一 、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)
1. 若，則下列二次根式一定有意義的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．二次根式有意義的條件是，據(jù)此判斷各選項即可得到答案．
【詳解】解：A、有意義的條件是，所以時二次根式不一定有意義，不符合題意；
B、 有意義的條件是，所以時二次根式不一定有意義，不符合題意；
C、有意義的條件是，所以時二次根式一定有意義，符合題意；
D、有意義的條件是 ，所以時二次根式不一定有意義，不符合題意．
故選：C．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】只含有一個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項的最高次冪時2次的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、不是整式方程，不符合題意；
B、是一元二次方程，符合題意；
C、整理后不含二次項，不一元二次方程，不符合題意；
D、含有2個未知數(shù)，不符合題意；
故選B．
3. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查二次根式的運算，根據(jù)二次根式的運算法則，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，不能合并，選項計算錯誤；
B、，不能合并，選項計算錯誤；
C、，選項計算正正確；
D、，選項計算錯誤；
故選C．
4. 若將一元二次方程化成一般式為，則的值為（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，根據(jù)一元二次方程的一般形式得出一次項系數(shù)和常數(shù)項即可．熟知一元二次方程的一般形式各項的系數(shù)是關(guān)鍵．
【詳解】解：
∵一元二次方程化成一般式為，
故選：A．
5. 化簡的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故選A．
【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二次根式的性質(zhì)有：．
6. 解方程，選擇相對合適的方法是（ ）
A. 直接開平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．先移項變形，再提取公因式即可求解．
【詳解】解：，
，
，即，
∴最合適的方法是因式分解法，
故選：D．
7. 估計的值應(yīng)在（ ）
A. 4和5之間B. 5和6之間
C. 6和7之間D. 7和8之間
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運算、無理數(shù)的估算，先根據(jù)二次根式的混合運算法則計算，再估算出，即可得解．
【詳解】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴估計的值應(yīng)在6和7之間，
故選：C．
8. 已知是實數(shù)，且，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查二次根式定義，代數(shù)式求值．根據(jù)題意利用二次根式定義即可求出，再將結(jié)果代入中即可．
【詳解】解：∵有意義，
∴,
∴，
∴，
∴，
故選：C．
9. 計算（1﹣）×（+）﹣（1﹣）×（）的結(jié)果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，原式變形后計算即可求出值．
【詳解】解：設(shè)a＝，
原式＝（1﹣a）（a+）﹣（1﹣a﹣）×a
＝a+﹣a2﹣﹣a+a2+
＝．
故選：B．
【點睛】此題考查了二次根式的乘除法、分母有理化，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
10. 若實數(shù)滿足，則方程根情況是（ ）
A. 有兩個相等的實數(shù)根B. 有兩個不相等的實數(shù)根
C. 無實數(shù)根D. 有一個實數(shù)根
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查根的判別式，先求出根的判別式，再根據(jù)已知條件判斷正負(fù)，即可判斷選項．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；
故選：B．
二 、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)
11. 若與最簡二次根式可以合并，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查同類二次根式，根據(jù)被開方數(shù)相同的最簡二次根式叫做同類二次根式進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，且與最簡二次根式可以合并，
∴，
∴；
故答案為：2．
12. 用配方法解方程時，若將方程化為的形式，則___．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊同時除以2，接著把方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方，據(jù)此可得m、n的值，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：
，
∴，
∴，
故答案為：．
13. 若關(guān)于x的一元二次方程的一個根為0，則_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解，根據(jù)一元二次方程解的定義，將它代入算出a值即可．
【詳解】解：將代入方程得：
，
解得：或
由一元二次方程的定義知：
∴，
∴，
故答案為：2．
14. 若一個正整數(shù)可以表示為，其中為大于3的正整數(shù)，則稱為“優(yōu)雅數(shù)”，為的“優(yōu)點”．例如，稱14為“優(yōu)雅數(shù)”，5為14的“優(yōu)點”．
（1）“優(yōu)雅數(shù)”50的“優(yōu)點”為______；
（2）的“優(yōu)點”為的“優(yōu)點”為，若，且，則的值為______．
【答案】 ① 8 ②. 25
【解析】
【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，掌握“優(yōu)雅數(shù)”的定義，是解題的關(guān)鍵：
（1）根據(jù)“優(yōu)點”的定義，進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)“優(yōu)雅數(shù)”，“優(yōu)點”的定義，結(jié)合推出，因式分解后，整體思想代入求值即可．
【詳解】解：（1）∵，
∴“優(yōu)雅數(shù)”50的“優(yōu)點”為8；
故答案為：8；
（2）由題意，得：，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：25．
三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
15. 計算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，熟知二次根式的相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）先化簡二次根式，再根據(jù)二次根式的除法計算法則求解即可；
