A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)補(bǔ)集關(guān)系分析運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)槿?，集合?br>所以.
故選：D.
易錯(cuò)分析：在求解不等式解集的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，一定要注意等號(hào)能否取得.
2．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知集合，，若，則中所有元素之和為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由，求出或，再分類討論由集合的互異性可求出，即可得出答案.
【詳解】由得或，解得：或，
若，則，不符合題意；
若，，從而，
所以中所有元素之和為4.
故選：C.
3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若對(duì)都有，則為（ ）
A．1B．C．2D．1或2
【答案】C
【分析】得到，分和兩種情況，求出，舍去不合要求的解，得到答案.
【詳解】由題意得，
當(dāng)時(shí)，解得或，
當(dāng)時(shí)，滿足要求，
當(dāng)時(shí)，，，，中元素均與互異性矛盾，舍去，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，中元素與互異性矛盾，舍去，
綜上，.
故選：C
易錯(cuò)分析：根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，一定要注意檢驗(yàn)是否滿足元素的互異性.
4．已知集合，若，則所有符合條件的實(shí)數(shù)組成的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，得到，分和兩種情況討論，即可求解
【詳解】等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故或，即或?br>所以符合條件的實(shí)數(shù)組成的集合是．
故選：D
易錯(cuò)分析：已知集合間的包含關(guān)系求參數(shù)時(shí)要注意討論兩種情況.
5．已知集合，，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則或D．若，則
【答案】ABC
【分析】解一元二次不等式求集合A，根據(jù)各選項(xiàng)中集合的關(guān)系，列不等式或方程求參數(shù)值或范圍，判斷A、B、C的正誤，已知參數(shù)，解一元二次不等式求集合B，應(yīng)用交運(yùn)算求判斷正誤即可.
【詳解】由已知得：，令
A：若，即是方程的兩個(gè)根，則，得，正確；
B：若，則，解得，正確；
C：當(dāng)時(shí)，，解得或，正確；
D：當(dāng)時(shí)，有，所以，錯(cuò)誤；
故選：ABC.
6．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，，若，則a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】對(duì)集合根據(jù)和進(jìn)行分類討論，再由確定不等關(guān)系求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，則.
當(dāng)時(shí)，，由，得，解得；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合條件．
綜上所述，a的取值范圍為.
故答案為：.
7．（2024·河南駐馬店·二模）已知集合，若，則 ；若，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】解出集合中的不等式，利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.
【詳解】即，
則，
所以，
若，則，
，
若，，
則，故的取值范圍為.
故答案為：；.
考點(diǎn)02 常用邏輯用語(yǔ)
1．（24-25高三上·北京朝陽(yáng)·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可下結(jié)論.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以充分性成立；
若，即，
當(dāng)時(shí)，，所以不成立，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
易錯(cuò)分析：在判斷充分條件、必要條件時(shí)一定要弄清相關(guān)概念，以防出錯(cuò).
2．（24-25高三上·江蘇常州·期末）已知，，，則“，，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“”的（ ）
A．充分且不必要條件B．必要且不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用推出關(guān)系去判斷充要關(guān)系即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，
當(dāng)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則，
故“既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“”的充分不必要條件，
故選：A．
3．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)x∈R，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】借助數(shù)形結(jié)合解不等式，結(jié)合圖象判斷結(jié)果.
【詳解】畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示．
由圖象知，在0,+∞上，兩函數(shù)有2個(gè)公共點(diǎn)，，
在上，兩函數(shù)有一個(gè)公共點(diǎn)．
觀察圖象可知：在上，；在上，；
在上，；在上，恒有．
因此，“”是“”的充分不必要條件，
故選:A．
4．（2024·山東·二模）已知，，若是的充分不必要條件，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先化簡(jiǎn)命題，依題意可得當(dāng)時(shí)恒成立，參變分離可得在上恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算可得.
【詳解】命題，即，
因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，
顯然當(dāng)時(shí)滿足，
所以當(dāng)時(shí)恒成立，
則在上恒成立，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以.
故選：A
易錯(cuò)分析：已知充分、必要條件求參數(shù)范圍，一定注意正確轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系再求解.
5．（23-24高三上·浙江寧波·期末）命題“，”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先轉(zhuǎn)化為存在量詞命題的否定，求參數(shù)的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】若命題“，”為假命題，
則命題的否定“，”為真命題，
即，恒成立，
，，當(dāng)，取得最大值，
所以，選項(xiàng)中只有是的真子集，
所以命題“，”為假命題的一個(gè)充分不必要條件為.
