考前須知：
1、本卷試題共23題，單選10題，填空4題，解答9題．
2．測試范圍：第6章實(shí)數(shù)一第8章第1節(jié)．冪的運(yùn)算（滬科版2024）．
一、單項(xiàng)選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1. 在實(shí)數(shù)（每兩個(gè)1之間增加一個(gè)0）中，無理數(shù)個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有的某些數(shù)，找出無理數(shù)的個(gè)數(shù)即可．
【詳解】解：∵，
∴在實(shí)數(shù)（每兩個(gè)1之間增加一個(gè)0）中，無理數(shù)有：，，，共3個(gè)；
故選：C
2. 27的立方根是（ ）
A. B. 3C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了立方根，根據(jù)立方根的定義計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴27的立方根是3，
故選：B．
3. 楊絮纖維的直徑約為米，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，需注意對(duì)于一般形式，，n等于原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)．正確的確定的值即可．
【詳解】解：；
故選：A
4. 下列說法正確的是（ ）
A. 的立方根是B. 的算術(shù)平方根是
C. 沒有立方根D. 的平方根是
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)立方根、算術(shù)平方根、平方根的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．
【詳解】解：A、的立方根是，則此項(xiàng)正確，符合題意；
B、的算術(shù)平方根是3，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、0的立方根是0，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、1的平方根是，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了立方根、算術(shù)平方根、平方根，熟練掌握立方根、算術(shù)平方根、平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5. 已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題主要考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．直接利用不等式的性質(zhì)分別判斷得出即可．
【詳解】解：∵，
∴，，，，
觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)A符合題意，
故選：A．
6. 下列運(yùn)算中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則、同底數(shù)冪除法運(yùn)算法則、冪的乘方運(yùn)算法則、積的乘方運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，此選項(xiàng)正確；
D、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方運(yùn)算、積的乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．
7. 三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和小于33，這樣的正整數(shù)共有（ ）
A. 8組B. 9組C. 10組D. 11組
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
設(shè)三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)為x，則另外兩個(gè)數(shù)分別為，，根據(jù)三個(gè)數(shù)之和小于33，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再結(jié)合x為正整數(shù)，即可得出這樣的正整數(shù)有9組．
【詳解】解：設(shè)三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)為x，則另外兩個(gè)數(shù)分別為，，
依題意得：，
解得：，
又∵x為正整數(shù)，
∴x可以為1，2，3，4，5，6，7，8，9，
∴這樣的正整數(shù)有9組．
故選B．
8. 某學(xué)校組織學(xué)生春游，租賃甲型客車和乙型客車共10輛，已知每輛甲型客車可坐40人，每輛乙型客車可坐30人，該校需要乘坐客車出游的師生共360人，要求全部師生都有座位且空座位不超過10個(gè)，那么可以有哪些租車方案？若設(shè)租賃甲型客車輛，則下列不等式組正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一元一次不等式組應(yīng)用，設(shè)租賃甲型客車輛，則租賃乙型客車輛，根據(jù)全部師生都有座位且空座位不超過10個(gè)，列出不等式組，即可求解．
【詳解】解：設(shè)租賃甲型客車輛，則租賃乙型客車輛，根據(jù)題意得，
故選：C．
9. 已知，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把a(bǔ)、b、c三個(gè)數(shù)變成指數(shù)相同的冪，通過底數(shù)可得出a、b、c的大小關(guān)系．
【詳解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，
又∵，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，解答本題關(guān)鍵是掌握冪的乘方法則，把各數(shù)的指數(shù)變成相同．
10. 若關(guān)于x的不等式組無解，則m的取值范圍是（ ）
A. m≤1B. m＜1C. m≥1D. m＞1
【答案】A
【解析】
【分析】先解出不等式組，根據(jù)不等式組無解，可得，即可求解．
【詳解】解：，
由②得：，
∵不等式組無解，
∴，
解得：．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)的范圍，熟練掌握一元一次不等式組的解法和解集是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
11. 的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【詳解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案±2．