（2）先化簡二次根式，再計算二次根式乘法，最后計算二次根式加減法即可．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵；
（1）利用公式法解方程即可；
（2）把方程左邊利用提公因式法分解因式，再解方程即可．
【小問1詳解】
解；∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
四、(本大題共2小題；每小題8分，滿分16分)
17. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行化簡，再代值計算即可．
【詳解】原式
；
∴當(dāng)時，原式．
【點睛】本題考查二次根式的化簡求值．熟練掌握平方差公式和完全平方公式，正確的進(jìn)行計算，是解題的關(guān)鍵．
18. 已知是一元二次方程的一個根，求的值．
【答案】2
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，根據(jù)是一元二次方程的一個根，得出，，再整體代入求解即可．
【詳解】解：由題意，將代入方程，
得，
∴，，
∴
，
∴的值為2．
五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)
19. 觀察下列各式：．
（1）請根據(jù)規(guī)律直接寫出結(jié)果：______；
（2）請根據(jù)以上等式規(guī)律，寫出第個等式，并證明．
【答案】（1）
（2）第個等式為，（且為整數(shù)），證明見解析
【解析】
【分析】本題考查二次根式運算中的規(guī)律問題：
（1）根據(jù)給定的等式，求解即可；
（2）根據(jù)給定的等式，寫出相應(yīng)的規(guī)律，根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，證明即可．
【小問1詳解】
解：∵
∴；
故答案為：；
【小問2詳解】
∵
∴，
證明如下：
．
20. 高空拋物是一種不文明的危險行為，據(jù)研究，從高處墜落的物品，其下落的時間和高度近似滿足公式（不考慮阻力的影響）．
（1）求物體從的高空落到地面的時間．
（2）已知從高空墜落的物體所帶能量（單位：J）物體質(zhì)量×高度，某質(zhì)量為的雞蛋經(jīng)過落在地上，這個雞蛋在下落過程中所帶能量有多大？你能得到什么啟示？（注：殺傷無防護人體只需要的能量）
【答案】（1）
（2）；嚴(yán)禁高空拋物
【解析】
【分析】（1）根據(jù)公式，代入計算即可．
（2）先根據(jù)根，求得高度，再根據(jù)公式物體質(zhì)量×高度，計算能量即可．本題考查了二次根式的計算，熟練掌握二次根式的計算法則是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
∵，,
∴．
【小問2詳解】
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
對人構(gòu)成傷害，
故嚴(yán)禁高空拋物．
六、(本題滿分12分)
21. 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證： 不論取何值， 該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）若方程的一個根為，求的值和方程的另一個根．
【答案】（1）見解析 （2）另一個根為2
【解析】
【分析】此題考查根的判別式、解一元二次方程，解題關(guān)鍵在于掌握根的判別式和一元二次方程的解法．
（1）要想證明不論取何值，方程有兩個不相等實數(shù)根，只要證明即可；
（2）把方程的一根代入原方程求出k的值，然后把k的值代入原方程求出方程的另一個根．
【小問1詳解】
證明：
∵，
∴，
∴不論取何值， 該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
【小問2詳解】
∵此方程的一個根為，
∴
解得
∴當(dāng)時,一元二次方程為： ，
解得：
即方程的另一個根為2．
七(本題滿分12分)
22. 閱讀材料：黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合璧，天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”，如：，，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：，．像這樣，通過分子，分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問題：
（1）的有理化因式可以是__________，分母有理化得_______．
（2）計算：
①當(dāng)，，則________；
②________（且為整數(shù)）．
（3）根據(jù)你的推斷，比較和的大?。?br>【答案】（1），；（2）①；②；（3）
【解析】
【分析】（1）先找出各式的有理化因式，然后再進(jìn)行分母有理化計算即可；
（2）①先求出a+b與ab，再將原式分解因式后整體代入計算即可得到結(jié)果，
②原式各項分母有理化，合并即可得到結(jié)果；
（3）先求它們的倒數(shù)，進(jìn)行分母有理化，比較它們倒數(shù)的大小，再確定原數(shù)的大小即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)平方差公式的有理化因式可以是，
根據(jù)平方差公式有理化分母為，，
故答案為：，；
（2）①∵，，
∴，，
則；
故答案為
②，
=，
=，，
=，
=，
故答案為：；
（3），
，
，即，
．
【點睛】此題考查了分母有理化，正確選擇兩個二次根式，使它們的積符合平方差公式是解答問題的關(guān)鍵．
八、(本題滿分14分)
23. 如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程為“連根方程”．例如，一元二次方程的兩個根是，則方程是“連根方程”．
（1）通過計算，判斷方程是否是“連根方程”；
（2）已知關(guān)于的方程（是常數(shù)）是“連根方程”，求的值；
（3）若關(guān)于的方程（是常數(shù)）是“連根方程”，請直接寫出之間滿足的關(guān)系式．
【答案】（1）是連根方程
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程，根與系數(shù)之間的關(guān)系，掌握“連根方程”的定義，是解題的關(guān)鍵．
（1）因式分解法解方程，根據(jù)“連根方程”的定義，進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)方程為“連根方程”，設(shè)其中一個根為，則另一個根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)“連根方程”的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，求解即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，解得：，
∵，
∴是連根方程；
【小問2詳解】
∵方程（是常數(shù)）是“連根方程”，
設(shè)的兩個根為，
∴，
∴，
∴，
解得：；
【小問3詳解】
方程（常數(shù)）是“連根方程”，
設(shè)方程的兩個根為：，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
故．

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