注意事項(xiàng)：
1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）．全卷共6頁(yè)，總分120分．考試時(shí)間120分鐘．
2：領(lǐng)到試卷和答題卡后，請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆，分別在試卷和答題卡上填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)，同時(shí)用2B鉛筆在答題卡上填涂對(duì)應(yīng)的試卷類型信息點(diǎn)（A或B）．
3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上各題的指定區(qū)域內(nèi)作答，否則作答無(wú)效．
4．作圖時(shí)，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆描黑．
5．考試結(jié)束，本試卷和答題卡一并交回．
第一部分（選擇題 共24分）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1. 計(jì)算：（ ）
A. B. C. D.
2. 下面四幅圖是我國(guó)一些博物館的標(biāo)志，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，點(diǎn)在上，，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
4. 實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖，在中，點(diǎn)在上，連接，的頂點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，、分別交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 3B. 2C. D.
6. 已知直線（為常數(shù)，且）向下平移后可以得到直線，且，則直線經(jīng)過(guò)（ ）
A. 第二、四象限B. 第一、三象限
C. 第一、二象限D(zhuǎn). 第三、四象限
7. 如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)在邊上，連接，已知，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 4B. C. D. 6
8. 已知拋物線（是常數(shù)），當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)值的范圍是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非選擇題 共96分）
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9. 不等式的解為______．
10. 三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載：構(gòu)造如圖所示的大正方形，它由四個(gè)全等的小矩形和中間一個(gè)（陰影）小正方形組成……，若設(shè)圖中小矩形的寬為，長(zhǎng)為，陰影小正方形的面積為，則與之間的關(guān)系是____________．
11. 如圖，是的直徑，、是的弦，半徑，連接，若，則的度數(shù)為____________°．
12. 如圖，頂點(diǎn)在軸上，，點(diǎn)、在第一象限，軸，點(diǎn)在的下方，，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值可能是____________．（寫出一個(gè)即可）
13. 如圖，在矩形中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、在射線上（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），連接、，若，，則的值為____________．
三、解答題（共13小題，計(jì)81分．解答應(yīng)寫出過(guò)程）
14. 計(jì)算：．
15. 已知，求代數(shù)式的值．
16. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
17. 如圖，已知，點(diǎn)在上，請(qǐng)利用尺規(guī)在下方作一點(diǎn)，連接，使得垂直平分線段．（不寫作法，保留作圖痕跡）
18. 如圖；在中，延長(zhǎng)到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，連接，，求證：．
19. 兵馬俑被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，“二十世紀(jì)考古史上的偉大發(fā)現(xiàn)之一”．小櫻想購(gòu)買兵馬俑模型作為紀(jì)念品，她計(jì)劃購(gòu)買一個(gè)鞍馬騎兵俑，工作人員告訴她，如果她再加元，可以從四個(gè)裝有兵馬俑的盒子中隨機(jī)拿走兩個(gè)，盒子的外觀完全相同，這四個(gè)盒子中所裝兵馬俑分別是．將軍俑、．文官俑、．鎧甲俑、．跪射俑．小櫻想了想加了元錢．
（1）小櫻先從這四個(gè)盒子中隨機(jī)拿走一個(gè)，則她拿走文官俑的概率是_______；
（2）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求小櫻得到將軍俑和跪射俑的概率．
20. 外賣行業(yè)已深深融入人們的日常生活，一外賣騎手在送餐的過(guò)程中，需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)將餐送到目的地，若騎手每分鐘騎行，則早到；若騎手每分鐘騎行，則要遲到，試求出騎手將餐送到目的地的規(guī)定時(shí)間以及騎手所行駛的總路程．
