題型一：二項(xiàng)式定理新定義
題型二：排列組合新定義
題型三：概率新定義
題型四：統(tǒng)計(jì)方法新定義
題型五：信息熵問題
【方法技巧與總結(jié)】
解概率與統(tǒng)計(jì)下的新定義題，就是要細(xì)讀定義關(guān)鍵詞，理解本質(zhì)特征，適時(shí)轉(zhuǎn)化為“熟悉”問題．總之，解決此類問題，取決于已有知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想的掌握和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，還需要不斷的實(shí)踐和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題．
【典型例題】
題型一：二項(xiàng)式定理新定義
【典例1-1】(2024·湖南衡陽(yáng)·二模)莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為質(zhì)數(shù)， SKIPIF 1 < 0 )，例如： SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)應(yīng) SKIPIF 1 < 0 ．現(xiàn)對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，定義莫比烏斯函數(shù) SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 互質(zhì)，證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 的所有真因數(shù)(除了1和 SKIPIF 1 < 0 以外的因數(shù))依次為 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?的指數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)①若 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，且存在質(zhì)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的質(zhì)因數(shù)分解中包含 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的質(zhì)因數(shù)分解中一定也包含 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
③若 SKIPIF 1 < 0 ，且不存在②中的 SKIPIF 1 < 0 ，可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 均為質(zhì)數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 互質(zhì)，所以 SKIPIF 1 < 0 互不相等，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上可知 SKIPIF 1 < 0
(3)由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)，
SKIPIF 1 < 0 的所有因數(shù)，除了1之外都是 SKIPIF 1 < 0 中的若干個(gè)數(shù)的乘積，從 SKIPIF 1 < 0 個(gè)質(zhì)數(shù)中任選 SKIPIF 1 < 0 個(gè)數(shù)的乘積一共有 SKIPIF 1 < 0 種結(jié)果，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例1-2】(2024·安徽合肥·一模)“ SKIPIF 1 < 0 數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè) SKIPIF 1 < 0 是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，定義“ SKIPIF 1 < 0 數(shù)” SKIPIF 1 < 0 利用“ SKIPIF 1 < 0 數(shù)”可定義“ SKIPIF 1 < 0 階乘” SKIPIF 1 < 0 和“ SKIPIF 1 < 0 組合數(shù)”，即對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)證明：對(duì)于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3)證明：對(duì)于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)由定義可知，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
(2)因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
(3)由定義得：
對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 .
結(jié)合(2)可知
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
也即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
……
SKIPIF 1 < 0 .
上述 SKIPIF 1 < 0 個(gè)等式兩邊分別相加得：
SKIPIF 1 < 0 .
【變式1-1】(2024·高三·江蘇蘇州·階段練習(xí))甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對(duì)象，設(shè)棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，若甲從其中一個(gè)底面邊長(zhǎng)和高都為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，定義隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐(和甲研究的四棱錐一樣)的8條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的值為這兩條棱的夾角大小(弧度制)；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的值為這兩條棱的夾角大小(弧度制).
(1)比較三種隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望大小；(參考數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 )
(2)現(xiàn)單獨(dú)研究棱長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )，其展開式中含 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的系數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，含 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的系數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .
①若 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì) SKIPIF 1 < 0 成立，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
②對(duì)①中的實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 用數(shù)字歸納法證明：對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都成立.
【解析】(1)如圖所示：
由題意設(shè) SKIPIF 1 < 0 為正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，
由于正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都是2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由對(duì)稱性以及三線合一可知 SKIPIF 1 < 0 ，
若甲從其中一個(gè)底面邊長(zhǎng)和高都為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，
則 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值為 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若乙從正四棱錐(和甲研究的四棱錐一樣)的8條棱中任取2條，
則 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
代入?yún)⒖紨?shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，
則 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)①因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的系數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
一般地，從 SKIPIF 1 < 0 中的第 SKIPIF 1 < 0 個(gè)因式中取一個(gè) SKIPIF 1 < 0 ，其余因式中取常數(shù)即可得到一個(gè) SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)，
而這一項(xiàng)的系數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的系數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
一般地，從 SKIPIF 1 < 0 中的第 SKIPIF 1 < 0 個(gè)因式中各取一個(gè) SKIPIF 1 < 0 ，其余因式中取常數(shù)即可得到一個(gè) SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)，
而這一項(xiàng)的系數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，
從而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
②用數(shù)學(xué)歸納法證明： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故結(jié)論對(duì) SKIPIF 1 < 0 成立，
假設(shè)結(jié)論對(duì) SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以結(jié)論對(duì) SKIPIF 1 < 0 也成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 成立.
題型二：排列組合新定義
【典例2-1】(2024·高三·北京·階段練習(xí))設(shè) SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)，集合 SKIPIF 1 < 0 .對(duì)于集合 SKIPIF 1 < 0 中的任意元素 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，定義 SKIPIF 1 < 0 .
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，若 SKIPIF 1 < 0 ，直接寫出所有使 SKIPIF 1 < 0 同時(shí)成立的 SKIPIF 1 < 0 的元素 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，且滿足：對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 中的任意兩個(gè)不同元素 SKIPIF 1 < 0 .求集合 SKIPIF 1 < 0 中元素個(gè)數(shù)的最大值；
(3)給定不小于2的 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，且滿足：對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 中的任意兩個(gè)不同的元素 SKIPIF 1 < 0 ，寫出一個(gè)集合 SKIPIF 1 < 0 ，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明理由.
