1)利用待定系數(shù)法即可求得;
(2)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo),然后根據(jù)三角形面積公式求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo),進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
【小問1詳解】
解:根據(jù)題意得,
,
解得,
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為;
【小問2詳解】
解:令,
則,
∴,
∴一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)是,
∴,
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是,
∵,
∴,
∴或,
當(dāng)時(shí),,解得,
當(dāng)時(shí),,解得,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.
21. 下面是小華同學(xué)進(jìn)行分式化簡的過程,請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).
第一步
第二步
…第三步
…第四步
任務(wù)一:填空:①以上化簡步驟中,第二步是進(jìn)行分式的約分,約分的依據(jù)是 .
②第 步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤,這一步錯(cuò)誤的原因是 .
任務(wù)二:請(qǐng)直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果 .
【答案】任務(wù)一:①分式的基本性質(zhì);②三,通分時(shí)漏掉了分母;任務(wù)二:.
【解析】
【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算,熟練掌握分式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵.
任務(wù)一:①根據(jù)分式的基本性質(zhì),即可求解;②熟練掌握分式化簡基本步驟,即可求解;
任務(wù)二:計(jì)算分式化簡的結(jié)果,即可求解;
【詳解】解:任務(wù)一:①約分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì),
故答案為:分式的基本性質(zhì);
②第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤,錯(cuò)誤的原因是通分時(shí)漏掉了分母,
故答案為:三,通分時(shí)漏掉了分母;
任務(wù)二:原式


故答案為:.
22. 如圖,已知一次函數(shù)y=mx+3的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(2,6),B(n,-3).求:
(1)m,n的值;
(2)△OAB的面積.
【答案】(1) n=-4;(2) 9.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出m值,進(jìn)而可得出一次函數(shù)解析式,再利用一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出n值;
(2)令直線AB與y軸的交點(diǎn)為C,由直線解析式可求得點(diǎn)C(0,3),再根據(jù)S△OAB=S△OCA+S△OCB進(jìn)行求解即可.
【詳解】(1)∵一次函數(shù)y=mx+3的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(2,6),
∴6=2m+3,∴m=,
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+3.
又∵一次函數(shù)y=x+3的圖像經(jīng)過點(diǎn)B(n,-3),
∴-3=n+3,∴n=-4.
(2)令直線AB與y軸交點(diǎn)為C,
當(dāng)x=0時(shí),y=3,∴C(0,3),
∴S△OAB=S△OCA+S△OCB=×3×2+×3×|-4|=9.
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法,一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等,利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵.
23. 某商場進(jìn)貨員預(yù)測一種應(yīng)季恤衫能暢銷市場,就用400元購進(jìn)一批這種恤衫,面市后果然供不應(yīng)求.商場又用880元購進(jìn)了第二批這種恤衫,所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍,但每件的進(jìn)價(jià)貴了4元.
(1)該商場購進(jìn)第一批恤衫每件的進(jìn)價(jià)是多少元?
(2)如果兩批恤衫按相同的標(biāo)價(jià)銷售,最后缺碼的5件恤衫按六折優(yōu)惠售出,要使兩批恤衫全部售完后銷售額不低于2800元(不考慮其他因素),那么每件恤衫的標(biāo)價(jià)至少是多少元?
【答案】(1)40元 (2)100元
【解析】
【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用;
(1)設(shè)該商場購進(jìn)第一批恤衫每件的進(jìn)價(jià)是元,根據(jù)第二次所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍,再建立分式方程求解即可;
(2)求解兩批一共進(jìn)了:件,設(shè)每件恤衫的標(biāo)價(jià)至少是元,根據(jù)兩批恤衫全部售完后銷售額不低于2800元,再建立不等式解題即可.
【小問1詳解】
解:設(shè)該商場購進(jìn)第一批恤衫每件的進(jìn)價(jià)是元,則:
,解得:,
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解,
答:該商場購進(jìn)第一批恤衫每件的進(jìn)價(jià)是40元;
【小問2詳解】
解:兩批一共進(jìn)了:(件),
設(shè)每件恤衫的標(biāo)價(jià)至少是元,根據(jù)題意可得:,
解得:,
答:每件恤衫的標(biāo)價(jià)至少是100元.
24. 【閱讀理解】閱讀下面的解題過程:已知:,求的值.
解:由知,即①
②,故的值為.
(1)第①步由得到是運(yùn)用了法則:;那么第②步則是運(yùn)用了公式:______;(公式用含的式子表示)
(2)【類比探究】上題的解法叫做“倒數(shù)法”,請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的問題:
已知,求的值;
(3)【拓展延伸】已知,,,求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】此題考查了分式的求值,分式加法的逆運(yùn)算,完全平方公式的變形計(jì)算,正確理解題意掌握解題思路及分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
(1)根據(jù)完全平方公式的變形進(jìn)行解答;
(2)仿照例題計(jì)算即可;
(3)將已知三個(gè)等式相加,得到,再利用倒數(shù)法解答.
【小問1詳解】
解:第①步由得到逆用了法則:;
第②步運(yùn)用了公式:;
【小問2詳解】
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
【小問3詳解】
∵,,,
∴,
∴,
∴,
∴.
25. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,a,b滿足,連接,過點(diǎn)A作,且,連接.
(1)如圖1,求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖2,點(diǎn)D的坐標(biāo)為,在(1)的條件下作等腰,其中,,連接交y軸于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)在(2)條件下,若點(diǎn)N的坐標(biāo)是,點(diǎn)P在第二象限,且P,N,M構(gòu)成等腰直角三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1);
(2);
(3)P坐標(biāo)為或或.
【解析】
【分析】(1)先利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出A點(diǎn)的坐標(biāo)為,B點(diǎn)的坐標(biāo)為,得到,,過點(diǎn)C作軸于H,證明,則,,則,即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)G,證明,則,得到,則,即可得到求點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)分三種情況分別作出輔助線,構(gòu)造全等三角形,分別進(jìn)行求解即可.
此題考查了坐標(biāo)與圖形、三角形的全等和判定等知識(shí),作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.
【小問1詳解】
解:∵,
∴,,
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為,B點(diǎn)的坐標(biāo)為,
∴,,
如圖1,過點(diǎn)C作軸于H,
∵,,
∴,
在和中,

∴,
∴,,
∴,
∴點(diǎn);
【小問2詳解】
如圖2,過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)G,
同(1)理可證:
∴,,
∴,
在和中,
∴,



∴;
【小問3詳解】
點(diǎn)P坐標(biāo)為或或,
如圖3,當(dāng),時(shí),過點(diǎn)N作軸于Q,過點(diǎn)P作于F,
同理可證,
∴,,
∴,
∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為11,到x軸的距離為,
∴點(diǎn);
如圖4,當(dāng),時(shí),過點(diǎn)P作軸于R,過點(diǎn)N作軸于L,
同理可證,
∴,,
∴,
∴點(diǎn);
如圖5,當(dāng),時(shí),過點(diǎn)P作軸于T,過點(diǎn)M作于S,過點(diǎn)N作于W,
同理可證,
∴,,
∵,,
∴,,
∴,
∴點(diǎn),
綜上所述:點(diǎn)P坐標(biāo)為或或.

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