考試時(shí)間：3月
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知，則與平行的單位向量為（ ）
A. B.或
C.或 D.
2.在平行四邊形中，為一條對(duì)角線，若，則（ ）
A. B. C. D.
3.若為復(fù)數(shù)，則“是實(shí)數(shù)”是“互為共軛復(fù)數(shù)”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則圖形的周長(zhǎng)是（ ）
A. B. C. D.
5.中，角所對(duì)的邊分別為，若則（ ）
A. B. C. D.
6.正方形的邊長(zhǎng)為是正方形的中心，過(guò)中心的直線與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（ ）
A. B. C.-2 D.
7.如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線于不同的兩點(diǎn)，若，則（ ）
A.1 B.2 C. D.3
8.如圖所示，在單位正方體的面對(duì)角線上存在一點(diǎn)使得取得最小值，則此最小值為（ ）
A.2 B. C. D.
二?多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分每選對(duì)1項(xiàng)得2分.
9.設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A.若，則或
B.若且，則
C.若，則
D.若，則
10.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.若，則是鈍角三角形
B.若，則
C.若，則是銳角三角形
D.若，則只有一解
11.在給出的下列命題中，正確的是（ ）
A.設(shè)是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，若，則點(diǎn)必共線
B.若向量是平面上的兩個(gè)向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的
C.已知平面向量滿足則為等腰三角形
D.已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.在中，若，則__________.
13.在中，的角平分線交于，則__________.
14.已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為和，球的半徑為10，則這兩個(gè)平行截面之間的距離為_(kāi)_________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）已知，
（1）當(dāng)為何值時(shí)，與共線，
（2）若且三點(diǎn)共線，求的值.
16.（15分）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，且為實(shí)數(shù).
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求的取值范圍.
17.（15分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.
（1）若，證明：；
（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.
18.（17分）經(jīng)過(guò)的重心的直線與分別交于點(diǎn)，設(shè)，.
（1）證明：為定值；
（2）求的最小值.
19.（17分）在Rt中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.
（1）求角；
（2）已知，點(diǎn)是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不重合），記.
①當(dāng)時(shí)，設(shè)的面積為，求的最小值：
②記.問(wèn)：是否存在實(shí)常數(shù)和，對(duì)于所有滿足題意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，說(shuō)明理由.
2023-2024學(xué)年第二學(xué)期3月單元過(guò)關(guān)考試
高一數(shù)學(xué)
考試時(shí)間：3月
一?單項(xiàng)選擇題：
1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.B 8.D.
二?多選題
9.ABC 10.ABD 11.ACD
三?填空題
12. 13. 14.或17
四?解答題：
15.解：（1），
.
與共線，
，
即，得.
（2）三點(diǎn)共線，
，
即，
解得.
16.解析（1）設(shè)且，
則.
為實(shí)數(shù)，
，即.
（2）由（1）及已知得，故，
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，且，解得.
又，
，
，即的取值范圍是.
17.【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）6
【解析】（1）證明：由余弦定理知和，
得，
又，則，
結(jié)合正弦定理得，
；
（2）由（1）知，又，
故，即，
，所以，
則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故，即周長(zhǎng)的最大值為6.
18.（1）證明設(shè).
由題意知
，
，
，
由三點(diǎn)共線得，
存在實(shí)數(shù)，使得，
即，
從而
消去得.
（2）解由（1）知，，
于是
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
19.【答案】（1）（2）①；②存在，
【解析】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得?br>所以，
所以，所以，
因?yàn)椋?br>所以或或，
即或（舍去）或（舍去），又，所以；
（2）①因?yàn)?，所以，又，所?
如圖，設(shè)，
則在中，由正弦定理，得，
所以
在中，由正弦定理，得，所以，
，
因?yàn)?，所以?br>故當(dāng)，即時(shí)，；
②假設(shè)存在實(shí)常數(shù)，對(duì)于所有滿足題意的，都有成立，
則存在實(shí)常數(shù)，對(duì)于所有滿足題意的，
都有，
由題意，是定值，所以是定值，
對(duì)于所有滿足題意的成立，
故有
因?yàn)椋瑥亩?，即?br>因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，從而.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：含參數(shù)的等式恒成立問(wèn)題，只需通過(guò)參數(shù)整理，此題的關(guān)鍵是得到
，則，變量多，技巧性較強(qiáng).

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