注意事項(xiàng)：
1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）．全卷共6頁(yè)，總分120分．考試時(shí)間120分鐘．
2．領(lǐng)到試卷和答題卡后，請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆；分別在試卷和答題卡上填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)，同時(shí)用2B鉛筆在答題卡上填涂對(duì)應(yīng)的試卷類型信息點(diǎn)（A或B）．
3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上各題的規(guī)定區(qū)域內(nèi)作答，否則作答無(wú)效．
4．作圖時(shí)，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆描黑．
5．考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．
第一部分（選擇題 共24分）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 的倒數(shù)是（ ）
A B. C. 2D.
2. 如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，則這個(gè)幾何體是（ ）
A B. C. D.
3. 如圖，已知直線，平分，若，則度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐標(biāo)系中，將一次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，則的值為（ ）
A. 1B. C. D.
6. 如圖，點(diǎn)在的高上，且和都是等腰直角三角形，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 17B. 15C. 13D. 11
7. 如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)在上，且，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知一個(gè)二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：
則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論不正確的是（ ）
A. 圖象的開口向上B. 當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大
C. 圖象的頂點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn). 當(dāng)時(shí)，
第二部分（非選擇題 共96分）
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9. 分解因式：______．
10. 如圖，在正六邊形中，連接，相交于點(diǎn)，則度數(shù)為________．
11. 中國(guó)古代有很多極為精巧的發(fā)明；榫卯結(jié)構(gòu)就是其一，它是在兩個(gè)木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式．如圖，已知一個(gè)木構(gòu)件的長(zhǎng)度為6，其凸出部分的長(zhǎng)為1，若個(gè)相同的木構(gòu)件緊密拼成一列時(shí)，其總長(zhǎng)度為，則關(guān)于的關(guān)系式可以表示為________．
12. 已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的值為________．
13. 如圖，在正方形中，，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接，．若，則的面積為________．
三、解答題（共13小題，計(jì)81分．解答應(yīng)寫出過(guò)程）
14. 計(jì)算：．
15. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
16. 解方程：
17. 如圖，點(diǎn)在射線上，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作一個(gè)等腰，使得頂點(diǎn)在射線上．（作出符合題意的一個(gè)等腰三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）
18. 如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)G．求證：．
19. 某商店有兩種節(jié)能燈，每個(gè)型節(jié)能燈比每個(gè)型節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)少25元，而它們的售后所獲利潤(rùn)相同，其中，每個(gè)型節(jié)能燈的利潤(rùn)率為，每個(gè)型節(jié)能燈的利潤(rùn)率為，求兩種節(jié)能燈的單個(gè)進(jìn)價(jià)．
20. 4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字，將卡片的北面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)；再?gòu)挠嘞碌?張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)．小敏設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛?lái)的數(shù)字減去第二次記錄下來(lái)的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝．小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)用樹狀圖或列表等方法說(shuō)明理由．
21. 時(shí)刻保持網(wǎng)絡(luò)暢通，通信塔是必不可少的，某移動(dòng)公司在一處坡角為的坡地新安裝了一架通信塔，如圖1，某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這架通信塔的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖2為測(cè)量示意圖．已知斜坡長(zhǎng)16米，在地面點(diǎn)處測(cè)得通信塔的塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，利用無(wú)人機(jī)在點(diǎn)的正上方78米的點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，求該通信塔的塔桿的高度．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，）