21. 無(wú)字碑是武則天所立，位于陜西省咸陽(yáng)市區(qū)西北方五十公里處的乾陵．張宇和同學(xué)們?nèi)デ暧瓮?，想利用手頭工具測(cè)量無(wú)字碑的高度．如圖，處有一小灘水，張宇標(biāo)定位置，調(diào)整自己的位置，恰好在處時(shí)從點(diǎn)看到碑頂?shù)南瘢?，張宇的眼睛到地面的距離；然后張宇用紙折出一個(gè)直角三角形，將較長(zhǎng)直角邊與水平地面重合，移動(dòng)三角形，使點(diǎn)在斜邊的延長(zhǎng)線上，直角頂點(diǎn)在處，，，點(diǎn)、、、、在一條水平線上，圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)．請(qǐng)你求出無(wú)字碑的高．
22. 近日，火爆全球，在國(guó)內(nèi)外掀起下載熱潮和熱議，的出現(xiàn)，不僅為我國(guó)人工智能的發(fā)展注入了新的活力，更讓全球見(jiàn)證了我國(guó)在領(lǐng)域的卓越創(chuàng)新與突破．某人工智能研發(fā)公司要購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種芯片共1000片，甲種芯片每片的價(jià)格是600元，乙種芯片每片的價(jià)格是550元，經(jīng)過(guò)商議后，甲種芯片每片打九折，乙種芯片每片減40元．
（1）設(shè)購(gòu)買甲種芯片（片），購(gòu)買甲、乙兩種芯片所需的總費(fèi)用為（元），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若購(gòu)買甲、乙兩種芯片所需的總費(fèi)用為522000元，求購(gòu)買甲、乙兩種芯片各多少片？
23. 2025年第九屆亞冬會(huì)圓滿落幕，但“冰雪同夢(mèng)、亞洲同心”的火種不會(huì)熄滅．多地鼓勵(lì)青少年參加冰雪運(yùn)動(dòng)，助力青少年身體素質(zhì)提升．某校為了解七年級(jí)學(xué)生的身體素質(zhì)，校學(xué)生會(huì)對(duì)七年級(jí)學(xué)生的身高情況進(jìn)行了調(diào)查，形成下表的調(diào)查報(bào)告（不完整）：
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）統(tǒng)計(jì)表中________，扇形統(tǒng)計(jì)圖中________，所抽取學(xué)生身高的中位數(shù)落在_________組；
（2）現(xiàn)七年級(jí)有甲、乙兩隊(duì)冰上舞蹈隊(duì)，兩隊(duì)隊(duì)員的身高如下：
已知兩隊(duì)的舞蹈功底相當(dāng)，如果一隊(duì)學(xué)生身高的方差越小，則認(rèn)為該隊(duì)呈現(xiàn)舞蹈效果越好．據(jù)此推斷：在這兩隊(duì)學(xué)生中，舞蹈呈現(xiàn)效果更好的是________隊(duì)；（填“甲”或“乙”）
（3）求所抽取學(xué)生的平均身高；若該校七年級(jí)學(xué)生有名，請(qǐng)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生身高小于的人數(shù)．
24. 如圖，是的直徑，是的切線，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是下方上一點(diǎn)，連接、、，．
（1）求證：；
（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．
25. 驅(qū)動(dòng)任務(wù)：某公園為了美化環(huán)境，打造富有特色的公園，修建了兩個(gè)“拋物線型”景觀池某數(shù)學(xué)社團(tuán)小組在學(xué)習(xí)了拋物線的相關(guān)知識(shí)后，計(jì)劃研究這兩個(gè)“拋物線型”景觀池．
收集資料：經(jīng)過(guò)查詢后發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)“拋物線型”景觀池的形狀大小完全一樣，其俯視圖如圖所示．建立模型：如圖，點(diǎn)、、在一條直線上，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線與關(guān)于軸對(duì)稱，，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
問(wèn)題解決：
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)在拋物線上且在拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)在軸上，是一座長(zhǎng)的木橋，軸，現(xiàn)計(jì)劃再修一條小道，點(diǎn)在拋物線上且在拋物線的對(duì)稱軸右側(cè)，軸，求小道的長(zhǎng)．
26. 【問(wèn)題探究】
（1）如圖①，在中，，，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的度數(shù)；
問(wèn)題解決】
（2）如圖②，四邊形是一個(gè)工廠的平面示意圖，，，，連接，，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，在處修建一個(gè)員工休息處，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，按規(guī)劃在處修建一個(gè)廢品處理站，是一條產(chǎn)品加工線，其中點(diǎn)在上，點(diǎn)是四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，為方便回收廢品，現(xiàn)要沿安裝一條自動(dòng)運(yùn)輸帶．為節(jié)約成本，要使自動(dòng)運(yùn)輸帶的長(zhǎng)盡可能的小，自動(dòng)運(yùn)輸帶的長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2025年陜西省初中學(xué)業(yè)水平考試·全真模擬卷
數(shù)學(xué)試卷
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）．全卷共6頁(yè)，總分120分．考試時(shí)間120分鐘．
2：領(lǐng)到試卷和答題卡后，請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆，分別在試卷和答題卡上填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)，同時(shí)用2B鉛筆在答題卡上填涂對(duì)應(yīng)的試卷類型信息點(diǎn)（A或B）．
