題型一：集合
易錯點01 忽視集合中元素的互異性
易錯點02 未弄清集合的代表元素
易錯點03 遺忘空集
題型二 常用邏輯用語
易錯點04 判斷充分性必要性位置顛倒
易錯點05 由命題的真假求參數(shù)的取值范圍
題型一：集合
易錯點01：忽視集合中元素的互異性

典例 （24-25高三上·云南·期中）已知集合，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用子集關(guān)系來求解參數(shù)，最后要檢驗元素的互異性.
【詳解】因為，所以，由，
所以或，解得或或1，
經(jīng)檢驗集合中元素的互異性，把或舍去，所以.
故選：A.
【易錯剖析】
本題易忽略集合元素的互異性而錯選D.
【避錯攻略】
類型1 集合與元素關(guān)系的判斷
(1)直接法：集合中的元素是直接給出的．
(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．
【提醒】若集合是有限集，可將集合中的元素化簡并一一列出，再與有限集內(nèi)的元素進行逐個對照，確定是否存在與其相等的元素，進而判斷集合與元素的關(guān)系；若集合是無限集，可將元素變形，看能否化為集合中元素的形式，也可以代入集合的約束條件，判斷是否滿足，若滿足則屬于該集合，否則不滿足.
類型2 根據(jù)元素與集合以及集合間關(guān)系求參數(shù)
第一步：求解，根據(jù)集合中元素的確定性，解出字母的所有取值；
第二步：檢驗，根據(jù)集合中元素的互異性，對解出的值進行檢驗；
第三步：作答，此處所有符合題意的字母取值（范圍）.
易錯提醒：集合中元素的三個性質(zhì)，一定要理解透徹并掌握其基本作用：
(1)確定性：判斷對象能否構(gòu)成集合的依據(jù)．
(2)互異性：常用于檢驗解的合理性，如求解集合中元素含有參數(shù)的問題，先根據(jù)其確定性列方程，求出值后，再根據(jù)其互異性檢驗．
(3)無序性：常用于判斷集合相等．
1．（24-25高三上·湖南長沙·期中）已知集合.若，則實數(shù)的取值集合為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用集合的基本運算及集合中元素的互異性可確定選項.
【詳解】由及集合中元素的互異性可得或，故實數(shù)的取值集合為.
故選：A.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則中所有元素之和為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由，求出或，再分類討論由集合的互異性可求出，即可得出答案.
【詳解】由得或，解得：或，
若，則，不符合題意；
若，，從而，
所以中所有元素之和為4，
故選：C．
3．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知集合，，若中恰有三個元素，則由a的取值組成的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】中恰有三個元素，則兩集合中有一個相同元素，分類討論列方程求解并檢驗即可.
【詳解】因為中恰有三個元素，所以或或，
結(jié)合集合中元素的互異性，解得或或（舍去）或.
故選：D．
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則滿足的實數(shù)a的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)集合運算得集合關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)分類討論求解即可.
【詳解】依題意，，若，解得（時不滿足集合的互異性，舍去），
若，解得（時不滿足集合的互異性，舍去），
綜上所述，或.
故選：B
2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，且，則實數(shù)為（ ）
A．2B．3C．0或3D．
【答案】B
【分析】由題意可得或，分類討論，結(jié)合集合元素的互異性，即可求得答案.
【詳解】因為且，
所以或，
①若，此時，不滿足元素的互異性；
②若，解得或3，
當(dāng)時不滿足元素的互異性，當(dāng)時，符合題意.
綜上所述，.
故選：B
3．（2024·四川攀枝花·二模）已知集合，若，則實數(shù)a組成的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意分和兩種情況運算求解，注意集合的互異性.
【詳解】，則有或，解得 或或，
實數(shù)a組成的集合為.
故選：D
4．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知，集合，，若，且的所有元素和為12，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】先確定集合中可能的元素，根據(jù)兩集合中元素的和求出的值，再根據(jù)集合中元素的互異性取值.
【詳解】集合中的元素可能為：，，
因為，.
若，則，，則，元素和不為12；
若，則，，則，元素和不為12；
當(dāng)時，，因為中所有的元素和為12，
所以，解得或（舍去）.