22. 項(xiàng)目主題：確定不同運(yùn)動(dòng)效果的心率范圍．
項(xiàng)目背景：最大心率指人體在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)心臟每分鐘跳動(dòng)的最大次數(shù)．某校綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)以“探究不同運(yùn)動(dòng)效果的心率范圍”為主題展開項(xiàng)目學(xué)習(xí)．
驅(qū)動(dòng)任務(wù)：探究最大心率與年齡的關(guān)系．
收集數(shù)據(jù)：綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)通過(guò)某醫(yī)學(xué)雜志收集到不同年齡最大心率數(shù)據(jù)如下，發(fā)現(xiàn)最大心率（次/分）與年齡（周歲）符合一次函數(shù)關(guān)系．
問(wèn)題解決：
（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知不同運(yùn)動(dòng)效果時(shí)的心率如下表，周歲的小李想要達(dá)到提升耐力的效果，他的運(yùn)動(dòng)心率應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)？
23. 某校在3月份開展了“讓森林走進(jìn)城市，讓城市擁抱森林”的主題活動(dòng)，要求每人植棵樹，并分為四種類型，A：棵；B：棵；C：棵；D：棵．學(xué)校分別從七、八年級(jí)各抽取名學(xué)生每人的植樹量整理并繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表，請(qǐng)根據(jù)提供的信息解答下列問(wèn)題：
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）填空：________，________；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪個(gè)年級(jí)本次活動(dòng)的整體植樹量較好？請(qǐng)說(shuō)明理由（理由不少于兩條）．
（3）若該校七年級(jí)有人，八年級(jí)有人參加本次活動(dòng)，學(xué)校決定將植樹棵數(shù)不低于棵的學(xué)生被評(píng)為植樹標(biāo)兵，估計(jì)這次被評(píng)為植樹標(biāo)兵的學(xué)生人數(shù)．
24. 如圖，四邊形內(nèi)接于，，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且．
（1）求證：是的切線；
（2）若，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．
25. 周末，小明跟父母去寧強(qiáng)網(wǎng)紅打卡地玩耍，小明爸爸在樹蔭下將吊床綁在距離為米的樹與樹之間（米），兩邊拴繩的地方、距地面的高度均為米（米），吊床形狀近似呈拋物線形，此時(shí)吊床最低點(diǎn)離地面的高度為米．已知，，圖中所有的點(diǎn)都在同一平面內(nèi)．以樹與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，地面上所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)?shù)醮采夏程庪x地面高度為米時(shí)，求吊床上該處離右邊樹的距離．
26. 【問(wèn)題提出】
（1）如圖①，的半徑為3，是的內(nèi)接三角形，．
①的長(zhǎng)為________；
②求面積的最大值；
【問(wèn)題解決】
（2）如圖②，某公園中有一塊三角形空地，經(jīng)測(cè)量，，米．計(jì)劃對(duì)該空地進(jìn)行重新規(guī)劃利用，在線段，，上分別取點(diǎn)，，，沿，修兩條具有觀賞價(jià)值的休閑通道（通道的寬度忽略不計(jì)），其余空地種植花草．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，，，要保證施工的安全性，需要將點(diǎn)，用圍欄圍起來(lái)，形成一個(gè)封閉的施工場(chǎng)地四邊形，采購(gòu)部現(xiàn)要購(gòu)買圍欄，為了節(jié)約成本，要使圍欄的長(zhǎng)度盡可能短，求滿足要求的圍欄長(zhǎng)度的最小值．
2025年初中學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)試題
數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）．全卷共6頁(yè)，總分120分．考試時(shí)間120分鐘．
2．領(lǐng)到試卷和答題卡后，請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆；分別在試卷和答題卡上填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)，同時(shí)用2B鉛筆在答題卡上填涂對(duì)應(yīng)的試卷類型信息點(diǎn)（A或B）．
3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上各題的規(guī)定區(qū)域內(nèi)作答，否則作答無(wú)效．
4．作圖時(shí)，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆描黑．
5．考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．
第一部分（選擇題 共24分）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 的倒數(shù)是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：∵，
∴的倒數(shù)是，
故選：D
2. 如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，則這個(gè)幾何體是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查幾何體的展開圖，觀察所給平面展開圖即可選擇．
【詳解】解：由題圖知，該平面展開圖是由一個(gè)扇形和一個(gè)圓組成，
由圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，地面是一個(gè)圓，
可知該幾何體是圓錐．
故選：A．
3. 如圖，已知直線，平分，若，則的度數(shù)為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線定義，由平行線的性質(zhì)推出，由角平分線定義得到，再由即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
故選：A．
4. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式．解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．
