通用的解題思路：
題型一：平行四邊形的存在性
解題策略：
1.直接計算法根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等，按這條線段為邊或為對角線兩大類，分別計算
（適用于：已知兩點的連線就在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸）
2.構(gòu)造全等法過頂點作坐標(biāo)軸的垂線，利用對邊所在的兩個三角形全等，把平行且相等的對邊轉(zhuǎn)化為水平或者垂直方向的兩條對應(yīng)邊相等
（適用于：已知兩點的連線，不與坐標(biāo)軸平行，容易畫出草圖）
3.平移坐標(biāo)法
利用平移的意義，根據(jù)已知兩點間橫、縱坐標(biāo)的距離關(guān)系，得待定兩點也有同樣的數(shù)量關(guān)系。
（適用于：直接寫出答案的題）
題型二：菱形存在性
由于菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形，因此解決菱形存在性問題需要綜合運用平行四邊形和等腰三角形存在性問題的方法。
題型三：矩形存在性
由于矩形是含90度角的平行四邊形，因此解決矩形存在性問題需要綜合運用平行四邊形和直角三角形存在性問題的方法。
題型四：正方形存在性
由于正方形即是矩形又是菱形，因此解決正方形存在性問題需要靈活選用所有存在性問題的方法。
題型五：梯形存在性
解梯形的存在性問題一般分三步：
第一步分類，第二步畫圖，第三步計算．
一般是已知三角形的三個頂點，在某個圖象上求第四個點，使得四個點圍成梯形．過三角形的每個頂點畫對邊的平行線，這條直線與圖象的交點就是要探尋的梯形的頂點．
因為梯形有一組對邊平行，因此根據(jù)同位角或內(nèi)錯角，一定可以構(gòu)造一組相等的角，然后根據(jù)相似比列方程，可以使得解題簡便．
題型一：平行四邊形的存在性
1．（2024·甘肅武威·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于兩點，與軸交于點，且．
(1)求此拋物線的表達式；
(2)已知拋物線的對稱軸上存在一點，使得的周長最小，請求出點的坐標(biāo)；
(3)連接，點是線段上一點，過點作軸的平行線交拋物線于點，求當(dāng)四邊形為平行四邊形時點的坐標(biāo)．
2．（2024·江蘇宿遷·一模）材料一；《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到 一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索題 發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常會用到類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關(guān)思想，解答下列問題．
材料二：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種解題策略，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)多，它能使許多看似非常復(fù)雜的問題簡單化．因此在用分類討論解決數(shù)學(xué)問題時要遵循一定的規(guī)則，注意合理的分類，對全體對象的分類必須做到不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持在同一標(biāo)準(zhǔn)．
請閱讀上述材料，完成題目：
如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），點的坐標(biāo)為，與軸交于點，直線與軸交于點．動點在拋物線上運動，過點作軸，垂足為，交直線于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點在線段上時，的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；
(3)點是拋物線對稱軸與軸的交點，點是軸上一動點，點在運動過程中，若以為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．
3．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎獟佄锞€與軸交于點和，與軸交于點C
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，點是線段上的一個動點（不與點，重合），過點作軸的垂線交拋物線于點，連接，當(dāng)四邊形恰好是平行四邊形時，求點的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，是的中點，過點的直線與拋物線交于點，且，在直線上是否存在點，使得與相似？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
4．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與二次函數(shù)的圖象交于點．
(1)求一次函數(shù)與二次函數(shù)的表達式；
(2)設(shè)是直線上一點，過點作軸，交二次函數(shù)的圖象于點，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的坐標(biāo)．
5．（2024·陜西渭南·二模）如圖，已知拋物線交軸于兩點，交軸于點，點的坐標(biāo)為，點為拋物線的頂點．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若直線與拋物線的對稱軸交于點，點是拋物線上的動點，點是直線上的動點，是否存在以為頂點的四邊形是以為邊的平行四邊形，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
6．（2024·甘肅武威·一模）如圖．拋物線交軸于點和點，交軸于點，點在第二象限的拋物線上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點的坐標(biāo)為時，求的面積；
(3)過點作軸，交直線于點，是否存在點，使得四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，．
(1)求該拋物線的表達式；
(2)將拋物線沿軸的正方向平移個單位長度得到新拋物線，是新拋物線與軸的交點靠近軸，是原拋物線對稱軸上一動點，在新拋物線上存在一點，使得以為邊，且以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．
8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線與x軸交于，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若點P在拋物線上，點Q在x軸上，是否存在以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
(3)如圖2，若點D是第四象限拋物線上的一個動點，直線與直線交于點E，連接，設(shè)的面積為，的面積為，求的最大值及此時點D的坐標(biāo)．
9．（2024·山西大同·二模）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，，與軸交于點．作直線，是拋物線上的一個動點．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式并直接寫出直線的函數(shù)表達式．
(2)當(dāng)點P在直線下方時，連接，，．當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)．
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
10．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線與y軸交于點D．
(1)求該拋物線的表達式；
(2)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
