一．選擇題（每題4分，共40分）
1. 若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，以及解一元一次不等式，根據(jù)二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)大于等于0進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
，
解得，
故選：C．
2. 下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，涉及二次根式性質(zhì)，利用二次根式性質(zhì)逐項(xiàng)化簡(jiǎn)即可得到答案，熟記二次根式性質(zhì)及最簡(jiǎn)二次根式定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、由于，則不是最簡(jiǎn)二次根式，選項(xiàng)不符合題意；
B、由于，則不是最簡(jiǎn)二次根式，選項(xiàng)不符合題意；
C、由于，則不是最簡(jiǎn)二次根式，選項(xiàng)不符合題意；
D、是最簡(jiǎn)二次根式，選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
3. 下列函數(shù)中是正比例函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了正比例函數(shù)的定義，正比例函數(shù)的定義是形如（k是常數(shù)，）的函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．根據(jù)定義逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】解：A、是正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；
B、的自變量在分母上，不是正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；
C、的自變量的次數(shù)是2，不是正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；
D、是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：A．
4. 在中，，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行結(jié)合平行線的性質(zhì)可得．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
5. 下列計(jì)算不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查二次根式混合運(yùn)算，涉及二次根式加減乘除等運(yùn)算，根據(jù)二次根式加減乘除運(yùn)算法則逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟記二次根式加減乘除運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、，選項(xiàng)計(jì)算不正確，符合題意；
B、，計(jì)算正確，不符合題意；
C、，計(jì)算正確，不符合題意；
D、，計(jì)算正確，不符合題意；
故選：A．
6. 在下列由線段組成的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查勾股定理的逆定理，根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的線段長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理代值驗(yàn)證即可得到答案，熟記勾股定理的逆定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、由，由勾股定理的逆定理可知，，，不能組成直角三角形，不符合題意；
B、由，由勾股定理的逆定理可知，，，不能組成直角三角形，不符合題意；
C、由，由勾股定理的逆定理可知，，，不能組成直角三角形，不符合題意；
D、由，由勾股定理的逆定理可知，，，能組成直角三角形，符合題意；
故選：D．
7. 在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，下列條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、∵，，
∴四邊形是平行四邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、，，
四邊形不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故該選項(xiàng)符合題意；
C、∵，，
∴四邊形是平行四邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定方法，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
8. 均勻地向一個(gè)容器注水，最后把容器注滿，在注水過(guò)程中，水面高度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖所示（圖中為折線），這個(gè)容器的形狀可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】根據(jù)函數(shù)圖像的走勢(shì)：較緩，較陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗細(xì)有關(guān)，越粗的容器上升高度越慢，從而得到答案．
解：注水量一定，函數(shù)圖像的走勢(shì)是稍陡，平，陡；
那么速度就相應(yīng)的變化，跟所給容器的粗細(xì)有關(guān)．
則相應(yīng)的排列順序就為C．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，判斷出每段函數(shù)圖像變化不同的原因是解題的關(guān)鍵．
9. 已知兩條線段長(zhǎng)分別為3，4，那么能與它們組成直角三角形的第三條線段長(zhǎng)是（ ）
A. 5B. C. 5或 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理，分兩種情況：當(dāng)兩條線段均為直角邊時(shí)；當(dāng)線段為斜邊，線段為直角邊時(shí)；利用勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】解：當(dāng)兩條線段均為直角邊時(shí)，則與它們組成直角三角形的第三條線段長(zhǎng)，