首先移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，然后系數(shù)化成1，即可求解．
【詳解】解：，
，
，
，
故選：B．
5. 在平面直角坐標(biāo)系中，將一次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，則的值為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的平移，掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律，得到平移后的解析式為，再根據(jù)平移后的圖象過(guò)原點(diǎn)，求出，再把點(diǎn)代入一次函數(shù)求解即可．
【詳解】解：將一次函數(shù)為常數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
，
，
，
點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，
，
故選：C．
6. 如圖，點(diǎn)在的高上，且和都是等腰直角三角形，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 17B. 15C. 13D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用勾股定理求解是關(guān)鍵．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出，，再由勾股定理就可以求出結(jié)論．
【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理，得．
故選：C．
7. 如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)在上，且，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，連接，
四邊形內(nèi)接于，
，
，
，
是的直徑，
，
，
由圓周角定理得：，
故選：D．
8. 已知一個(gè)二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：
則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論不正確的是（ ）
A. 圖象的開口向上B. 當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大
C. 圖象的頂點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn). 當(dāng)時(shí)，
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)．先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：由題意得，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為，
∵，
∴圖象的開口向上，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；
圖象的對(duì)稱軸是直線，
當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大先減小再增大，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，符合題意；
頂點(diǎn)坐標(biāo)，在第四象限，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；
∵圖象的對(duì)稱軸是直線，且過(guò)點(diǎn)，則與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)為，
∴當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；
故選：B．
第二部分（非選擇題 共96分）
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9. 分解因式：______．
【答案】##
【解析】
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【詳解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案為：2（m+3）（m-3）．
【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在正六邊形中，連接，相交于點(diǎn)，則的度數(shù)為________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本題主要考查正多邊形內(nèi)角的問(wèn)題和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)正六邊形得出，，由等邊對(duì)等角得出，，再根據(jù)三角形的外角即可得出答案．
【詳解】解：六邊形是正六邊形，
，，
，，
在中，，
故答案為：．
11. 中國(guó)古代有很多極為精巧的發(fā)明；榫卯結(jié)構(gòu)就是其一，它是在兩個(gè)木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式．如圖，已知一個(gè)木構(gòu)件的長(zhǎng)度為6，其凸出部分的長(zhǎng)為1，若個(gè)相同的木構(gòu)件緊密拼成一列時(shí)，其總長(zhǎng)度為，則關(guān)于的關(guān)系式可以表示為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一個(gè)木構(gòu)件的長(zhǎng)度為6，兩個(gè)木構(gòu)件上的凹凸部分緊密連接，每增加一個(gè)木構(gòu)件，長(zhǎng)度增加5，即可解答．
【詳解】解：由題意得：，
故答案為：．
12. 已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，根據(jù)，反比例函數(shù)在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)隨的增大而增大，結(jié)合，函數(shù)y的最小值之為，進(jìn)行列式，即可作答．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)
∴反比例函數(shù)在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)隨的增大而增大
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值之為，
∴，
解得，
故答案為：．
