（考試時間：120分鐘 滿分：150分）
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1. 要使二次根式有意義，字母x必須滿足的條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件確定x的范圍．
【詳解】解析：∵二次根式有意義，
∴，
解得．
故選D
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．
2. 下列屬于最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、，則此項不是最簡二次根式，不符題意；
B、，則此項不是最簡二次根式，不符題意；
C、，則此項不是最簡二次根式，不符題意；
D、是最簡二次根式，此項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了最簡二次根式，熟記定義是解題關鍵．最簡二次根式具備兩個條件：①被開方數(shù)的每一個因式都是整式，每個因數(shù)都是整數(shù)，②被開方數(shù)不含有能開得盡方的因式或因數(shù)．
3. 計算的結果是（ ）
A. 16B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．
【詳解】解：原式
．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了二次根式的乘法，正確化簡二次根式是解題的關鍵．
4. 已知一元二次方程的兩根分別是3和，則這個一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用根與系數(shù)的關系直接寫出方程．
【詳解】∵3-2=1，3×（-2）=-6，
∴根為3和-2的一元二次方程為：x2-x-6．
故選C．
【點睛】考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，掌握根與系數(shù)的關系（若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的兩根時，x1+x2=-，x1x2=）是解決本題的關鍵．
5. 把一元二次方程(x-3)2 ＝5化為一般形式后，二次項系數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用完全平方公式將一元二次方程化簡為ax2+bx+c=0，再找出二次項系數(shù)即可．
【詳解】解：∵（x-3）2=5化為一般形式為x2-6x+4=0，
∴二次項系數(shù)為1，故A正確．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程一般形式，解題的關鍵是將方程（x-3）2=5化為一般形式．
6. 已知實數(shù)x、y滿足，則yx值是（ ）
A. ﹣2B. 4C. ﹣4D. 無法確定
【答案】C
【解析】
【分析】依據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)求得x的值，然后可得到y(tǒng)的值，最后代入計算即可．
【詳解】∵實數(shù)x、y滿足，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴yx＝＝-4．
故選：C．
【點睛】本題主要考查是二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．
7. 把一塊長與寬之比為2：1鐵皮的四角各剪去一個邊長為10厘米的小正方形，折起四邊，可以做成一個無蓋的盒子，如果這個盒子的容積是1500立方厘米，設鐵皮的寬為x厘米，則正確的方程是（ ）
A. （2x﹣20）（x﹣20）=1500B. 10（2x﹣10）（x﹣10）=1500
C. 10（2x﹣20）（x﹣20）=1500D. 10（x﹣10）（x﹣20）=1500
【答案】C
【解析】
【分析】如果設鐵皮的寬為x厘米，那么鐵皮的長為2x厘米，根據(jù)“這個盒子的容積是1500立方厘米”，可列出方程．
【詳解】解：設鐵皮的寬為x厘米，
那么鐵皮的長為2x厘米，
依題意得10（2x﹣20）（x﹣20）=1500．
故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，本題中隱藏的條件是長方體盒子的高為10厘米，然后利用體積公式列出方程．
8. 若一元二次方程的兩根分別為，則的值為（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2=3，x1x2=-1，再通分得到，然后利用整體代入的方法計算即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
x1+x2=3，x1x2=-1，
則，
故選：B．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=．
9. 如圖，將三角形紙片沿折疊，使點C落在邊上的點E處．若，，則的值為（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，由勾股定理得到，兩式相減，通過整式的化簡即可得到結論．
【詳解】解：∵將三角形紙片沿折疊，使點C落在邊上的點E處，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴．
故選C．
【點睛】本題考查了翻折變換—折疊問題，勾股定理，整式的化簡，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．
10. 如圖，一長方體木塊長，寬，高， 一直螞蟻從木塊點A處，沿木塊表面爬行到點位置最短路徑的長度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分別分析．
【詳解】解：如圖將長方體展開，根據(jù)“兩點之間，線段最短”知，線段即為最短路線．
①如圖1，
∵，，，
∴在中，，，
∴；
②如圖2，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
②如圖3，
∵，，，
∴，，
∴．
∵，
∴螞蟻所行路程的最小值為．
故選：B．
【點睛】此題考查了最短路徑問題．解決本題的關鍵是熟練掌握用勾股定理的應用，要注意數(shù)形結合思想的應用．