當(dāng)線段為斜邊，線段為直角邊時(shí)，則與它們組成直角三角形的第三條線段長(zhǎng)，
綜上所述，兩條線段長(zhǎng)分別為3，4，那么能與它們組成直角三角形的第三條線段長(zhǎng)是5或 ，
故選：C．
10. 如圖，在菱形中，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為對(duì)角線作菱形，使點(diǎn)落在邊上，當(dāng)菱形的周長(zhǎng)最小時(shí)，菱形的面積為（ ）
A. 16B. 12C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】過(guò)作，如圖所示，分析出菱形的周長(zhǎng)最小時(shí)的位置，再由含的直角三角形性質(zhì)，可判斷，過(guò)作，如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理得到，最后由菱形的面積公式計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：過(guò)作，如圖所示：
在菱形中，，，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，即菱形邊長(zhǎng)最小是4，
當(dāng)時(shí)，則，即菱形邊長(zhǎng)最小時(shí)，在中，，，
，
過(guò)作，如圖所示：
在中，，，則，
，由勾股定理可得，
菱形的周長(zhǎng)最小時(shí)，菱形的面積為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，分析出菱形周長(zhǎng)最小時(shí)的位置，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（每題4分，共16分）
11. 如圖，以三邊為邊，分別向外作正方形，它們的面積分別為，，，若，，則______．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查以的三邊為邊向外作圖形的面積問(wèn)題，涉及勾股定理、正方形面積等知識(shí)，由勾股定理得到，代值求解即可得到答案，熟練掌握勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：以的三邊為邊，分別向外作正方形，它們的面積分別為，，，
，，，
在中，，即，
，，
，
故答案為：．
12. 如圖，在四邊形中，，相交于點(diǎn)O，則與面積相等的三角形是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線間間距相等即可得到的面積與的面積相等．
【詳解】解：∵，
∴的面積與的面積相等（同底等高），
故答案為：．
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了求點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，勾股定理，解題關(guān)鍵是合理添加輔助線構(gòu)造直角三角形，并利用勾股定理解三角形．過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是，得，，再根據(jù)勾股定理得，即可得出答案．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，
點(diǎn)P的坐標(biāo)是，
，，
，
故答案為：．
14. 如圖，在中，，是高，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____（用含α的式子表示）．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出．
【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，
∴，
∴，，
∴，
∵是高，
∴，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．
15. 已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則m的值為_(kāi)_______
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，即可得出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴代入得：，
解得：，
故答案為：2．
16. 若函數(shù)上存在兩點(diǎn)，若，則 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；
利用正比例函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，即可得出答案．
【詳解】函數(shù)中
隨增大而減小，
，
故答案為：．
三．解答題（共86分）
17. 計(jì)算：
（1）；
（2）解方程：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
（1）先計(jì)算二次根式的乘法，再算加減運(yùn)算，即可解答．
（2）先去分母，把分式方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：
．
【小問(wèn)2詳解】
解：，
方程可化為，
方程兩邊同乘，得，
解得，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
所以原分式方程的解是；
18. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，
【答案】，
【解析】
【分析】先算乘方，再算乘除，最后把x、y的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，分式中的一些特殊求值題并非是一味的化簡(jiǎn)，代入，求值．許多問(wèn)題還需運(yùn)用到常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，如化歸思想（即轉(zhuǎn)化）、整體思想等，了解這些數(shù)學(xué)解題思想對(duì)于解題技巧的豐富與提高有一定幫助．
【詳解】解：
．
當(dāng)，時(shí)，原式．
19. 如圖，點(diǎn)E、F是平行四邊形對(duì)角線上兩點(diǎn)，．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知平行四邊形對(duì)邊相等且平行是解題的關(guān)鍵．
首先由得到，然后由四邊形是平行四邊形得到，，然后證明出，得到，即可證明出四邊形是平行四邊形．
【詳解】證明：∵，
∴，
則，
∵四邊形是平行四邊形
∴，，
則
∴，
∴，
又∵
∴四邊形是平行四邊形．
20. 如圖，已知在中，，，，點(diǎn)在邊上．