3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上各題的指定區(qū)域內(nèi)作答，否則作答無(wú)效．
4．作圖時(shí)，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆描黑．
5．考試結(jié)束，本試卷和答題卡一并交回．
第一部分（選擇題 共24分）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1. 計(jì)算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握：任何不等于的數(shù)的次冪都等于．
【詳解】解：．
故選：B．
2. 下面四幅圖是我國(guó)一些博物館的標(biāo)志，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，能和自身完全重合，則這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，兩部分能完全重合，則這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B．不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C．不中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D．不是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：A．
3. 如圖，點(diǎn)在上，，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)可得，再根據(jù)可得，解題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即的度數(shù)為．
故選：C．
4. 實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是掌握：在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大；正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，正實(shí)數(shù)都大于．結(jié)合不等式的性質(zhì)依次對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可作出判斷．
【詳解】解：由數(shù)軸可知：，，
∴選項(xiàng)A、B、C的結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意，，
∴，
故選項(xiàng)D的結(jié)論正確，符合題意．
故選：D．
5. 如圖，在中，點(diǎn)在上，連接，的頂點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，、分別交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
根據(jù)題意得出是的中位線，即可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
故選：D．
6. 已知直線（常數(shù)，且）向下平移后可以得到直線，且，則直線經(jīng)過(guò)（ ）
A. 第二、四象限B. 第一、三象限
C. 第一、二象限D(zhuǎn). 第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】該題考查了一次函數(shù)的平移，正比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)平移得出，再根據(jù)得出，即可確定直線經(jīng)過(guò)的象限．
【詳解】解：∵直線（為常數(shù)，且）向下平移后可以得到直線，
∴，
∵，
∴，
∴直線經(jīng)過(guò)第二、四象限，
故選：A．
7. 如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)在邊上，連接，已知，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 4B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
首先根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到，勾股定理求出，然后得到，，然后根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴．
故選：B．
8. 已知拋物線（是常數(shù)），當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)值的范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得的取值范圍，從而可以求得當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的取值范圍，本題得以解決．
【詳解】解：∵拋物線（是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于，
，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
故選：C．
第二部分（非選擇題 共96分）
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9. 不等式解為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式，根據(jù)解一元一次不等式的步驟解答即可，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
