1. 已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意可得，則.
故選：D.
2. 滿足＝的集合A的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 3B. 7C. 8D. 15
【答案】B
【解析】由，整理可得，解得或，
則?，設(shè)，所以＝，可得.
故選：B.
3. 已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，75成等比數(shù)列，且，則數(shù)列的公差（ ）
A. B. 2C. 5D. 2或5
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，，75成等比數(shù)列可得，
即，
①，
又，即②，
由①②解得，，
故選：B.
4. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】恒成立，故的定義域?yàn)镽，
，
故為奇函數(shù)，BD錯(cuò)誤；
當(dāng)趨向于時(shí)，的增長速度遠(yuǎn)大于的速度，
故趨向于0，C錯(cuò)誤，A正確.
故選：A
5. 已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圓的圓心，半徑，
由雙曲線的離心率為，得，解得，
于是雙曲線的漸近線方程為，即，

當(dāng)漸近線為時(shí)，點(diǎn)到此直線距離，即直線與已知圓相離，不符合要求，
當(dāng)漸近線為時(shí)，點(diǎn)到此直線距離，則直線與已知圓相交，
所以弦長.
故選：D
6. 某廠生產(chǎn)一批圓臺形臺燈燈罩，燈罩的上下底面都是空的，圓臺兩個(gè)底面半徑之比為，高為16cm，母線長為20cm，如果要對100個(gè)這樣的臺燈燈罩外表面涂一層防潮涂料，每平方米需要100克涂料，則共需涂料（ ）
A. 克B. 克C. 克D. 克
【答案】C
【解析】作圓臺的軸截面如圖：
梯形為等腰梯形，取上、下底面的中心分別為、，再取中點(diǎn)，連接，
則中，因?yàn)椋裕?，所?
所以.
所以燈罩的側(cè)面積為：.
所以100個(gè)燈罩的外表面面積為：.
又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克.
故選：C
7. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為圖象與軸的交點(diǎn)，為圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)，且.若實(shí)數(shù)，滿足，則（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】C
【解析】由正弦函數(shù)的圖象可知，，
則.
已知，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，因?yàn)椋?br>所以，即，
解得（由圖象可知點(diǎn)縱坐標(biāo)為負(fù)）.
因?yàn)樵诘膱D象上，所以，
即，
又因?yàn)?，所以，則.
因?yàn)樵诘膱D象上，所以，
即，，，，.
由圖象可知，（為函數(shù)周期），，又，所以，，
當(dāng)時(shí)，滿足條件，所以.
因?yàn)榈淖畲笾禐椋钚≈禐椋?br>已知，所以，一個(gè)為，一個(gè)為.
不妨設(shè)，，則，，解得；，，解得.
所以.
將代入得：
.
故選：C.
8 已知，.設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意可得，，
因?yàn)?，，所以兩邊取對?shù)整理可得，，所以
又，，，
且，即，
所以，，所以.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（ ）
A. 曲線在處的切線方程為
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 在區(qū)間上有極小值
D. 在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)
【答案】BC
【解析】依題意，，
對于A，，，所求切線方程為，A錯(cuò)誤；
對于B，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；
對于C，在上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，則存在唯一，使得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此在處取得極小值，C正確；
對于D，由選項(xiàng)C知，在上有唯一零點(diǎn)，又，
當(dāng)時(shí)，，即，，
因此在區(qū)間上有1零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 某校高三年級在一次考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析學(xué)生的成績分布情況，經(jīng)計(jì)算得到這200名學(xué)生中，成績位于的學(xué)生成績方差為13.75，成績位于的學(xué)生成績方差為7.75.則（ ）

A.
B. 估計(jì)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為76.14
C. 估計(jì)該年級在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50
D. 估計(jì)該年級在80分及以上的學(xué)生成績的方差為31
【答案】ACD
【解析】對于A選項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，各長方形的面積之和為1，
則，解得，故A正確；
對于B選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為，
前三個(gè)矩形的面積之和為，
設(shè)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為，則，
根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，
所以，估計(jì)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14，故B錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，估計(jì)成績在80分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為
分，故C正確；
對于D選項(xiàng)，估計(jì)該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為
，故D正確.
故選：ACD.
11. 如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面上的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則（ ）
A. 滿足平面的點(diǎn)P的軌跡長度為
B. 滿足的點(diǎn)P的軌跡長度小于
C. 存在點(diǎn)P滿足
D. 存在點(diǎn)P滿足
【答案】AC
【解析】對A：如圖：
取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則易證平面平面，此時(shí)平面，
故平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段.
