一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．（1，3）
C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合B，然后再求兩集合的并集即可.
【詳解】由，得，解得或，
所以或，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：C
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．1B．C．D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算即可得答案.
【詳解】由得，
故，
故選：B
3．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=
A．-3B．-2
C．2D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積.
【詳解】由，，得，則，．故選C．
【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，難度不大．
4．已知橢圓的方程為，則橢圓（ ）
A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16B．短軸長(zhǎng)為
C．焦距為2D．焦點(diǎn)為
【答案】B
【分析】先根據(jù)方程化簡(jiǎn)得到橢圓方程，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以橢圓是以為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓：，由題意，即；
由可知其方程為；
由方程可得長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，焦距為4，短軸長(zhǎng)為.
故選：B.
5．已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則（ ）
A．B．C．-2D．
【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決即可.
【詳解】由題意知在曲線上，所以.
又，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.
又因?yàn)榍€在點(diǎn)處切線的傾斜角為，所以切線的斜率為1.
故而.由解得，所以.
故選：B
6．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】由題意求出切線長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題可知圓的圓心為，半徑為，
設(shè)，則，有，
得，
當(dāng)時(shí)，.
故選：C.
7．已知數(shù)列滿足，記，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意求出，即可求出，即可判斷AB；根據(jù)題意可得，進(jìn)而可判斷CD.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，
所以，
所以，故AB錯(cuò)誤；
又，
所以，即，
所以，故C正確；
因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
8．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由商數(shù)關(guān)系及兩角差的正切公式將已知化為，得出，再根據(jù)二倍角的余弦公式即可得解.
【詳解】由，
所以，即，
.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由商數(shù)關(guān)系及兩角差的正切公式將已知化為，是解決本題的關(guān)鍵.
二、多選題
9．已知實(shí)數(shù)，則“”的充要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)及正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，
所以，所以是“”的充要條件，故A正確；
對(duì)于B，由，得，
當(dāng)時(shí)，無意義，
所以是“”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，
所以，所以是“”的充要條件，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
所以不是“”的充要條件，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．下列命題正確的是（ ）
A．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8
B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值分別是和4
C．若某校高三（1）班8位同學(xué)身高（單位）分別為：，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（即第75百分位數(shù)）為174
D．根據(jù)變量與的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)，且犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05
【答案】AB
【分析】根據(jù)可判斷A；對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得可判斷B；從小到大排列這組數(shù)據(jù)，由第75百分位數(shù)計(jì)算可判斷C；可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)可得數(shù)據(jù)的方差為，故A正確；
對(duì)于B，對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，因?yàn)椋?br>，所以的值分別是和4，故B正確；
對(duì)于C，從小到大可得這組數(shù)據(jù)為，，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（即第75百分位數(shù)）為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的情況下，可判斷與無關(guān)，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】對(duì)于A，在表達(dá)式中令結(jié)合已知即可驗(yàn)證；對(duì)于B，在表達(dá)式中令結(jié)合A選項(xiàng)分析即可驗(yàn)證；對(duì)于C，在表達(dá)式中令結(jié)合已知即可驗(yàn)證；對(duì)于D，結(jié)合B、C選項(xiàng)的分析即可驗(yàn)證.
【詳解】對(duì)于A，在中令，可得，
又，所以，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，在中令，可得，
又由A選項(xiàng)分析可知，所以，
所以，由實(shí)數(shù)具有任意性，所以，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C，在中令，結(jié)合，
故可得，所以，
由于實(shí)數(shù)具有任意性，所以，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，由C選項(xiàng)分析可知，而由B選項(xiàng)分析可知，
所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列命題正確的是（ ）
A．平面平面，且兩平面的距離為
B．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積恒等于四面體的體積
C．與正方體所有棱都相切的球的體積為
D．若是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點(diǎn)，是外接圓的圓周上任意一點(diǎn)，則的最小值是
【答案】BCD
【分析】根據(jù)面面平行的判定以及空間點(diǎn)面以及面面距離的求解判斷A；根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算判斷B；確定球的半徑即可求得球的體積，判斷C；將的最小值轉(zhuǎn)化為正方體的外接球和內(nèi)切球半徑之差，判斷D.