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 滿足條件的 SKIPIF 1 < 0 有
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 滿足條件的 SKIPIF 1 < 0 有
SKIPIF 1 < 0 (2)列出集合A的元素
SKIPIF 1 < 0 B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同元素α，β，d(α，β)≥2
SKIPIF 1 < 0 滿足條件的集合B的元素的個(gè)數(shù)的最大值為4.
(3) SKIPIF 1 < 0 d(α，β)≥2
SKIPIF 1 < 0 B中的元素應(yīng)該含有奇數(shù)個(gè)1
若n=2，則含有奇數(shù)個(gè)1的元素有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)；
若n=3，則含有奇數(shù)個(gè)1的元素有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)；
若n=4，則含有奇數(shù)個(gè)1的元素有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)；
若n=5，則含有奇數(shù)個(gè)1的元素有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)；
當(dāng)n=3時(shí)， SKIPIF 1 < 0
【典例2-2】(2024·高三·浙江·開學(xué)考試)一般地， SKIPIF 1 < 0 元有序?qū)崝?shù)對(duì) SKIPIF 1 < 0 稱為 SKIPIF 1 < 0 維向量.對(duì)于兩個(gè) SKIPIF 1 < 0 維向量 SKIPIF 1 < 0 ，定義：兩點(diǎn)間距離 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 維向量的運(yùn)算可以解決許多統(tǒng)計(jì)學(xué)問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計(jì)算向量與每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離 SKIPIF 1 < 0 ，與哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離 SKIPIF 1 < 0 最近就歸為哪類.某公司對(duì)應(yīng)聘員工的不同方面能力進(jìn)行測(cè)試，得到業(yè)務(wù)能力分值 SKIPIF 1 < 0 ?管理能力分值 SKIPIF 1 < 0 ?計(jì)算機(jī)能力分值 SKIPIF 1 < 0 ?溝通能力分值 SKIPIF 1 < 0 (分值 SKIPIF 1 < 0 代表要求度，1分最低，5分最高)并形成測(cè)試報(bào)告.不同崗位的具體要求見下表：
對(duì)應(yīng)聘者的能力報(bào)告進(jìn)行四維距離計(jì)算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對(duì)應(yīng)四維向量 SKIPIF 1 < 0 的四個(gè)坐標(biāo).
(1)將這四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；
(2)小剛與小明到該公司應(yīng)聘，已知：只有四個(gè)崗位的擬合距離的平方 SKIPIF 1 < 0 均小于20的應(yīng)聘者才能被招錄.
(i)小剛測(cè)試報(bào)告上的四種能力分值為 SKIPIF 1 < 0 ，將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個(gè)點(diǎn)，將四種職業(yè) SKIPIF 1 < 0 的分值要求看成樣本點(diǎn)，分析小剛最適合哪個(gè)崗位；
(ii)小明已經(jīng)被該公司招錄，其測(cè)試報(bào)告經(jīng)公司計(jì)算得到四種職業(yè) SKIPIF 1 < 0 的推薦率 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ，試求小明的各項(xiàng)能力分值.
【解析】(1)將四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .
(2)(i)由圖表知，會(huì)計(jì)崗位的樣本點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
業(yè)務(wù)員崗位的樣本點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
后勤崗位的樣本點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
管理員崗位的樣本點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故小剛最適合業(yè)務(wù)員崗位.
(ii)四種職業(yè) SKIPIF 1 < 0 的推薦率 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 均小于20，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得到 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計(jì)算機(jī)能力分值、溝通能力分值分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
依題有 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
SKIPIF 1 < 0 ③，
SKIPIF 1 < 0 ④，
由① SKIPIF 1 < 0 ③得，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
故有 SKIPIF 1 < 0 三組正整數(shù)解，
對(duì)于第一組解，代入④式有 SKIPIF 1 < 0 ，不成立；
對(duì)于第二組解，代入①式有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，代入②④式均不成立；
對(duì)于第三組解，代入②式有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，代入①②③④均成立，故 SKIPIF 1 < 0 ；
故小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計(jì)算機(jī)能力分值、溝通能力分值分別為 SKIPIF 1 < 0 .
題型三：概率新定義
【典例3-1】(2024·浙江·一模)混管病毒檢測(cè)是應(yīng)對(duì)單管病毒檢測(cè)效率低下的問題，出現(xiàn)的一個(gè)創(chuàng)新病毒檢測(cè)策略，混管檢測(cè)結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測(cè)的所有人均為陰性，混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中至少有一人為陽(yáng)性．假設(shè)一組樣本有N個(gè)人，每個(gè)人患病毒的概率相互獨(dú)立且均為 SKIPIF 1 < 0 ．目前，我們采用K人混管病毒檢測(cè)，定義成本函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，這里X指該組樣本N個(gè)人中患病毒的人數(shù)．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．證明：某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽(yáng)性．
【解析】(1)由題意可得 SKIPIF 1 < 0 滿足二項(xiàng)分布 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)；
(2)記 SKIPIF 1 < 0 (混管中恰有1例陽(yáng)性|混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性)，
SKIPIF 1 < 0 (混管中恰有i例陽(yáng)性)= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為單調(diào)遞減，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為單調(diào)遞增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ．
故某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽(yáng)性.