10. 三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載：構(gòu)造如圖所示的大正方形，它由四個(gè)全等的小矩形和中間一個(gè)（陰影）小正方形組成……，若設(shè)圖中小矩形的寬為，長(zhǎng)為，陰影小正方形的面積為，則與之間的關(guān)系是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查列函數(shù)關(guān)系式，先利用算術(shù)平方根確定小正方形的邊長(zhǎng)為，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得：長(zhǎng)寬．正確理解題意，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵陰影小正方形的面積為，
∴陰影小正方形的邊長(zhǎng)為，
∵圖中小矩形的寬為，長(zhǎng)為，
∴，
∴與之間的關(guān)系是．
故答案為：．
11. 如圖，是的直徑，、是的弦，半徑，連接，若，則的度數(shù)為____________°．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和平行線的性質(zhì)，熟練掌握基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：，
，
，
，
，
故答案為：．
12. 如圖，的頂點(diǎn)在軸上，，點(diǎn)、在第一象限，軸，點(diǎn)在的下方，，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值可能是____________．（寫出一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查確定反比例函數(shù)的解析式，先根據(jù)題意確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入解析式計(jì)算即可．解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式．
【詳解】解：∵，軸，
∴軸，即軸，
∵，且點(diǎn)、在第一象限，點(diǎn)在的下方，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴此時(shí)，即，
∴的值可能是．
故答案為：（答案不唯一）．
13. 如圖，在矩形中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、在射線上（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），連接、，若，，則的值為____________．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，證明是等邊三角形，得，，在中，得，繼而得到，，進(jìn)一步得到，，最后在中，由即可得出答案．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等角對(duì)等邊等知識(shí)點(diǎn)．確定是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共13小題，計(jì)81分．解答應(yīng)寫出過(guò)程）
14. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，先計(jì)算乘方、化簡(jiǎn)二次根式并計(jì)算絕對(duì)值里的運(yùn)算，再計(jì)算乘法并去絕對(duì)值，最后計(jì)算加減即可．
【詳解】解：
．
15. 已知，求代數(shù)式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了整式化簡(jiǎn)求值，掌握利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行運(yùn)算并整體代入求值是解題的關(guān)鍵．
先按照整式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)代數(shù)式，再把變形后，整體代入求值即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
16. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將的值代入計(jì)算可得．
【詳解】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
17. 如圖，已知，點(diǎn)在上，請(qǐng)利用尺規(guī)在下方作一點(diǎn)，連接，使得垂直平分線段．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】本題主要考查了垂直平分線的作法，準(zhǔn)確畫出圖形是解決本題的關(guān)鍵．
以為圓心，為半徑畫弧，以為圓心，為半徑畫弧交前弧于點(diǎn)，連接則垂直平分線段，點(diǎn)即是所要求的點(diǎn)．
【詳解】證明：以為圓心，為半徑畫弧，
以為圓心，為半徑畫弧交前弧于點(diǎn)，
連接則垂直平分線段，如圖所示，
，
點(diǎn)在的垂直平分線上，
，
點(diǎn)在的垂直平分線上，
垂直平分線段．
18. 如圖；在中，延長(zhǎng)到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，連接，，求證：．
【答案】見(jiàn)詳解
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)．由，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，又，利用即可證明，從而得到．
【詳解】證明：∵，
在與中，
，
，
．
19. 兵馬俑被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，“二十世紀(jì)考古史上的偉大發(fā)現(xiàn)之一”．小櫻想購(gòu)買兵馬俑模型作為紀(jì)念品，她計(jì)劃購(gòu)買一個(gè)鞍馬騎兵俑，工作人員告訴她，如果她再加元，可以從四個(gè)裝有兵馬俑的盒子中隨機(jī)拿走兩個(gè)，盒子的外觀完全相同，這四個(gè)盒子中所裝兵馬俑分別是．將軍俑、．文官俑、．鎧甲俑、．跪射俑．小櫻想了想加了元錢．