12 若，則______．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)非負(fù)性進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：1
【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)性．解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的和為0，每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為0．
13. 已知關(guān)于x，y的方程組，若此方程組的解滿足，則m的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組的解及其解法、解一元一次不等式，先利用加減消元法求得，再根據(jù)已知得到關(guān)于m的不等式，然后解不等式即可求解．
【詳解】解：將關(guān)于x，y的方程組中的兩個(gè)方程相加，得，
∴，
∵此方程組的解滿足，
∴，解得，
故答案為：．
14. 若關(guān)于的不等式組只有3個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解不等式組，掌握不等式的性質(zhì)，不等式組的取值方法是關(guān)鍵．
根據(jù)不等式的性質(zhì)解不等式組，再根據(jù)不等式組的取值方法得到解集，由只有3個(gè)整數(shù)解的含義即可求解．
【詳解】解：，
解①得，，
解②得，，
∴，
∵不等式組只有3個(gè)整數(shù)解，即整數(shù)解為，
∴，
解得，，
故答案為： ．
三、解答題（共9小題，滿分90分）
15. 計(jì)算：
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，涉及零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，立方根，乘方的運(yùn)算，先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，立方根，乘方的運(yùn)算，再加減即可，熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
．
16. 解不等式（組）．
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查的是一元一次不等式（組）的解法，掌握解法步驟是解本題的關(guān)鍵；
（1）先去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為1即可；
（2）分別解不等式組中的兩個(gè)不等式，再確定解集的公共部分即可．
【小問1詳解】
解：，
去分母得，，
去括號(hào)得，，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，
系數(shù)化為1得，；
∴不等式解集．
【小問2詳解】
解：，
由①得：，
∴，
解得：，
由②得：，
解得：，
∴不等式組的解集為：．
17. 一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本題考查了平方根和立方根的定義．
（1）根據(jù)平方根的定義可得一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，則有，解方程得，由即可求解；
（2）根據(jù)立方根的定義解答即可．
【小問1詳解】
解：一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是，
，
，
這個(gè)正數(shù)為．
∴；
【小問2詳解】
解：，，
，
的立方根為．
18. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了同底數(shù)冪乘除法的逆用、冪的乘方的逆用，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，代入即可求得答案；
（2）根據(jù)，代入即可求得答案．
【小問1詳解】
解：；
將，代入，原式．
的值為20．
【小問2詳解】
解：，
將，代入，原式，
的值為．
19. 課堂上，老師出了一道題：比較與的大?。∶鞯慕夥ㄈ缦拢?br>解：．
，
．
我們把這種比較大小的方法稱為作差法．請(qǐng)仿照上述方法，比較下列各組數(shù)的大?。?br>（1）和；
（2）和
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小的比較，熟練掌握實(shí)數(shù)大小的比較方法，是解題的關(guān)鍵．
（1）先求出，然后根據(jù)，即可得出答案；
（2）先求出，然后根據(jù)即可得出答案．
【小問1詳解】
解：
．
，
，
．
【小問2詳解】
解：
．
，
，
，
．
20. 探究發(fā)散：
（1）完成下列填空①，②，③___________．
④，⑤，⑥___________．
（2）根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，若，則___________．
（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成下題：有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示．
化簡：
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先確定乘方的符號(hào)，再計(jì)算算術(shù)平方根即可；
（2）結(jié)合（1）中計(jì)算可知，不一定等于a，并發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律即可；
（3）由a、b、c在數(shù)軸上的位置可知，，，進(jìn)而判斷式子正負(fù)，再結(jié)合（2）所得規(guī)律化簡算術(shù)平方根，同時(shí)去絕對(duì)值符號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可．
【小問1詳解】
解：③；⑥；
【小問2詳解】
解：由（1）總結(jié)歸納可得：
當(dāng)，則；
【小問3詳解】
解：由數(shù)軸可得：，，
∴，，，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、數(shù)軸、相反數(shù)和絕對(duì)值，整式的加減運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
21. 觀察：，即的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．規(guī)定符號(hào)表示實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如：，請(qǐng)你運(yùn)用上述規(guī)律解決下面的問題：
（1）按此規(guī)定___________．
（2）如果的小數(shù)部分為的整數(shù)部分為，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算，掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)無理數(shù)的估算得到，結(jié)合題意即可求解；
