本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校?姓名?班級?座位號和考生號填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，再用2B鉛筆把考號的對應(yīng)數(shù)字涂黑.
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案：不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用，黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 設(shè)，為非零向量，則“”是“與共線”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則（ ）
A. 6B. 4C. 2D. 1
4. 若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
5. 根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（ ）
A. 變量與獨(dú)立
B. 變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過
C. 變量與不獨(dú)立
D. 變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過
6. 若直線與圓相切，則圓與圓（ ）
A. 外切B. 相交C. 內(nèi)切D. 沒有公共點(diǎn)
7. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
8. 設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值的概率也均為0.2，若記分別為的方差，則（ ）
A.
B.
C
D. 與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C 若，則
D. 若，則
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 在上單調(diào)遞增
C. 的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到
D. 函數(shù)的最小值為
11. 雙曲線具有如下性質(zhì)：雙曲線在任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，右支上一動(dòng)點(diǎn)處的切線記為，則（ ）
A. 雙曲線的漸近線方程為
B. 雙曲線的離心率為
C. 當(dāng)軸時(shí)，
D. 過點(diǎn)作，垂足為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則實(shí)數(shù)__________.
13. 已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，則__________.
14. 如圖，一塊面積為定值的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，當(dāng)容器的容積最大時(shí)，其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)植物覆蓋面積與某種野生動(dòng)物數(shù)量關(guān)系，將其分成面積相近的若干個(gè)地塊，從這些地塊中隨機(jī)抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中，和，分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量（單位：只），并計(jì)算得.
（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷這種野生動(dòng)物的數(shù)量y（單位：只）和植物覆蓋面積x（單位：公頃）的相關(guān)程度；
（2）已知20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，從20個(gè)樣區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽到這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)的樣區(qū)的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.
附：相關(guān)系數(shù)
16. 如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，且與平面垂直，，.
（1）證明：平面；
（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角為？若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.
17. 已知數(shù)列中，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.
18. 已知直線，動(dòng)點(diǎn)分別在直線上，，是線段的中點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線方程；
（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，線段上一點(diǎn)滿足，求的最小值.
19. 已知函數(shù).
（1）證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)，且；
（2）我們曾學(xué)習(xí)過“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，另一種常用的求零點(diǎn)近似值的方法是“牛頓切線法”.任取，實(shí)施如下步驟：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)；一直繼續(xù)下去，可以得到一個(gè)數(shù)列，它的各項(xiàng)是不同精確度的零點(diǎn)近似值.
（i）設(shè)，求的解析式；
（ii）證明：當(dāng)，總有2024屆天河區(qū)普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）
數(shù)學(xué)
本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校?姓名?班級?座位號和考生號填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，再用2B鉛筆把考號的對應(yīng)數(shù)字涂黑.
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案：不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用，黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的包含關(guān)系逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，為非負(fù)的偶數(shù)，所以，，則?，
B對，ACD都錯(cuò).
故選：B.
2. 設(shè)，為非零向量，則“”是“與共線”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
由化簡得出，從而得出與共線，當(dāng)與共線時(shí)，，，不一定相等，最后由充分條件和必要條件的定義作出判斷.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，化簡得，即，，即與共線
當(dāng)與共線時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得
，，與不一定相等，即不一定相等
故“”是“與共線”的充分不必要條件
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于熟練掌握向量的數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算以及向量共線定理.
3. 若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則（ ）
A. 6B. 4C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式即可求解.
【詳解】由焦半徑公式可得，故，
故選：C
4. 若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】注意到，后利用函數(shù)單調(diào)性可解不等式.
【詳解】，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則.
故選：D
5. 根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（ ）
A. 變量與獨(dú)立
B. 變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過
C. 變量與不獨(dú)立
D. 變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為變量與獨(dú)立，
故選：A.
6. 若直線與圓相切，則圓與圓（ ）
A. 外切B. 相交C. 內(nèi)切D. 沒有公共點(diǎn)
【答案】B
【解析】
【分析】由直線與圓相切，得，則圓的圓心在圓上，兩圓相交.
【詳解】直線與圓相切，
則圓心到直線的距離等于圓的半徑1，
即，得.
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
其圓心在圓上，所以兩圓相交.
