1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥1}，則（?RB）∩A＝（ ）
A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，1}D．{1，2}
2．（5分）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有（ ）
A．36種B．72種C．144種D．720種
3．（5分）在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為．事件A表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件B表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）焦點在y軸上，且長軸長與短軸長之比為4：1，焦距為的橢圓方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）曲線f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）在點（1，f（1））處的切線方程是（ ）
A．x+y+1＝0B．2ex+y＝0C．3x+y+1＝0D．2ex+y+1＝0
6．（5分）對A，B兩地國企員工的上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計，可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時間為X（單位：min），X～N（2，4），對應(yīng)的曲線為C1，B地員工的上班遲到時間為Y（單位：min），Y～N（3，），對應(yīng)的曲線為C2，則下列圖象正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知，則＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
8．（5分）記數(shù)列{an}的前n項積為Tn，且，an+1＝Tn﹣1，若數(shù)列{bn}滿足＝Tn，則數(shù)列{bn}的前20項和為（ ）
A．﹣175B．﹣180C．﹣185D．﹣190
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．該展開式中共有6項
B．各項系數(shù)之和為1
C．常數(shù)項為﹣60
D．只有第4項的二項式系數(shù)最大
（多選）10．（6分）設(shè)圓C：（x﹣1）2+y2＝4，直線l：y＝kx+1（k∈R），則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．C的半徑為2
B．l恒過定點（0，1）
C．l可能與C相切
D．當(dāng)k＝1時，l被C截得的弦長最短
（多選）11．（6分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為底面ABCD內(nèi)的一動點（含邊界），則下列說法正確的是（ ）
A．過點A1，E，C1的平面截正方體所得的截面周長為
B．存在點F，使得DF⊥平面A1EC1
C．若D1F∥平面A1EC1，則動點F的軌跡長度為
D．當(dāng)三棱錐F﹣A1EC1的體積最大時，三棱錐F﹣A1EC1外接球的表面積為11π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）已知隨機變量，則D（X）＝ ．
13．（5分）已知雙曲線C：的實軸長為4，其右焦點到它的一條漸近線的距離為，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x（lnx﹣ax）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個極值，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝3，4asinB＝3csinA．
（1）求c的值；
（2）若a＝2，求△ABC的面積．
16．（15分）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑．為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機對100名游客進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評分分別落在區(qū)間[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]內(nèi)，統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直方圖所示．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代表）；
（2）為了進(jìn)一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組[50，60），[60，70），[80，90）的游客中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于[80，90）的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
17．（15分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點與雙曲線E：的右焦點重合，雙曲線E的漸近線方程為．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）斜率為1且縱截距為﹣2的直線l與拋物線C交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，求△AOB的面積．
18．（17分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面，點M是PD的中點．
（1）證明：AM⊥PC；
（2）設(shè)AC的中點為O，點N在棱PC上（異于點P，C），且ON＝OA，求直線AN與平面ACM所成角的余弦值．
19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝xex+1．
（1）求f（x）的極值；
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）≥x+lnx+a+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
參考答案與試題解析
一、單選題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥1}，則（?RB）∩A＝（ ）
A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，1}D．{1，2}
【解答】解：∵?RB＝{x|x＜1}，∴（?RB）∩A＝{﹣1，0}．
故選：B．
2．（5分）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有（ ）
A．36種B．72種C．144種D．720種
【解答】解：分兩步，
①先排甲、乙、丙三人看作整體，不同排法共有＝6種，
②將甲、乙、丙三人這個整體與其余三人排列，不同排法共有＝24種，
∴不同排法共有6×24＝144種．
故選：C．
3．（5分）在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為．事件A表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件B表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為，