綜上：.
故選：A
5．已知，，若集合，則的值為（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】B
【分析】結(jié)合已知條件，利用集合的互異性即可求解.
【詳解】∵集合，分母，
∴，，且，解得，
∴.
故選：B.
6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若對都有，則為（ ）
A．1B．C．2D．1或2
【答案】C
【分析】得到，分和兩種情況，求出，舍去不合要求的解，得到答案.
【詳解】由題意得，
當(dāng)時，解得或，
當(dāng)時，滿足要求，
當(dāng)時，，，，中元素均與互異性矛盾，舍去，
當(dāng)時，，此時，中元素與互異性矛盾，舍去，
綜上，.
故選：C
7．已知為實數(shù)，，集合中有一個元素恰為另一個元素的倍，則實數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意分情況討論并判斷即可.
【詳解】由題意：
當(dāng)時，，此時集合，不成立；
當(dāng)時，，時不成立，時，集合，成立；
當(dāng)時，集合，成立；
當(dāng)時，或，時集合，不成立，時集合，成立；
當(dāng)時，，時集合，不成立，時集合，成立；
當(dāng)時，或，時集合，不成立，時不成立；
故，
故選：B.
8．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知集合，，，若，則的子集個數(shù)為（ ）
A．2B．4C．7D．8
【答案】B
【分析】本題根據(jù)B、C兩集合相等，則元素相同，然后分類討論求出參數(shù)m，進而求出兩個集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的個數(shù).
【詳解】由題意得，，又集合，
若，則，此時，
則，故子集個數(shù)為；
若，則，此時顯然集合不成立，舍去；
若，，同理舍去.
綜上得：時，子集個數(shù)為4個；
故選：B.
9．（多選）（24-25高三上·江西新余·階段練習(xí)）若集合，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A．2B．3C．D．5
【答案】BD
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求解.
【詳解】集合，則，
解得，可知BD符合題意，
故選：BD.
10．（多選）（23-24高三上·福建寧德·期中）設(shè)集合，，且，則的值可以為（ ）
A．B．3C．0D．1
【答案】AC
【分析】由子集的概念解出，并注意驗證集合間元素是否滿足互異性.
【詳解】因為，所以或，解得或.
當(dāng)時，，集合中的元素不滿足互異性，故舍去.
當(dāng)時，符合題意.
當(dāng)時，也符合題意.
故選：AC.
11．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和為12，則實數(shù) .
【答案】
【分析】分類討論是否為，進而可得集合B，結(jié)合題意分析求解.
【詳解】由題意可知：且，
當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則；
若，則，此時的所有元素之和為6，不符合題意，舍去；
若，則，此時的所有元素之和為4，不符合題意，舍去；
若且，則，故，解得或（舍去）；
綜上所述：.
故答案為：.
易錯點02：未弄清集合的代表元素

典例 （2024·湖南衡陽·一模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)求值域得A，根據(jù)二次函數(shù)求得函數(shù)定義域得B，根據(jù)交集運算得解.
【詳解】為函數(shù)的值域，
令或，，
為函數(shù)的定義域，
即，因為，所以函數(shù)定義域為，
故，
故選：D.
【易錯剖析】
本題易忽略集合的代表元素，沒有注意到集合A表示的是函數(shù)的值域，而集合B表示的是函數(shù)的定義域而出錯.
【避錯攻略】
在進行集合間運算時，常用的方法為列舉法和賦值法：
方法1列舉法
列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據(jù)集合基本運算的定義求解的方法。
【具體步驟】
第一步：定元素，確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數(shù)軸寫出所有元素或范圍；
第二步：定運算，利用常見不等式或等式解未知集合；
第三步：定結(jié)果。
方法二：賦值法
高考對集合的基本運算的考查以選擇題為主,所以我們可以利用特值法解題,即根據(jù)選項之間的明顯差異,選擇一些特殊元素進行檢驗排除,從而得到正確選項.