（1）小櫻先從這四個(gè)盒子中隨機(jī)拿走一個(gè)，則她拿走文官俑的概率是_______；
（2）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求小櫻得到將軍俑和跪射俑的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查用列表法或畫樹狀圖法求概率，
（1）由題意可知她拿走文官俑的結(jié)果有種，然后利用概率的計(jì)算公式求解即可；
（2）用畫樹狀圖的方法，可知，共有種等可能的結(jié)果，其中小櫻得到將軍俑和跪射俑的結(jié)果有種，然后利用概率的計(jì)算公式求解即可；
列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．解題的關(guān)鍵是掌握：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
【小問(wèn)1詳解】
解：可知，共有種等可能的結(jié)果，其中小櫻拿走文官俑的結(jié)果有種，
∴她拿走文官俑的概率是，
故答案為：．
【小問(wèn)2詳解】
畫樹狀圖如下：
可知，共有種等可能的結(jié)果，其中小櫻得到將軍俑和跪射俑的結(jié)果有種，
∴（小櫻得到將軍俑和跪射俑），
∴小櫻得到將軍俑和跪射俑的概率為．
20. 外賣行業(yè)已深深融入人們的日常生活，一外賣騎手在送餐的過(guò)程中，需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)將餐送到目的地，若騎手每分鐘騎行，則早到；若騎手每分鐘騎行，則要遲到，試求出騎手將餐送到目的地的規(guī)定時(shí)間以及騎手所行駛的總路程．
【答案】騎手將餐送到目的地的規(guī)定時(shí)間是，騎手所行駛的總路程為
【解析】
【分析】設(shè)規(guī)定的時(shí)間為，根據(jù)“路程速度時(shí)間”，再根據(jù)“需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)將餐送到目的地即路程相等”建立一元一次方程，求解即可．正確理解題意，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)規(guī)定的時(shí)間為，
依題意，得：，
解得：，
∴，
∴騎手將餐送到目的地的規(guī)定時(shí)間是，騎手所行駛的總路程為．
21. 無(wú)字碑是武則天所立，位于陜西省咸陽(yáng)市區(qū)西北方五十公里處的乾陵．張宇和同學(xué)們?nèi)デ暧瓮妫肜檬诸^工具測(cè)量無(wú)字碑的高度．如圖，處有一小灘水，張宇標(biāo)定位置，調(diào)整自己的位置，恰好在處時(shí)從點(diǎn)看到碑頂?shù)南?，，張宇的眼睛到地面的距離；然后張宇用紙折出一個(gè)直角三角形，將較長(zhǎng)直角邊與水平地面重合，移動(dòng)三角形，使點(diǎn)在斜邊的延長(zhǎng)線上，直角頂點(diǎn)在處，，，點(diǎn)、、、、在一條水平線上，圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)．請(qǐng)你求出無(wú)字碑的高．
【答案】無(wú)字碑的高
【解析】
【分析】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，正切的定義，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．
根據(jù)題意證明，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，
則，
∴，
即，
解得：，
答：無(wú)字碑的高．
22. 近日，火爆全球，在國(guó)內(nèi)外掀起下載熱潮和熱議，的出現(xiàn)，不僅為我國(guó)人工智能的發(fā)展注入了新的活力，更讓全球見(jiàn)證了我國(guó)在領(lǐng)域的卓越創(chuàng)新與突破．某人工智能研發(fā)公司要購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種芯片共1000片，甲種芯片每片的價(jià)格是600元，乙種芯片每片的價(jià)格是550元，經(jīng)過(guò)商議后，甲種芯片每片打九折，乙種芯片每片減40元．
（1）設(shè)購(gòu)買甲種芯片（片），購(gòu)買甲、乙兩種芯片所需的總費(fèi)用為（元），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若購(gòu)買甲、乙兩種芯片所需的總費(fèi)用為522000元，求購(gòu)買甲、乙兩種芯片各多少片？
【答案】（1）
（2）購(gòu)買甲種芯片 400 片，購(gòu)買乙種芯片600片
【解析】
【分析】該題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是列出函數(shù)關(guān)系式．
（1）設(shè)購(gòu)買甲種芯片片，則購(gòu)買乙種芯片片，根據(jù)“甲種芯片每片的價(jià)格是600元，乙種芯片每片的價(jià)格是550元，甲種芯片每片打九折，乙種芯片每片減40元”即可求解；
（2）將代入（1）中函數(shù)關(guān)系式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)購(gòu)買甲種芯片片，則購(gòu)買乙種芯片片，
∴購(gòu)買甲，乙兩種芯片所需的總費(fèi)用為：，
化簡(jiǎn)得：．
【小問(wèn)2詳解】
解： 將代入中，得：，
解得：，
因此，購(gòu)買甲種芯片 400 片，購(gòu)買乙種芯片片．
23. 2025年第九屆亞冬會(huì)圓滿落幕，但“冰雪同夢(mèng)、亞洲同心”的火種不會(huì)熄滅．多地鼓勵(lì)青少年參加冰雪運(yùn)動(dòng)，助力青少年身體素質(zhì)提升．某校為了解七年級(jí)學(xué)生的身體素質(zhì)，校學(xué)生會(huì)對(duì)七年級(jí)學(xué)生的身高情況進(jìn)行了調(diào)查，形成下表的調(diào)查報(bào)告（不完整）：
