注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、姓名、班級(jí)、座位號(hào)和考生號(hào)
填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，再用 2B 鉛筆把考號(hào)的對(duì)應(yīng)數(shù)字涂黑.
2.選擇題每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用
橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相
應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液.不
按以上要求作答的答案無(wú)效.
4.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法以及共軛復(fù)數(shù)的定義，可得答案.
【詳解】由題意可得 ，則 .
故選：D.
2. 滿足 的集合 A 的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 3 B. 7 C. 8 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次方程以及集合之間的包含關(guān)系，可得答案.
【詳解】由 ，整理可得 ，解得 或 ，
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則 ，設(shè) ，所以 ，可得 .
故選：B.
3. 已知 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和，若 ， ，75 成等比數(shù)列，且 ，則數(shù)列 的公差 （ ）
A. B. 2 C. 5 D. 2 或 5
【答案】B
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式， 結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)， 解方程可得首項(xiàng)和公差， 進(jìn)而得到
所求值.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ，
由 ， ，75 成等比數(shù)列可得 ，
即 ，
①，
又 ，即 ② ，
由①②解得 ， ，
故選：B.
4. 函數(shù) 的圖象大致為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判斷出 為奇函數(shù)，排除 BD；再根據(jù)當(dāng) 趨向于 時(shí)， 趨向于 0，C 錯(cuò)誤，A 正確.
【詳解】 恒成立，故 的定義域?yàn)?R，
第 2頁(yè)/共 22頁(yè)
，
故 為奇函數(shù)，BD 錯(cuò)誤；
當(dāng) 趨向于 時(shí)， 的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)大于 的速度，
故 趨向于 0，C 錯(cuò)誤，A 正確.
故選：A
5. 已知雙曲線 的離心率為 ，其中一條漸近線與圓 交于 A，
B 兩點(diǎn)，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率求出漸近線方程，再借助點(diǎn)到直線距離公式求出弦心距，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)作答.
【詳解】圓 的圓心 ，半徑 ，
由雙曲線 的離心率為 ，得 ，解得 ，
于是雙曲線的漸近線方程為 ，即 ，
當(dāng)漸近線為 時(shí)，點(diǎn) 到此直線距離 ，即直線 與已知圓相離，
不符合要求，
當(dāng)漸近線為 時(shí)，點(diǎn) 到此直線距離 ，則直線 與已知圓相
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交，
所以弦長(zhǎng) .
故選：D
6. 某廠生產(chǎn)一批圓臺(tái)形臺(tái)燈燈罩，燈罩的上下底面都是空的，圓臺(tái)兩個(gè)底面半徑之比為 ，高為 16cm，
母線長(zhǎng)為 20cm，如果要對(duì) 100 個(gè)這樣的臺(tái)燈燈罩外表面涂一層防潮涂料，每平方米需要 100 克涂料，則共
需涂料（ ）
A. 克 B. 克 C. 克 D. 克
【答案】C
【解析】
【分析】先求圓臺(tái)的底面半徑，計(jì)算圓臺(tái)的側(cè)面積，即可得到答案.
【詳解】作圓臺(tái)的軸截面如圖：
梯形 為等腰梯形，取上、下底面的中心分別為 、 ，再取 中點(diǎn) ，連接 ，
則 中，因?yàn)?，所以 ， ，所以 .
所以 .
所以燈罩的側(cè)面積為： .
所以 100 個(gè)燈罩的外表面面積為： .
又每平方米需要 100 克涂料，所以共需涂料 克.
故選：C
7. 已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示， 為圖象與 軸的交點(diǎn)，
為圖象與 軸的一個(gè)交點(diǎn)，且 .若實(shí)數(shù) ， 滿足 ，則 （ ）
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A. B. 0 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象確定 的值，再利用 、 兩點(diǎn)坐標(biāo)及距離公式求出 點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定 ，
然后求出 得到函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù) 計(jì)算 .