【具體步驟】
第一步：辨差異，分析各選項,辨別各選項的差異；
第二步：定特殊，根據(jù)選項的差異,選定一些特殊的元素；
第三步：驗排除，將特殊的元素代入進行驗證，排除干擾項；
第四步：定結(jié)果，根據(jù)排除的結(jié)果確定正確的選項。
易錯提醒：在進行集合的運算時，一定要先觀察集合的代表元素，因為代表元素決定了集合的性質(zhì)，通過集合的代表運算可以確定集合是數(shù)集還是點集、代表元素是實數(shù)還是整數(shù)，另外在進行補集運算時，一定要注意全集的性質(zhì)，不要想當(dāng)然的認(rèn)為是R.
1.（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．[1，4]
【答案】A
【分析】先化簡集合，再利用交集定義即可求得.
【詳解】
故
故選：A
2.（24-25高三上·江蘇鹽城·期中）已知集合，，則（ ）
A．AB．BC．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知集合表示點集，而集合A表示數(shù)集，即可根據(jù)交集的定義求解.
【詳解】由可得,
故，
故選：C
3.（24-25高三上·山東·期中）集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由補集定義可得答案.
【詳解】因為，，
所以，.
故選：D.
1．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解即可.
【詳解】依題意，，，
所以.
故選：A
2．（24-25高三上·陜西漢中·期中）已知全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求解集合，然后利用補集的定義即可求解
【詳解】根據(jù)題意，集合，
因為，所以.
故選：B
3．（2024·廣東肇慶·一模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式可得，再由交集運算可得結(jié)果.
【詳解】由不等式，得，所以，
又，可得.
故選：A
4．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）已知集合，，則的元素個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．無數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的元素類型，列方程組求解集即可得元素個數(shù).
【詳解】因為集合，，
則聯(lián)立，解得或，
故，集合中有2個元素.
5．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，將集合化簡，再結(jié)合交集的運算，即可得到結(jié)果.
【詳解】或，
，所以，
故選：C
6.（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】聯(lián)立集合A與集合B的方程組，解方程組可得答案.
【詳解】根據(jù)題意知聯(lián)立集合A與集合B方程組得，
解之可得或，所以.
故選：A
7.（24-25高三上·山東濟寧·期中）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)求出集合，再求出集合，最后根據(jù)集合的運算法則計算可得.
【詳解】由可得，解得或，
所以，
又，則，所以，
所以，所以.
故選：D.
易錯點03：遺忘空集

典例 （24-25高一上·重慶萬州·期中）已知集合，，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由并集的定義可知得到，討論集合是否為空集，得到對應(yīng)的參數(shù)的范圍，再求并集得到結(jié)果.
【詳解】因為，所以.
若，則，即；
若，則解得.
綜上所述，的取值范圍是.
故選：B
【易錯剖析】
因為空集是任何集合的子集，根據(jù)包含關(guān)系求參數(shù)時一定分析集合為空集的情況，本題易忽略對的討論而錯選C..
【避錯攻略】
1.當(dāng)已知求參數(shù)時，一定要分析集合為空集的情況；
2.若集合為不等式的解集，往往借助于數(shù)軸進行分析；
【具體步驟】
第一步：化簡，化簡所給集合；
第二步：畫圖，用數(shù)軸表示所給集合；
第三步：列示，根據(jù)集合端點間關(guān)系列出不等式(組)；
第四步：求解，解出不等式(組的解；
第五步：檢驗，通過返回代入驗證端點是否能夠取到.
3.若集合為正整數(shù)集或抽象集合，可借助于韋恩圖分析，若集合是點集，可借助于曲線的圖像分析.
易錯提醒：已知集合關(guān)系求參數(shù)時，除去要分析空集的情況，還一定要分析端點值能否取得，可采用代入檢驗的方法加以區(qū)分，避免出錯.
1.集合，，若，則實數(shù)a的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】首先求出集合，依題意可得，再分、、三種情況討論
因為，，所以，又
當(dāng)，則，當(dāng)，即，解得，當(dāng)，即，解得，綜上可得實數(shù)a的取值集合為，故選：D
2.設(shè)集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【解析】結(jié)合是否為空集進行分類討論可求的范圍
當(dāng)時，，則，即
當(dāng)時，若，則或
解得或，綜上，實數(shù)的取值范圍為
故選：D
3.（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）設(shè)集合，.
