注意事項(xiàng)：
1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上；
2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效；
3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效；
4.測(cè)試范圍：必修一、必修二占，選擇性必修一、必修二和必修三的第七章第八章占；
5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
故選：B．
2. 6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有（ ）
A. 36種B. 72種C. 144種D. 720種
【答案】C
【解析】甲、乙、丙三人在一起，有種不同的排法，
把甲、乙、丙看成一個(gè)整體，與其余的3個(gè)人混排，共有種不同的排法，
故共有種，
故選：C.
3. 在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過(guò)第一關(guān)概率為，連續(xù)闖過(guò)前兩關(guān)的概率為. 事件表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依題意，
則，
故選：C.
4. 焦點(diǎn)在軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為，焦距為的橢圓方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題意得，，又c2=a2-b2，
解得，
故橢圓方程為.
故選：D
5. 曲線（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)處的切線方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題可知，，則，
∴，又，
∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
故選：B.
6. 對(duì)A，B兩地國(guó)企員工上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可知兩地國(guó)企員工的上班遲到時(shí)間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時(shí)間為X（單位：min），，對(duì)應(yīng)的曲線為，B地員工的上班遲到時(shí)間為Y（單位：min），，對(duì)應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，故曲線的對(duì)稱軸在曲線的左側(cè)，排除C、D；
由，故曲線比曲線瘦高，曲線比曲線矮胖，排除A.
故選：B．
7. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】將平方得，
所以，則．
所以，
從而．
聯(lián)立，得．
所以，．
故．
故選：D
8. 記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意由可得，所以，
兩式相除可得，整理可得，
即，
所以，
，
，
累加可得，
由可得；
所以；
結(jié)合可得，
所以；
易知符合上式，所以可得；
即數(shù)列bn為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，
因此數(shù)列bn的前20項(xiàng)和為.
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 該展開(kāi)式中共有6項(xiàng)B. 各項(xiàng)系數(shù)之和為1
C. 常數(shù)項(xiàng)為D. 只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
【答案】BD
【解析】因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為64，即有，所以，
則該展開(kāi)式中共有7項(xiàng)，A錯(cuò)誤；
令，得該展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，B正確；
通項(xiàng)，
令，得，，C錯(cuò)誤；
二項(xiàng)式系數(shù)最大的是，它是第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，D正確．
故選：BD.
10. 設(shè)圓C：，直線l：，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. C的半徑為2
B. l恒過(guò)定點(diǎn)
C. l可能與C相切
D. 當(dāng)時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)最短
【答案】ABD
【解析】對(duì)A，，所以的半徑為2，故A正確；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，故B正確；
對(duì)C，將代入圓方程有，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，
故直線與圓一定相交；
對(duì)D，圓心，設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)，則當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，
被截得的弦長(zhǎng)最短，故，即，則，故D正確.
故選：ABD.
11. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為底面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為
B. 存在點(diǎn)，使得平面
C. 若平面，則動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為
D. 當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為11π
【答案】ACD
【解析】A選項(xiàng)，如圖，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
所以過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面為梯形，
其周長(zhǎng)為，故A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，
則，得只能在線段上，
再由，得只能在線段上，即與重合，不符合題意，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，如圖，取的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)，
連接，，，可得，，
又平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，所以平面平面，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段，其長(zhǎng)度為，故C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，由A，C選項(xiàng)可得，平面平面，
所以當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，到平面的距離最大，此時(shí)為等邊三角形，
因?yàn)槠矫妫匀忮F的外接球球心一定在直線上，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè)，
由得，，解得，
所以，
所以三棱錐外接球的表面積為，故D選項(xiàng)正確．
故選：ACD．
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知隨機(jī)變量，則______.
【答案】
【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，
故答案為：
13. 已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，其右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)，所以，右焦點(diǎn)F(c,0)，
雙曲線的漸近線為y=±bax，
由對(duì)稱性，不妨取漸近線為，即，
點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離，
所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
14. 已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】，
由題意知在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
將其變形為，設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
的極大值為.
畫出函數(shù)的大致圖象如圖，
易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
，即.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．
（1）求的值；
（2）若，求的面積．
解：（1），，則．又，所以．
（2），，
因?yàn)椋瑒t，故的面積．
16. 2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開(kāi)業(yè)了，首期共有70個(gè)攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開(kāi)業(yè)，推動(dòng)潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑.為了解游客對(duì)潮州美食的滿意度，隨機(jī)對(duì)100名游客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（滿分100分）,這100名游客的評(píng)分分別落在區(qū)間,，，，內(nèi)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如頻率分布直方圖所示．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評(píng)分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值為代表）；
（2）為了進(jìn)一步了解游客對(duì)潮州美食的評(píng)價(jià)，采用分層抽樣的方法從滿意度評(píng)分位于分組，，的游客中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評(píng)分位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：
．
（2）由題意可知，和的頻率之比為：，
故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，
隨機(jī)變量的取值可以為，
，，
，，
故的分布列為：
所以
17. 已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)與雙曲線E：的右焦點(diǎn)重合，雙曲線E的漸近線方程為.
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）斜率為1且縱截距為-2的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積
解：（1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線方程為.
所以，解得，從而，即，
所以右焦點(diǎn)為2,0，從而，解得，
拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程依次分別為，.
（2）由題意直線，它過(guò)拋物線的焦點(diǎn)2,0，
聯(lián)立拋物線方程得，化簡(jiǎn)并整理得，
顯然，，
所以，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以，即的面積為.
18. 如圖,在四棱錐中,底面為矩形，面，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上（異于點(diǎn)），且，求直線與平面所成角的余弦值．
解：（1）因?yàn)椋c(diǎn)為中點(diǎn)，則
因?yàn)槊?，面，所以面面?br>又底面為矩形，則，
因?yàn)槊婷?，面?br>所以面，所以，
因?yàn)椋妫?br>所以面，又面，
所以；
（2）由已知得AB,AD,AP兩兩垂直，設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得
又，設(shè)，
即，所以，
又，
所以，解得或（舍去），
所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的余弦值為.
19. 已知函數(shù).
（1）求的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）求導(dǎo)得
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以有極小值，無(wú)極大值.
（2）由題知不等式在上恒成立，
則原問(wèn)題等價(jià)于不等式在上恒成立，
記，
則
記則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，又，，
所以存在，使得hx0=0，
即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由得，
即，
所以，
.0
1
2
3
130

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