一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知，則（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】由，所以.
故選：C.
2. 已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】有或，
所以，，
由有，
所以，即.
故選：A.
3. 已知的面積為4，在平面內(nèi)，將繞點旋轉(zhuǎn)得到對應的，則的面積為（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】如圖所示，將在平面內(nèi)，將繞點旋轉(zhuǎn)得到對應的，
可得，且與的高相等，
所以.
故選：B.
4. 已知圓與圓有條公切線，圓覆蓋圓，，則圓面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)圓的方程有：，圓圓心，半徑，
因為兩圓有條公切線，所以圓、相外切，
所以兩圓圓心距，
即，解得，
因為圓覆蓋圓，，所以圓半徑的最小值為，
所以圓面積的最小值為.
故選：A
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為，
所以
.
故選：D
6. 已知直線與雙曲線相交于，兩點，若，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)由對稱性有，
由，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
7. 若方程的非整數(shù)根是函數(shù)的一個零點，則圖象的對稱中心為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由有，得或（舍去），
所以，
即，所以，
所以，所以函數(shù)圖象的對稱中心為，
，
故選：B.
8. 若定義在上的函數(shù)，，，，可以作為一個三角形的三條邊長，則稱是上的“三角形函數(shù)”．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的“三角形函數(shù)”，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，令得，
令得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值，，
又，，
故，
由題意得，即，
解得.
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 如圖是年月日國家統(tǒng)計局發(fā)布的年月到年月的各月累計營業(yè)收入與利潤總額同比增速的折線圖，則（ ）
A. 累計營業(yè)收入同比增速的方差大于累計利潤總額同比增速的方差
B. 累計利潤總額同比增速的極差為
C. 累計營業(yè)收入同比增速的眾數(shù)為
D. 累計利潤總額同比增速的分位數(shù)為
【答案】BCD
【解析】A.根據(jù)折線圖得，累計利潤總額同比增速的折線圖波動程度明顯大于累計營業(yè)收入同比增速的折線圖波動程度，
故累計營業(yè)收入同比增速的方差小于累計利潤總額同比增速的方差，A錯誤.
B. 累計利潤總額同比增速的最大值為，最小值為，故極差為，B正確.
C.觀察累計營業(yè)收入同比增速的數(shù)據(jù)，出現(xiàn)了次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故累計營業(yè)收入同比增速的眾數(shù)為，C正確.
D.將累計利潤總額同比增速的數(shù)據(jù)從小到大排序為，
∵，∴累計利潤總額同比增速的分位數(shù)為，D正確.
故選：BCD.
10. 在棱長為的正方體中，為的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，下列說法正確的是（ ）
A. 平面平面
B. 若四面體的四個頂點均在球的表面上，則球的表面積為
C. 當點在線段上運動時，異面直線與所成角的取值范圍是
D. 當直線與直線所成的角是時，點的軌跡長度為
【答案】ACD
【解析】對于選項A，因為，又面，面，
所以，又，面，所以，
連接，同理可證，又，面，所以面，
又面，所以平面平面，故選項A正確，
對于選項B，如圖建立空間直角坐標系，因為正方體棱長為，
則,
設(shè)四面體的外接球球心，半徑為，
由，得到，
解得，則，則球的表面積為，所以選項B錯誤，
對于選項C，因為點在線段上，設(shè)，
因為，，，又，
設(shè)異面直線與所成的角為，則，
又，則，所以，
又，所以，故選項C正確，
對于選項D，易知，設(shè)，則，又，
則，
整理得到，其軌跡為平面上，以為圓心，為半徑的圓，
又是側(cè)面內(nèi)的動點， 所以點的軌跡長度為，所以選項D正確，
故選：ACD
11. 已知互不相等的正實數(shù)，，，，是，，，的任意順序的一個排列，定義隨機變量，滿足則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】依題意，，，的全排列有種，
因為隨機變量，滿足，
所以當或時，，；
當或時，，；
當或時，，；
又當或時，，，
即滿足的排列有，，，，，，，共種；
所以，故A正確，B錯誤；
同理當或時，，，滿足，即；
當或時，，，滿足，即；
綜上可得，故C正確；
因為當時，當時時，所以滿足，
所以，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，，若，則的值為______．
【答案】
【解析】由.