【詳解】由正弦函數(shù) 的圖象可知， ，
則 .
已知 ，設(shè) ，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，因?yàn)?，
所以 ，即 ，
解得 （由圖象可知 點(diǎn)縱坐標(biāo)為負(fù)）.
因?yàn)?在 的圖象上，所以 ，
即 ，
又因?yàn)?，所以 ，則 .
因?yàn)?在 的圖象上，所以 ，
即 ， ， ， ， .
由圖象可知， （ 為函數(shù)周期）， ，又 ，所以 ， ，
當(dāng) 時(shí)， 滿足條件，所以 .
因?yàn)?的最大值為 ，最小值為 ，
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已知 ，所以 ， 一個(gè)為 ，一個(gè)為 .
不妨設(shè) ， ，則 ， ，解得 ；
， ，解得 .
所以 .
將 代入 得：
.
故選：C.
8 已知 ， .設(shè) ， ， ，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意整理對(duì)數(shù)式，根據(jù)已知的大小關(guān)系，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算律與公式，可得答案.
【詳解】由題意可得 ， ，
因?yàn)?， ，所以兩邊取對(duì)數(shù)整理可得 ， ，所以
又 ， ， ，
且 ，即 ，
所以 ， ，所以 .
故選：D.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 已知函數(shù) ， 為 的導(dǎo)函數(shù)，則（ ）
A. 曲線 在 處的切線方程為
B. 在區(qū)間 上單調(diào)遞增
C. 在區(qū)間 上有極小值
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D. 在區(qū)間 上有兩個(gè)零點(diǎn)
【答案】BC
【解析】
【分析】求出函數(shù) ，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解判斷 A；結(jié)合單調(diào)性、極小值意義判斷 BC；求出零
點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷 D.
【詳解】依題意， ，
對(duì)于 A， ， ，所求切線方程為 ，A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，當(dāng) 時(shí)， ， 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，B 正確；
對(duì)于 C， 在 上都單調(diào)遞增，則函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
， ，則存在唯一 ，使得 ，
當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，因此 在 處取得極小值，C 正確；
對(duì)于 D，由選項(xiàng) C 知， 在 上有唯一零點(diǎn)，又 ，
當(dāng) 時(shí)， ，即 ， ，
因此 在區(qū)間 上有 1 零點(diǎn)，D 錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 某校高三年級(jí)在一次考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取了 200 名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如
圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析學(xué)生的成績(jī)分布情況，經(jīng)計(jì)算得到這 200 名學(xué)生中，成績(jī)位于
的學(xué)生成績(jī)方差為 13.75，成績(jī)位于 的學(xué)生成績(jī)方差為 7.75.則（ ）
A.
B. 估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為 76.14
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C. 估計(jì)該年級(jí)在 80 分及以上的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為 87.50
D. 估計(jì)該年級(jí)在 80 分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為 31
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 選項(xiàng)利用各長(zhǎng)方形的面積之和為 1 可求 ；B 選項(xiàng)利用中位數(shù)左邊的直方圖的面積等于 0.5 即可
列式求解；C，D 選項(xiàng)利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】對(duì)于 A 選項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，各長(zhǎng)方形的面積之和為 1，
則 ，解得 ，故 A 正確；
對(duì)于 B 選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為 ，
前三個(gè)矩形的面積之和為 ，
設(shè)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為 ，則 ，
根據(jù)中位數(shù)的定義可得 ，解得 ，
所以，估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為 77.14，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C 選項(xiàng)，估計(jì)成績(jī)?cè)?80 分以上的同學(xué)的成績(jī)的平均數(shù)為
分，故 C 正確；
對(duì)于 D 選項(xiàng)，估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?80 分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為
，故 D 正確.
故選：ACD.