（2）根據(jù)題意可得，，，由此得到，由此即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，即，
∴，
∵規(guī)定符號(hào)表示實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：∵，即，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，例如：方程的解為，而不等式組的解集為，不難發(fā)現(xiàn)在的范圍內(nèi)，所以方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”
（1）在方程①；②；③中，不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”是___________（填序號(hào)）
（2）關(guān)于的方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，求的取值范圍；
（3）若關(guān)于的方程是關(guān)于的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，且此時(shí)不等式組有3個(gè)整數(shù)解，試求的取值范圍．
【答案】（1）①③ （2）
（3）
【解析】
【分析】此題考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式組的解法，讀懂題意，正確解一元一次方程和一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
（1）解方程和不等式組后，根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；
（2）解方程和不等式組后，再解關(guān)于k的不等式組即可；
（3）解方程和不等式組后，再解關(guān)于m的不等式組，由不等式組有3個(gè)整數(shù)解得到新的不等式組，解新不等式組后，取兩個(gè)不等式組解集的公共部分即可．
【小問1詳解】
解：①，
去分母得，，
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，，
系數(shù)化為1得，；
②，
去括號(hào)得，，
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，；
③，
移項(xiàng)得，，
系數(shù)化為1得，；
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式組的解集為，
和在的范圍內(nèi)，所以方程①和③是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．
故答案為：①③．
【小問2詳解】
解：
解得，
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式組的解集為，
∴，
解得；
【小問3詳解】
解：，
去分母得，
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，；
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式組的解集為，
∴，
解得，
∵不等式組有3個(gè)整數(shù)解，
∴，
解得，
∴．
23. 某廠為了提高生產(chǎn)力，計(jì)劃新購置、兩種型號(hào)的生產(chǎn)設(shè)備共臺(tái)．已知型每臺(tái)萬元，每月可以生產(chǎn)噸產(chǎn)品；型每臺(tái)萬元，每月可以生產(chǎn)噸產(chǎn)品．購買一臺(tái)型設(shè)備比購買一臺(tái)型設(shè)備多萬元，則買臺(tái)型設(shè)備比購買臺(tái)型設(shè)備少萬元．根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）求出、的值．
（2）若計(jì)劃購置總費(fèi)用不超過萬元，且兩種型號(hào)設(shè)備都要購買，該廠有哪些購買方案？
（3）在（2）的條件下，若每月生產(chǎn)產(chǎn)品不得低于噸，為了節(jié)約資金，請(qǐng)你為該廠設(shè)計(jì)一種最省錢的購買方案．
【答案】（1）
（2）型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)；型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)；型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)；型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)
（3）選購型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)
【解析】
【分析】本題主要考查二元一次方程組，一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意可列二元一次方程組，求解即可得到結(jié)果．
（2）設(shè)型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)，根據(jù)題意可列一元一次不等式，求解可得的值，對(duì)應(yīng)四種采購方案．
（3）根據(jù)題意可列一元一次不等式，求解可得的兩個(gè)值，分別計(jì)算當(dāng)，時(shí)，對(duì)應(yīng)的總資金，即可得出最省錢的購買方案．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意可列，
解得，
∴，．
【小問2詳解】
解：設(shè)型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)，
根據(jù)題意可列：，
解得：，
取正整數(shù)，
，
有四種方案：
①型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)；
②型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)；
③型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)；
④型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)；
【小問3詳解】
解：由題意得：，
解得：，
，
取正整數(shù)，
或，
當(dāng)時(shí)，型設(shè)備臺(tái)，
∴需要資金：（萬元），
當(dāng)時(shí)，型設(shè)備臺(tái)，
∴需要資金：（萬元），
應(yīng)選購型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)．

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