注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆在答題卡的相應位置填涂考生號.
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.
4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若復數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A. B. 1C. D. i
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，結合虛部的概念可得答案.
【詳解】因為，所以，所以的虛部為1.
故選：B
2. 已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合結合數(shù)軸推斷取值范圍.
【詳解】，
因，則，則實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
3. 在平行四邊形中，點是邊上的點，，點是線段的中點，若，則（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，及即可求解.
【詳解】
因為點是線段的中點，
所以，
又，
所以，
所以，
故選：C
4. 已知球的表面積為，一圓臺的上、下底面圓周都在球的球面上，且下底面過球心，母線與下底面所成角為，則該圓臺的側面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設出球的半徑，求出圓臺上下底面的半徑，圓臺的母線，由圓臺的側面展圖形是扇環(huán)，利用圓臺的側面積公式可求圓臺的側面積.
【詳解】作出示意圖如圖所示：
設球的半徑為，由題意可得，所以是等邊三角形，
所以，所以，
因為球的表面積為，所以，解得，所以，
所以，
所以圓臺的側面積為.
故選：B.
5. 已知點在雙曲線上，且點到兩條漸近線的距離之積等于，則的離心率為（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設，將點坐標代入雙曲線方程中可得.求出點坐標代入雙曲線的兩條漸近線的距離之積，結合化簡可得的其次方程，即可求解離心率.
【詳解】設.
∵點在雙曲線上，，即.
又雙曲線的兩條漸近線分別為和，
點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為：
，
，即.
又，，，.
故選：D.
6. 已知實數(shù)滿足，則下列不等式可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設指數(shù)函數(shù)，在同一坐標系中作出三個函數(shù)的圖象，結合函數(shù)圖象即可求解.
【詳解】設函數(shù)，
作出函數(shù)圖象如下，
設，
對A，當時，直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標為，
由函數(shù)圖象可知，，A錯誤；
對C，當時，直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標為，
由函數(shù)圖象可知，，C錯誤；
因為，所以，
設，
作出函數(shù)的圖象如下，
對B，當時，直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標為，
由函數(shù)圖象可知，，B正確；
對D，當時，直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標為，
由函數(shù)圖象可知，，D錯誤；
故選:B.
7. 已知，曲線與相鄰的三個交點構成一個直角三角形，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設曲線與相鄰的三個交點為，根據(jù)兩角差的余弦公式，輔助角公式及正弦函數(shù)的性質求解出交點坐標，再根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．
【詳解】設曲線與相鄰的三個交點為，
，
解得，
不妨取，則，
所以，
則，
由題意得為直角三角形，
所以，即，解得，
故選：A．
8. 定義域為的偶函數(shù)在上單調遞減，且，若關于的不等式的解集為，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由為偶函數(shù)可得，轉化題設不等式為，結合單調性分析易得的解集為，的解集為，再結合題意可得5為方程的根，進而得到，進而結合基本不等式求解即可.
【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，則，
由，
得，
又因為函數(shù)在上單調遞減，且，
則函數(shù)在上單調遞增，
則時，，當時，，
則當時，，
當時，，
所以的解集為，的解集為，
由于不等式的解集為，
當時，不等式為，
此時解集為，不符合題意；
當時，不等式解集為，
不等式解集為，
要使不等式的解集為，
則，即；
當時，不等式解集為，
不等式解集為，
此時不等式的解集不為；
綜上所述，，
則，
當且僅當，即，時等號成立，
即的最小值為.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 某位射擊運動員的兩組訓練數(shù)據(jù)如下：第一組：10，7，7，8，8，9，7；第二組：10，5，5，8，9，9，10．則（ ）
A. 兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等
B. 第一組數(shù)據(jù)的方差大于第二組數(shù)據(jù)的方差
C. 兩組數(shù)據(jù)的極差相等
D. 第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由平均數(shù)，方差，極差以及中位數(shù)定義，代入計算，即可判斷.
【詳解】第一組數(shù)據(jù)從小到大排序為：，
其平均數(shù)為，
其方差為，
其極差為，
其中位數(shù)為：；
第二組數(shù)據(jù)從小到大排序為：，
其平均數(shù)為，
其方差，
其極差為，
其中位數(shù)為：
所以AD正確，BC錯誤；
故選：AD.
10. 已知函數(shù)在處取得極大值，的導函數(shù)為，則（ ）
A.
B. 當時，
C.
D. 當且時，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)極值的定義可得，進而求出可判斷A；結合函數(shù)的單調性判斷B；代式計算判斷C；由，可得，再結合函數(shù)的單調性可得，進而得到，再驗證可得，進而判斷D.
【詳解】由，則，
則函數(shù)的定義域為，
則，，
則，
因為函數(shù)在處取得極大值，
所以，即，
此時，
則，
令，得或；
令，得，
所以函數(shù)在和上單調遞減，在上單調遞增，
則函數(shù)在處取得極大值，符合題意，即，故A正確；
由上述可知函數(shù)在上單調遞減，
當時，，則，故B錯誤；
由，
則，
，
所以，故C正確；
因為，，則，
又函數(shù)在上單調遞增，則，
所以，
又，
則，故D正確.
故選：ACD
11. 如圖，半徑為1的動圓沿著圓外側無滑動地滾動一周，圓上的點形成的外旋輪線，因其形狀像心形又稱心臟線．已知運動開始時點與點重合．以下說法正確的有（ ）
A. 曲線上存在到原點的距離超過的點
B. 點在曲線上
C. 曲線與直線有兩個交點
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根據(jù)幾何性質求解動點的軌跡方程，A項，由兩點間距離公式及三角函數(shù)有界性可得；B項，由點，利用參數(shù)方程解方程組可得；C項，聯(lián)立直線與參數(shù)方程，結合三角函數(shù)圖象可得交點個數(shù)；D項，由，利用均值不等式可得.
【詳解】設與切于點，則始終關于點對稱.
所以當切點繞逆時針轉動弧度時，致使點繞圓心也轉了弧度，，
如圖，連接，，延長與軸交于點，
過作軸于點，
，
，
，
則，
即曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，.
對于A，，
上不存在到原點的距離超過的點，A錯；
對于B，若在上，則，
由①解得或0，
驗證知僅當時，代入②符合，在曲線上，故B正確；
對于C，由，將曲線的參數(shù)方程代入得
，
即，
，
如下圖，分別作出與的大致圖象，
可知兩函數(shù)圖象共有兩個交點，故C正確；
對于D，，
，
，故D正確；
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，則_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導公式及逆用和角的正弦公式求解.
【詳解】由，得，
則，所以.
故答案為：.
13. 將這9個數(shù)字填在的方格表中，要求每一行從左到右、每一列從上到下的數(shù)字依次變?。魧?填在如圖所示的位置上，則填寫方格表的方法共有_______種．

