一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、，不是最簡二次根式，不符合題意；
B、，不是最簡二次根式，不符合題意；
C、含有分母，不是最簡二次根式，不符合題意；
D、是最簡二次根式，符合題意；
故選：D．
2. 若是一元二次方程的一個解，則的值為（ ）
A. 1B. C. 0 D. 2
【答案】C
【解析】是一元二次方程的一個解，
∴，
解得，，
故選：C ．
3. 用配方法解一元二次方程時，下列變形正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
配方得，，
即，
故選：．
4. 要使，的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，，
∴，
故選：B ．
5. 如圖，，直線、與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．若，，，則的長為（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】∵，
，即，
解得：．
故選：C．
6. 如圖，在中，，，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，，
，
，
故選：C．
7. 如圖①是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實物圖，圖②是它的側(cè)面示意圖，與相交于點O，，根據(jù)圖②中的數(shù)據(jù)可得x的值為（ ）

A. 1B. 0.96C. 0.8D. 1.2
【答案】D
【解析】如圖所示：過點作于點，交于點，則

∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故選：D．
8. 2021年我國新增高效節(jié)水灌溉面積188萬，如果要使2021年至2023年三年新增高效節(jié)水灌溉面積總和為622.28萬，設(shè)2022年、2023年兩年新增高效節(jié)水灌溉面積年均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意可得：．
故選：B．
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．
9. 若二次根式有意義，則正整數(shù)的值可以是______．（寫出一個即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】二次根式有意義，
，解得，
當(dāng)為正整數(shù)時，的值可取，
故答案為：（答案不唯一）．
10. 若（x、y、z均不為零），則______．
【答案】
【解析】∵（x、y、z均不為零），
∴設(shè)，則，，
∴．
故答案為：．
11. 已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是____．
【答案】
【解析】∵有實數(shù)根，
∴，
∴．
故答案為：．
12. 在一個不透明的袋中裝有若干個紅球，為了估計袋中紅球的個數(shù)，小明在袋中放入個黑球（每個球除顏色外其余都與紅球相同），搖勻后每次隨機(jī)從袋中摸出一個球，記下顏色后放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋中紅球約有______個．
【答案】
【解析】設(shè)袋中紅球約有個，
由題意得，，解得，
∴袋中紅球約有個，
故答案為：．
13. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點是坐標(biāo)原點，點在的延長線上，與關(guān)于點位似．若，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】∵與關(guān)于點位似，，
∴，
∴，
∵，點在第三象限，
∴，∴，
故答案為： ．
14. 如圖，在正方形中，點F是邊上一點（不與點C和點D重合），連結(jié)，以為對角線作正方形，邊與正方形的對角線相交于點H，連結(jié)．給出下面四個結(jié)論：
①；②；③等于；
④當(dāng)點F是邊的中點時，點H是邊的中點．
上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有______．
【答案】②③④
【解析】∵四邊形和都是正方形，
∴，
∴，
∴，
假設(shè)，
則，
此時是的角平分線，
即當(dāng)是的角平分線，，
題干沒提及是的角平分線，則①的說法是不正確的；
∵四邊形和都是正方形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
即
∵，
∴，
故②的說法是正確的；
∵四邊形是正方形，
∴，
由②得，，
∴，
故③的說法是正確的；
∵四邊形和都正方形，
∴，
∵點F是邊的中點，
∴設(shè)
∴，
在中， ，
在中， ，
∴，
在中， ，
∵在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點H是邊的中點．
故④的說法是正確的；
故答案為：②③④.
三、解答題：本題共10小題，共78分．
15. 計算：．
解：
．
16. 解方程：．
解：∵，
∴，
∴，
解得：．
17. 某大型商場為回饋新老顧客，進(jìn)行有獎促銷活動．活動規(guī)定：每購買500元的商品即可獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤（如圖）的機(jī)會，轉(zhuǎn)盤指針停在哪個區(qū)域（若指針恰好停在分割線上，則重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一區(qū)域為止）就可以得到該區(qū)域相應(yīng)金額的代金券，其中質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤被平分為一等獎100元，二等獎50元和謝謝參與三個區(qū)域．若顧客甲獲得了兩次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會，請用列表或畫樹狀圖的方法，求他一共獲得100元代金券的概率．
解：根據(jù)題意，樹狀圖如下：
∴所有可能的結(jié)果數(shù)有個，符合條件的結(jié)果數(shù)有個；
∴P（一共獲得100元代金券）．
18. 學(xué)校課外生物小組的試驗園地是長米、寬米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道（如圖），要使種植面積為平方米，求小道的寬？

