一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】.
故選：A.
2. 已知平面上的兩個(gè)非零向量，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，故，
則，又，故.
故選：B.
3. 在等差數(shù)列中，若，則的值為（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
【答案】D
【解析】由題設(shè)，
所以.
故選：D
4. 已知，，則（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，?br>所以，，
所以.
故選：A.
5. 七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，它是由如圖所示的七塊板組成的，即五塊等腰直角三角形板（兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板），一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現(xiàn)從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如下圖，將七塊三角形編號(hào)如下，
所以從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊的基本事件為：
，，
，，，共有種，
將七巧板劃分如下，被分成個(gè)全等的三角形，設(shè)正方形的面積為，
則編號(hào)的面積為，則編號(hào)的面積為，
編號(hào)的面積為，
任取兩塊板面積相等的基本事件為：.
從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為.
故選：C.
6. 已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意，，，
因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與線段相交，
結(jié)合圖象可知，該直線的斜率的取值范圍為.
故選：B.
7. 已知四棱錐平面BCDE，底面EBCD是為直角，的直角梯形，如圖所示，且，點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，則到直線BC的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意知，平面，平面，
所以，又，
故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，得
所以，，
記，
則，
所以F到直線BC的距離為.
故選：A
8. 若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】，
令，
因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為，最小值為，
所以函數(shù)的最大值為，最小值為，
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)是奇函數(shù)，
所以，即，所以.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知關(guān)于x不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 的最大值為
C. 的最小值為D. 的最小值為
【答案】BC
【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為,
所以，所以，，
所以，A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，由于設(shè)，由于，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故B正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故最小值為，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
10. 已知事件A，B滿足，，則（ ）
A 若，則
B. 若A與B互斥，則
C. 若P(AB)=0.1，則A與B相互獨(dú)立
D. 若A與B相互獨(dú)立，則
【答案】BC
【解析】對(duì)于A，由，得，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由A與B互斥，得，B正確；
對(duì)于C，由，得，則A與B相互獨(dú)立，C正確；
對(duì)于D，由A與B相互獨(dú)立，得相互獨(dú)立，則，D錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 在直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點(diǎn)，D在線段上，則下面說法中正確的有（ ）

A. 平面
B. 直線EF與平面ABC所成角的正弦值為
C. 若D是的中點(diǎn)，若M是的中點(diǎn)，則F到平面BDM的距離是
D. 直線BD與直線EF所成角最小時(shí)，線段BD長為
【答案】ABD
【解析】因?yàn)橹比庵?，，所以兩兩互相垂直?br>于是以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，分別是的中點(diǎn)，在線段上，
所以，
對(duì)于A：因?yàn)樵谥比庵?，平面?br>又，平面，所以，又，所以，
又，平面，所以平面，
所以為平面的一個(gè)法向量，又，
則，
又平面，平面，故A正確；
對(duì)于B：為平面的一個(gè)法向量，又，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，故B正確；
對(duì)于C：若是的中點(diǎn)，若M是的中點(diǎn)，則，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，又，
所以到平面的距離是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：設(shè)，
則，
設(shè)直線與直線所成角為，又，
則，
當(dāng)，即時(shí)，取最大值，此時(shí)直線與直線所成角最小，
，，故D正確．
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在中，，的平分線與交于點(diǎn)，且，，則的面積為______.
【答案】
【解析】因?yàn)?，為的平分線，
所以，又，
所以，
由余弦定理可得，又，
所以
所以，
所以的面積.
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，定義為，兩點(diǎn)之間的“折線距離”．已知，，，，點(diǎn)在矩形內(nèi)（含邊界）且到點(diǎn)，的“折線距離”相等，則點(diǎn)的軌跡長度為______．
【答案】
【解析】設(shè)Mx,y，因?yàn)辄c(diǎn)在矩形內(nèi)（含邊界），
則，，
因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)，的“折線距離”相等，
所以，即，
則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，則點(diǎn)的軌跡為線段，
故點(diǎn)的軌跡長度為.
14. 已知無窮數(shù)列滿足，，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①，；
②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；
③，使得；
④，均有.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.
【答案】①②④
【解析】由，，
進(jìn)而可得，結(jié)合，以此類推可得，
故，故，故①②正確，③錯(cuò)誤，
由可得，
故，
由于，故，進(jìn)而可得，，
故，
因此，
累加，
故，
當(dāng)時(shí)，，故，故④正確.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，，函數(shù).
（1）求函數(shù)的解析式及對(duì)稱中心；
（2）若，且，求的值.
（3）在銳角中，角A，B，C分別為a，b，c三邊所對(duì)的角，若，，求周長的取值范圍.
解：（1）.
令，則，，
函數(shù)的對(duì)稱中心為，.
（2）由可知，
化簡有，
，，，
（3）由可得， 即，
又，所以
由正弦定理有
所以
，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得
所以，則，
所以，則，
所以的周長的取值范圍為.
16. 已知平面邊形中，，，且.以為腰作等腰直角三角形，且，將沿直線折起，使得平面平面.