故選：B
7. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)輔助角公式求得，結(jié)合角的范圍可得，繼而利用兩角差的余弦公式，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>故，則，
而，故，
故
，
故選：B
8. 設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值的概率也均為0.2，若記分別為的方差，則（ ）
A.
B.
C.
D. 與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)期望的公式推出，再根據(jù)方差的計(jì)算公式可得的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可判斷的大小，即得答案.
【詳解】由題意得，
，
故，
記
則
同理
因?yàn)椋瑒t，，，
故，
即得，與的大小關(guān)系與的取值無關(guān)，
故選：C
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】對于AD，舉反例排除即可；對于B，利用方向向量與法向量判斷空間線面的位置關(guān)系即可判斷；對于C，利用面面平行的性質(zhì)即可判斷.
詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，有可能異面，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)椋?br>所以對應(yīng)的方向向量分別是的法向量，
又，所以，所以，故B正確；
對于C，因?yàn)?，由面面平行的性質(zhì)易知，故C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，有可能異面，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 在上單調(diào)遞增
C. 的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到
D. 函數(shù)的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)周期可得，代入最值點(diǎn)可得，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的不等式即可根據(jù)周期，單調(diào)性以及平移求解ABC，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.
【詳解】由圖可得：，
又，
，又，
，
將代入得，
即，，
即，，
，
對于A，最小正周期，故正確；
對于B，令，，解得，，
可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，故B正確；
對于C，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得到的函數(shù)解析式為：，故C不正確；
對于D，，
令，所以，
故最小值為，D正確，
故選：ABD
11. 雙曲線具有如下性質(zhì)：雙曲線在任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，右支上一動(dòng)點(diǎn)處的切線記為，則（ ）
A. 雙曲線的漸近線方程為
B. 雙曲線的離心率為
C 當(dāng)軸時(shí)，
D. 過點(diǎn)作，垂足為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意求出b的值，即可求得雙曲線漸近線方程，判斷A；根據(jù)離心率定義，求出離心率，判斷B；利用雙曲線定義可判斷C；由題意結(jié)合角平分線性質(zhì)推出，K為的中點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合三角形中位線以及雙曲線定義求得，判斷D.
【詳解】對于A，由雙曲線可知，右頂點(diǎn)，
其漸近線方程為，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，
不妨取漸近線，則，解得，
故雙曲線的漸近線方程為，A正確；
對于B，由于，
故雙曲線的離心率為，B錯(cuò)誤；
對于C，，當(dāng)軸時(shí)，將代入中，
得，即得，
由于P在雙曲線右支上，故，C正確；
對于D，連接并延長交的延長線于E，
由題意知，為的角平分線，結(jié)合，
可知，K為的中點(diǎn)，而O為的中點(diǎn)，
故，D正確，
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線知識的綜合應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要結(jié)合題中所給性質(zhì)，利用角平分線性質(zhì)推出K為的中點(diǎn)，即可結(jié)合雙曲線定義求得答案.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則實(shí)數(shù)__________.
【答案】-2
【解析】
【分析】利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理和根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.
【詳解】（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，
（i為虛數(shù)單位）也是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，
，解得.
故答案為：-2.
13. 已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，則__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，并結(jié)合指數(shù)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，代入求值，即可求得答案.
【詳解】由題意知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
故，
則，
故答案為：3
14. 如圖，一塊面積為定值的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，當(dāng)容器的容積最大時(shí)，其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先畫出正四棱錐，設(shè)為的中點(diǎn)，則，則即為所求角的平面角，不妨設(shè)題中所給正方形的邊長為，，利用勾股定理求出，再根據(jù)棱錐的體積公式求出體積，再結(jié)合基本不等式求出體積最大時(shí)的值，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】如圖，正四棱錐為四棱錐，為底面對角線的交點(diǎn)，
則平面，
設(shè)為的中點(diǎn)，則，
則即為所求角的平面角，
不妨設(shè)題中所給正方形的邊長為，，
則，
故四棱錐的高，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，
此時(shí)，，
在中，，
所以當(dāng)容器的容積最大時(shí)，其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：
（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；
（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)植物覆蓋面積與某種野生動(dòng)物數(shù)量的關(guān)系，將其分成面積相近的若干個(gè)地塊，從這些地塊中隨機(jī)抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中，和，分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量（單位：只），并計(jì)算得.