【答案】12
【解析】
【分析】確定1，9的位置，再確定2，3的位置，最后確定余下4個數(shù)的位置，列式計算即可.
【詳解】由每一行從左到右、每一列從上到下的數(shù)字依次變小，得在左上角，在右下角，如圖，

排在位置，有種方法，
從余下的4個數(shù)字中任取2個按從左到右由大到小排在位置，有種方法，
最后兩個數(shù)字從上到下由大到小排在位置，有1種方法，
所以填寫方格表的方法共有（種）.
故答案為：12
14. 在正三棱錐中，，點在內部運動（包括邊界），點到棱的距離分別記為，且，則點運動路徑的長度為_______．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，結合正三棱錐可得在底面內的投影為底面的中心，且，做輔助線結合長方體的性質可得，即可知點的軌跡是以點為圓心，半徑的圓的一部分即可求解.
【詳解】由題意可知：，
則，
可知，
因為三棱錐為正三棱錐，則點在底面內的投影為底面的中心，
取中點，則，，
設點在平面、平面和平面內的投影分別為、和，
根據(jù)正三棱錐的結構特征，可以以為鄰邊作長方體，
則平面，平面，則，即，
同理可知：，
由長方體的性質可知：，
可得，即，
又因為平面，平面，
則，可得，
可知點在以點為圓心，半徑的圓上，
因為，可知與圓相交，
設圓與交于兩點，則，
可知為等邊三角形，則，
結合對稱性可知點運動路徑的長度為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在中，內角的對邊分別為，已知．
（1）求證：；
（2）若，求的面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及和差角公式即可證明.
（2）根據(jù)正弦定理求得，再根據(jù)余弦定理求出，利用面積公式求出的面積.
【小問1詳解】
因為，
根據(jù)正弦定理得：
又，所以，
所以，
即，
所以，或（舍），
所以.
【小問2詳解】
根據(jù)正弦定理得，即，
有余弦定理，得，
解得或，
當時，，，，則，，
而，矛盾，舍去，故，
所以的面積為
16. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側面是等邊三角形，三棱錐的體積為，點是棱的中點．