(1)若，求的取值范圍.
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，分和兩種情況進行討論，結(jié)合，列出不等式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，分和兩種情況進行討論，結(jié)合，列出不等式，即可求解；
【詳解】（1）解：由集合，且
因為，可分和兩種情況進行討論：
當(dāng)時，可得，解得，此時滿足；
當(dāng)，因為，則滿足或，解得，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.
（2）解：由集合，且,
因為，可分和兩種情況進行討論：
當(dāng)時，可得，解得，此時滿足；
當(dāng)，因為，則滿足，解得，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.
1．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由集合的包含關(guān)系，對集合是否是空集分類討論即可求解.
【詳解】集合，若，
則若，則滿足題意；
若，且，則，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故選：
2．設(shè)集合，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式化簡集合B，再利用集合的包含關(guān)系求解即得.
【詳解】顯然，由，得，
當(dāng)時，即，解得，滿足，則；
當(dāng)時，則，解得；
所以.
故選：C
3．（23-24高一上·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知，集合，，，則實數(shù)（ ）
A．或B．或0C．或0D．或或0
【答案】D
【分析】求出集合中方程的解確定，即可求出，根據(jù)，分兩種情況和討論即可．
【詳解】由題可知，，則或，
因為，
所以當(dāng)時，，則，符合題意；
當(dāng)時，，
由知，或，即或，
綜上所述，實數(shù)為0或1或，
故選：D．
4．（24-25高三上·遼寧沈陽·期中）集合，，且，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．或B．C．D．
【答案】A
【分析】首先化解集合，又，即可得到或，解得即可.
【詳解】由，即，解得，
所以，
又，顯然，
因為，所以或，
解得或，
即實數(shù)的取值范圍為或.
故選：A
5．（24-25高一上·四川達州·期中）已知集合 .若 則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】已知，這意味著集合與集合在中的補集沒有交集，那么集合是集合的子集.接下來通過分析集合的邊界與集合邊界的關(guān)系來確定的取值范圍.
【詳解】. 因為，所以.
由于，要滿足，
當(dāng)，即，解得.
當(dāng)，則有.解得：.
綜上，m的取值范圍為.
故選：A.
6．已知集合，，若，則實數(shù)a取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意知，分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.
【詳解】由，知，因為，，
若，則方程無解，所以；
若，，則，
因為，所以，則；
故實數(shù)取值集合為.
故選：D.
7．（24-25高三上·江蘇南通·期中）已知集合，若，則實數(shù)取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)集合計算，利用求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】由得，.
由得，，
∴或，
∴，解得.
故選：A.
8．（24-25高三上·上海青浦·階段練習(xí)）已知集合，，若，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】解絕對值不等式可得集合A，由得，討論B為空集和不為空集情況，解相應(yīng)不等式，即得答案.
【詳解】解，即，即，
由，得;
當(dāng)時，即，符合題意；
當(dāng)時，需滿足，解得，
綜合可得，
故答案為：
9．（24-25高三上·河北·階段練習(xí)）已知集合，若，則m的取值范圍是 .
【答案】或
【分析】化簡集合,由兩集合交集為空集，列出不等式即可求解.
【詳解】
因為
所以或
解得：或
故答案為：或
10．（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】求出集合，根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式組求解可得.
【詳解】因為，所以，
當(dāng)時，，不滿足題意；
當(dāng)時，由解得，
依題意有，解得，即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
11．（2024·江蘇常州·三模）集合，，若，則實數(shù)m的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】結(jié)合B是否為空集進行分類討論可求的范圍．
【詳解】由，且，
當(dāng)時，，則，即，
當(dāng)時，若，則，解得，
綜上，實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
題型二：常用邏輯用語
易錯點04：判斷充分性必要性位置顛倒

典例 命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】求解命題“”為真命題時，即可根據(jù)真子集求解
命題“”為真命題,則對恒成立，所以，故，所以命題“”為真命題的充分不必要條件需要滿足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故選：D
【易錯剖析】
本題易混淆A是B的充分條件和A的充分條件是B的區(qū)別而出錯.