事件A表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件B表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，
則P（A）＝，P（AB）＝，
∴P（B|A）＝＝＝．
故選：C．
4．（5分）焦點在y軸上，且長軸長與短軸長之比為4：1，焦距為的橢圓方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由題意得，，又c2＝a2﹣b2，
解得b＝1，a＝4，
故橢圓方程為．
故選：D．
5．（5分）曲線f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）在點（1，f（1））處的切線方程是（ ）
A．x+y+1＝0B．2ex+y＝0C．3x+y+1＝0D．2ex+y+1＝0
【解答】解：f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝ex（x2﹣3），
∴f′（1）＝e（1﹣3）＝﹣2e，又f（1）＝﹣2e，
∴曲線f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）在點（1，f（1））處的切線方程是y+2e＝﹣2e（x﹣1），
即2ex+y＝0，
故選：B．
6．（5分）對A，B兩地國企員工的上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計，可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時間為X（單位：min），X～N（2，4），對應(yīng)的曲線為C1，B地員工的上班遲到時間為Y（單位：min），Y～N（3，），對應(yīng)的曲線為C2，則下列圖象正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由μX＝2＜μY＝3，故曲線C1的對稱軸在曲線C2的左側(cè)，排除C、D；
由，故曲線C2比曲線C1瘦高，曲線C1比曲線C2矮胖，排除A．
故選：B．
7．（5分）已知，則＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【解答】解：，
所以，
解得，即＞0，
所以，
故：＝，
cs2α＝（csα+sinα）（csα﹣sinα）＝，
sin（2α）＝＝．
故選：D．
8．（5分）記數(shù)列{an}的前n項積為Tn，且，an+1＝Tn﹣1，若數(shù)列{bn}滿足＝Tn，則數(shù)列{bn}的前20項和為（ ）
A．﹣175B．﹣180C．﹣185D．﹣190
【解答】解：由an+1＝Tn﹣1，得an+1+1＝Tn，所以an+1＝Tn﹣1（n≥2），
兩式相除可得，整理得，
即，可得，?，，，
累加得＝an+1﹣a2+n﹣1，由，an+1＝Tn﹣1，可得．
所以，結(jié)合＝Tn，可得，
所以，n≥2，而且也符合上式，可得對任意正整數(shù)n成立．
因此，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，首項為，公差d＝﹣1，可知{bn}的前20項和為＝﹣185．
故選：C．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．該展開式中共有6項
B．各項系數(shù)之和為1
C．常數(shù)項為﹣60
D．只有第4項的二項式系數(shù)最大
【解答】解：因為二項式系數(shù)之和為64，即有2n＝64，所以n＝6，
則該展開式中共有7項，A錯誤；
令x＝1，得該展開式的各項系數(shù)之和為1，B正確；
通項，
令，得r＝4，，C錯誤；
二項式系數(shù)最大的是，它是第4項的二項式系數(shù)，D正確．
故選：BD．
（多選）10．（6分）設(shè)圓C：（x﹣1）2+y2＝4，直線l：y＝kx+1（k∈R），則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．C的半徑為2
B．l恒過定點（0，1）
C．l可能與C相切
D．當(dāng)k＝1時，l被C截得的弦長最短
【解答】解：由圓C：（x﹣1）2+y2＝4，得圓心為C（1，0），半徑為r＝2，故A正確；
直線l：y＝kx+1（k∈R）恒過定點P（0，1），故B正確；
由（0﹣1）2+12＝2＜2，故定點（0，1）在圓內(nèi)，故直線與圓C相交，故C錯誤；
當(dāng)直線l與PC垂直時，弦長最短，又kpc＝＝﹣1，所以k＝1，故D正確．
故選：ABD．
（多選）11．（6分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為底面ABCD內(nèi)的一動點（含邊界），則下列說法正確的是（ ）
A．過點A1，E，C1的平面截正方體所得的截面周長為
B．存在點F，使得DF⊥平面A1EC1
C．若D1F∥平面A1EC1，則動點F的軌跡長度為
D．當(dāng)三棱錐F﹣A1EC1的體積最大時，三棱錐F﹣A1EC1外接球的表面積為11π
【解答】解：A選項，如圖，取AB的中點G，連接GE，A1G，
因為E為BC的中點，所以A1C1∥GE，A1C1＝2GE，
所以過點A1，E，C1的平面截正方體所得的截面為梯形A1C1EG，
其周長為，故A選項正確；
B選項，假設(shè)存在點F，使得DF⊥平面A1EC1，
則DF⊥A1C1，得F只能在線段BD上，
再由DF⊥C1E，得F只能在線段CD上，即F與D重合，不符合題意，故B選項錯誤；
C選項，如圖，取AD的中點M，CD的中點N，
連接MD1，MN，ND1，可得MD1∥C1E，MN∥A1C1，
又MD1?平面A1EC1，MN?平面A1EC1，C1E?平面A1EC1，A1C1?平面A1EC1，
所以MD1∥平面A1EC1，MN∥平面A1EC1，
又MD1∩MN＝M，所以平面D1MN∥平面A1EC1，
所以動點F的軌跡為線段MN，其長度為，故C選項正確；
D選項，由A，C選項可得，平面A1GEC1∥平面D1MN，
所以當(dāng)F在點D時，F(xiàn)到平面A1EC1的距離最大，此時△FA1C1為等邊三角形，
因為BD1⊥平面FA1C1，所以三棱錐F﹣A1EC1的外接球球心O1一定在直線BD1上，
以B為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則E（0，1，0），D（2，2，0），設(shè)O1（x，x，x），
由O1E＝O1D得，（x﹣2）2+x2，解得，
所以，
所以三棱錐F﹣A1EC1外接球的表面積為，故D選項正確．
故選：ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）已知隨機變量，則D（X）＝ ．
【解答】解：∵隨機變量，
∴D（X）＝5×＝．
故答案為：．
13．（5分）已知雙曲線C：的實軸長為4，其右焦點到它的一條漸近線的距離為，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【解答】解：因為實軸長2a＝4，所以a＝2，右焦點F（c，0），
由對稱性，不妨取漸近線為，即bx﹣ay＝0，
點F（c，0）到漸近線的距離，
所以b＝，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x（lnx﹣ax）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個極值，則實數(shù)a的取值范圍是 （0，） ．
【解答】解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝lnx﹣2ax+1，
令g（x）＝lnx﹣2ax+1，