【詳解】對(duì)于A，正方體中，，
即四邊形為平行四邊形，故，
平面，平面，故平面，
同理可證平面，而平面，
故平面平面；
設(shè)B到平面的距離為d，，則,
即，則；
同理求得到到平面的距離為；
連接，則，由于平面平面，
故，平面，
故平面，平面，故，
同理可證，而平面，
故平面，而平面平面，則平面，
又，
故平面和平面之間的距離為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為；
而四面體的體積，
即當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積恒等于四面體的體積，B正確；
對(duì)于C，與正方體所有棱都相切的球的直徑為正方體面對(duì)角線長(zhǎng),
故該球體積為，C正確；
對(duì)于D，正方體的內(nèi)切球球心和正方體外接球球心是同一個(gè)點(diǎn)，即為正方體的中心，
外接球直徑為，內(nèi)切球直徑為1；
而外接圓為正方體外接球的一個(gè)小圓，
故由是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點(diǎn)，是外接圓的圓周上任意一點(diǎn)，
得的最小值為正方體的外接球半徑減去正方體球內(nèi)切球半徑，即，D正確，
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，特別是選項(xiàng)D的求解，求解兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離的最小值，要能想象出兩動(dòng)點(diǎn)分別在正方體的內(nèi)切球和外接球上運(yùn)動(dòng)，從而可求得距離的最小值.
三、填空題
13．某校擬從2名教師和4名學(xué)生共6名黨史知識(shí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀者中隨機(jī)選取3名，組成代表隊(duì)，參加市黨史知識(shí)競(jìng)賽，則要求代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的選法共有 種．
【答案】16
【分析】既有教師又有學(xué)生的選法分為有1名教師和2名學(xué)生和有2名教師和1名學(xué)生，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可求得答案.
【詳解】由題意得從6名黨史知識(shí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀者中隨機(jī)選取3名，
其中有1名教師和2名學(xué)生的選法有種，
有2名教師和1名學(xué)生的選法有種，
故代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的選法共有（種），
故答案為：16
14．已知圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓．則圓錐的高為 ．
【答案】
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，再根據(jù)圓錐的表面積公式求出，再利用勾股定理即可得解.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，
由于圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，
故有，
即圓錐母線長(zhǎng)為，
又圓錐的表面積為，
解得，所以，
所以圓錐的高為.
故答案為：.
15．設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由，得，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
16．雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右支上有一點(diǎn)M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為 ．
【答案】/
【分析】由圓的切線性質(zhì)及雙曲線定義，可得關(guān)系式，
，從而解出、，利用勾股定理可解.
【詳解】?jī)?nèi)切圓Q分別與，，，軸切于點(diǎn)S，T，N，P
則四邊形、都為正方形，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由圓的切線性質(zhì)，
則，則 ，①
又因?yàn)?，?br>且雙曲線定義得，，③
由①、②、③得，
所以，
從而，
由勾股定理，，所以，解得．
故答案為：
四、解答題
17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見詳解.
【分析】（1）利用基本量計(jì)算即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和得到即可.
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以；
（2），
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以.
18．如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，平面，E是的中點(diǎn)．
(1)若的中點(diǎn)是M，求證：平面；
(2)若，求平面與平面所成二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取PC的中點(diǎn)F，連接EM，DF，F(xiàn)M，再根據(jù)已知得四邊形DEMF是平行四邊形，得到，然后利用線面平行的判定定理證明；
（2）由平面，，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PCE的一個(gè)法向量，平面PAB的一個(gè)法向量為 ，由 求解可得答案.
【詳解】（1）如圖所示：
取PC的中點(diǎn)F，連接EM，DF，F(xiàn)M，
因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，E是的中點(diǎn)，
所以，，
所以，
所以四邊形DEMF是平行四邊形，
所以，又平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD.
（2）由平面，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以 ，
設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為 ，
則，即 ，
令 ，得，
易知平面PAB的一個(gè)法向量為 ，
則 ，
設(shè)平面與平面所成二面角為，
所以.