【典例3-2】(2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè))條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念.近年來，隨著人們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經(jīng)被廣泛的利用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設(shè)X，Y是離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件 SKIPIF 1 < 0 條件下的期望為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為X的所有可能取值集合， SKIPIF 1 < 0 表示事件“ SKIPIF 1 < 0 ”與事件“ SKIPIF 1 < 0 ”都發(fā)生的概率．某射擊手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為p( SKIPIF 1 < 0 )，射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次時(shí)停止.設(shè) SKIPIF 1 < 0 表示第一次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)， SKIPIF 1 < 0 表示第二次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)由題設(shè)， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由題設(shè)， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
同(1)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【變式3-1】(2024·福建漳州·一模)在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列，發(fā)送每個(gè)信號(hào)數(shù)字之間相互獨(dú)立．由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0．
(1)記發(fā)送信號(hào)變量為 SKIPIF 1 < 0 ，接收信號(hào)變量為 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，定義隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的“有效值”為 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的所有可能的取值， SKIPIF 1 < 0 )，發(fā)送信號(hào)“000”的接收信號(hào)為“ SKIPIF 1 < 0 ”，記 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三個(gè)數(shù)字之和，求 SKIPIF 1 < 0 的“有效值”．( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )
【解析】(1)由題意可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由題意可知：當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，接收為1的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
可知： SKIPIF 1 < 0 的可能取值有0，1，2，3，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的“有效值” SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的“有效值”約為0.45.
題型四：統(tǒng)計(jì)方法新定義
【典例4-1】(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī) SKIPIF 1 < 0 和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī) SKIPIF 1 < 0 如下表：
計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值是 SKIPIF 1 < 0 ，知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值是 SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到 SKIPIF 1 < 0 )．
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，變量 SKIPIF 1 < 0 和變量 SKIPIF 1 < 0 的一組樣本數(shù)據(jù)為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 兩兩不相同， SKIPIF 1 < 0 兩兩不相同．記 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中的排名是第 SKIPIF 1 < 0 位， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中的排名是第 SKIPIF 1 < 0 位， SKIPIF 1 < 0 ．定義變量 SKIPIF 1 < 0 和變量 SKIPIF 1 < 0 的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”(記為 SKIPIF 1 < 0 )為變量 SKIPIF 1 < 0 的排名和變量 SKIPIF 1 < 0 的排名的樣本相關(guān)系數(shù)．
(i)記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．證明： SKIPIF 1 < 0 ．
(ii)用(i)的公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”(精確到 SKIPIF 1 < 0 )．
(3)比較(1)和(2)(ii)的計(jì)算結(jié)果，簡(jiǎn)述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢(shì)．
注：參考公式與參考數(shù)據(jù)． SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)
由題意，這組學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)為
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
(2)(i)證明：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是1，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)排列，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
從而 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的平均數(shù)都是 SKIPIF 1 < 0 ．
因此， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(ii)由題目數(shù)據(jù)，可寫出 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的值如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 ．
因此這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)是
SKIPIF 1 < 0
(3)答案①：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對(duì)于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)比用樣本相關(guān)系數(shù)更能刻畫某種線性關(guān)系；
答案②：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關(guān)系數(shù)，與具體的數(shù)值無(wú)關(guān)，只與排名有關(guān)．如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關(guān)系，則可以采用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫線性關(guān)系．
【典例4-2】(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))冰雪運(yùn)動(dòng)是深受學(xué)生喜愛的一項(xiàng)戶外運(yùn)動(dòng)，為了研究性別與學(xué)生是否喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，從某高校男、女生中各隨機(jī)抽取100名進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，從樣本中不喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人調(diào)研不喜愛的原因，記這3人中女生的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列與數(shù)學(xué)期望．
(2)定義 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為列聯(lián)表中第 SKIPIF 1 < 0 行第 SKIPIF 1 < 0 列的實(shí)際數(shù)據(jù)， SKIPIF 1 < 0 為列聯(lián)表中第 SKIPIF 1 < 0 行與第 SKIPIF 1 < 0 列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總額數(shù)得到的理論頻數(shù)，如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．基于小概率值 SKIPIF 1 < 0 的檢驗(yàn)規(guī)則：首先提出零假設(shè) SKIPIF 1 < 0 (變量X，Y相互獨(dú)立)，然后計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 的值，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，我們推斷 SKIPIF 1 < 0 不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過 SKIPIF 1 < 0 ；否則，我們沒有充分證據(jù)推斷 SKIPIF 1 < 0 不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．根據(jù) SKIPIF 1 < 0 的計(jì)算公式，求解下面問題：
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，依據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與是否喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)？
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，依據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若認(rèn)為性別與是否喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)，則至少有多少名男生喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)？
附：
【解析】(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，用分層抽樣的方法抽取的不喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)的6人中，男生有2人，女生有4人，
由題意可知， SKIPIF 1 < 0 的可能取值為1，2，3．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的分布列為
SKIPIF 1 < 0 ．
(2)①零假設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ：性別與是否喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)獨(dú)立，即性別與是否喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)聯(lián)．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴根據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷 SKIPIF 1 < 0 不成立，即認(rèn)為性別與是否喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005．
② SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可知， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值為4．
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴至少有76名男生喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)．
【變式4-1】(2024·高三·北京·期末)在測(cè)試中，客觀題難度的計(jì)算公式為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為第 SKIPIF 1 < 0 題的難度， SKIPIF 1 < 0 為答對(duì)該題的人數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，共5道客觀題．測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：
測(cè)試后，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)；
(2)從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對(duì)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)定義統(tǒng)計(jì)量 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為第 SKIPIF 1 < 0 題的實(shí)測(cè)難度， SKIPIF 1 < 0 為第 SKIPIF 1 < 0 題的預(yù)估難度 SKIPIF 1 < 0 ．規(guī)定：若 SKIPIF 1 < 0 ，則稱該次測(cè)試的難度預(yù)估合理，否則為不合理．判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.