（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【小問1詳解】
因為底面為矩形，，所以，
設三棱錐的高為，又三棱錐的體積為，
所以，所以，
又側面是等邊三角形，且，
取的中點，連接，可得，從而為三棱錐的高，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
【小問2詳解】
取的中點，連接，則，
故由（1）可以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角標系，

則，
則，
設平面的一個法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個法向量為，
又平面的一個法向量為，
設平面與平面夾角為
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
17. 個人相互傳球，傳球規(guī)則如下：若球由甲手中傳出，則甲傳給乙；否則，傳球者等可能地將球傳給另外的個人中的任何一個．第一次傳球由甲手中傳出，第次傳球后，球在甲手中的概率記為，球在乙手中的概率記為．
（1）求；
（2）求；
（3）比較與的大小，并說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）列出5人傳球三次的樹狀圖，根據(jù)概率乘法公式和加法公式得解；
（2）由題意知，，根據(jù)數(shù)列的構造法求通項公式；
（3）由題意知，作差法比大小.
【小問1詳解】
由題意知，
，
所以；
【小問2詳解】
由題意知，，
所以，
所以，
則；
【小問3詳解】
由題意知，
則，
所以，（當時取等號）
所以.
18. 已知動點到點的距離等于它到直線的距離，記動點的軌跡為曲線．
（1）求的方程；
（2）為坐標原點，過點且斜率存在的直線與相交于兩點，直線與直線相交于點，過點且與相切的直線交軸于點．
（i）證明：直線；
（ii）滿足四邊形的面積為12的直線共有多少條？說明理由．
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析；（ii）有2條，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由拋物線得定義即可求解；
（2）（i）由題可知，直線的斜率存在且不為0，故設直線的方程為，設直線與相交于兩點，不妨設，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得，求出直線的斜率，即可證明；（ii）由（i）得出四邊形為平行四邊形，根據(jù)四邊形的面積為12列出關于的方程，根據(jù)導數(shù)判斷方程解的個數(shù)即可．
【小問1詳解】
由拋物線的定義得動點的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線，
所以，即．
【小問2詳解】
（i）證明：由題可知，直線的斜率存在且不為0，故設直線的方程為，則直線的斜率為，
設直線與相交于兩點，不妨設，
由得，，則，
由得，，則點處的斜率為，
則點處的切線方程為，
令，得，即點，
直線的方程為，令，得，即，
所以直線的斜率，
所以，即直線．
（ii）連接，
由（i）得，，所以，
又因為，所以軸，即四邊形為平行四邊形，
由得，
，
若四邊形的面積為12，則，
整理得，
令，則，
設，則，
所以在單調遞增，又，
所以存在，使得，
所以上單調遞減，在上單調遞增，
又，，
所以有2個零點，即有2個根，
所以四邊形的面積為12的直線共有2條．
19. 已知且，集合，其中．若存在函數(shù)，其圖象在區(qū)間上是一段連續(xù)曲線，且，則稱是的變換函數(shù)，集合是的子集．例如，設，此時函數(shù)是的變換函數(shù)，是的子集．
（1）判斷集合是否是的子集？說明理由；
（2）判斷是否為集合的變換函數(shù)？說明理由；
（3）若，則，試問是否存在函數(shù)，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，說明理由．
【答案】（1）集合是的子集，理由見詳解；
（2）不是集合的變換函數(shù)，理由見詳解；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）由題中新定義及已知集合構造一個滿足定義的函數(shù)即可；
（2）分析得到函數(shù)的單調性，用假設法進行判斷.先假設，然后由題中定義可知，建立方程后求得的關系，推理產(chǎn)生矛盾，從而得到結論；
（3）構造滿足題意得集合和，再驗證滿足題中定義即可.
【小問1詳解】
當函數(shù)時，
，
此時函數(shù)是集合的變換函數(shù)，
∴集合是的子集.
【小問2詳解】
函數(shù)在定義域上單調遞減，
當時集合，其中，
假設函數(shù)為集合的變換函數(shù)，
則，
即，即，
由①-②，得，
整理后得，
∵即，∴，
而由①式易得，顯然產(chǎn)生矛盾，
即函數(shù)不是集合的變換函數(shù).
【小問3詳解】
設中滿足首項為1，公比為的等比數(shù)列，
，則 ，滿足，
設，則對且，，
而且時，，及有個不同元素，即能覆蓋所有元素.
又∵的圖象在區(qū)間上是一段連續(xù)曲線，
∴存在函數(shù)，使得集合是的子集.

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