19．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A為銳角，.
（1）求A；
（2）若，且邊上的高為，求的面積.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先用余弦定理化余弦為邊，再用正弦定理化邊為角從而求得；
（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面積用兩種方法表示求得，從而可計(jì)算出面積．
【詳解】（1）由得，
由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，是三角形內(nèi)角，，
所以，又A為銳角，所以．
（2）由（1），，
所以，即，，
，
．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式．利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化是解題關(guān)鍵．三角形的面積采取了二次計(jì)算，通過不同的計(jì)算方法得出等式，從而求解．這是一種解題技巧．
20．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有最小值，證明：．
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論；時(shí)取最小值；當(dāng)時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)有最小值，結(jié)合要證明的不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值為1，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?br>則，
由于，故令，解得，
令，解得，
故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
（2）由于，故，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無最小值；
當(dāng)時(shí)，令，解得，即在上單調(diào)遞減，
令，解得，即在上單調(diào)遞增，
故在是取極小值也是最小值，
即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
故，即，
所以，
即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，解答時(shí)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的最小值的表達(dá)式，結(jié)合要證明的不等式，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最大值為1，即可解決問題.
21．某商場(chǎng)擬在周末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：該游戲進(jìn)行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結(jié)束：否則繼續(xù)游戲，直至10輪結(jié)束．已知該游戲第一次獲勝的概率是，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是，若上一次失敗則下一次成功的概率是．記消費(fèi)者甲第次獲勝的概率為，數(shù)列的前項(xiàng)和，且的實(shí)際意義為前次游戲中平均獲勝的次數(shù)．
(1)求消費(fèi)者甲第2次獲勝的概率；
(2)證明：為等比數(shù)列；并估計(jì)要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎(jiǎng)．
【答案】(1)
(2)詳見解析
【分析】（1）應(yīng)用全概率公式計(jì)算可得出；
（2）計(jì)算得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；再結(jié)合分組求和計(jì)算判斷最少輪數(shù)即可.
【詳解】（1）
（2）
,
,
,
為等比數(shù)列, 且公比為；.
,
因?yàn)閱握{(diào)遞增，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， ，所以得獲獎(jiǎng)至少要玩9輪.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，得獎(jiǎng)至少要玩10輪，
所以平均至少要玩9輪才可能獲獎(jiǎng).
22．已知x軸被動(dòng)圓C截得的弦長(zhǎng)為6，動(dòng)圓C過定點(diǎn)．
(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程；
(2)點(diǎn)M是曲線E上的動(dòng)點(diǎn)，其縱坐標(biāo)大于2，過點(diǎn)M作圓的兩條切線分別與x軸交于點(diǎn)P，Q，求面積最小時(shí)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．
【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓的圓心C的坐標(biāo)為，圓C半徑為r，用兩種方式表示r即可得E軌跡方程；
（2）設(shè)，兩條切線方程斜率為.由切線到圓距離等于半徑結(jié)合韋達(dá)定理可得，表達(dá)式，結(jié)合，可得表達(dá)式，后利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得答案.
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，
由動(dòng)圓C過定點(diǎn)A（0，3），得①，
由x軸被動(dòng)圓C截得的弦長(zhǎng)為6，得②，
聯(lián)立①②，消去r即可得，化簡(jiǎn)得，
故曲線E的方程為．
（2）由題設(shè)，則，．
易知直線MP，MQ的斜率均存在且不為0，
設(shè)，令，可得，
設(shè)，令，可得
由于直線MP與圓相切，所以，
化簡(jiǎn)可得，
同理可得，
故，是關(guān)于k的方程的兩個(gè)根，，
所以，．
故，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，，則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值．
所以當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題（2）為切線問題，本題利用切線到圓心距離為半徑，得到，是關(guān)于k的同一個(gè)二次方程的兩個(gè)不同根，從而得到，關(guān)系，繼而得到三角形面積表達(dá)式，后由于表達(dá)式過于復(fù)雜，故采用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決最值問題.

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