13. 如圖，在正方形中，，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接，．若，則的面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】利用相似三角形的判定和性質(zhì)求得點(diǎn)F為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作于M，連接交于點(diǎn)O，先利用勾股定理求出，則，再求出；證明是等腰直角三角形，得到，則，設(shè)，則，證明，得到，解方程求出；再利用三角形的面積公式求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即點(diǎn)F為中點(diǎn)，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作于M，連接交于點(diǎn)O，
∵四邊形是正方形，
∴，，，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵點(diǎn)F為中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
解得或（舍去），
∴；
∴；
∴的面積為；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共13小題，計(jì)81分．解答應(yīng)寫出過(guò)程）
14. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，利用二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪的法則，絕對(duì)值的意義，進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【詳解】解：
．
15. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
【答案】18
【解析】
【分析】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式和多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)．
先根據(jù)完全平方公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將原式展開，然后合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后把m，n的值代入化簡(jiǎn)后的式子求值．
【詳解】解：
，
當(dāng)代入求值，
．
16. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是先變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：，
去分母得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，
系數(shù)化為1得：，
檢驗(yàn)：把代入得：，
∴是原方程的解．
17. 如圖，點(diǎn)在射線上，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作一個(gè)等腰，使得頂點(diǎn)在射線上．（作出符合題意的一個(gè)等腰三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了等腰直角三角形的定義，尺規(guī)作圖，線段的作法，垂直平分線的作法及性質(zhì)．以點(diǎn)B為圓心為半徑畫弧交以點(diǎn)Q，或作的垂直平分線交以點(diǎn)，或以點(diǎn)P為圓心為半徑畫弧交以點(diǎn)，則是所求作的等腰直角三角形．
【詳解】解：如圖所示為所求：
18. 如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)G．求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握菱形的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再通過(guò)證明即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 某商店有兩種節(jié)能燈，每個(gè)型節(jié)能燈比每個(gè)型節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)少25元，而它們的售后所獲利潤(rùn)相同，其中，每個(gè)型節(jié)能燈的利潤(rùn)率為，每個(gè)型節(jié)能燈的利潤(rùn)率為，求兩種節(jié)能燈的單個(gè)進(jìn)價(jià)．
【答案】每個(gè)型節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)為50元，每個(gè)型節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)為75元
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．設(shè)每個(gè)型節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)為元，則每個(gè)型節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)利潤(rùn)進(jìn)價(jià)盈利率，再結(jié)合兩種節(jié)能燈的售后利潤(rùn)額相同，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)每個(gè)型節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)為元，則每個(gè)型節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)為元，
依題意得：，
解得：，
則．
答：每個(gè)型節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)為50元，每個(gè)型節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)為75元．
20. 4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字，將卡片的北面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)；再?gòu)挠嘞碌?張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)．小敏設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛?lái)的數(shù)字減去第二次記錄下來(lái)的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝．小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)用樹狀圖或列表等方法說(shuō)明理由．
【答案】公平，詳見解析
【解析】
【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷以及列表法求概率，利用列表法列舉出所有可能結(jié)果，再利用概率公式得出甲、乙獲勝的概率，即可得出答案，熟練掌握求列表法求概率是解決此題的關(guān)鍵．