（1）求作；（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)在邊上，且，連接．當(dāng)時(shí)，探究四邊形的形狀，并求出的長(zhǎng)．
【答案】（1）作圖見(jiàn)解析
（2）矩形，
【解析】
【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)，以為圓心、長(zhǎng)為半徑畫弧；以為圓心、長(zhǎng)為半徑畫?。粌蓷l弧交于點(diǎn)，連接、即可得到答案；
（2）由平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，再結(jié)合，得到，進(jìn)而確定為矩形，利用矩形性質(zhì)、勾股定理，利用等面積法即可得到的長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示：

即為所求；
【小問(wèn)2詳解】
解：四邊形的形狀是矩形，
理由如下：如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴為矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合，涉及尺規(guī)作圖-作相等線段、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等面積法求線段長(zhǎng)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
21. 已知，其中是的正比例函數(shù)，與成正比例，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，求與的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，一定要熟練掌握并靈活運(yùn)用．根據(jù)正比例的定義設(shè)出與之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：設(shè)，，
則，（，），
將、和、分別代入，得
，
解得．
故函數(shù)與的函數(shù)關(guān)系式為，
即．
22. 如圖，矩形中，，，將此矩形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為．
（1）求的長(zhǎng)度；
（2）求的面積．
【答案】（1）
（2）6cm
【解析】
【分析】本題考查矩形與折疊問(wèn)題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
（1）首先得到，，然后設(shè)，則：，然后利用勾股定理求出，得到；
（2）根據(jù)三角形面積公式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
∵四邊形為矩形，
∴，
∵折疊，
∴，
設(shè)，則：，
在中，，即：，
解得：；
則；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得
∵底，高
∴的面積為．
23. 定義，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對(duì)角線交點(diǎn)作為和美四邊形的中心．
（1）寫出一種你學(xué)過(guò)的和美四邊形______；
（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是（ ）
A．矩形 B，菱形 C．正方形 D．無(wú)法確定
（3）如圖1，點(diǎn)O是和美四邊形的中心，分別是邊的中點(diǎn)，連接，記四邊形的面積為，用等式表示的數(shù)量關(guān)系（無(wú)需說(shuō)明理由）
（4）如圖2，四邊形是和美四邊形，若,求的長(zhǎng)．
【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3=S2+S4；（4）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方形對(duì)角線互相垂直解答；
（2）根據(jù)矩形的判定定理解答；
（3）根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答；
（4）根據(jù)和美四邊形的定義、勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）正方形是學(xué)過(guò)的和美四邊形，
故答案為：正方形；
（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，
如圖，四邊形ACBD中，對(duì)角線AB⊥CD，即為“和美四邊形”，
點(diǎn)E、F、G、H分別是AC、AD、BD、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥CD∥HG，且EF=HG=CD，
EH∥FG∥AB，且EH=FG=AB，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵AB⊥CD，
∴EF⊥EH，
∴平行四邊形EFGH是矩形；
故選：A．
（3）連接AC和BD，由和美四邊形的定義可知，AC⊥BD，
則∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，
又E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴△AOE的面積=△BOE的面積，△BOF的面積=△COF的面積，△COG的面積=△DOG的面積，△DOH的面積=△AOH的面積，
∴S1+S3=△AOE的面積+△COF的面積+△COG的面積+△AOH的面積=S2+S4；
（4）如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)O，則AC⊥BD，
∵在Rt△AOB中，AO2=AB2-BO2，
Rt△DOC中，DO2=DC2-CO2，AB=4，BC=2，CD=5，
∴可得AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=AB2+DC2-BC2=42+52-22=37，
即可得．
【點(diǎn)睛】本題考查是和美四邊形的定義、矩形的判定、勾股定理的應(yīng)用，正確理解和美四邊形的定義、掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，在正方形中，是邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）直接寫出，與的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖，連接．
如圖，若，求證：；
如圖，若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）；
（3）見(jiàn)解析；．
【解析】
【分析】（）由四邊形是正方形得，，，然后利用同角的余角相等得，證明即可；
（）連接，由和線段和差可得，再利用勾股定理即可求解；
（）取中點(diǎn)，連接，，證明四邊形是平行四邊形，再利用直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，從而求解；
延長(zhǎng)至，使，設(shè)，由四邊形是正方形，，得，，，證明，則，，最后由勾股定理即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
如圖，連接，
由（）得，，，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，即，
在中，由勾股定理得：，
同理：，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
如圖，取中點(diǎn)，連接，，
∵四邊形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
在中，是中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如圖，延長(zhǎng)至，使，設(shè)，
∵四邊形是正方形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，解得：，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，同角的余角相等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，且．

（1）判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）探究線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明．
（3）如圖，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，，探究，，之間數(shù)量關(guān)系并證明．
【答案】（1）是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析
（2），理由見(jiàn)解析
（3），理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求出三邊長(zhǎng)度，從而可得是等腰直角三角形；（2）證明可得，且即可得答案；（3）過(guò)作交軸于，連接，先證得，再證即可得到．
【小問(wèn)1詳解】
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，， ，
，且，
是等腰直角三角形；
【小問(wèn)2詳解】
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（ASA），
，
，
而是等腰直角三角形，可得，
；
【小問(wèn)3詳解】
，理由如下：
過(guò)作交軸于，連接，如圖：

是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
（ASA），
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【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形性質(zhì)證明三角形全等．

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