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）統(tǒng)計(jì)表中________，扇形統(tǒng)計(jì)圖中________，所抽取學(xué)生身高的中位數(shù)落在_________組；
（2）現(xiàn)七年級(jí)有甲、乙兩隊(duì)冰上舞蹈隊(duì)，兩隊(duì)隊(duì)員的身高如下：
已知兩隊(duì)的舞蹈功底相當(dāng)，如果一隊(duì)學(xué)生身高的方差越小，則認(rèn)為該隊(duì)呈現(xiàn)舞蹈效果越好．據(jù)此推斷：在這兩隊(duì)學(xué)生中，舞蹈呈現(xiàn)效果更好的是________隊(duì)；（填“甲”或“乙”）
（3）求所抽取學(xué)生的平均身高；若該校七年級(jí)學(xué)生有名，請(qǐng)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生身高小于的人數(shù)．
【答案】（1）；；
（2）甲 （3）人
【解析】
【分析】（1）用組的人數(shù)除以組的百分比可得所抽取學(xué)生人數(shù)，再減去其余四組的人數(shù)可得，用組的人數(shù)除以所抽取學(xué)生人數(shù)即可求出，根據(jù)中位數(shù)的定義即可得出答案；
（2）先求出兩隊(duì)隊(duì)員身高的方差再進(jìn)行比較即可；
（3）先利用加權(quán)平均數(shù)求出的值，然后用小于的人數(shù)所占的百分比乘以即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：所抽取學(xué)生人數(shù)為：（人），
∴（人），
，
∴，
將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，中位數(shù)為排在第、位置的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
∴所抽取學(xué)生身高的中位數(shù)落在組，
故答案為：；；；
【小問(wèn)2詳解】
∵甲隊(duì)隊(duì)員的平均身高：，
乙隊(duì)隊(duì)員的平均身高：，
∴甲隊(duì)隊(duì)員身高的方差：
，
乙隊(duì)隊(duì)員身高的方差：
，
∴，
∴在這兩隊(duì)學(xué)生中，舞蹈呈現(xiàn)效果更好的是甲隊(duì)，
故答案為：甲；
【小問(wèn)3詳解】
∵，
∴（人），
∴估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生身高小于的人數(shù)有人．
【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布表與扇形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)，中位數(shù)，方差，加權(quán)平均數(shù)，樣本估計(jì)整體等知識(shí)點(diǎn)．能靈活利用圖表中的數(shù)據(jù)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，是的直徑，是的切線，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是下方上一點(diǎn)，連接、、，．
（1）求證：；
（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)詳解 （2）6
【解析】
【分析】（1）如圖，連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，證明，，結(jié)合，即可得，再根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明．
（2）如圖，連接，證明，得出，根據(jù)三線合一得出，，證明，得出，再根據(jù)三角形中位線定理即可得出．
【小問(wèn)1詳解】
證明：如圖，連接，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，連接，
∵，
∴，
∴，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴．
【點(diǎn)睛】該題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)，正確做出輔助線．
25. 驅(qū)動(dòng)任務(wù)：某公園為了美化環(huán)境，打造富有特色的公園，修建了兩個(gè)“拋物線型”景觀池某數(shù)學(xué)社團(tuán)小組在學(xué)習(xí)了拋物線的相關(guān)知識(shí)后，計(jì)劃研究這兩個(gè)“拋物線型”景觀池．
收集資料：經(jīng)過(guò)查詢后發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)“拋物線型”景觀池的形狀大小完全一樣，其俯視圖如圖所示．建立模型：如圖，點(diǎn)、、在一條直線上，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線與關(guān)于軸對(duì)稱，，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
問(wèn)題解決：
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)在拋物線上且在拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)在軸上，是一座長(zhǎng)的木橋，軸，現(xiàn)計(jì)劃再修一條小道，點(diǎn)在拋物線上且在拋物線的對(duì)稱軸右側(cè)，軸，求小道的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）20米
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，理解題意是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得出拋物線的對(duì)稱軸，即可得出拋物線的表達(dá)式，再根據(jù)拋物線與關(guān)于軸對(duì)稱，即可求解．