11. 如圖，已知正方體 的棱長(zhǎng)為 2，點(diǎn) M 為 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 為底面 上的動(dòng)點(diǎn)
（包括邊界），則（ ）
A. 滿足 平面 的點(diǎn) P 的軌跡長(zhǎng)度為
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B. 滿足 的點(diǎn) P 的軌跡長(zhǎng)度小于
C. 存在點(diǎn) P 滿足
D. 存在點(diǎn) P 滿足
【答案】AC
【解析】
【分析】構(gòu)造面面平行，確定 點(diǎn)軌跡，求其長(zhǎng)度，判斷 A 的真假；確定 P 的軌跡，根據(jù)弧長(zhǎng)與弦長(zhǎng)的關(guān)
系判斷 B 的真假；取特殊點(diǎn)驗(yàn)證 C 的真假；轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間直線段最短求 的最小值，可判斷 D 的
真假.
【詳解】對(duì) A：如圖：
取 中點(diǎn) ， 中點(diǎn) ，連接 ，則易證平面 平面 ，此時(shí) 平面
，
故 平面 時(shí)， 點(diǎn)的軌跡為線段 .
因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為 2，所以 ，故 A 正確；
對(duì) B：如圖：
因?yàn)?，且 ，所以 ，此時(shí) 點(diǎn)軌跡為以 為圓心，半徑為 的
圓在正方形 內(nèi)的部分，易得 分別為 ， 中點(diǎn)，
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所以 ，故劣弧 的長(zhǎng)度大于 ，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì) C：如圖：
當(dāng) 為正方形 中心時(shí)， ， ， ，
所以 ，所以 ，故 C 正確；
對(duì) D：如圖：
做 點(diǎn)關(guān)于平面 的對(duì)稱點(diǎn) ，則 在直線 上，且 ，連接 ，
則 ，且 .故 D 錯(cuò)誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì) B 選項(xiàng)，一定要弄清楚 點(diǎn)的軌跡.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知單位向量 ， ， 滿足 ，則 ________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意作圖，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合數(shù)量積的定義式，可得答案.
【詳解】由題意，作等腰 ，且 ，記 的中點(diǎn)為 ，連接 ，如下圖：
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設(shè) ， ，
由圖可知 ，
由 為單位向量，則 ，
在等腰 中，易知 ，
在 中， ，則 ，即 ，
所以 .
故答案為： .
13. 某校舉辦一年一度的田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中田賽含跳高、跳遠(yuǎn)、三級(jí)跳遠(yuǎn)、標(biāo)槍和鉛球等 5 個(gè)項(xiàng)目，徑賽含
100 米、110 米欄、400 米、1000 米等 4 個(gè)項(xiàng)目.某班為選拔優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員，在班內(nèi)組織選拔賽，要求同學(xué)們積
極報(bào)名參賽，每位同學(xué)田賽與徑賽各至少報(bào)名 1 個(gè)項(xiàng)目，且每人至多報(bào) 3 個(gè)項(xiàng)目，則每位同學(xué)的報(bào)名方案
共有________種.（用數(shù)字作答）
【答案】90
【解析】
【分析】由分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理以及組合的計(jì)算即可得解.
【詳解】當(dāng)只報(bào)兩個(gè)項(xiàng)目，由題意： ；
若報(bào) 3 個(gè)項(xiàng)目，由題意： ；
所以共有 90 中，
故答案為：90
14. 已知 ， ，若對(duì)任意 ，都存在 ，使得
，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
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【分析】由 得 .設(shè) ， ，求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，
求兩個(gè)函數(shù)的值域，再根據(jù)函數(shù)值域的包含關(guān)系求 的取值范圍.
詳解】由 得 ，
設(shè) ， ，則 ，
當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上單調(diào)遞減；
所以 .
且當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，
故 的值域?yàn)?；
設(shè) ， ，則 ，
當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上單調(diào)遞減；
當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上單調(diào)遞增；
所以 ，
且當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，
故 的值域?yàn)?；
依題意， 的值域是 的值域的子集.