【解析】(1)因?yàn)?0人中答對(duì)第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實(shí)測(cè)難度為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以估計(jì)240人中有 SKIPIF 1 < 0 人實(shí)測(cè)答對(duì)第5題．
(2) SKIPIF 1 < 0 的可能取值是0，1，2．
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
SKIPIF 1 < 0 ．
(3)第1題的實(shí)測(cè)難度為 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得：第2題的實(shí)測(cè)難度為 SKIPIF 1 < 0 ，
第3題的實(shí)測(cè)難度為 SKIPIF 1 < 0 ，第4題的實(shí)測(cè)難度為 SKIPIF 1 < 0 ，第5題的實(shí)測(cè)難度為0.2，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)? SKIPIF 1 < 0 ，
所以，該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的．
題型五：信息熵問題
【典例5-1】(2024·高三·河北·階段練習(xí))信息熵是信息論之父香農(nóng)(Shannn)定義的一個(gè)重要概念，香農(nóng)在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計(jì)算信息熵的數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，定義 SKIPIF 1 < 0 的信息熵 SKIPIF 1 < 0 .
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，判斷并證明當(dāng) SKIPIF 1 < 0 增大時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的變化趨勢(shì)；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 隨著 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大.
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 隨著 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大.
(3)證明：若 SKIPIF 1 < 0 ，隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【典例5-2】(2024·高三·河北·期末)在信息論中，熵(entrpy)是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件?樣本或特征.(熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信源的熵越大)來自信源的另一個(gè)特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會(huì)提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息(熵)定義為概率分布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個(gè)事件的信息量構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)變量，這個(gè)隨機(jī)變量的均值(即期望)就是這個(gè)分布產(chǎn)生的信息量的平均值(即熵).熵的單位通常為比特，但也用 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 計(jì)量，取決于定義用到對(duì)數(shù)的底.采用概率分布的對(duì)數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1 SKIPIF 1 < 0 的信息，而擲 SKIPIF 1 < 0 次就為 SKIPIF 1 < 0 位.更一般地，你需要用 SKIPIF 1 < 0 位來表示一個(gè)可以取 SKIPIF 1 < 0 個(gè)值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滳.而正是信息熵的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 所有取值為 SKIPIF 1 < 0 ，定義 SKIPIF 1 < 0 的信息熵 SKIPIF 1 < 0 ，( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ).
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，試探索 SKIPIF 1 < 0 的信息熵關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的解析式，并求其最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，求此時(shí)的信息熵.
【解析】(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
(2)因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
所以 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
兩式相減得 SKIPIF 1 < 0
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【變式5-1】(2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè))在一個(gè)典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，轉(zhuǎn)換成適合在信道中傳輸?shù)男盘?hào)，通過信道傳送到接收端.有干擾無(wú)記憶信道是實(shí)際應(yīng)用中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸?shù)男畔⑹д?在有干擾無(wú)記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個(gè)取值 SKIPIF 1 < 0 的隨機(jī)變量，分別記作 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .條件概率 SKIPIF 1 < 0 ，描述了輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，反映了信道的統(tǒng)計(jì)特性.隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的平均信息量定義為： SKIPIF 1 < 0 .當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，信道疑義度定義為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
(1)設(shè)有一非均勻的骰子，若其任一面出現(xiàn)的概率與該面上的點(diǎn)數(shù)成正比，試求扔一次骰子向上的面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的平均信息量 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè)某信道的輸入變量 SKIPIF 1 < 0 與輸出變量 SKIPIF 1 < 0 均取值0，1.滿足： SKIPIF 1 < 0 .試回答以下問題：
①求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②求該信道的信道疑義度 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】(1)設(shè) SKIPIF 1 < 0 表示扔一非均勻股子點(diǎn)數(shù)，則
扔一次平均得到的信息量為
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
(2)①由全概率公式，得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
②由題意， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ;
其中 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
【過關(guān)測(cè)試】
1．(2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí))定義： SKIPIF 1 < 0 為不超過 SKIPIF 1 < 0 的最大整數(shù)部分，如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．甲、乙兩個(gè)學(xué)生高二的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)(測(cè)試時(shí)間為90分鐘，滿分100分)如下表所示：
進(jìn)入高三后，由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法，甲、乙這兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)預(yù)計(jì)有了大的提升．設(shè)甲或乙高二的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)?yōu)?SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則甲或乙高三的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)預(yù)計(jì)為 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，則甲或乙高三的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)預(yù)計(jì)為100．
(1)試預(yù)測(cè)：在將要進(jìn)行的高三6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)(測(cè)試時(shí)間為90分鐘，滿分100分)中，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的成績(jī)(填入下列表格內(nèi))；
(2)記高三任意一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)估計(jì)值為 SKIPIF 1 < 0 ，規(guī)定： SKIPIF 1 < 0 ，記為轉(zhuǎn)換分為3分； SKIPIF 1 < 0 ，記為轉(zhuǎn)換分為4分； SKIPIF 1 < 0 ，記為轉(zhuǎn)換分為5分．現(xiàn)從乙的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)中任意抽取2次，求這2次成績(jī)的轉(zhuǎn)換分之和為8分的概率．
【解析】(1)由已知，預(yù)測(cè)高三6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?br>(2)在乙的高三6次數(shù)學(xué)測(cè)試預(yù)測(cè)成績(jī)中，轉(zhuǎn)換分為3分的有1次，記為A；
轉(zhuǎn)換分為4分的有4次，記為 SKIPIF 1 < 0 ；轉(zhuǎn)換分為5分的有1次，記為 SKIPIF 1 < 0 ．
現(xiàn)從中任意抽取2次，一共有15種結(jié)果，它們是：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
其中2次成績(jī)的轉(zhuǎn)換分之和為8分有7種結(jié)果，它們是：
SKIPIF 1 < 0 ，
則所求概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
2．(2024·全國(guó)·一模)正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布．對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)型隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，定義其累積分布函數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三個(gè)元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及各元件之間工作相互獨(dú)立．
(1)已知電源電壓 SKIPIF 1 < 0 (單位： SKIPIF 1 < 0 )服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的累積分布函數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間．已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 (單位：天)表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .
(ⅰ)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(ⅱ)若第 SKIPIF 1 < 0 天元件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生故障，求第 SKIPIF 1 < 0 天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率．
附：若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)由題設(shè)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(2)(ⅰ)由題設(shè)得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(ⅱ)由(ⅰ)得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以第 SKIPIF 1 < 0 天元件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正常工作的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ．
為使第 SKIPIF 1 < 0 天系統(tǒng)仍正常工作，元件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必須至少有一個(gè)正常工作，
因此所求概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
3．為考查一種新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，現(xiàn)從一批患者中隨機(jī)抽取100名患者，均分為兩組，分別采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療，記其中采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療受益的患者數(shù)分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．在治療過程中，用指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 衡量患者是否受益：若 SKIPIF 1 < 0 ，則認(rèn)為指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 正常；若 SKIPIF 1 < 0 ，則認(rèn)為指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 偏高；若 SKIPIF 1 < 0 ，則認(rèn)為指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 偏低．若治療后患者的指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 正常，則認(rèn)為患者受益于治療方案，否則認(rèn)為患者未受益于治療方案．根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，受益于標(biāo)準(zhǔn)治療方案的患者比例為0.6．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)統(tǒng)計(jì)量是關(guān)于樣本的函數(shù)，選取合適的統(tǒng)計(jì)量可以有效地反映樣本信息．設(shè)采用新治療方案治療第 SKIPIF 1 < 0 位的患者治療后指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 的值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ，50，定義函數(shù)： SKIPIF 1 < 0
(ⅰ)簡(jiǎn)述以下統(tǒng)計(jì)量所反映的樣本信息，并說明理由．
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
(ⅱ)為確定新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，請(qǐng)?jiān)?ⅰ)中的統(tǒng)計(jì)量中選擇一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的取值作出統(tǒng)計(jì)決策．
【解析】(1)
由題設(shè)知 SKIPIF 1 < 0 服從二項(xiàng)分布 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(2)(ⅰ)統(tǒng)計(jì)量 SKIPIF 1 < 0 反映了未受益于新治療方案的患者數(shù)，理由如下：
若患者 SKIPIF 1 < 0 受益于新治療方案，則其指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 的值 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
否則 SKIPIF 1 < 0 ，會(huì)被統(tǒng)計(jì)量 SKIPIF 1 < 0 計(jì)入，且每位未受益于新治療方案的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)值加1．
統(tǒng)計(jì)量 SKIPIF 1 < 0 反映了未受益于新治療方案且指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 偏高的患者數(shù)量，理由如下：
若患者 SKIPIF 1 < 0 接受新治療方案后指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 偏低或正常，則其指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 的值 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0
若指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 偏高，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，會(huì)被統(tǒng)計(jì)量 SKIPIF 1 < 0 計(jì)入，
且每位未受益于新治療方案且指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 偏高的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)值加1．
(ⅱ)由題設(shè)知新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案等價(jià)于一次試驗(yàn)中 SKIPIF 1 < 0 的觀測(cè)值大于 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望，
由(ⅰ)知 SKIPIF 1 < 0 的觀測(cè)值 SKIPIF 1 < 0 ，
因此當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，認(rèn)為新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，認(rèn)為新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案相當(dāng)；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，認(rèn)為新治療方案劣于標(biāo)準(zhǔn)治療方案．
4．(2024·高二·四川遂寧·期末)2020年新冠肺炎疫情期間，某區(qū)政府為了解本區(qū)居民對(duì)區(qū)政府防疫工作的滿意度，從本區(qū)居民中隨機(jī)抽取若干居民進(jìn)行評(píng)分(滿分100分)，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方圖，已知評(píng)分在 SKIPIF 1 < 0 的居民有600人．
(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
(2)定義滿意度指數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則防疫工作需要進(jìn)行大調(diào)整，否則不需要大調(diào)整．根據(jù)所學(xué)知識(shí)判斷該區(qū)防疫工作是否帶要進(jìn)行大調(diào)整？(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
(3)為了解部分居民不滿意的原因，從不滿意的居民評(píng)分在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中用分層抽樣的方法抽取6名居民，傾聽他們的意見，并從6人中抽取2人擔(dān)任防疫工作的監(jiān)督員，求這2人中僅有一人對(duì)防疫工作的評(píng)分在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的概率．
【解析】(1)由頻率分布直方圖得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)總共調(diào)查了 SKIPIF 1 < 0 人，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由頻率分布直方圖知，各段的頻率分別為： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以該區(qū)防疫工作不需要大的調(diào)整.