【詳解】小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平，理由如下：
列表如下：
由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中結(jié)果為非負(fù)數(shù)有6種結(jié)果，結(jié)果為負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果，
∴甲獲勝的概率乙獲勝的概率，
∴小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平．
21. 時(shí)刻保持網(wǎng)絡(luò)暢通，通信塔是必不可少的，某移動(dòng)公司在一處坡角為的坡地新安裝了一架通信塔，如圖1，某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這架通信塔的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖2為測(cè)量示意圖．已知斜坡長(zhǎng)16米，在地面點(diǎn)處測(cè)得通信塔的塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，利用無(wú)人機(jī)在點(diǎn)的正上方78米的點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，求該通信塔的塔桿的高度．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】該通信塔的塔桿的高度約為56.3米．
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰俯角問(wèn)題，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得：，，米，，在中，求出的長(zhǎng)，設(shè)米，則（米），再分別求出、的長(zhǎng)，然后根據(jù)列式求出的值即可．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由題意得：，，米，，
在中，，米，
（米），
設(shè)米，則（米），
在中，，
（米），
在中，，
（米），
，
，
解得：，
（米），
該通信塔的塔桿的高度約為56.3米．
22. 項(xiàng)目主題：確定不同運(yùn)動(dòng)效果的心率范圍．
項(xiàng)目背景：最大心率指人體在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)心臟每分鐘跳動(dòng)的最大次數(shù)．某校綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)以“探究不同運(yùn)動(dòng)效果的心率范圍”為主題展開項(xiàng)目學(xué)習(xí)．
驅(qū)動(dòng)任務(wù)：探究最大心率與年齡的關(guān)系．
收集數(shù)據(jù)：綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)通過(guò)某醫(yī)學(xué)雜志收集到不同年齡最大心率數(shù)據(jù)如下，發(fā)現(xiàn)最大心率（次/分）與年齡（周歲）符合一次函數(shù)關(guān)系．
問(wèn)題解決：
（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知不同運(yùn)動(dòng)效果時(shí)的心率如下表，周歲的小李想要達(dá)到提升耐力的效果，他的運(yùn)動(dòng)心率應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)？
【答案】（1）
（2）次分次分
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）將代入關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，求出對(duì)應(yīng)的值，即小李的最大心率，再由提升耐力時(shí)運(yùn)動(dòng)心率占最大心率的百分比分別計(jì)算運(yùn)動(dòng)心率的最小值與最大值即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（、為常數(shù)，且）．
將，和，分別代入，
得，
解得，
∴關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
∴小李的最大心率是次/分．
（次/分），（次/分），
∴他的運(yùn)動(dòng)心率應(yīng)該控制在次分次分．
23. 某校在3月份開展了“讓森林走進(jìn)城市，讓城市擁抱森林”的主題活動(dòng)，要求每人植棵樹，并分為四種類型，A：棵；B：棵；C：棵；D：棵．學(xué)校分別從七、八年級(jí)各抽取名學(xué)生每人的植樹量整理并繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表，請(qǐng)根據(jù)提供的信息解答下列問(wèn)題：
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）填空：________，________；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪個(gè)年級(jí)本次活動(dòng)的整體植樹量較好？請(qǐng)說(shuō)明理由（理由不少于兩條）．
（3）若該校七年級(jí)有人，八年級(jí)有人參加本次活動(dòng)，學(xué)校決定將植樹棵數(shù)不低于棵的學(xué)生被評(píng)為植樹標(biāo)兵，估計(jì)這次被評(píng)為植樹標(biāo)兵的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1）棵，棵
（2）見詳解 （3）人
【解析】
【分析】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)；
（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；
（2）根據(jù)中位數(shù)和方差的意義求解即可；
（3）總?cè)藬?shù)乘以對(duì)應(yīng)百分比即可．
小問(wèn)1詳解】
解：七年級(jí)的中位數(shù)為棵，八年級(jí)的眾數(shù)為棵，
故答案為：，；
【小問(wèn)2詳解】
解：七年級(jí)本次活動(dòng)的整體植樹量較好，理由：
七年級(jí)植樹的中位數(shù)大于八年級(jí)，方差小于八年級(jí)，
所以七年級(jí)大部分人種植數(shù)量多于八年級(jí)，且植樹數(shù)量穩(wěn)定；
【小問(wèn)3詳解】
解：（人），
答：估計(jì)這次被評(píng)為植樹標(biāo)兵的學(xué)生人數(shù)約為人．
24. 如圖，四邊形內(nèi)接于，，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且．