【避錯攻略】
1掌握充分、必要條件的概念及類型
(1)如果pq，則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；
(2)如果pq，但q?p，則p是q的充分不必要條件；
(3)如果pq，且qp，則p是q的充要條件；
(4)如果qp，且p?q，則p是q的必要不充分條件；
(5)如果p?q，且q?p，則p是q的既不充分又不必要條件.
【解讀】
p是q的充分條件，是指以p為條件可以推出結(jié)論q，但這并不意味著由條件p只能推出結(jié)論q．一般來說，給定條件p，由p可以推出的結(jié)論是不唯一的．
“p是q的充分條件”與“q是p的必要條件”表述的是同一個邏輯關(guān)系，即p?q，只是說法不同．
（3）p是q的充要條件意味著“p成立，則q一定成立；p不成立，則q一定不成立”，要判斷p是否為q的充要條件，需要進行兩次判斷：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以說p是q的充要條件，否則，就不能說p是q的充要條件．
2.靈活運用判斷充分、必要條件的方法
(1)定義法：直接利用定義進行判斷；
(2)圖示法：多個條件間關(guān)系的判斷時，可以用用“?”、“?”、“?”將條件彼此相連，然后再判斷它們之間的關(guān)系.
(3)利用集合間的包含關(guān)系進行判斷：如果條件p和結(jié)論q都是集合,那么若p?q,則p是q的充分不必要條件；若p?q,則p是q的必要不充分條件；若p＝q,則p是q的充要條件,尤其對于數(shù)的集合,可以利用小范圍的數(shù)一定在大范圍中,即小?大,會給我們的解答帶來意想不到的驚喜．
(4)舉反例：要說明p是q的不充分條件,只要找到x0∈{x|p},但x0?{x|q}即可．
易錯提醒：在判斷充分、必要條件時，一定要先對條件進行等價化簡，然后再結(jié)合合適的方法進行判斷，為避免位置顛倒出錯，可先用推出符號標(biāo)注好判斷的方向再進行分析.
1.已知命題：，，則為真命題的一個充分不必要條件是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先分離參數(shù)求出的取值范圍，則為真命題的一個充分不必要條件應(yīng)該是的一個真子集，由題設(shè)命題為真，即在上恒成立，所以，則為真命題的一個充分不必要條件應(yīng)該是的一個真子集，
故選：A
2.（24-25高三上·云南·期中）“，”成立的充分必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】討論是否為0，當(dāng)時，顯然無解，故，用表示出方程的解，令結(jié)果大于0，求得的取值范圍.
【詳解】當(dāng)即時，，，所以；
當(dāng)即時，，.
故選：C.
3.（24-25高三上·江蘇揚州·開學(xué)考試）若不等式成立的充分條件是，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先分情況求不等式的解集，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】設(shè)不等式的解集為，，
因為不等式成立的充分條件是，，所以，
所以，所以.
由，所以.
由可得.
故選：D
1．（24-25高三上·青海西寧·期中）已知，，則使成立的一個充分條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用充分條件的定義，結(jié)合基本不等式、二次函數(shù)性質(zhì)判斷．
【詳解】對于A，取，，顯然有成立，但不成立，不符合題意.
對于B，由，得，所以，可推出，符合題意.
對于C，，可得，不符合題意.
對于D，由，得，因為，，所以，所以，不能推出，不符合題意.
故選：B．
2．使“”成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分不必要條件分別進行判斷即可．
【詳解】對于A，若，，當(dāng)時，成立，
所以“，”“”，A不滿足條件；
對于B，，，則，即，
所以“，”“”，
若，則，不妨取，，，則，
所以“，”“”，
所以“，”是“”的充分不必要條件，B滿足條件；
對于C，若，則，使得，即，
即“”“，”，
所以“，”是“”的充分條件，C不滿足條件；
對于D，若，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以“，”“”，D不滿足條件.
故選：B.
3．（24-25高三上·河北張家口·開學(xué)考試）已知，使成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得.