因?yàn)檎襟w棱長為2，所以，故A正確；
對B：如圖：
因?yàn)椋?，所以，此時(shí)點(diǎn)軌跡為以為圓心，半徑為的圓在正方形內(nèi)的部分，易得分別為，中點(diǎn)，
所以，故劣弧的長度大于，故B錯(cuò)誤；
對C：如圖：
當(dāng)為正方形中心時(shí)，，，，
所以，所以，故C正確；
對D：如圖：
做點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則在直線上，且，連接，
則，且AM'=222+32=17>4.故D錯(cuò)誤.
故選：AC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知單位向量，，滿足，則________.
【答案】
【解析】由題意，作等腰，且，記的中點(diǎn)為，連接，如下圖：
設(shè)，，
由圖可知，
由為單位向量，則，
在等腰中，易知，
在中，，則，即，
所以.
故答案為：.
13. 某校舉辦一年一度的田徑運(yùn)動(dòng)會，其中田賽含跳高、跳遠(yuǎn)、三級跳遠(yuǎn)、標(biāo)槍和鉛球等5個(gè)項(xiàng)目，徑賽含100米、110米欄、400米、1000米等4個(gè)項(xiàng)目.某班為選拔優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員，在班內(nèi)組織選拔賽，要求同學(xué)們積極報(bào)名參賽，每位同學(xué)田賽與徑賽各至少報(bào)名1個(gè)項(xiàng)目，且每人至多報(bào)3個(gè)項(xiàng)目，則每位同學(xué)的報(bào)名方案共有________種.（用數(shù)字作答）
【答案】90
【解析】當(dāng)只報(bào)兩個(gè)項(xiàng)目，由題意：；
若報(bào)3個(gè)項(xiàng)目，由題意：；
所以共有90中，
故答案為：90
14. 已知，，若對任意，都存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
【答案】
【解析】由得，
設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
所以.
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故的值域?yàn)椋?br>設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
所以，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故的值域?yàn)椋?br>依題意，的值域是的值域的子集.
顯然，若，則的值域?yàn)椋缓项}意，舍去；
若，則的值域，
則需的值域，則a>e1e?a≤1e?a，解得.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 的內(nèi)角的對邊分列為，已知.
（1）證明：；
（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，平分，，且的面積是面積的2倍，求.
（1）證明：因?yàn)?，由正弦定理得?br>在中，有，所以，
即，
所以，即，
因?yàn)?，，所以，或（舍去）?br>所以.
（2）解：平分，
的面積是面積的2倍，
，即，
設(shè)AB邊上的高為h，又，即，
，，，.
以下有不同解法.
解法一：
，，
即，.
解法二：
在中由余弦定理得，，即①
由.則，又，
，即②.
由①②聯(lián)立得，.
解法三：
在中由正弦定理得，
又，，
，
，又A為中較小的角，，，則，.
16. 如圖1所示，在平行四邊形EBCD中，，垂足為，，將沿折到的位置，使得二面角的大小為，如圖2所示，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；
（2）證明：；
（3）若點(diǎn)在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
（1）證明：由題意可知，圖2中，，，平面，
所以平面.
又面，所以平面平面.
（2）證明：解法一：由平面幾何知識可知，在圖2中取AD中點(diǎn)O，連接MO，PO，

因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)?，，所以為二面角的平面角?br>所以，則為等邊三角形，所以.
又平面平面ABCD，交線為AD，所以平面ABCD，所以.
又，且平面PMO，所以平面PMO.
又平面PMO，所以.
解法二：因?yàn)?，，所以為二面角的平面角，所以?br>以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸，平行于PO的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，，，
則，，
所以，
所以.
（3）解：以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸，平行于PO的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，，，
設(shè)，面AMN的法向量為，，
，
則，取，則.
又，所以
因?yàn)橹本€PC與平面AMN所成角正弦值為，所以
解得，，，
當(dāng)時(shí)，直線PC與平面AMN所成角的正弦值為.
17. 甲乙兩人輪流投擲質(zhì)地均勻的骰子，第一輪甲先后投擲兩次，接著乙先后投擲兩次，依此輪流每人連續(xù)投擲兩次.
（1）甲先后投擲兩次，在第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)的條件下，求甲兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于6的概率；
（2）若第一輪甲連續(xù)兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，則甲獲勝.同時(shí)比賽結(jié)束；否則，由另一人繼續(xù)投擲，直到有人連續(xù)兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，則此人獲勝且比賽結(jié)束.求甲獲勝的概率.（注：若，當(dāng)時(shí)，看作0）
解：（1）設(shè)事件“甲第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)”，事件“甲兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于6”，
樣本空間，
樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為，且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的.