(3)由 SKIPIF 1 < 0 ，
即不滿意的人數(shù)在兩段的人數(shù)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以每段抽取的人數(shù)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，
即在第一段的人記作 SKIPIF 1 < 0 ，第二段的人為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抽取兩人的基本事件為： SKIPIF 1 < 0 ，共有15個(gè)，
僅由一人來自 SKIPIF 1 < 0 的基本事件有： SKIPIF 1 < 0 ，共有8個(gè)，
所以，這2人中僅有一人對(duì)防疫工作的評(píng)分在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
5．(2024·高三·北京·階段練習(xí))設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．指標(biāo) SKIPIF 1 < 0 可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為 SKIPIF 1 < 0 ．設(shè) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)對(duì)任意與 SKIPIF 1 < 0 有相同可能取值的隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 ，并指出取等號(hào)的充要條件
【解析】(1)不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
記 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 為負(fù)數(shù)，在 SKIPIF 1 < 0 為正數(shù)，
則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
(3)令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立.
6．(2024·高三·河南·期末)某國(guó)家隊(duì)要從男子短道速滑1500米的兩名種子選手甲、乙中選派一人參加2022年的北京冬季奧運(yùn)會(huì)，他們近期六次訓(xùn)練成績(jī)?nèi)缦卤恚?br>(1)分別計(jì)算甲、乙兩人這六次訓(xùn)練的平均成績(jī) SKIPIF 1 < 0 ，偏優(yōu)均差 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，則稱甲、乙這次訓(xùn)練的水平相當(dāng)，現(xiàn)從這六次訓(xùn)練中隨機(jī)抽取3次，求有兩次甲、乙水平相當(dāng)?shù)母怕剩?br>注：若數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 中的最優(yōu)數(shù)據(jù)為 SKIPIF 1 < 0 ，定義 SKIPIF 1 < 0 為偏優(yōu)均差．本題中的最優(yōu)數(shù)據(jù)即最短時(shí)間．
【解析】(1)由題可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
(2)六次訓(xùn)練中只有第4，6次甲、乙水平相當(dāng)，
從六次中任選三次的結(jié)果有
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 共20種，
其中有兩次甲、乙水平相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果有4種，
故所求概率 SKIPIF 1 < 0 ．
7．(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))某醫(yī)科大學(xué)科研部門為研究退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了 SKIPIF 1 < 0 市100位退休人員，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)依據(jù) SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該市退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)之間有關(guān)聯(lián)？
(2)從該市退休人員中任取一位，記事件A為“此人患癡呆癥”， SKIPIF 1 < 0 為“此人上網(wǎng)”，則 SKIPIF 1 < 0 為“此人不患癡呆癥”，定義事件A的強(qiáng)度 SKIPIF 1 < 0 ，在事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的條件下A的強(qiáng)度 SKIPIF 1 < 0 ．
(ｉ)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(ⅱ)利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，估計(jì) SKIPIF 1 < 0 的值．
附： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得
SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷 SKIPIF 1 < 0 不成立，
即認(rèn)為該市退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)之間有關(guān)聯(lián)，
此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
(ⅱ)由樣本數(shù)據(jù)可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以估計(jì) SKIPIF 1 < 0 的值為2．
8．(2024·高三·山西朔州·開學(xué)考試)某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī) SKIPIF 1 < 0 和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī) SKIPIF 1 < 0 如下表：
計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值是 SKIPIF 1 < 0 ，知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值是 SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，變量 SKIPIF 1 < 0 和變量 SKIPIF 1 < 0 的一組樣本數(shù)據(jù)為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 兩兩不相同， SKIPIF 1 < 0 兩兩不相同.記 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中的排名是第 SKIPIF 1 < 0 位， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中的排名是第 SKIPIF 1 < 0 位， SKIPIF 1 < 0 .定義變量 SKIPIF 1 < 0 和變量 SKIPIF 1 < 0 的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”(記為 SKIPIF 1 < 0 )為變量 SKIPIF 1 < 0 的排名和變量 SKIPIF 1 < 0 的排名的樣本相關(guān)系數(shù).
(i)記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(ii)用(i)的公式求得這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”約為0.91，簡(jiǎn)述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢(shì).
注：參考公式與參考數(shù)據(jù).
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)由題意，這組學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)為
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)(i)證明：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是1，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)排列，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
從而 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的平均數(shù)都是 SKIPIF 1 < 0 ．
因此， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(ii)這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)是0.91，
答案①：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對(duì)于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)比用樣本相關(guān)系數(shù)更能刻畫某種線性關(guān)系；
答案②：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關(guān)系數(shù)，與具體的數(shù)值無(wú)關(guān)，只與排名有關(guān)．如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關(guān)系，則可以采用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫線性關(guān)系．
9．(2024·高二·湖北·階段練習(xí))“難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數(shù)”的計(jì)算公式為 SKIPIF 1 < 0 ，其中L為難度系數(shù)，Y為樣本平均失分，W為試卷總分(一般為100分或150分)．某校高二年級(jí)的老師命制了某專題共5套測(cè)試卷(總分150分)，用于對(duì)該校高二年級(jí)480名學(xué)生進(jìn)行每周測(cè)試，測(cè)試前根據(jù)自己對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示：
測(cè)試后，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
(1)根據(jù)試卷2的預(yù)估難度系數(shù)估計(jì)這480名學(xué)生第2套試卷的平均分；
(2)試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實(shí)測(cè)難度系數(shù)之間會(huì)有偏差，設(shè) SKIPIF 1 < 0 為第i套試卷的實(shí)測(cè)難度系數(shù)，并定義統(tǒng)計(jì)量 SKIPIF 1 < 0 ， 若 SKIPIF 1 < 0 ，則認(rèn)為試卷的難度系數(shù)預(yù)估合理，否則認(rèn)為不合理．以樣本平均分估計(jì)總體平均分，試檢驗(yàn)這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理．
(3)聰聰與明明是學(xué)習(xí)上的好伙伴，兩人商定以同時(shí)解答上述試卷易錯(cuò)題進(jìn)行“智力競(jìng)賽”，規(guī)則如下：雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計(jì)0分，先多得2分者為勝方.若在此次競(jìng)賽中，聰聰選題時(shí)聰聰?shù)梅值母怕蕿?SKIPIF 1 < 0 ，明明選題時(shí)聰聰?shù)梅值母怕蕿?SKIPIF 1 < 0 ，各題的結(jié)果相互獨(dú)立，二人約定從0:0計(jì)分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率 .