二、填空題（每小題5分，共20分）
11. 若關于的方程是一元二次方程，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程，熟記定義是解題關鍵．
根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得．
【詳解】解：∵關于的方程是一元二次方程，
∴，
解得，
故答案為：．
12. 已知方程的一根為，則方程的另一根為_______．
【答案】
【解析】
【分析】設方程的另一個根為c，再根據(jù)根與系數(shù)的關系即可得出結論．
【詳解】解：設方程的另一個根為c，
∵，
∴．
故答案為．
【點睛】本題考查的是根與系數(shù)的關系，熟記一元二次方程根與系數(shù)的關系是解答此題的關鍵．
13. 若＝6﹣a，則a的取值范圍是_____．
【答案】a≤6．
【解析】
【分析】原式利用二次根式性質(zhì)，以及絕對值的代數(shù)意義判斷即可確定出a的范圍．
【詳解】解：∵＝|a﹣6|＝6﹣a，
∴6﹣a≥0，
解得：a≤6．
故答案為：a≤6．
【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握二次根式的性質(zhì)進行解題．
14. 如圖，在中，，，，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則DF的長為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，從而得出相應角相等，再根據(jù)角之間的關系得出，從而得出為等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出的長度，利用三角形的面積公式求出的長度，再求出、的長度，最后求出的長度．
【詳解】解：∵邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處，
∴，
∴，，，
∵邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點處，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了圖形的翻折變化，勾股定理的運用，等腰直角三角形的判定，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相應的角是解答本題的關鍵．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 計算：
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，涉及乘方運算，絕對值的性質(zhì)，二次根式的乘法及乘法分配律，解題的關鍵是正確進行相關運算．先進行乘方運算，化簡絕對值，利用乘法分配律去括號，然后再進行合并即可．
【詳解】解：
，
.
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的求解，解題的關鍵是運用因式分解法將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來求解．
通過對一元二次方程進行因式分解，把方程轉化為兩個一次方程，進而求出方程的解．
【詳解】解：，
因式分解得：，
∴或，
∴，．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 如圖，在寬為20m，長為30m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為551m2，求道路的寬．
【答案】
【解析】
【分析】設道路的寬為，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．
【詳解】解：設道路的寬為，根據(jù)題意得：
，
解得：，（不合題意，舍去），
答：道路的寬為．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．
18. 小正方形網(wǎng)格中，三個頂點均在格點上的三角形叫做格點三角形．設每個小正方形邊長為1．如下圖，格點，
（1）圖中格點的面積是_______；
（2）按要求畫圖：
①在圖1中畫一個與全等且有一條公共邊的格點三角形；
②在圖2中畫一個與全等且只有唯一公共點A的格點三角形；
③在圖3中畫一個面積為5的格點直角三角形且直角邊為網(wǎng)格圖中的斜格點線段．
【答案】（1）
（2）①見解析②見解析③見解析
【解析】
【分析】本題考查作圖-應用與設計，三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
（1）利用三角形面積公式求解即可．
（2）①根據(jù)全等三角形的判定，畫出圖形即可．
②利用軸對稱法畫出圖形即可．
③畫出直角三角形即可．
【小問1詳解】
解：的面積，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：①如圖，即為所畫（答案不唯一）
②如圖，即為所畫（答案不唯一）
③如圖，即為所畫（答案不唯一）
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 觀察下列各式：①，②；③，…
（1）請觀察規(guī)律，并寫出第④個等式：______；
（2）請用含的式子寫出你猜想的規(guī)律：______；
（3）請證明（2）中的結論．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】本題考查二次根式有關規(guī)律題，根據(jù)題意列遞推等式，最終找出規(guī)律是解題關鍵．
（1）觀察等式左右兩邊的式子結構，即可得出答案．
（2）觀察等式左右兩邊的式子結構，即可得出第的式子．
（3）將化成，再進行完全平方公式因式分解，并開方即可．
【小問1詳解】
解：根據(jù)規(guī)律，第④個等式為：．
【小問2詳解】
解：根據(jù)規(guī)律，第的式子為：．
【小問3詳解】
證明：∵，
∴．
20. 已知關于x的一元二次方程有實數(shù)根．
（1）求實數(shù)k的取值范圍．
（2）設方程的兩個實數(shù)根分別為，若，求k的值．
【答案】（1）k；
（2）k=3