【詳解】對于A，，A不是；
對于B，當(dāng)時，由，得，B不是；
對于C，，可能有，如，C不是；
對于D，由，得，則；若，則，D是.
故選：D
4．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）直線與圓有公共點的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出當(dāng)直線與圓有公共點時的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
若直線與圓有公共點，則，解得，
因為，，，
所以，直線與圓有公共點的一個充分不必要條件是為.
故選：B.
5．（2024·天津和平·二模）若，下列選項中，使“”成立的一個必要不充分條件為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，等價于，若所求必要條件對應(yīng)的范圍為，則?，由此判斷即可得到本題的答案．
【詳解】不等式等價于，
使“”成立的一個必要不充分條件，對應(yīng)的集合為，則是的真子集，
由此對照各項，可知只有A項符合題意．
故選：A．
6．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知直線，和平面，，，，則的必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可得結(jié)論.
【詳解】因為，所以，當(dāng)時，由線面垂直的性質(zhì)定理可知；
只有當(dāng)且時才能得到.
所以的必要不充分條件是.
故選：.
7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知，為實數(shù)，則使得“”成立的一個必要不充分條件為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性質(zhì)、結(jié)合對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性，充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】對于A， ，不能推出，如，反之 ，則有 ，
即是的既不充分也不必要條件，A錯誤；
對于B，由，得，即，
不能推出 ，反之，則，
因此是的必要不充分條件，B正確；
對于C，，是的充分必要條件，C錯誤；
對于D，由，得，反之不能推出，
因此是的充分不必要條件，D錯誤.
故選：B.
8．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè).下列選項中，的充要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，分和，利用基本不等式，求出的取值范圍，即可求出結(jié)果.
【詳解】令，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
所以或，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的充要條件是且，
故選：D.
9．（24-25高三上·山東德州·期中）已知：，：，若是的充分不必要條件，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先解分式不等式，根據(jù)充分不必要條件的定義結(jié)合集合間的基本關(guān)系計算即可.
【詳解】由可得，解之得或，
設(shè)：，對應(yīng)，
：，其解集對應(yīng)，
則是的充分不必要條件等價于A是B的真子集，所以.
故選：A
10．（24-25高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）命題，，若的一個充分不必要條件是，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)充分不必要條件轉(zhuǎn)化為?，即可求解.
【詳解】由于的一個充分不必要條件是，故是的充分不必要條件，
故?，故，
故選：D
11．（24-25高三上·遼寧·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式，確定集合，通過討論的范圍，確定集合，根據(jù)題意推出集合是集合的真子集，由此列出不等式組，即可求得答案．
【詳解】由題可知，，
若，則，
若時，則.
因為是的必要不充分條件，則集合是集合的真子集，顯然時成立，
當(dāng)時，則，且這兩個不等號不能同時取到，故解得且，
綜上所述：.
故選：B.
易錯點05：由命題真假求參數(shù)范圍

典例 （24-25高三上·福建龍巖·期中）命題“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】存在性命題為假等價于“”為真，應(yīng)用參變分離求解即可.
【詳解】解：因為命題“”為假命題
等價于“”為真命題，
所以，
所以只需.
設(shè)，
則在上單增，所以.
所以，即.
故選：A
【易錯剖析】
對全稱量詞和存在量詞理解不到位，不能在恒成立和有解之間進行合理的轉(zhuǎn)化而出錯.
【避錯攻略】
1.根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍的方法步驟:
第一步：先判斷命題是恒成立問題還是有解（存在）問題;
第二步：轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或方程解的問題;
第三步：求解參數(shù)的取值范圍.
2.利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
易錯提醒：寫出命題的否定，然后再根據(jù)否命題的真假求參數(shù)，是等價轉(zhuǎn)化思想在解題過程中的運用，可以有效避免命題為假不易判斷的問題.
1.（23-24高三下·廣東·開學(xué)考試）已知，；，．若為假命題，為真命題，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)全稱命題以及特稱命題的真假，結(jié)合二次函數(shù)的最值以及一元二次方程的判別式，即可求得答案.