由題意得g（x）＝0在（0，+∞）上至少有兩個實數(shù)根，
又g′（x）＝，
當(dāng)a≤0時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，此時g（x）＝0不可能有兩個實數(shù)根；
當(dāng)a＞0時，可得g（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x＝時，函數(shù)g（x）取得極大值，
又x→0時，g（x）→﹣∞，x→+∞時，g（x）→﹣∞，
由題意g（）＝﹣ln2a＞0，
故0＜a＜，
∴實數(shù)a的范圍是（0，）．
故答案為：（0，）．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝3，4asinB＝3csinA．
（1）求c的值；
（2）若a＝2，求△ABC的面積．
【解答】解：（1）∵4asin B＝3csinA，∴4ab＝3ac，則4b＝3c．
又 b＝3，所以 c＝4．
（2）∵a＝2，∴，
則 ，
故△ABC的面積．
16．（15分）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑．為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機對100名游客進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評分分別落在區(qū)間[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]內(nèi)，統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直方圖所示．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代表）；
（2）為了進(jìn)一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組[50，60），[60，70），[80，90）的游客中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于[80，90）的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：（1）由已知，這100名游客評分的平均值＝（55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005）×10＝74；
（2）由題意知，滿意度評分位于分組[50，60），[60，70），[80，90）的游客人數(shù)比為1：2：2，
所以抽取的10人中該三組人數(shù)分別為2，4，4，
隨機變量ξ的取值為0，1，2，3，
且P（ξ＝0）＝＝；P（ξ＝1）＝＝；P（ξ＝2）＝＝；P（ξ＝3）＝＝，
ξ的分布列為：
E（ξ）＝＝．
17．（15分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點與雙曲線E：的右焦點重合，雙曲線E的漸近線方程為．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）斜率為1且縱截距為﹣2的直線l與拋物線C交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，求△AOB的面積．
【解答】解：（1）因為雙曲線E的漸近線方程為，
所以，
解得b2＝1，
又a2＝3，
所以c2＝3+1＝4，
解得c＝2，
則雙曲線E的右焦點為（2，0），
因為拋物線C的焦點與雙曲線E的右焦點重合，
所以，
解得p＝4，
則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程依次分別為y2＝8x，．
（2）易知直線l的方程為y＝x﹣2，
直線l經(jīng)過拋物線的焦點（2，0），
聯(lián)立，消去y并整理得x2﹣12x+4＝0，
此時Δ＝122﹣4×4＝128＞0，
由韋達(dá)定理得x1+x2＝12，
所以|AB|＝p+x1+x2＝4+12＝16，
又點O到直線l的距離為，
所以，
故△AOB的面積為．
18．（17分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面，點M是PD的中點．
（1）證明：AM⊥PC；
（2）設(shè)AC的中點為O，點N在棱PC上（異于點P，C），且ON＝OA，求直線AN與平面ACM所成角的余弦值．
【解答】（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵四邊形ABCD為矩形，∴CD⊥AD，
又PA∩AD＝A，PA、AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
∵AM?平面PAD，∴CD⊥AM，
∵PA＝AD，點M是PD的中點，∴AM⊥PD，
又PD∩CD＝D，PD、CD?平面PCD，
∴AM⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，∴AM⊥PC．
（2）解：以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)AB＝1，則PA＝AD＝，
∴，，
∴，，
設(shè)平面ACM的法向量為，則，
取y＝﹣1，得，
設(shè)，
即，
∴，
∵，
∴，化簡得5λ2﹣7λ+2＝0，
解得或λ＝1（舍去），
∴N（，，），
∴，
設(shè)直線AN與平面ACM所成的角為θ，
則，
∴直線AN與平面ACM所成角的正弦值為．
19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝xex+1．
（1）求f（x）的極值；
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）≥x+lnx+a+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（1）∵f（x）＝xex+1，∴f′（x）＝ex+1（x+1），
∴當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（﹣1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）僅有極小值為f（﹣1）＝﹣1；
（2）∵當(dāng)x＞0時，f（x）≥x+lnx+a+1恒成立，
即當(dāng)x＞0時，xex+1≥x+lnx+a+1恒成立，
∴當(dāng)x＞0時，a+1≤xex+1﹣x﹣lnx恒成立，
∴當(dāng)x＞0時，a+1≤exex﹣（lnex+lnx）恒成立，
∴當(dāng)x＞0時，a+1≤exex﹣lnxex恒成立，
令t＝xex，x＞0，設(shè)g（x）＝xex，x＞0，
∴g′（x）＝ex（x+1）＞0，∴g（x）＝xex在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0）＝0，∴t＝xex＞0，
∴當(dāng)t＞0時，a+1≤et﹣lnt恒成立，
設(shè)h（t）＝et﹣lnt，t＞0，∴h′（t）＝e﹣＝，
∴當(dāng)t∈（0，）時，h′（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減；
當(dāng)t∈（，+∞）時，h′（t）＞0，h（t）單調(diào)遞增，
∴h（t）≥h（）＝1﹣ln＝2，
∴a+1≤2，∴a≤1，
∴實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，1]ξ
0
1
2
3
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