（1）證明：平面；
（2）若是線段上一點(diǎn)，且平面，
①求三棱錐的體積；
②求平面與平面夾角的余弦值.
解：（1）因，，故,
又，且，故
在直角梯形中，，
由可得；
因平面平面，，平面平面，
則平面，又平面，
則，又，因平面，
故平面.
（2）①如圖，連接,設(shè)，連接,
因平面，且平面,平面平面，
則，故，
在四邊形中，由,可得,
故，即，
即點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
故
② 如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則,
所以，,,
設(shè)平面的法向量為，
則，可取，
因，
故,,
設(shè)平面的法向量為，
則由，
可取，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為.
17. 已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，傾斜角為的直線過點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn).
（1）當(dāng)時(shí)，求的長；
（2）是否存在弦被點(diǎn)三等分？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）記圓與軸的正半軸交點(diǎn)為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.
解：（1）因?yàn)?，所以，直線的方程為，
設(shè)圓心到直線的距離為，則，
所以
（2）取的中點(diǎn)為，如圖，

假設(shè)存在弦被點(diǎn)三等分，設(shè)，，則，
，解得，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，，故斜率存在，
設(shè)斜率為，則：，，解得，
即存在弦被點(diǎn)三等分，直線的斜率為.
（3）由題意知，,
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，，
不妨取，
則，此時(shí)
直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，
代入圓的方程可得，
設(shè)，則，
又，
所以
綜上，為定值.
18. 模糊數(shù)學(xué)普遍存在于自然界和數(shù)學(xué)模型中，比如天氣預(yù)測?種群數(shù)量變化和天體運(yùn)動(dòng)等等.假設(shè)在一個(gè)模糊數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，用來表示系統(tǒng)在第個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)值，且該系統(tǒng)下一時(shí)刻的狀態(tài)滿足，，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，若滿足對(duì)，有，求；
（2）當(dāng)時(shí)，判斷中是否存在連續(xù)的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；若存在，求出連續(xù)的三項(xiàng)；若不存在，說明理由.
（3）若，，記，證明：.
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
由題意知：，，
兩式作差得：，或；
當(dāng)時(shí)，，解得：或，又，；
當(dāng)時(shí)，，解得：；
恒成立，又，，
數(shù)列為常數(shù)列，即.
（2）當(dāng)時(shí)，；
假設(shè)在數(shù)列中，存在連續(xù)的三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，
，，
，即，
又，，解得：，與矛盾，
假設(shè)錯(cuò)誤，即在中，不存在連續(xù)的三項(xiàng)成等比數(shù)列.
（3）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，且，；
，，，，
數(shù)列為遞減數(shù)列，
，，
.
19. 已知函數(shù).
（1）寫出函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明；
（2）若存在，方程有解，記的最大值為，證明.
解：（1）求導(dǎo)，可得，
當(dāng)時(shí)，，，所以，
這表明函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由于，，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增且，，
所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
（2）由，可得，設(shè)，，
求的導(dǎo)數(shù)，，
令，，求的導(dǎo)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，，所以，
這表明在上單調(diào)遞減，
又，，，
所以存在，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
所以在處取得最大值，
由，可得，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
因?yàn)?，所以，，則，即，
又，且在上單調(diào)遞增，所以.
故原命題得證

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