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，將等式左側展開代入計算即可得到k值．
【小問1詳解】
解：∵一元二次方程有實數(shù)根．
∴?0，即32-4（k-2）0，
解得k
【小問2詳解】
∵方程的兩個實數(shù)根分別為，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關系式，熟練掌握一元二次方程有關知識是解題的關鍵．
六、（本題12分）
21. 如圖，在中，，，點、在邊上．
（1）如圖1，如果，求證：；
（2）如圖2，如果M、N是邊上任意兩點，并滿足，那么線段是否有可能使等式成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
【答案】（1）見解析 （2）成立，證明見詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件“在中，，”以及等腰直角三角形的性質(zhì)來判定；然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等求得；
（2）過點作，垂足為點，截取，使．連接、．通過證明推知全等三角形的對應邊、對應角；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和得到，所以，故全等三角形的對應邊；最后由勾股定理得到即．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應用．勾股定理，等腰直角三角形的兩個底角都是，兩腰相等．正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．
【小問1詳解】
證明：，
．
，
．
即得．
在和中，
．
．
【小問2詳解】
解：成立．證明如下：
過點作，垂足為點，截取，使．連接、．
，，
．
，
．
在和中，
．
，．
，，
．
于是，由，
得．
在和中，
．
．
在中，由勾股定理，得．
即得．
七、（本題12分）
22. 某服裝店在銷售中發(fā)現(xiàn)：進貨價為每件50元，銷售價為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件．現(xiàn)服裝店決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求銷售價在每件90元的基礎上，每件降價多少元時，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時又要使顧客得到較多的實惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能嗎？請說明理由．
【答案】（1）每件降價20元
（2）不可能，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程，即每件服裝的利潤×銷售量=總盈利，再求解，把不符合題意的舍去；
（2）根據(jù)題意列出方程進行求解即可．
【小問1詳解】
解：設每件服裝降價x元．
由題意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x1=20，x2=10，
為使顧客得到較多的實惠，應取x=20；
答：每件降價20元時，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時又要使顧客得到較多的實惠；
【小問2詳解】
解：不可能，理由如下：
依題意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，
整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
則原方程無實數(shù)解．
則不可能每天盈利2000元．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元二次方程．
八、（本題14分）
23. 如圖，已知，在直角坐標系中，直線y＝?x+8與x軸、y軸分別交于點A、C，點P從A點開始以1個單位/秒的速度沿x軸向左移動，點Q從O點開始以2個單位/秒的速度沿y軸向上移動，如果P、Q兩點同時出發(fā)．
（1）求點A、C的坐標；
（2）若點B在y軸上，且與點A、C構成以AC為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的B點坐標．
（3）經(jīng)過幾秒鐘，能使△POQ的面積為8個平方單位．
【答案】（1）點A的坐標為（6，0），點C的坐標為（0，8）
（2）B點坐標為（0，?8）或（0，16）或（0，?2）
（3）2秒或4秒或（3+）秒
【解析】
【分析】（1）點A和點C是函數(shù)與坐標軸的交點，分別讓給x＝0，y＝0，求其對應的值即可；
（2）根據(jù)題意，分類討論即可；
（3）當點P在OA上，當點P經(jīng)過點O之后，分別計算即可．
【小問1詳解】
解：當x＝0時，y＝8，
∴點C的坐標為（0，8），
當y＝0時，x＝6，
∴點A的坐標為（6，0），
∴線段OA＝6，線段OC＝8；
【小問2詳解】
解：①當AC＝AB時，
此時x軸為線段BC的垂直平分線，
∴OB＝OC＝8，
∴點B的坐標為（0，?8）；
②當AC＝CB且點B在點C上方時，
由勾股定理可知，
AC＝，
∴BC＝10，
∴點B的坐標為（0，16）；
③當BC＝AC且點B在點C下方時，
∴BC＝AC＝10，
∵OC＝8，
∴OB＝2
∴點B的坐標為（0，?2）；
綜上，B點坐標為（0，?8）或（0，16）或（0，?2）；
【小問3詳解】
解：設經(jīng)過t秒后，△POQ的面積為8個平方單位，
當t＜6時，
OP＝6?t，OQ＝2t，
S△POQ＝×OP×OQ＝×（6?t）×2t＝8，
解得t＝2或4，
∴當t為2秒或4秒時，△POQ的面積為8個平方單位，
當t＞6時，
OP＝t?6，OQ＝2t，
S△POQ＝×OP×OQ＝×（t?6）×2t＝8，
解得t＝3+或3?（舍去），
∴當t為（3+）秒時，，△POQ的面積為8個平方單位．
綜上，當t為2秒或4秒或（3+）秒時，，△POQ的面積為8個平方單位，
【點睛】本題為一次函數(shù)綜合題，能夠根據(jù)題意將所有情況考慮到是關鍵．

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