顯然 ，若 ，則 的值域?yàn)?，不合題意，舍去；
若 ，則 的值域 ，
第 12頁(yè)/共 22頁(yè)
則需 的值域 ，則 ，解得 .
綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由 得 .設(shè) ， ，對(duì)任意
，都存在 ，使得 就轉(zhuǎn)化成 的值域是 的值域的子集.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 的內(nèi)角 的對(duì)邊分列為 ，已知 .
（1）證明： ；
（2）若點(diǎn) 是 邊上一點(diǎn)， 平分 ， ，且 的面積是 面積的 2 倍，求 .
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理邊化角得到 ，再結(jié)合角的范圍即可求證；
（2）通過(guò) ，得到 及 ，進(jìn)而求出 .法一：由
即可求解；法二：由 ，平方求解；法三：由正弦定理 求解即可；
【小問(wèn) 1 詳解】
因?yàn)?，由正弦定理得 ，
在 中，有 ，所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，
因?yàn)?， ，所以 ，或 （舍去），
第 13頁(yè)/共 22頁(yè)
所以 .
【小問(wèn) 2 詳解】
平分 ，
的面積是 面積的 2 倍，
，即 ，
設(shè) AB 邊上的高為 h，又 ，即 ，
， ， ， .
以下有不同解法.
解法一：
， ，
即 ， .
解法二：
在 中由余弦定理得， ，即 ①
由 .則 ，又 ，
，即 ②.
由①②聯(lián)立得， .
解法三：
在 中由正弦定理得，
又 ， ，
第 14頁(yè)/共 22頁(yè)
，
，又 A 為 中較小的角， ， ，則 ， .
16. 如圖 1 所示，在平行四邊形 EBCD 中， ，垂足為 ， ，將 沿
折到 的位置，使得二面角 的大小為 ，如圖 2 所示，點(diǎn) 為棱 的中點(diǎn).
（1）證明：平面 平面 ；
（2）證明： ；
（3）若點(diǎn) 在棱 上，且直線 與平面 所成角的正弦值為 ，求 的值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，先證 平面 ，進(jìn)而可得面面垂直；
（2）法一：通過(guò)證明線面垂直推出線線垂直；法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線線垂直；
（3）利用空間向量，根據(jù)已知的線面角確定 點(diǎn)的位置，再求 的值.
【小問(wèn) 1 詳解】
由題意可知，圖 2 中 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 .
又 面 ，所以平面 平面 .
【小問(wèn) 2 詳解】
解法一：由平面幾何知識(shí)可知 ，在圖 2 中取 AD 中點(diǎn) O，連接 MO，PO，
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因?yàn)?M 為 AB 中點(diǎn)，所以 ， ，
因?yàn)?， ，所以 為二面角 的平面角，
所以 ，則 為等邊三角形，所以 .
又平面 平面 ABCD，交線為 AD，所以 平面 ABCD，所以 .
又 ，且 平面 PMO，所以 平面 PMO.
又 平面 PMO，所以 .
解法二：因?yàn)?， ，所以 為二面角 的平面角，所以 ，
以 A 為原點(diǎn)，AB，AD 所在直線為 x，y 軸，平行于 PO 的直線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則 ， ， ， ， ， ，
則 ， ，
所以 ，
所以 .
【小問(wèn) 3 詳解】
以 A 為原點(diǎn)，AB，AD 所在直線為 x，y 軸，平行于 PO 的直線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則 ， ， ， ， ， ，
設(shè) ，面 AMN 的法向量為 ， ，
，
則 ，取 ，則 .
又 ，所以
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因?yàn)橹本€ PC 與平面 AMN 所成角 正弦值為 ，所以
解得 ， ， ，
當(dāng) 時(shí)，直線 PC 與平面 AMN 所成角的正弦值為 .