（1）求證：是的切線；
（2）若，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查了證明某直線是圓的切線、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論即可．
（1）連接,可得是的直徑，推出；根據(jù)，可得，進(jìn)而得，即可求證；
（2）設(shè)與交于點(diǎn)F，可推出，得到，，證得即可求解；
【小問(wèn)1詳解】
證明：如圖，連接，
，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
為的半徑，
是的切線；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)與交于點(diǎn)F，
由（1）知：，
∵，
，
，，
在中，，
是直徑，
，
，
25. 周末，小明跟父母去寧強(qiáng)網(wǎng)紅打卡地玩耍，小明的爸爸在樹蔭下將吊床綁在距離為米的樹與樹之間（米），兩邊拴繩的地方、距地面的高度均為米（米），吊床形狀近似呈拋物線形，此時(shí)吊床最低點(diǎn)離地面的高度為米．已知，，圖中所有的點(diǎn)都在同一平面內(nèi)．以樹與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，地面上所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)?shù)醮采夏程庪x地面高度為米時(shí)，求吊床上該處離右邊樹的距離．
【答案】（1）
（2）米或米
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法，根據(jù)函數(shù)值求自變量的值的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）將代入解得，，由此即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：根據(jù)題意得，，，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入，
得，
解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
【小問(wèn)2詳解】
解：將代入得，
解得，，
當(dāng)時(shí)，（米），
當(dāng)時(shí)，（米），
∴吊床上該處離右邊樹的距離為米或米．
26. 【問(wèn)題提出】
（1）如圖①，的半徑為3，是的內(nèi)接三角形，．
①的長(zhǎng)為________；
②求面積的最大值；
【問(wèn)題解決】
（2）如圖②，某公園中有一塊三角形空地，經(jīng)測(cè)量，，米．計(jì)劃對(duì)該空地進(jìn)行重新規(guī)劃利用，在線段，，上分別取點(diǎn)，，，沿，修兩條具有觀賞價(jià)值的休閑通道（通道的寬度忽略不計(jì)），其余空地種植花草．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，，，要保證施工的安全性，需要將點(diǎn)，用圍欄圍起來(lái)，形成一個(gè)封閉的施工場(chǎng)地四邊形，采購(gòu)部現(xiàn)要購(gòu)買圍欄，為了節(jié)約成本，要使圍欄的長(zhǎng)度盡可能短，求滿足要求的圍欄長(zhǎng)度的最小值．
【答案】（1）①；②；（2）米
【解析】
【分析】（1） ①根據(jù)題意作的外接圓，由圓周角定理可得是等邊三角形，則有；②如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)N處，即點(diǎn)C在垂直于的直徑上時(shí)，高的值最大，此時(shí)的面積等于的面積，且面積最大，由等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理可得，結(jié)合三角形面積的計(jì)算公式即可求解；
（2）先證明點(diǎn)四點(diǎn)共圓，設(shè)圓心為點(diǎn)P，半徑為r，連接，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)S，根據(jù)垂徑定 理和勾股定理得出米，根據(jù)題意當(dāng)r最小時(shí)，長(zhǎng)度的最小，而是直徑，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)是等腰直角三角形，即可得出米，進(jìn)而即可求解.
【詳解】（1）解：①連接，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴；
②在①基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接，
∴，
∵線段是定值，
∴當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)N處，即點(diǎn)C在垂直于的直徑上時(shí)，中邊上的高最大，
此時(shí)的面積等于的面積，且面積最大，
∵是等邊三角形，，
∴，
∴，
∴，
，
∴的最大面積為；
（2）在中，
∴
在四邊形中，
∴，
∴點(diǎn)四點(diǎn)共圓，
如圖，設(shè)圓心為點(diǎn)P，半徑為r，連接，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)S，
∵，
∴是直徑，
∵，
∴，
又∵，則，
∴米，則米，
∴米，
要使得最小，即r最小，而是直徑，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)最小，
此時(shí)，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
又∵米，
∴米，
∴米，
∴米，
故圍欄長(zhǎng)度的最小值為米．
【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了三角形的外接圓問(wèn)題，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，勾股定理與垂徑定理解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．
…
0
1
3
…
…
7
0
…
年齡/周歲
最大心率/（次/分）
運(yùn)動(dòng)效果
運(yùn)動(dòng)心率占最大心率的百分比
燃燒脂肪
提升耐力
年級(jí)
平均數(shù)（單位：棵）
中位數(shù)（單位：棵）
眾數(shù)（單位：棵）
方差
七年級(jí)
八年級(jí)
…
0
1
3
…
…
7
0
…
0
1
-2
3
0
1
-2
3
1
-1
-3
2
-2
2
3
5
3
-3
-2
-5
年齡/周歲
最大心率/（次/分）
運(yùn)動(dòng)效果
運(yùn)動(dòng)心率占最大心率的百分比
燃燒脂肪
提升耐力
年級(jí)
平均數(shù)（單位：棵）
中位數(shù)（單位：棵）
眾數(shù)（單位：棵）
方差
七年級(jí)
八年級(jí)

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