11．（2024·上海虹口·二模）新定義：已知拋物線（其中），我們把拋物線稱為的“輪換拋物線”．例如：拋物線的“輪換拋物線”為．
已知拋物線：的“輪換拋物線”為，拋物線、與軸分別交于點、，點在點的上方，拋物線的頂點為．
(1)如果點的坐標(biāo)為，求拋物線的表達式；
(2)設(shè)拋物線的對稱軸與直線相交于點，如果四邊形為平行四邊形，求點的坐標(biāo)；
(3)已知點在拋物線上，點坐標(biāo)為，當(dāng)時，求的值．
12．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線解析式及，兩點坐標(biāo)；
(2)以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標(biāo)；
(3)該拋物線對稱軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
13．（2023·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點和，其頂點的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達式．
(2)若直線與軸交于點，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點，當(dāng)取何值時，使得有最大值，并求出最大值．
(3)若點為拋物線的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移個單位長度后，為平移后拋物線上一動點．在（）的條件下求得的點，是否能與、、構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出點坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請說明理由．
14．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達式；
(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；
(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
15．（2024·山西晉城·一模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點B在點A的左側(cè)），與y軸交于點C，P是直線上方拋物線上一動點．
(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達式．
(2)連接，，求面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)．
(3)在（2）的條件下，若F是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是否存在點Q，使以B，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
16．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標(biāo)；
(3)如圖②，當(dāng)點從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作，交AC于點E，作，垂足為點D．當(dāng)m為何值時，面積最大，并求出最大值．
17．（2024·山西晉城·一模）綜合與探究：如圖1，已知拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸相交于點，直線與軸相交于點，交線段于點，且.
(1)求，，三點的坐標(biāo)；
(2)求直線的函數(shù)表達式；
(3)如圖2，若拋物線的對稱軸與直線交于點，試探究，在平面內(nèi)是否存在一點，使以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形.若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
18．（2024·山西呂梁·一模）綜合與探究
如圖1，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點，點是拋物線的頂點，點是直線上方拋物線上的一動點．

(1)求拋物線的頂點的坐標(biāo)和直線的解析式；
(2)如圖，連接交于點，若，求此時點的坐標(biāo)；
(3)如圖，直線與拋物線交于，兩點，過頂點作軸，交直線于點．若點是拋物線上一動點，試探究在直線上是否存在一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
19．（2024·山東泰安·一模）綜合與實踐
如圖，拋物線與x軸交于，兩點，且點在點的左側(cè)，與軸交于點，點是拋物線上的一動點．

(1)求，，三點的坐標(biāo)；
(2)如圖2，當(dāng)點在第四象限時，連接和，得到，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點的坐標(biāo)；
(3)點在軸上運動，以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，請借助圖1探究，直接寫出點的坐標(biāo)．
20．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）若直線與y軸交于點A，與x軸交于點B，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，點B，且與x軸交于點．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)若點P為直線下方拋物線上一點，過點P作直線的垂線，垂足為E，作軸交直線于點F，求線段最大值及此時點P的坐標(biāo)；
(3)將拋物線沿x軸的正方向平移2個單位長度得到新拋物線，Q是新拋物線與x軸的交點（靠近y軸），N是原拋物線對稱軸上一動點，在新拋物線上存在一點M，使得以M、N、B、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件的點M的坐標(biāo)．
21．（2024·山東聊城·一模）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于（為坐標(biāo)原點）、兩點，且二次函數(shù)的最小值為，點是其對稱軸上一點，點在軸上，．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點，連接，，求面積的最大值；
(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
22．（2023·山東·中考真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點，交軸負半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標(biāo)為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？
(3)若，設(shè)直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
23．（2024·江蘇連云港·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線與x軸交于點A，B兩點，它的對稱軸直線交拋物線于點M，過點M作軸于點C，連接，已知點A的坐標(biāo)為．
(1)求此拋物線的函數(shù)表達式；
(2)動點P，Q在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為，其中．
①若，請求此時點Q的坐標(biāo)；
②在線段上是否存在一點D，使得以C，P，D，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出此時m的值；若不存在，說明理由．
24．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點、點，M是拋物線上第一象限內(nèi)的點，過點M作直線軸于點N.