（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷這種野生動(dòng)物的數(shù)量y（單位：只）和植物覆蓋面積x（單位：公頃）的相關(guān)程度；
（2）已知20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，從20個(gè)樣區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽到這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)的樣區(qū)的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.
附：相關(guān)系數(shù)
【答案】（1）0.94，相關(guān)性較強(qiáng)．
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可代入求解，
（2）根據(jù)超幾何概率的概率公式求解概率，即可得分布列.
小問1詳解】
樣本，，2，， 的相關(guān)系數(shù)為
．
由于相關(guān)系數(shù),，則相關(guān)性很強(qiáng)，的值越大，相關(guān)性越強(qiáng)．
故，故相關(guān)性越強(qiáng)．
【小問2詳解】
由題意得：的可能取值為0，1，2，
20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，有12個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量不低于樣本平均數(shù)，
所以，
，
，
所以的分布列為：
16. 如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，且與平面垂直，，.
（1）證明：平面；
（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角為？若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）見解析 （2）存在，且在的中點(diǎn).
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而根據(jù)線線垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理即可求證，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與方向向量的夾角即可求解.
【小問1詳解】
連接與，
由于四邊形為菱形，故
由于側(cè)面與平面垂直，且兩平面的交線是，側(cè)面，
故平面,平面,故,
又，平面，
故平面
【小問2詳解】
由（1）知平面，平面,
所以平面平面，且交線為,
由于故三角形為等邊三角形，
取中點(diǎn)為，則,平面，所以平面，
故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中軸與平行，
,
,
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
設(shè)，其中，,故，
故，化簡得，
解得，故
故存在，且在的中點(diǎn).
17. 已知數(shù)列中，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用遞推關(guān)系，把換成，得到兩式相減，得到，再累乘后可得到通項(xiàng)；
（2）用錯(cuò)位相減法求出，再將證明不等式作差，之后利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
作差可得，變形為，即，即，化簡為，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，，
作差可得，
所以，
，
設(shè)，則在給定區(qū)間上遞減，又
故在是減函數(shù)，，
所以當(dāng)時(shí)，.
18. 已知直線，動(dòng)點(diǎn)分別在直線上，，是線段的中點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，線段上一點(diǎn)滿足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知設(shè)，可得，設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得，代入化簡即可得出結(jié)果.
（2）設(shè)，則,,設(shè),,利用向量的坐標(biāo)計(jì)算化簡可得①.設(shè)，由可得②，結(jié)合在曲線上，可得的軌跡方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
根據(jù)條件可設(shè)，
∵，∴（*），
設(shè)，由題意知，∴，
代入（*）式得，故曲線的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，則,,設(shè),,
由，可知，
∴，∴①.
∵，設(shè)∴②.
①②可得（**），
∵在曲線上，∴，
∴，化簡得：，
（**）式代入可得，即.
∴的軌跡方程為：.
∴的最小值為到直線的距離.
∴.
19. 已知函數(shù).
（1）證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)，且；
（2）我們曾學(xué)習(xí)過“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，另一種常用的求零點(diǎn)近似值的方法是“牛頓切線法”.任取，實(shí)施如下步驟：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)；一直繼續(xù)下去，可以得到一個(gè)數(shù)列，它的各項(xiàng)是不同精確度的零點(diǎn)近似值.
（i）設(shè)，求的解析式；
（ii）證明：當(dāng)，總有.
【答案】（1）證明見解析
（2），證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；
（2）（i）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線在處的切線方程為，進(jìn)而得；
（ii）令，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明，再根據(jù)，證明即可得答案．
【小問1詳解】
，定義域?yàn)椋?br>所以，在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點(diǎn)，且；
【小問2詳解】
（i）由（1）知，
所以，曲線在處的切線斜率為，
所以，曲線在處的切線方程為，即，
令得，
所以，切線與軸的交點(diǎn)，即，
所以，；
證明：（ii）對任意的，由（i）知，曲線在,處的切線方程為：，
故令，
令，
所以，，
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng),時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，恒有，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
另一方面，由（i）知，，且當(dāng)時(shí)，，
（若，則，故任意，顯然矛盾），
因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，
所以，
因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，
所以，對任意的時(shí)，總有，
又因?yàn)椋?br>所以，對于任意，均有，
所以，，，
所以，
綜上，當(dāng)，總有．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：
1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；
3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
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