17. 甲乙兩人輪流投擲質(zhì)地均勻的骰子，第一輪甲先后投擲兩次，接著乙先后投擲兩次，依此輪流每人連續(xù)
投擲兩次.
（1）甲先后投擲兩次，在第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)的條件下，求甲兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于 6 的概率；
（2）若第一輪甲連續(xù)兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，則甲獲勝.同時(shí)比賽結(jié)束；否則，由另一人繼續(xù)投擲，直到
有人連續(xù)兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，則此人獲勝且比賽結(jié)束.求甲獲勝的概率.（注：若 ，當(dāng)
時(shí)， 看作 0）
【答案】（1） .
（2） .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件概率公式，先確定事件 和 ，再分別計(jì)算 和 ，進(jìn)而求得 .
（2）通過(guò)設(shè)甲獲勝的概率為 ，分析甲在不同輪次獲勝的情況，借助等比數(shù)列求和公式計(jì)算.
【小問(wèn) 1 詳解】
設(shè)事件 “甲第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)”，事件 “甲兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于 6”，
樣本空間 ，
樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ，且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的.
， ，
， ，
則 ， ，
所以 ，（或 ）
第 17頁(yè)/共 22頁(yè)
即在甲第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)的條件下，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于 6 的概率為 .
【小問(wèn) 2 詳解】
若甲第一輪獲勝，概率為 ；
若甲第二輪獲勝，即第一輪投擲后兩人的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，第二輪甲投擲后的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，
概率為 ；
若甲第三輪獲勝，即前兩輪投擲后兩人的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，第三輪甲投擲后的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，
概率為 ；
由以上可得，若甲第 輪獲勝，即前 輪投擲后兩人的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，
第 n 輪甲投擲后 兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù).概率為 ；
于是， ， ， ，…， 組成一個(gè)以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列.
所以 .
則當(dāng) 時(shí)， ，故甲獲勝的概率為 .
18. 已知點(diǎn) ， 是圓 與橢圓 的公共點(diǎn)，且
點(diǎn) M，N 和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形.
（1）求 r 的值和橢圓 C 的方程；
（2）過(guò)點(diǎn) M 的直線 l 分別交圓 O 和橢圓 C 于 A，B 兩點(diǎn).
（i）若 ，求直線 l 的方程；
（ii）P 是 C 上一點(diǎn)，直線 MP 斜率為 m，直線 NA 斜率為 n， ，求 面積的最大值.
【答案】（1） ， .
（2）（i） 或 .（ii） .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)，可輕松確定 的值及橢圓方程.
第 18頁(yè)/共 22頁(yè)
（2）（i）設(shè)直線 ： ，分別與圓及橢圓的方程聯(lián)立，可求出 ， 點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)
列式，可求 的值，得到直線 的方程.
（ii）先根據(jù)（i）中的結(jié)論，結(jié)合 ，可得直線 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，再設(shè)直線 方程，與橢圓方程聯(lián)立，
利用弦長(zhǎng)公式得 ，表示出 的面積，結(jié)合“對(duì)鉤函數(shù)”的單調(diào)性求最大值.
【小問(wèn) 1 詳解】
因?yàn)辄c(diǎn) M，N 是圓 O 與橢圓 C 的公共點(diǎn).所以 ， .
又 M，N 和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).
所以 ， ，所以橢圓 C 的方程為 .
【小問(wèn) 2 詳解】
如圖：
（i）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn) M 的直線 l 交圓 O 和橢圓 C 分別于 A，B 兩點(diǎn)，
所以直線的斜率存在，則可設(shè)直線 l 的方程為 ，
由 .得 .則可得 .
同理，由 ，解得
又已知點(diǎn) ，則 ， ，
因?yàn)?，
第 19頁(yè)/共 22頁(yè)
因?yàn)?，所以 ，所以直線 的方程為 或 .