【解析】(1)由題意，
由試卷2的難度系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，
解得平均失分： SKIPIF 1 < 0 ，
∴這480名學(xué)生第2套試卷的平均分為 SKIPIF 1 < 0 分；
(2)由題意及(1)得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估合理
(3)由題意及(1)(2)得，
聰聰先答對(duì)第一題： SKIPIF 1 < 0
聰聰沒先答對(duì)第一題： SKIPIF 1 < 0
∴聰聰3:1獲勝的概率聰聰3:1獲勝的概率： SKIPIF 1 < 0
10．(2024·高三·四川成都·開學(xué)考試)在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo) SKIPIF 1 < 0 表示，其中 SKIPIF 1 < 0 ．而在n維空間中 SKIPIF 1 < 0 ，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．現(xiàn)有如下定義：在n維空間中兩點(diǎn)間的曼哈頓距離為兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)差的絕對(duì)值之和，即為 SKIPIF 1 < 0 ．回答下列問題：
(1)求出n維“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)；
(2)在n維“立方體”中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離
①求出X的分布列與期望；
②證明：在n足夠大時(shí)，隨機(jī)變量X的方差小于 SKIPIF 1 < 0 ．
(已知對(duì)于正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，P隨X變化關(guān)系可表示為 SKIPIF 1 < 0 )
【解析】(1)對(duì)于n維坐標(biāo) SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 兩種選擇( SKIPIF 1 < 0 )．
故共有 SKIPIF 1 < 0 種選擇，即 SKIPIF 1 < 0 個(gè)頂點(diǎn)
(2)①對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 的隨機(jī)變量，在坐標(biāo) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中有k個(gè)坐標(biāo)值不同，
即 SKIPIF 1 < 0 ，剩下 SKIPIF 1 < 0 個(gè)坐標(biāo)值滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
此時(shí)所對(duì)應(yīng)情況數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 種．
即 SKIPIF 1 < 0
故分布列為：
數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0
倒序相加得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ．
②當(dāng)n足夠大時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，正態(tài)分布曲線為 SKIPIF 1 < 0 ，
由定義知該正態(tài)分布期望為 SKIPIF 1 < 0 ，方差為 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)題中分布列所形成的曲線為 SKIPIF 1 < 0 ．
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均在 SKIPIF 1 < 0 處取最大值，若當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
且 SKIPIF 1 < 0 ，則可認(rèn)為方差 SKIPIF 1 < 0 ．
I． SKIPIF 1 < 0 ：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，有 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ．
II． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
當(dāng)n足夠大時(shí)，有 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ．
綜上所述，可以認(rèn)為 SKIPIF 1 < 0 ．
11．(2024·高二·福建莆田·期末)為了考查一種新疫苗預(yù)防某一疾病的效果，研究人員對(duì)一地區(qū)某種動(dòng)物進(jìn)行試驗(yàn)，從該試驗(yàn)群中隨機(jī)抽查了50只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)(單位：只)：
(1)能否有95%的把握認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān)？
(2)從該地區(qū)此動(dòng)物群中任取一只，記 SKIPIF 1 < 0 表示此動(dòng)物發(fā)病， SKIPIF 1 < 0 表示此動(dòng)物沒發(fā)病， SKIPIF 1 < 0 表示此動(dòng)物接種疫苗，定義事件 SKIPIF 1 < 0 的優(yōu)勢(shì) SKIPIF 1 < 0 ，在事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的條件下 SKIPIF 1 < 0 的優(yōu)勢(shì) SKIPIF 1 < 0 .
(ⅰ)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(ⅱ)利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，給出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的估計(jì)值，并給出 SKIPIF 1 < 0 的估計(jì)值.附： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)根據(jù)聯(lián)表可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有95%的把握認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān).
(2)(ⅰ)由于 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ,故得證.
(ⅱ)由二聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
12．(2024·高一·山東濟(jì)南·期末)獨(dú)立事件是一個(gè)非?；A(chǔ)但又十分重要的概念，對(duì)于理解和應(yīng)用概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)至關(guān)重要．它的概念最早可以追湖到17世紀(jì)的布萊茲·帕斯卡和皮埃爾·德·費(fèi)馬，當(dāng)時(shí)被定義為彼此不相關(guān)的事件．19世紀(jì)初期，皮埃爾·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．對(duì)任意兩個(gè)事件 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 成立，則稱事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立．
(1)若事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立，證明： SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立；
(2)甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)節(jié)的答題活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各答一題，已知甲每輪答對(duì)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，乙每輪答對(duì)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．在每輪活動(dòng)中，甲和乙答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，求甲乙兩人在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題的概率．
【解析】(1)證明：已知事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立，則 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，且事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 互斥
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
由事件的獨(dú)立性定義， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 分別表示甲在兩輪活動(dòng)中答對(duì)1道題，答對(duì)2道題的事件
SKIPIF 1 < 0 分別表示乙在兩輪活動(dòng)中答對(duì)1道題，答對(duì)2道題的事件
根據(jù)獨(dú)立性假定，得
SKIPIF 1 < 0 設(shè) SKIPIF 1 < 0 “甲乙兩人在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題”，則 SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互斥， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 分別相互獨(dú)立
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以甲乙兩人在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題的概率時(shí) SKIPIF 1 < 0 .