（2）根據(jù)題意可得，令，求出，再根據(jù)題意得出，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵拋物線與關(guān)于軸對(duì)稱，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
【小問(wèn)2詳解】
解：根據(jù)題意可得，
令，則，解得：（舍去）或，
即，
∵軸，拋物線與關(guān)于軸對(duì)稱，
∴，
∴．
26. 【問(wèn)題探究】
（1）如圖①，在中，，，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的度數(shù)；
【問(wèn)題解決】
（2）如圖②，四邊形是一個(gè)工廠的平面示意圖，，，，連接，，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，在處修建一個(gè)員工休息處，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，按規(guī)劃在處修建一個(gè)廢品處理站，是一條產(chǎn)品加工線，其中點(diǎn)在上，點(diǎn)是四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，為方便回收廢品，現(xiàn)要沿安裝一條自動(dòng)運(yùn)輸帶．為節(jié)約成本，要使自動(dòng)運(yùn)輸帶的長(zhǎng)盡可能的小，自動(dòng)運(yùn)輸帶的長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）自動(dòng)運(yùn)輸帶的長(zhǎng)存在最小值，的最小值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理可得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)也最小，即當(dāng)時(shí)，最小（如圖），由等腰三角形三線合一得，可得結(jié)論；
（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，證明，可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)一步證明四邊形是菱形，得，，，以為圓心為半徑作弧，該弧交于點(diǎn)，連接，推出點(diǎn)在以為圓心為半徑的四邊形內(nèi)的弧上運(yùn)動(dòng)，繼而推出是的中位線，得，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，證明，得到，推出隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，證明四邊形是矩形，得，則的最小值為，再推出，根據(jù)平行線分線段成比例定理得，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得，，則，在中，由，在中，，可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)也最小，
即當(dāng)時(shí)，最?。ㄈ鐖D），此時(shí)，
∴，
∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為；
（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
∵，
∴，
∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
∴，
∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴四邊形是平行四邊形，
∵平分，，
∴，
∴，
∴四邊形菱形，
∴，，
∴，
以為圓心為半徑作弧，該弧交于點(diǎn)，連接，
∵點(diǎn)是四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，
∴點(diǎn)在以為圓心為半徑的四邊形內(nèi)的弧上運(yùn)動(dòng)，
∴，
∴，
∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴的最小值為，
∵，，，，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，是的中位線，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴自動(dòng)運(yùn)輸帶的長(zhǎng)存在最小值，的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題是旋轉(zhuǎn)變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造圓并確定的最小值為是解題的關(guān)鍵．
調(diào)查目的
了解中學(xué)七年級(jí)學(xué)生的身高情況
調(diào)查方式
抽樣調(diào)查
調(diào)查對(duì)象
中學(xué)七年級(jí)學(xué)生
調(diào)查方案
從從中學(xué)七年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生測(cè)量其身高
調(diào)查數(shù)據(jù)的收集、整理與描述
組別
身高（）
人數(shù)（人）
各組平均身高（）
調(diào)查結(jié)論
…
甲隊(duì)隊(duì)員身高（）
乙隊(duì)隊(duì)員身高（）
調(diào)查目的
了解中學(xué)七年級(jí)學(xué)生的身高情況
調(diào)查方式
抽樣調(diào)查
調(diào)查對(duì)象
中學(xué)七年級(jí)學(xué)生
調(diào)查方案
從從中學(xué)七年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生測(cè)量其身高
調(diào)查數(shù)據(jù)的收集、整理與描述
組別
身高（）
人數(shù)（人）
各組平均身高（）
調(diào)查結(jié)論
…
甲隊(duì)隊(duì)員的身高（）
乙隊(duì)隊(duì)員的身高（）

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