（ii）解法一：根據(jù)題意可知 ，設(shè) ，則 ，由 ，得出 ，
由（i）可得 ，同理得
由對(duì)稱性可得 PB 經(jīng)過(guò) y 軸上一定點(diǎn) ，由 P，B，T 三點(diǎn)共線可得：
，從而 ，
整理可得：
化簡(jiǎn)可得： ，
因?yàn)?， ，所以 ，所以直線 PB 過(guò)定點(diǎn) .
設(shè) ， ，則 ，顯然 PB 斜率存在，設(shè)
由 ，得 ， ，
令 ，所以 ，所以 .
時(shí) 單調(diào)遞增. ，即 時(shí)，三角形面積有最大值 ，
綜上：當(dāng) PB 斜率為 0 時(shí)三角形 MPB 面積有最大值 .
解法二：根據(jù)題意可知 ，設(shè) ，則 ，由 ，得出 ，
方程 表示直線 MP，MB，
上式可化為
由 得 ，代入 式，則有
第 20頁(yè)/共 22頁(yè)
即
則點(diǎn) P，B 的坐標(biāo)滿足方程 ，
又過(guò)點(diǎn) P，B 的直線唯一，且 ，所以直線 PB 方程為 .
令 ，則直線 PB 過(guò)定點(diǎn) .
下同解法一.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵是先根據(jù) 推到出直線 經(jīng)過(guò)定點(diǎn) .
19. 已知集合 ，設(shè) S 的所有元素按一定順序排列得到數(shù)列 和
.若 X 和 Y 滿足 ，則稱 X 和 Y 關(guān)于 S 封閉.
（1）若 ， ，寫出兩個(gè)不同的數(shù)列 Y，使得 X 和 Y 關(guān)于 S 封閉；
（2）已知數(shù)列 ， 和 Z 關(guān)于 S 封閉.
（i）若隨機(jī)變量 服從 ， ，求 ；
（ii）證明：存在不同于 X 的數(shù)列 Y，使得 Y 和 Z 關(guān)于 S 封閉.
（參考公式： ）
【答案】（1） .
（2）（i） ；（ii）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù) 和 Z 關(guān)于 S 封閉的定義寫出即可；
（2）（i）根據(jù)全封閉定義結(jié)合數(shù)表法以及均值公式分析計(jì)算即可. （ii）利用反證法，得到互相矛盾的結(jié)論.
【小問(wèn) 1 詳解】
數(shù)列 Y 可以為 .（寫對(duì)兩個(gè)即可）
【小問(wèn) 2 詳解】
（i）由數(shù)列 Z 和 X 可以構(gòu)成數(shù)表 1，
0 1 2 … …
第 21頁(yè)/共 22頁(yè)
… …
因?yàn)?X 和 Z 關(guān)于 S 封閉，所以 和 取遍 ，所以 ，
因?yàn)?，
所以 ，所以 .
（ii）交換數(shù)表 1 中的兩行，記該過(guò)程為第一次操作，得到數(shù)表 2
… …
0 1 2 … …
調(diào)整數(shù)表 2 各列順序，使數(shù)表 2 的第一行變?yōu)?，數(shù)表 2 的第二行變?yōu)?，
記該過(guò)程為第二次操作，得到數(shù)表 3
0 1 2 … …
… …
因?yàn)?X 和 Z 關(guān)于 S 封閉，所以經(jīng)過(guò)以上兩次操作后，可知數(shù)列 與數(shù)列 Z 關(guān)于 S 封閉，
假設(shè)數(shù)列 X 和 Y 相同，則 ， ，…， ，不妨設(shè) ， ，
經(jīng)過(guò)第一次操作后，數(shù)表 2 中 與 同列.因此 ，故 .
因?yàn)?，故 .
另一方面，因?yàn)?X 和 Z 關(guān)于 S 封閉，所以 ，取遍 ，
則有 ，從而與 矛盾
所以存在不同于 X 的數(shù)列 Y，使得 Y 和 Z 關(guān)于 S 封閉.
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