1.已知集合A={x|x3≤1}，B={x|x+2>0}，則A∩B=( )
A. (?2,1]B. (0,1]C. [?2,1]D. [0,1]
2.已知復數(shù)z滿足z(1+i)=2，則z?的虛部為( )
A. 1B. ?1C. iD. ?i
3.m=0是直線3x?4y+m=0與圓(x?2)2+(y+1)2=4相切的( )
A. 充分必要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
4.將函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象上所有的點向左平移π6個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的12倍(縱坐標不變)，得到的圖象所表示的函數(shù)是( )
A. y=sin(x+π6),x∈RB. y=sin(x+π3),x∈R
C. y=sin(4x+π6),x∈RD. y=sin(4x+π3),x∈R
5.函數(shù)f(x)=xln1+x1?x的大致圖象為( )
A. B.
C. D.
6.甲、乙、丙、丁4名學生參加數(shù)學競賽，在成績公布前，4人作出如下預測：甲說：乙第一；乙說：丁第一；丙說：我不是第一；丁說：乙第二.公布的成績表明，4名學生的成績互不相同，并且有且只有1名學生預測錯誤，則預測錯誤的學生是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7.如圖，在直棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=CC1，AB⊥BC，E為BC的中點，F(xiàn)為B1C1的中點，則異面直線AF與C1E所成角的正弦值為( )
A. 52
B. 23
C. 2 55
D. 53
8.設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點.P為雙曲線C右支上一點，若∠F1PF2=π2，|PF2|=2a，則雙曲線C的離心率為( )
A. 5B. 2C. 3D. 2
9.若某程序框圖如圖所示，已知該程序運行后輸出S的值是511，則判斷框的條件可能是( )
A. k≥9
B. k>10
C. k>11
D. k>12
10.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算法》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1至2023這2023個數(shù)中，能被5除余1且被7除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項數(shù)為( )
A. 56B. 57C. 58D. 59
11.若點P是曲線y=lnx?x2上任意一點，則點P到直線l：x+y?4=0距離的最小值為( )
A. 22B. 2C. 2 2D. 4 2
12.已知三棱錐P?ABC的所有頂點都在球O的表面上，△ABC是邊長為4 3的等邊三角形，若三棱錐P?ABC體積的最大值是32 3，則球O的表面積是( )
A. 100πB. 160πC. 200πD. 320π
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.設x，y滿足約束條件4x+3y?5≥0x≤3y≤3，則z=?x+y的最小值為______．
14.已知向量a與b的夾角為30°,|a|=1,|b|= 3，則|a?2b|= ______．
15.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn=2an+1，則a6= ______．
16.已知點M(0,4)，點P在拋物線x2=8y上運動，點Q在圓x2+(y?2)2=1上運動，則|PM|2|PQ|的最小值為______．
三、解答題：本題共7小題，共84分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題12分)
△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acsC+ccsA=btanA．
(1)求A；
(2)若a= 5,b= 2，求△ABC的面積．
18.(本小題12分)
2023年春節(jié)期間，科幻電影《流浪地球2》上映，獲得較好的評價，也取得了很好的票房成績，某平臺為了解觀眾對該影片的評價情況(評價結果僅有“好評”“差評”)，從平臺所有參與評價的觀眾中隨機抽取400人進行調查，數(shù)據(jù)如表所示(單位：人)：
(1)把2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.5%的把握認為“對該部影片的評價與性別有關”？
(2)從隨機抽取的400人中所有給出“好評”的觀眾中采用按男女分層抽樣的方法隨機抽取7人參加平臺和影片出品方組織的活動，為了方便活動，現(xiàn)從7人中隨機選出2人作為正、副領隊，求所選出的正、副領隊是一男一女的概率．
參考公式：K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d，
參考數(shù)據(jù)：
19.(本小題12分)
如圖(1)，在等腰梯形ABCD中，AB/?/CD，AB=BC=AD=12CD=2，P為CD中點．以AP為折痕將△ADP折起，使點D到達點S的位置，如圖(2)．
(1)求證：SB⊥AP；
(2)若SB= 6，求點C到平面SPB的距離．
20.(本小題12分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點為F(2,0)，且離心率為 63．
(1)求橢圓C的方程；
(2)不過原點O的直線l：y=x+m與橢圓C交于A，B兩點，求△ABO面積的最大值及此時直線l的方程．
21.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=lnx?2ax．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；
