一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因集合，
，
所以．
故選：A．
2. 若復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可得：，
所以．
故選：C．
3. 在中，是中點(diǎn)且，則向量在向量上的投影向量（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得為等邊三角形，
故過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，

所以向量在向量上的投影向量為，與方向相反，
由是中點(diǎn)，為中點(diǎn)，有.
故選：C.
4. 已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】因?yàn)榍遥?br>所以，解得，則，即，解得.
故選：C.
5. 與都是邊長為2的正三角形，沿公共邊折疊成的二面角，若點(diǎn)A，B，C，D在同一球的球面上，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題，設(shè)正與的中心分別為，，
根據(jù)外接球的性質(zhì)有平面，平面，
又二面角的大小為，故，
又正與的邊長均為2，故，
故，
，，
故，
故，又，
故球的半徑，
故球的表面積為．
故選：C．
6. 若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為2，則的值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】由得，
所以圓心，半徑，
因?yàn)閳A上恰有三點(diǎn)到直線的距離為2，
所以圓心到直線的距離為1，
即，解得，
故選：C．
7. 若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
故原命題等價(jià)于關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令，則，
所以關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故在上的值域?yàn)椋?br>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故在上的值域?yàn)椋?br>而，從而實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
8. 十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出一個(gè)著名的幾何問題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。浯鸢溉缦拢寒?dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角;當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)．在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)被稱為費(fèi)馬點(diǎn)．已知a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C所對的邊，且，若P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，及正弦定理得，
因?yàn)?，所以，消去得?br>因?yàn)?，故或?br>而根據(jù)題意，故不成立，
所以，又因?yàn)?，代入得，所以?br>由三角形內(nèi)角和性質(zhì)可知，的三個(gè)內(nèi)角均小于，
結(jié)合題設(shè)易知點(diǎn)P一定在的內(nèi)部．
由余弦定理可得，
解得
，
所以，
所以
．
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 數(shù)列為等比數(shù)列B. 數(shù)列的前項(xiàng)和
C. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為D. 數(shù)列為等比數(shù)列
【答案】AB
【解析】對A、B：，，
又，數(shù)列是首項(xiàng)公比都為的等比數(shù)列，
故，即，故A、B正確；
對C、D： 當(dāng)，，
當(dāng)，，，故C錯(cuò)誤.
，，
所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 已知為斜三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（ ）
A. B. 的最小值為2
C. 若，則D. 若，則
【答案】AC
【解析】A．由，得，
因?yàn)椋?br>所以，
兩邊都除以，得，
整理得，故A項(xiàng)正確；
B．若的最小值為2，則此時(shí)，可得，
結(jié)合，得，
此時(shí)，可得，與為斜三角形矛盾，故B項(xiàng)不正確；
C．若，由正弦定理，得，
結(jié)合，可得，
所以，可得，
由余弦定理得，
因此，，整理得，故C項(xiàng)正確；
C．，
若，則，
可得，即，
結(jié)合為三角形的內(nèi)角，可知或，
所以或，故D項(xiàng)不正確．
故選：AC．
11. 如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 平面
C. 的最小值為
D. 當(dāng)，C，，P四點(diǎn)共面時(shí)，四面體的外接球的體積為
【答案】ABD
【解析】對于A，因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，平面，
所以平面，又，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
又為定值，故定值，A正確；
對于B，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，同理可知平面?br>又，平面，所以平面平面，
由于平面，故平面，B正確.
對于C，展開兩線段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，
連接，交于點(diǎn)，此時(shí)最小，最小值即為的長，
過點(diǎn)作⊥，交的延長線于點(diǎn)，
其中，
故，又勾股定理得，C正確；
對于D，點(diǎn)P在點(diǎn)B處，，C，，P四點(diǎn)共面，
四面體的外接球即正方體的外接球，
故外接球的半徑為，所以該球的體積為，D正確.
故選：ABD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 在中，角A，B，C的對邊分別為的平分線AD交BC于點(diǎn).若，則周長的最小值為___________.
【答案】
【解析】，
，
即，
，
，
.
，得，
由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.
又的周長，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.
13. 的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為__________．
【答案】32
【解析】令，得，
所以所有項(xiàng)的系數(shù)和為32．
14. 已知，若，，則的最大值為______．
【答案】
【解析】設(shè)，則，的圖象如圖所示，
即的圖象與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)依次為，
且，
由余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)可知，，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>令，
則，令，解得或，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，?br>所以，
所以．
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 在中，角的對邊分別為，若，且．
（1）求角B的值；
（2）若，且的面積為，求BC邊上的中線AM的長．
解：（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
所以或，
又因?yàn)椋瑒t，故.
（2）由（1）知，又，所以，
則，所以
又，所以，
在中，，
由余弦定理得，
所以.
16. 如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）若，求直線BM與平面所成角正弦值．
（1）證明：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則A0,0,0，，，，
，，.
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，則，
即，不妨令，則，，
所以，
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，
即，不妨令，則，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，所以平面平面．
（2）解：由（1）知，，
所以，，
因?yàn)?，所以，即，解得?br>故，所以，由（1）知，
設(shè)直線BM與平面PCD所成的角為，
則，
故直線BM與平面PCD所成角的正弦值為.
17. “布朗運(yùn)動”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無規(guī)則運(yùn)動，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉組成，某粒子做布朗運(yùn)動時(shí)每次會從所在倉的通道口中等可能隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉，且粒子經(jīng)過次隨機(jī)選擇后到達(dá)2號倉的概率為，已知該粒子的初始位置在2號倉.
（1）求；
（2）證明數(shù)列Pn-14是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）粒子經(jīng)過4次隨機(jī)選擇后，記粒子在1號倉出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
（1）解：由題意可得：.
（2）證明：記粒子經(jīng)過次隨機(jī)選擇后到達(dá)1號倉的概率為，粒子經(jīng)過次隨機(jī)選擇后到達(dá)3號倉的概率為，
所以
所以，所以，
又，
所以是公比為的等比數(shù)列.
所以.
（3）解：結(jié)合題意易得可取，
，
，
，
所以的分布列為
的數(shù)學(xué)期望
18. 已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓交于另一點(diǎn)，求面積的最大值.
解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，即，則，，
由的左，右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，得，
即，解得，
所以橢圓方程為.
（2）顯然，設(shè)，則，
由消去得，，
則，
又，而與同號，
因此
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以面積的最大值為.

19. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.
（1）解：當(dāng)時(shí)，，，
，，切線方程為，
即.
（2）證明：由題意得有兩個(gè)不等正根，不妨設(shè)，
令，得.
設(shè)，則，
令，則，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
，，
令，則.
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
在上單調(diào)遞增.
，，.
又，故，所以，
設(shè)，
則當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，故當(dāng)，故
易知，.
令，則，
在上單調(diào)遞減，，
，，
，而，.0
1
2

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