故答案為：.
13. “曼哈頓距離”是一種在幾何空間中用于衡量兩點之間距離的方式，如在維空間中，設(shè)點，，則“曼哈頓距離”表示為．若橢圓的左焦點為，上頂點為，直線交于另一點，則，兩點的“曼哈頓距離”______；若將在軸上方的部分沿軸翻折得到一個直二面角，則在空間直角坐標系中，______．
【答案】①. ②.
【解析】根據(jù)題干，上頂點，根據(jù)直線的截距式方程可得直線的方程為
，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y整理得：，
解得或，當時，（對應點B），當時，，
所以，根據(jù)“曼哈頓距離”，
即可求出，
將在軸上方的部分沿軸翻折得到一個直二面角，則在空間直角坐標系中，得到
，,故，
故答案為：；
14. 已知函數(shù)，，當時，取得最值，且當時，單調(diào)遞增，則在上的零點個數(shù)為______．
【答案】4
【解析】當時，取得最值，且當時，單調(diào)遞增，
故當時，取得最小值，
設(shè)的最小正周期為，則，解得，
故，解得，
又，
故，
又，
所以，①，，②
聯(lián)立①②得，，故，
，則，
故或0或或，
解得或或或，
故在上的零點個數(shù)為4.
故答案為：4
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記數(shù)列的前項和為，已知，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列．
（1）求的通項公式；
（2）記，是否存在實數(shù)，使得有兩個解？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
解：（1）由題意可知，數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，
則，即，
故的通項公式為
（2），
則.又的對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，
故不存在實數(shù)，使得有兩個解.
16. 新高考模式的選科是按物理類與歷史類兩大塊組合進行，即物理與歷史必選一科，再從化學、生物、地理、政治四個學科中任選兩科，加上語文、數(shù)學、英語組成一種組合，簡稱“物理類”與“歷史類”．為了解選科組合是否與性別有關(guān)，某機構(gòu)隨機選取了100名學生，進行了問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：
已知在這100名學生中隨機抽取1人，抽到選物理類學生的概率為0.6．
（1）完成表中數(shù)據(jù)，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷選科組合是否與性別有關(guān)；
（2）從上述選物理類的學生中利用分層隨機抽樣的方法抽取6人，再從6人中隨機抽取4人調(diào)查其選物理類的原因．
（?。┯帽硎具@4人中男生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；
（ⅱ）已知這4人中有女生的條件下，求男生、女生人數(shù)不相等的概率．
附：，其中．
解：（1）由題可得選物理類學生為，可得列聯(lián)表：
零假設(shè)：：選科組合是否與性別無關(guān)，
由列聯(lián)表可得，
根據(jù)小概率值0.005的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為選科組合與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005；
（2）（?。┪锢眍惸猩鷳槿∪藬?shù)為：人，物理類女生應抽取人數(shù)為：人，
所以隨機變量的可能性為：.
所以,
所以的分布列為：
，
（ⅱ）令事件為“這4人中有女生”，令事件為“男生、女生人數(shù)不相等”，
則有,
所以,
所以在有女生的條件下，男生、女生人數(shù)不相等的概率為.
17. 如圖，已知正方形與矩形所在平面互相垂直，，，點在線段上運動．
（1）若平面，求的值；
（2）求三棱錐的體積；
（3）當時，求平面與平面夾角的余弦值．
解：（1）設(shè)，分別連接，
因為正方形，所以為的中點，
又因為平面，且平面，平面平面，
所以，
在矩形中，為的中點，可得為的中點，
所以，當平面時，則.