(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范圍；
(3)證明：20222023>20232022．
22.(本小題12分)
在平面直角坐標系xOy中，直線l的傾斜角為α且過點M(1,1).以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2．
(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；
(2)若直線l與曲線C交于不同的兩點A、B.求||AM|?|MB||的最大值．
23.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=|2x?a|+2|x+1|．
(1)當a=2時，求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≤2a+1成立，求實數(shù)a的取值范圍．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵A={x|x3≤1}={x|x≤1}，B={x|x+2>0}={x|x>?2}，
∴A∩B={x|?20)，
令1x?2x=?1，則(x?1)(2x+1)=0，
∵x>0，∴x=1，得y=?1，
即平行于直線x+y?4=0且與曲線y=lnx?x2相切的切點坐標為(1,?1)，
由點到直線的距離公式可得點P到直線x+y?4=0的距離的最小值d=|1?1?4| 2=2 2．
故選：C．
求出平行于直線x+y?4=0且與曲線y=lnx?x2相切的切點坐標，再利用點到直線的距離公式可得結論．
本題考查點到直線的距離公式的應用，函數(shù)的導數(shù)的求法及導數(shù)的意義，考查化歸與轉化思想，是基礎題．
12.【答案】A
【解析】解：設△ABC外接圓的半徑為r，則r=4 32sin60°=4，
設球O的半徑為R，當三棱錐P?ABC的高最大時，體積取最大值，高的最大值h= R2?42+R．
所以13× 34×(4 3)2×( R2?42+R)=32 3，即 R2?42+R=8，解得R=5．
故球O的表面積是4πR2=100π．
故選：A．
設球O的半徑為R，△ABC的外心為O1，由題意可得△ABC外接圓的半徑r及面積，高的最大值為h= R2?r2+R，代入體積公式，結合題意可求得R值，代入球的表面積公式即可得答案．
本題考查球的表面積計算，考查運算求解能力，屬于基礎題．
13.【答案】?163
【解析】解：作出可行域如下圖陰影部分所示，
由圖象可知，平移直線?x+y=0至過點A時，目標函數(shù)z=?x+y取得最小值，
聯(lián)立x=34x+3y?5=0，解得x=3y=?73，即A(3,?73)，
則z=?x+y的最小值為?3?73=?163．
故答案為：?163．
作出可行域，根據(jù)圖象，找到最優(yōu)解，進而得到所求最小值．
本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結合思想以及運算求解能力，屬于基礎題．
14.【答案】 7
【解析】解：因為向量a與b的夾角為30°,|a|=1,|b|= 3，
所以a?b=|a|?|b|cs30°=1× 3× 32=32，
所以|a?2b|= (a?2b)2= a2?4a?b+4b2= 12?4×32+4×( 3)2= 1?6+12= 7．
故答案為： 7．
由向量的模長公式和數(shù)量積的定義求解即可．
本題考查平面向量的數(shù)量積，屬于基礎題．
15.【答案】?32
【解析】解：Sn=2an+1，
當n=1時，S1=2a1+1，∴a1=?1，
當n≥2時，Sn?1=2an?1+1，兩式相減可得an=2an?2an?1，
∴an=2an?1，即anan?1=2，
∴數(shù)列{an}是首項為?1，公比為2的等比數(shù)列，
∴a6=?25=?32．
故答案為：?32．
當n=1求出a1的值，當n≥2時利用公式an=Sn?Sn?1可得數(shù)列{an}是首項為?1，公比為2的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求解即可．
本題主要考查了數(shù)列的遞推式，考查了等比數(shù)列的性質，屬于中檔題．
16.【答案】4
【解析】解：設圓心為F，則F為拋物線x2=8y的焦點．設P(x,y)，則|PF|=y+2，
要使|PM|2|PQ|最小，則需|PQ|最大，|PQ|max=|PF|+1=y+3，且|PM|= x2+(y?4)2= y2+16，
∴|PM|2|PQ|=y2+16y+3=(y+3)2?6(y+3)+25y+3=y+3?6+25y+3≥2 (y+3)?25y+3?6=4，
當且僅當y+3=25y+3，即y=2時取等號，
∴|PM|2|PQ|的最小值是4．
故答案為：4．
由已知可得|PM|2|PQ|=y2+16y+3，利用基本不等式可求|PM|2|PQ|的最小值．
本題考查求最小值問題，考查拋物線的性質，考查基本不等式的應用，屬中檔題．
17.【答案】解：(1)已知acsC+ccsA=btanA，
由正弦定理可得sinAcsC+csAsinC=sinBtanA，
整理得sin(A+C)=sinB=sinBtanA，
因為sinB>0，所以tanA=1，因為A∈(0,π)，所以A=π4．
(2)由余弦定理可得a2=b2+c2?2bccsA，即5=2+c2?2 2c× 22，
即c2?2c?3=0，解得c=3或c=?1(舍)，
所以△ABC的面積為12×3× 2×sinπ4=32．
【解析】(1)根據(jù)正弦定理，結合三角形內角和求解即可；
(2)根據(jù)余弦定理可得c=3，再根據(jù)面積公式求解即可．
本題考查解三角形，正余弦定理的應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．
18.【答案】解；(1)2×2列聯(lián)表補充完整如下：
K2=400×(120×110?90×80)2210×190×200×200≈9.023>7.879，
因此有99.5%的把握認為“對該部影片的評價與性別有關”．
(2)采用分層抽樣的方法從男性給出“好評”者中抽取的人數(shù)為120×7210=4人，記作a，b，c，d；