故選：D
易錯(cuò)分析：要注意“A是B的充分條件”和“A的充分條件是B”的區(qū)別.
6．已知，則的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得不等式的解集，結(jié)合選項(xiàng)，以及必要不充分條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式，可得，即，解得，
結(jié)合選項(xiàng)，可得的一個(gè)必要不充分條件為.
故選：A.
7．（2024·重慶·三模）（多選）命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為存在，設(shè)定，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的最小值為，求得的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義和選項(xiàng)，即可求解.
【詳解】由題意，存在，使得，即，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最小值為，故；
所以命題“存在，使得”為真命題的充分不必要條件是的真子集，
結(jié)合選項(xiàng)可得，C和D項(xiàng)符合條件.
故選：CD.
8．（24-25高三上·天津河北·期末）命題 ，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.
【詳解】命題 ，為存在量詞命題，
其否定為：，.
故選：C
易錯(cuò)分析：寫全稱命題和存在量詞命題的否定要注意兩點(diǎn)：一是轉(zhuǎn)換量詞；二是否定結(jié)論.
9．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分離參數(shù)，求函數(shù)的最小值即可求解.
【詳解】因?yàn)槊}“”為真命題，所以．
令與在上均為增函數(shù)，
故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，
故選：A．
10．（24-25高三上·山西·階段練習(xí)）若命題，使得為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出在上的最大值，解不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)闉榧倜}，所以為真命題，
即當(dāng)時(shí)，恒成立.
因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
即，解得或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
易錯(cuò)分析：不等式的恒成立問(wèn)題和有解一般都要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.
11．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)m的可能取值是（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】AB
【分析】先利用題給條件求得實(shí)數(shù)m的取值范圍，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)m的可能取值.
【詳解】因?yàn)槊}“，”為真命題，
所以，，
令，，則，
可知為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為，
故選：AB.
考點(diǎn)03 不等式
1．（2024·北京海淀·三模）下列命題中，真命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】舉反例即可判斷ABC，根據(jù)基本不等式和指數(shù)運(yùn)算即可判斷D.
【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，則，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性知，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，若，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.
故選：D.
2．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若，那么下列不等式一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用作差法判斷AD，利用不等式的性質(zhì)判斷BC.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋?，，所以?br>因?yàn)?，，所以，所以，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：B
易錯(cuò)分析：利用不等式的性質(zhì)判斷不等關(guān)系式時(shí)，一定要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件.
3．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解出集合、，利用補(bǔ)集和并集的定義可求得集合.
【詳解】由，得，解得或，則或x>5，
由，得，所以，，
所以．
故選：D．
易錯(cuò)分析： 解一元二次不等式時(shí)要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，它決定了不等式解集的性質(zhì).
4．（23-24高一上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【分析】由題意可得且方程的解為，利用韋達(dá)定理將用表示，再根據(jù)一元二次不等式的解法即可得解.
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次不等式的解集為，
所以且方程的解為，
所以，所以，
則不等式，即為不等式，
則，解得，
所以不等式的解集為.
故選：D.
易錯(cuò)分析： 通過(guò)一元二次不等式的解集，可以判斷其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的開(kāi)口和零點(diǎn).
5．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分類討論，利用判別式小于0，即可得到結(jié)論
【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，恒成立；
當(dāng)時(shí)，，解之得，
綜上可得
故選：D
易錯(cuò)分析： 一元二次型不等式在R上的恒成立問(wèn)題，要注意討論二次項(xiàng)是否可以為零.
6．（24-25高三上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】換元，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出最小值.
【詳解】令，則，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.
故選：D
7．若函數(shù)在處取得最小值，則等于（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【分析】由，利用基本不等式求解.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以等于3，
故選：C
易錯(cuò)分析： 利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的條件是否成立.
8．（23-24高三上·上海楊浦·期中）關(guān)于x的不等式的解集是 .
【答案】或
【分析】利用分式不等式的解法求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，解得或，
所以的解集為或.
故答案為：或.
9．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】移項(xiàng)通分得，即，再利用穿根法即可得到答案.
【詳解】，即，即，
則，根據(jù)穿根法解得，
故答案為：.
易錯(cuò)分析： 分式不等式一般轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，避免造成取值范圍的變大.

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