（2）因為四邊形為矩形，可得，且，
又因為平面平面，且平面，平面平面，
所以平面，即到平面的距離為，
因為，且平面，平面，所以平面，
又因為點在線段上運動，
所以到平面的距離等于到平面的距離為，
即三棱錐的高為1
因為正方形的邊長為，可得，
所以三棱錐的體積.
（3）由（2）知：平面，且，所以平面，
以為原點，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，因，則，
，可得，解得，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
設(shè)平面與平面夾角為，則，
所以面與平面夾角的余弦值為.
18. 已知橢圓的離心率為，上的點與其中一個焦點的距離的最小值為．
（1）求的方程；
（2）設(shè)直線與相交于不同的兩點，．
（?。c關(guān)于原點的對稱點為，直線的斜率為，證明：為定值；
（ⅱ）當時，求的值．
解：（1）依題意得，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）（?。┯傻?
因為直線與橢圓有兩個交點，
所以，即（*），
設(shè)，，,則，
所以，
故，
因此為定值，
（ⅱ）
因此，
化簡可得，即，
解得，均滿足（*），
故
19. “拉格朗日中值定理”是法國數(shù)學家拉格朗日在其著作《解析函數(shù)論》中給出的，其內(nèi)容為若函數(shù)滿足如下條件：①在區(qū)間上的圖象是連續(xù)的；②在區(qū)間上可導，則在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使得成立．已知函數(shù)．
（1），且，若恒成立，求的取值范圍；
（2）當時，是否存在區(qū)間，使？若存在，寫出證明過程；若不存在，說明理由；
（3）當時，設(shè)的兩個極值點為，，且，證明：．
（1）解：由題意，對于任意，有，等價于.
根據(jù)拉格朗日中值定理，存在使得.
因此，要求對所有成立.
整理得.
設(shè)函數(shù)gx=-ex+2x+1(x>0)，則.
在內(nèi),單調(diào)遞增，在內(nèi),單調(diào)遞減.
.
故；
（2）證明：當時，函數(shù).
驗證是否存在區(qū)間（）使得f(a)+f(b)2>fa+b2.
方法一：不等式f(a)+f(b)2>fa+b2等價于f(b)-f(a+b2)b-a+b2>fa+b2-f(a)a+b2-a.
由拉格朗日中值定理，可知存在，使得，
因此只需保證f's>f'(t),這只需要在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由于函數(shù)，在時大于零，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,
所以只需要即可，因此存在這樣的區(qū)間.
方法二：f(a)+f(b)2>fa+b2等價于函數(shù)在區(qū)間上為凹函數(shù).
當（即）時，f'x'=ex-2>0，在為凸函數(shù)；當時，，
為凹函數(shù).
在凹區(qū)間（如）取，則；
在凸區(qū)間（如）取，則f(a)+f(b)2>fa+b2.
因此存在這樣的區(qū)間.
（3）證明：由于，設(shè)，，
令得.
時，（單調(diào)遞減）；時，（單調(diào)遞增）.
因此，處取得極小值：
由于，且，所以.
又因為和，
所以有兩個解和，.
因為,所以.
由和，相減得：①,
需要證明，即：，
設(shè),需證明②.
由①得：,，
所以③,
設(shè),令,
,在時q'x>0,單調(diào)遞增，所以,p'x>0,所以單調(diào)遞增，所以,
所以對于恒成立，
所以結(jié)合③可得
整理得：，
于是結(jié)合待證式子②，可知只要證明,即，
構(gòu)造函數(shù),只需證明在的條件下成立.
令,
u'x=4ex-4ex=41-e2xex>0對于恒成立，
所以即在上單調(diào)遞增，
，所以
所以單調(diào)遞減，
又因為，所以時成立.
至此證明完畢.
性別
選科組合
合計
物理類
歷史類
男生
40
女生
30
合計
0.1
0.05
0.005
2.706
3.841
7.879
性別
選科組合
合計
物理類
歷史類
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合計
60
40
100
2
3
4

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