從女性給出“好評”者中抽取的人數(shù)為90×7210=3人，記作A，B，C，
所以從7人中抽取2人包含的基本事件有ab，ac，ad，aA，aB，aC，bc，bd，bA，bB，bC，cd，cA，cB，cC，dA，dB，dC，AB，AC，BC，共21個，
其中包含一男一女的基本事件有aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，dA，dB，dC，共12個，
故所求概率P=1221=47．
【解析】(1)由題意進行數(shù)據(jù)分析，完善2×2列聯(lián)表，套公式求出K2，對照參數(shù)下結論；
(2)列舉基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解．
本題主要考查了獨立性檢驗的應用及古典概率公式的應用，屬于中檔題．
19.【答案】解：(1)證明：在圖1中，∵AB/?/CD，AB=BC=AD=12CD=2，P為CD中點，
∴四邊形ABCP是菱形，且△DAP是等邊三角形，即圖2中△SAP是等邊三角形．
連結BP，則BP=AB=AP，即△BAP是等邊三角形．
設AP中點為E，連結EB，ES，則AP⊥ES，AP⊥EB，
又∵ES∩EB=E，ES，EB?平面SEB，∴AP⊥平面SEB．
∵SB?平面SEB，∴SB⊥AP；
(2)解：由(1)得SE=BE= 3．
又SB= 6，∴SE2+BE2=SB2，得SB⊥BE．
又SE⊥AP，AP∩BE=E，AP，BE?平面ABCP，
∴SE⊥平面ABCP，即SE為三棱錐S?PBC的高．
設點C到平面SPB的距離為d，在△SPB中，SP=PB=2，SB= 6，
∴S△SPB=12× 6× 102= 152，
由VC?SPB=VS?PBC，有13× 152×d=13× 34×4× 3，
∴d=2 155，
即點C到平面SPB的距離為2 155．
【解析】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關系的判定及其應用，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．
(1)設AP中點為E，連結EB，ES，則AP⊥ES，AP⊥EB，可得AP⊥平面SEB.進一步得到SB⊥AP；
(2)由(1)得SE=BE= 3.然后證明SE⊥平面ABCP，即SE為三棱錐S?PBC的高．然后利用等積法即可求得點C到平面SPB的距離．
20.【答案】解：(1)由已知得c=2，由離心率e=ca= 63得a= 6，
∴b= a2?c2= 2，
∴橢圓C的方程為x26+y22=1．
(2)設A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立x26+y22=1y=x+m，可得4x2+6mx+3m2?6=0，
∵直線l：y=x+m與橢圓E交于A，B兩點，∴Δ=36m2?16(3m2?6)>0，解得m20，當x∈(12a,+∞)時，f′(x)=1?2axx0時，f(x)在(0,12a)上單調遞增，在(12a,+∞)上單調遞減．
(2)f(x)的定義域為(0,+∞)，若f(x)≤0恒成立，
則lnx?2ax≤0恒成立，即2a≥lnxx恒成立，
令g(x)=lnxx，只需2a≥g(x)max，
又g′(x)=(lnx)′?x?lnx?x′x2=1?lnxx2，
令g′(x)=0得x=e，當x∈(0,e)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；
當x∈(e,+∞)時，g′(x)20232022，只需證明ln20222023>ln20232022，
即2023ln2022>2022ln2023，即只需證明ln20222022>ln20232023，
由(2)可知g(x)=lnxx在(e,+∞)單調遞減，
∴g(2022)>g(2023)，故ln20222022>ln20232023，
∴20222023>20232022．
【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調性即可；
(2)分離參數(shù)a，令g(x)=lnxx，只需2a≥g(x)max，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可；
(3)問題轉化為只需證明ln20222022>ln20232023，由(2)可知g(x)=lnxx在(e,+∞)單調遞減，g(2022)>g(2023)，從而證明結論成立．
本題考查了函數(shù)的單調性，最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉化思想，考查函數(shù)恒成立問題，不等式的證明，是難題．
22.【答案】解：(1)直線l的傾斜角為α且過點M(1,1).轉換為參數(shù)方程為：x=1+tcsα y=1+tsinα (t為參數(shù))；
曲線C的極坐標方程為ρ=2，根據(jù)x=ρcsθ y=ρsinθ x2+y2=ρ2 ，轉換為直角坐標方程為x2+y2=4；
(2)把直線的參數(shù)方程：x=1+csαt y=1+sinαt (t為參數(shù))代入圓的方程x2+y2=4；
得到：t2?2(csα+sinα)t?2=0，
所以：t1+t2=2csα+2sinα，t1t2=?2，
所以：||AM|?|MB||=|t1+t2|=2 2|sin(α+π4)|，
當α=π4時，最大值為2 2．
【解析】(1)直接利用轉換關系，在參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換；
(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關系式求出結果．
本題考查的知識要點：參數(shù)方程，極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．
23.【答案】解：(1)當a=2時，|2x?2|+2|x+1|≤5，
當x≤?1時，2?2x?2(x+1)≤5，解得x≥?54，
故?54≤x≤?1，
當?1

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