【詳解】由題意知，為假命題，
則，為真命題，
當(dāng)時，的圖象的對稱軸為，
此時其最大值為，則；
又，為真命題，
即，即得，
綜合可得的取值范圍為，
故選：A
2.（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）若命題“”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】將命題是假命題轉(zhuǎn)化為其否定是真命題進行分析，通過換元轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，通過分離參數(shù)求最值得到最終結(jié)果.
【詳解】由題意，命題“”是假命題，
等價于其否定“”是真命題，
令，則對恒成立，
即，需滿足，
而，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
所以，即.
故選：A.
3.（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）命題“，使（且）成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，得到“，都有成立”為真命題，且，利用與的圖像關(guān)于對稱，轉(zhuǎn)化為，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.
【詳解】由命題“，使成立”是假命題，
可得命題“，都有成立”為真命題，顯然，
如圖所示，因為與的圖象關(guān)于對稱，
可得轉(zhuǎn)化為，兩邊取以為底的對數(shù)，可得，所以，
令，可得，
當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，
所以，所以，解得.
故選：B.
1．（24-25高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）若命題“”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】假設(shè)命題“”為真命題，可得，由此可得，再求其補集可得結(jié)論.
【詳解】若命題“”是真命題，
則，
又因為，
所以，
所以若命題“”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是．
故選：B.
2．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分離參數(shù)，求函數(shù)的最小值即可求解.
【詳解】因為命題“”為真命題，所以．
令與在上均為增函數(shù)，
故為增函數(shù)，當(dāng)時，有最小值，即，
故選：A．
3．（24-25高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知命題p：，；q：，.均為真命題，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】，分和，結(jié)合開口方向，根的判別式得到不等式，求出為真命題，需滿足，再利用根的判別式得到為真命題，需滿足，求交集得到答案.
【詳解】恒成立，
當(dāng)時，，滿足要求，
當(dāng)時，需滿足，解得，
故為真命題，需滿足，
，，則，解得，
故為真命題，需滿足，
綜上，的取值范圍為
故選：D
4．（2024·四川涼山·二模）已知命題“，”是假命題，則m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】寫出原命題的否定，即為真命題，然后將有解問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可.
【詳解】命題“，”是假命題，
則“，”是真命題，
所以有解，
所以，
又，
因為，所以，
即.
故選：B.
5．（24-25高三上·江蘇南通·期中）若命題“，不等式成立”是假命題，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】原命題為假命題，所以命題的否定為真命題，從而，恒成立.分離常數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求最值即可.
【詳解】原命題為假命題，則否定為真命題，即，恒成立，
，令，則，，
所以，
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，
∴.
故選：A.
6．（24-25高三上·福建·階段練習(xí)）命題“，”是真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】將不等式成立的存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，得到的取值范圍，再由充分不必要條件的定義得到結(jié)果.
【詳解】因為“，”，所以，所以．
結(jié)合選項及充分不必要條件知“”是“”的充分不必要條件．
故選：D．
7．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知命題p：．若p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)是真命題列不等式，分離參數(shù)，利用基本不等式求得的取值范圍.
【詳解】若是假命題，則是真命題，即恒成立，
則，，
由于，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以.
故選：D．
8．（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）設(shè)命題：對任意，不等式恒成立，命題：存在，使得不等式成立.
(1)若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若命題與命題至少有一個是真命題，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出即可，由函數(shù)單調(diào)性求出，故，解不等式得到答案；
（2）求出為真命題時的，進而分為真命題，為假命題或為假命題，為真命題，或，都為真命題三種情況，求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）因為為真命題，所以對任意，不等式恒成立，
只需，
其中在上單調(diào)遞增，當(dāng)故，
所以，解得，所以的取值范圍；
（2）若為真命題，即存在，使得不等式成立，
則，其中，
而，故當(dāng)時，，
所以，故；
因為，至少有一個為真，
所以為真命題，為假命題或為假命題，為真命題，或，都為真命題
若為真命題，為假命題，則，所以；
若為假命題，為真命題，則或，所以.
若，都為真命題，則，所以
綜上，，
所以的取值范圍為.

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