易錯(cuò)點(diǎn)14   立體幾何中的角易錯(cuò)點(diǎn)1：異面直線所成的角1.求異面直線所成角的思路是：通過(guò)平移把空間兩異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的相交直線，進(jìn)而利用平面幾何知識(shí)求解，整個(gè)求解過(guò)程可概括為：一找二證三求。 2.求異面直線所成角的步驟： ①選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置斬點(diǎn)。 ②求相交直線所成的角，通常是在相應(yīng)的三角形中進(jìn)行計(jì)算。 ③因?yàn)楫惷嬷本€所成的角?的范圍是0°＜θ?≤90°，所以在三角形中求的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角。 3.“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見(jiàn)的方法，通過(guò)補(bǔ)形，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來(lái)處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。 4.利用向量，設(shè)而不找，對(duì)于規(guī)則幾何體中求異面直線所成的角也是常用的方法之一。易錯(cuò)點(diǎn)2：直線與平面所成的角1.傳統(tǒng)幾何方法：①轉(zhuǎn)化為求斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角，通過(guò)直角三角形求解。②利用三面角定理（即最小角定理）求。2.向量方法：設(shè)為平面的法向量，直線與平面所成的角為，則易錯(cuò)點(diǎn)3：二面角用向量求二面角大小的基本步驟1.建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)與所需向量的坐標(biāo)；2.求出平面的法向量，平面的法向量3.進(jìn)行向量運(yùn)算求出法向量的夾角；4.通過(guò)圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或鈍角，得出問(wèn)題的結(jié)果：題組一：異面直線所成的角1．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文理）試題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（    ）A． B． C． D． 2.(2018全國(guó)卷Ⅱ)在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A．   B．   C．    D． 3．(2017新課標(biāo)Ⅱ)已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為(    )A．          B．          C．       D． 4.（2015浙江）如圖，三棱錐中，，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的余弦值是    ． 題組二：直線與平面所成的角5. 【2021年浙江卷】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.  6.（2020?北京卷）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值． 7.（2020年全國(guó)2卷）如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.  8.（2020年新全國(guó)1山東）如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD＝AD＝1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．  題組三：二面角9. 【2021年乙卷】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值． 10. 【2021年甲卷】已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)． （1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小? 11.（2020?全國(guó)1卷）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值． 12.（2020?全國(guó)3卷）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．   1．如圖在直三棱柱中，為等腰直角三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為（       ）A． B． C． D．  2．如圖，圓錐的底面直徑，其側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，底面圓的弦， 則異面直線與所成角的余弦值為（       ）A．    B．    C．    D．   3．在長(zhǎng)方體中，和與底面所成的角分別為30°和45°，異面直線和所成角的余弦值為（       ）A． B． C． D． 4．（多選題）已知正方體，P是棱的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（       ）A．過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，都相交B．過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，都平行C．過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，都垂直D．過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，所成角均為45°  5．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”.在如圖所示的“陽(yáng)馬”中，側(cè)棱底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn). (1)求證：平面；(2)若平面與平面所成的二面角為，求.  6．在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E是DC中點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE折起，使得點(diǎn)D移動(dòng)至點(diǎn)P，滿足平面PAE⊥平面ABCE.(1)求證：AE⊥BP；(2)求二面角E-CP-B的余弦值.  7．如圖所示，在四棱錐中，底面，，，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值． 8．已知三棱錐（如圖一）及其展開(kāi)圖（如圖二），四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形.(1)證明：平面平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時(shí)，求點(diǎn)M到平面PBC的距離.  9．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，平面，，是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的大?。?/span> 10．如圖，在直三棱柱中，，，，M是的中點(diǎn)，.(1)求的長(zhǎng)；(2)求直線與平面所成角的正弦值.  

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