，，
，，
則，，
所以，（或）
即在甲第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)的條件下，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于6的概率為.
（2）若甲第一輪獲勝，概率為；
若甲第二輪獲勝，即第一輪投擲后兩人的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，第二輪甲投擲后的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，概率為；
若甲第三輪獲勝，即前兩輪投擲后兩人的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，第三輪甲投擲后的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，概率為；
由以上可得，若甲第輪獲勝，即前輪投擲后兩人的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，
第n輪甲投擲后兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù).概率為；
于是，，，，…，組成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
所以.
則當(dāng)時(shí)，，故甲獲勝的概率為.
18. 已知點(diǎn)，是圓與橢圓的公共點(diǎn)，且點(diǎn)M，N和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形.
（1）求r的值和橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M的直線l分別交圓O和橢圓C于A，B兩點(diǎn).
（i）若，求直線l的方程；
（ii）P是C上一點(diǎn)，直線MP斜率為m，直線NA斜率為n，，求面積的最大值.
解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)M，N是圓O與橢圓C的公共點(diǎn).所以，.
又M，N和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).
所以，，所以橢圓C的方程為.
（2）如圖：
（i）因?yàn)檫^點(diǎn)M的直線l交圓O和橢圓C分別于A，B兩點(diǎn)，
所以直線的斜率存在，則可設(shè)直線l的方程為，
由.得.則可得.
同理，由，解得
又已知點(diǎn)，則，，
因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以，所以直線的方程為或.
（ii）解法一：根據(jù)題意可知，設(shè)，則，由，得出，
由（i）可得，同理得
由對稱性可得PB經(jīng)過y軸上一定點(diǎn)，由P，B，T三點(diǎn)共線可得：
，從而，
整理可得：
化簡可得：，
因?yàn)椋?，所以，所以直線PB過定點(diǎn).
設(shè)，，則，顯然PB斜率存在，設(shè)
由，得，，
令，所以，所以.
時(shí)單調(diào)遞增.，即時(shí)，三角形面積有最大值，
綜上：當(dāng)PB斜率為0時(shí)三角形MPB面積有最大值.
解法二：根據(jù)題意可知，設(shè)，則，由，得出，
方程表示直線MP，MB，
上式可化為
由得，代入式，則有
即
則點(diǎn)P，B的坐標(biāo)滿足方程，
又過點(diǎn)P，B的直線唯一，且，所以直線PB方程為.
令，則直線PB過定點(diǎn).
下同解法一.
19. 已知集合，設(shè)S的所有元素按一定順序排列得到數(shù)列和.若X和Y滿足，則稱X和Y關(guān)于S封閉.
（1）若，，寫出兩個(gè)不同的數(shù)列Y，使得X和Y關(guān)于S封閉；
（2）已知數(shù)列，和Z關(guān)于S封閉.
（i）若隨機(jī)變量服從，，求；
（ii）證明：存在不同于X的數(shù)列Y，使得Y和Z關(guān)于S封閉.
（參考公式：）
解：（1）數(shù)列Y可以為 .（寫對兩個(gè)即可）
（2）（i）由數(shù)列Z和X可以構(gòu)成數(shù)表1，
因?yàn)閄和Z關(guān)于S封閉，所以和取遍，所以，
因?yàn)椋?br>所以，所以.
（ii）交換數(shù)表1中的兩行，記該過程為第一次操作，得到數(shù)表2
調(diào)整數(shù)表2各列順序，使數(shù)表2的第一行變?yōu)?，?shù)表2的第二行變?yōu)椋?br>記該過程為第二次操作，得到數(shù)表3
因?yàn)閄和Z關(guān)于S封閉，所以經(jīng)過以上兩次操作后，可知數(shù)列與數(shù)列Z關(guān)于S封閉，
假設(shè)數(shù)列X和Y相同，則，，…，，不妨設(shè)，，
經(jīng)過第一次操作后，數(shù)表2中與同列.因此，故.
因?yàn)椋?
另一方面，因?yàn)閄和Z關(guān)于S封閉，所以，取遍，
則有，從而與矛盾
所以存在不同于X的數(shù)列Y，使得Y和Z關(guān)于S封閉.0
1
2
…
…
…
…
…
…
0
1
2
…
…
0
1
2
…
…
…
…

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