13．(2024·高二·浙江臺(tái)州·期末)袋中有大小、形狀完全相同的2個(gè)紅球，4個(gè)白球.采用放回摸球，從袋中摸出一個(gè)球，定義T變換為：若摸出的球是白球，把函數(shù) SKIPIF 1 < 0 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來 SKIPIF 1 < 0 倍，(縱坐標(biāo)不變)；若摸出的是紅球，將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 圖象上所有的點(diǎn)向下平移1個(gè)單位.函數(shù) SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過1次T變換后的函數(shù)記為 SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)過2次T變換后的函數(shù)記為 SKIPIF 1 < 0 ，…，經(jīng)過n次T變換后的函數(shù)記為 SKIPIF 1 < 0 .現(xiàn)對(duì)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 進(jìn)行連續(xù)的T變換.
(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是紅球，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)記 SKIPIF 1 < 0 ，求隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【解析】(1)第一次從袋子中摸出的是白球，把函數(shù) SKIPIF 1 < 0 變換為 SKIPIF 1 < 0 ；
第二次從袋子中摸出的是紅球，把函數(shù) SKIPIF 1 < 0 變換為 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)經(jīng)過3次T變換后 SKIPIF 1 < 0 有3種情況，
若摸出的3個(gè)球都是白球，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)白球1個(gè)紅球，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)白球2個(gè)紅球，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若摸出的3個(gè)球都是紅球，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以隨機(jī)變量X的取值為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)橐淮蚊蛉〉脼榧t球的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，取得白球的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以求隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
所以 SKIPIF 1 < 0 .
14．(2024·高三·上海寶山·階段練習(xí))已知 SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)，對(duì)于給定的函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，定義一個(gè) SKIPIF 1 < 0 次多項(xiàng)式 SKIPIF 1 < 0 如下: SKIPIF 1 < 0
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 ;
(3)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
15．(2024·高一·遼寧葫蘆島·期末)通信信號(hào)利用BEC信道傳輸，若BEC信道傳輸成功，則接收端收到的信號(hào)與發(fā)來的信號(hào)完全相同．若BEC信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號(hào)．傳輸技術(shù)有兩種：一種是傳統(tǒng)通信傳輸技術(shù)，采用多個(gè)信道各自獨(dú)立傳輸信號(hào)(以兩個(gè)信道為例，如圖1)．
另一種是華為公司5G信號(hào)現(xiàn)使用的土耳其通訊技術(shù)專家Erdal Arikan教授的發(fā)明的極化碼技術(shù)(以兩個(gè)信道為例，如圖2)．傳輸規(guī)則如下，信號(hào) SKIPIF 1 < 0 直接從信道2傳輸；信號(hào) SKIPIF 1 < 0 在傳輸前先與 SKIPIF 1 < 0 “異或”運(yùn)算得到信號(hào) SKIPIF 1 < 0 ，再?gòu)男诺?傳輸．若信道1與信道2均成功輸出，則兩信號(hào)通過“異或”運(yùn)算進(jìn)行解碼后，傳至接收端，若信道1輸出失敗信道2輸出成功，則接收端接收到信道2信號(hào)，若信道1輸出成功信道2輸出失敗，則接收端對(duì)信號(hào)進(jìn)行自身“異或”運(yùn)算而解碼后，傳至接收端．
(注：定義“異或”運(yùn)算： SKIPIF 1 < 0 )．假設(shè)每個(gè)信道傳輸成功的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)對(duì)于傳統(tǒng)傳輸技術(shù)，求信號(hào) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中至少有一個(gè)傳輸成功的概率；
(2)對(duì)于Erdal Arikan教授的極化碼技術(shù)；
①求接收端成功接收信號(hào) SKIPIF 1 < 0 的概率；
②若接收端接收到信號(hào) SKIPIF 1 < 0 才算成功完成一次任務(wù)，求利用極化碼技術(shù)成功完成一次任務(wù)的概率．
【解析】(1)設(shè)“信號(hào) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中至少有一個(gè)傳輸成功”為事件 SKIPIF 1 < 0 ，“信號(hào) SKIPIF 1 < 0 傳輸成功”為事件 SKIPIF 1 < 0 “信號(hào) SKIPIF 1 < 0 傳輸成功”為事件 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
(2)若信道1和信道2都傳輸成功，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 被成功接收，概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
若信道1傳輸成功，信道2傳輸失敗，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 被成功接收， SKIPIF 1 < 0 接收失敗，概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
若信道2傳輸成功，信道1傳輸失敗，
可得 SKIPIF 1 < 0 被成功接收， SKIPIF 1 < 0 接收失敗，概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
若信道1，2都傳輸失敗，
可得 SKIPIF 1 < 0 接收失敗，概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
①接收端成功接收信號(hào) SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
②接收端接收到信號(hào) SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0
16．(2024·高三·河南·階段練習(xí))2020年新冠肺炎疫情期間，某區(qū)政府為了解本區(qū)居民對(duì)區(qū)政府防疫工作的滿意度，從本區(qū)居民中隨機(jī)抽取若干居民進(jìn)行評(píng)分(滿分100分)，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方圖，已知評(píng)分在[80，100]的居民有600人
(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù);
(2)定義滿意度指數(shù) SKIPIF 1 < 0 =(滿意程度的平均分)/100，若 SKIPIF 1 < 0

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