(1)求拋物線的表達式；
(2)當(dāng)直線是拋物線的對稱軸時，求四邊形的面積
(3)求的最大值，并求此時點M的坐標(biāo)；
(4)在（3）的條件下，若P是拋物線的對稱軸上的一動點，Q是拋物線上的一動點，是否存點點P、Q，使以點A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
25．（2024·四川宜賓·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點與y軸交于點．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)點P為直線AB上方拋物線上一動點，過點P作PQ⊥x軸于點Q，交AB于點M，求的最大值及此時點P的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，點與點P關(guān)于拋物線的對稱軸l對稱．點C在拋物線上，點D在對稱軸l上，直接寫出所有使得以點A、、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標(biāo)．
26．（2024·甘肅天水·一模）拋物線經(jīng)過、兩點，與軸交于另一點．
(1)求拋物線、直線的函數(shù)解析式；
(2)在直線上方拋物線上是否存在一點，使得的面積達到最大，若存在則求這個最大值及點坐標(biāo)，若不存在則說明理由．
(3)點為拋物線上一動點，點為軸上一動點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點的坐標(biāo)．
27．（2024·山東濟南·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的圖象過原點，頂點坐標(biāo)為．

(1)求該二次函數(shù)的解析式；
(2)如圖1，在軸下方作軸的平行線，交二次函數(shù)圖象于兩點，過兩點分別作軸的垂線，垂足分別為點、點．當(dāng)矩形為正方形時，求點的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，作直線，動點從點出發(fā)沿射線以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點以相同的速度從點出發(fā)沿線段勻速運動，到達點時立即原速返回，當(dāng)動點返回到點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為秒．過點向軸作垂線，交拋物線于點，交直線于點，當(dāng)以四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求的值．
28．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點在函數(shù)的圖象上．
(1)若，求n的值；
(2)拋物線與x軸交于兩點M，N（M在N的左邊），與y軸交于點G，記拋物線的頂點為E．
①m為何值時，點E到達最高處；
②設(shè)的外接圓圓心為C，與y軸的另一個交點為F，當(dāng)時，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
29．（2024·山西陽泉·二模）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點．過點作直線軸，連接，過點作，交直線于點，作直線．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式并直接寫出直線的函數(shù)表達式；
(2)如圖，點為拋物線上第二象限內(nèi)的點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，連接與交于點，當(dāng)點為線段的中點時，求；
(3)若點為軸上一個動點，點為拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
30．（2024·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知，，連接，點P是拋物線上的一個動點，點N是對稱軸上的一個動點．
備用圖
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．
(2)在線段的下方是否存在點P，使得的面積最大？若存在，求點P的坐標(biāo)及面積最大值．
(3)在對稱軸上是否存在點N，使得以點B，C，P，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
31．（2024·廣東惠州·一模）綜合探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，連接．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點在第一象限拋物線上一點，連接、，若，求點的坐標(biāo)；
(3)若點為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點，使得，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
32．（2024·甘肅隴南·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)若D為拋物線的頂點，求的面積；
(3)若P是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，是否存在以A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
33．（2024·山東淄博·一模）已知拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖，若直線下方的拋物線上有一動點，過點作軸平行線交于，過點作的垂線，垂足為，求周長的最大值；