解：設(shè)小道的寬為米，則把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊可得矩形的長為米，寬為米，
依題意得∶，
整理，得，
解得：或(不合題意舍去)．
故小道的寬為2米．
19. 如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)點，在近岸取點和，使點，，共線且直線與河垂直，接著在過點且與垂直的直線上選擇適當(dāng)?shù)狞c，確定與過點且垂直的直線的交點．已測得，，，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計算河寬．
解：∵，，
∴．
∴
即，．
．
解得．
答：河寬大約為．
20. 圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）在圖①中，在邊上找到一點M，連結(jié)，使；
（2）在圖②中，在邊上找到一點M，連結(jié)，使；
（3）在圖③中，在邊上找到一點M，連結(jié)，使．
解：（1）如圖①中，點M即為所求；
（2）如圖②中，點M即為所求；
（3）如圖③中，點M即為所求．
．
21. 在綜合實踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解決實際問題．實踐報告如下：
實踐報告
請你幫助興趣小組解決以上問題．
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
解：過作交于，
由測量步驟可得：
四邊形、四邊形、
四邊形、四邊形均是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，；
故兩幢樓樓頂B，D之間的距離為米．
22. 【綜合與實踐】如圖①，在矩形中，，，點分別在邊，上，連接，相交于點，．若，則______；
【類比探究】小明同學(xué)在學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：
如圖②，在平行四邊形中，，，點分別在邊，上，連接，相交于點，．求證：．
小明發(fā)現(xiàn)，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接．通過等腰三角形和平行四邊形的性質(zhì)可證明．再利用相似三角形的性質(zhì)即可得到問題的答案．下面是小明的部分證明過程：
證明：如圖③，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接．
，
,
∵四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
，
．
請你補(bǔ)全余下的證明過程．
【拓展遷移】如圖④，在四邊形中，，，，，點在邊上，為的中點，連接，相交于點．若，則的長為______．
解：[綜合與實踐]
∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
[類比探究]
證明：如圖③，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，
∵，
∴,
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴．
[拓展遷移]
∵，
∴，，
如圖所示，延長作延長線的垂線，垂足為點，則，
∴，，
∵，點是的中點，
∴，
中，，，
∴，
在中，，
如圖所示，過點作的平行線，交延長于點，以點為圓心，以為半徑畫弧交于點，連接，則四邊形是平行四邊形，，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，且，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
23. 問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．
解：設(shè)所求方程的根為y，則，所以，把代入已知方程，
得．
化簡，得，故所求方程為．
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）
（1）已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為______．
（2）已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別比已知方程根小1，則所求方程為______．
（3）已知關(guān)于x的一元二次方程（）有兩個實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．
解：（1）設(shè)所求方程的根為y，則，
所以，
把代入，得．
化簡得；
（2）設(shè)所求方程的根是y，則，所以，
把代入方程，得，
化簡，得；
（3）設(shè)所求方程的根為y，則，所以，
把代入，得．
化簡得．
24. 如圖，在中，，，．動點從點出發(fā)，沿折線方向向終點運動，點在邊上的速度為每秒個單位長度，在邊上的速度為每秒個單位長度，點不與點和點重合．過點向邊作垂線段，垂足為點，以、為鄰邊作平行四邊形，連結(jié)．設(shè)點的運動時間為秒（）．
（1）邊的長度為______；
（2）當(dāng)點在邊上運動時．
①若與相似，求出的值；
②若是以為腰的等腰三角形，求出t的值；
（3）作直線，當(dāng)直線將平行四邊形分成面積比為兩部分時，直接寫出的值．
解：（1）在中，，，，
∴，
故答案為：；
（2）∵四邊形是平行四邊形，
∴，
①第一種情況，如圖所示，若時，則，
∴，∴，解得，；
第二種情況，如圖所示，，則點線段上，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴設(shè)，則，
∵，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
解得，；
綜上所述，或；
②第一種情況，如圖所示，，
同理，設(shè)，則，
∴，
解得，∴，∴，解得，；
第二種情況，如圖所示，，過點作于點，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
解得，；
綜上所述，或；
（3）第一種情況，當(dāng)點在上時，
在中，，，
如圖所示，設(shè)與交于點，
∵直線將平行四邊形分成面積比為的兩部分，
∴，
∴，
∴，則，
∵，
∴，
∴，
解得，；
第二種情況，如圖所示，當(dāng)點在上時，設(shè)點在上運動的時間為秒，設(shè)與交于點，過點作，交于點，過點作于點，
∴，則，
∴，，
∵直線將平行四邊形分成面積比為的兩部分，
∴同理可得，，即，
∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，解得，∴；
綜上所述，或．活動課題
測量兩幢樓樓頂之間的距離
活動工具
測角儀、皮尺等
測量過程
【步驟一】如圖，在樓和樓之間豎直放置測角儀，其中測角儀的底端M與樓的底部A，C在同一條水平直線上，圖中所有點均在同一平面內(nèi)；
【步驟二】利用測角儀測出樓頂B的仰角，樓頂D的仰角；
【步驟三】利用皮尺測出米，米．
解決問題
根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算兩幢樓樓頂B，D之間的距離．

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