(3)若點在拋物線的對稱軸上，點在軸上，是否存在以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
(4)將拋物線向左平移個單位，再向上平移個單位，得到一個新的拋物線，問在軸正半軸上是否存在一點，使得當(dāng)經(jīng)過點的任意一條直線與新拋物線交于，兩點時，總有為定值？若存在，求出點坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由．
34．（2024·山西朔州·二模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于C點．點D與點C關(guān)于x軸對稱，直線交拋物線于另一點E．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式，并直接寫出直線的函數(shù)表達式．
(2)點P是直線下方拋物線上的一點，過點P作直線的垂線，垂足為F．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，試探究當(dāng)m為何值時，線段最大？請求出的最大值．
(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時，若點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點B，P，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
35．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知拋物線 與x軸交于、B兩點，頂點為P，與y軸交于C點，且的面積為6．
(1)求拋物線的對稱軸和解析式；
(2)平移這條拋物線，平移后的拋物線交y軸于E，頂點Q在原拋物線上，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求平移后拋物線的表達式；
(3)若過定點K的直線交拋物線于M、N兩點（N在M點右側(cè)），過N點的直線 與拋物線交于點 G， 求證： 直線必過定點．
36．（2015·山東臨沂·一模）如圖，拋物線與軸交于點和．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若拋物線的對稱軸交x軸于點E，點F是位于x軸上方對稱軸上一點， 軸，與對稱軸右側(cè)的拋物線交于點C，且四邊形是平行四邊形，求點C的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
37．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中為坐標(biāo)原點，點，點在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；
(2)求點的坐標(biāo)；
(3)設(shè)為線段的中點，為直線上的一個動點，連接，，將沿翻折，點的對應(yīng)點為．問是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
38．（2023·四川南充·中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．
39．（2024·四川廣元·二模）如圖，已知直線：交 x軸于點B，交y軸于點C，拋物線的圖象過點 B，C，且與x軸交于另一點A（點 A 在點 B 的左側(cè)）．在直線 下方的拋物線上有一點 P，過點 P 作軸，垂足為 F，交 于點M，連接，，，交于點E．
(1)求拋物線的解析式．
(2)當(dāng)時，求點 P 的坐標(biāo)．
(3)連接，，已知點 D 是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng) 的面積最大時，在該拋物線上是否存在動點 Q，使得以點 A，M，Q，D為頂點的四邊形是平行四邊形？ 若存在，求出點 Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
40．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點坐標(biāo)為交軸于、兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸交軸于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)已知拋物線上點，以點為直角頂點構(gòu)造，使點在軸上，點在軸上，為的中點，求的最小值；
(3)為平面直角坐標(biāo)系中一點，在拋物線上是否存在一點，使得以，，，為頂點的四邊形為矩形？若存在，求出點的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
題型二：菱形存在性
1．（2024·陜西渭南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于點和點，與軸交于點，且．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)連接，點是拋物線的對稱軸上的動點，點是平面內(nèi)的點，是否存在以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交x軸于兩點，交y軸于點C，點P在線段上，過點P作軸，交拋物線于點D，交直線于點E．
(1) ， ；
(2)在點P運動過程中，若是直角三角形，求點P的坐標(biāo)；
(3)在y軸上是否存在點F，使得以點C、D、E、F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
3．（2024·青海西寧·一模）如圖，拋物線 與y軸交于點，點B 是拋物線的頂點，直線 是拋物線的對稱軸，且與x軸交于點C．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)點D是對稱軸左側(cè)拋物線上一點，連接， 求點 D 的坐標(biāo)．
(3)在(2)的條件下，若點M是x軸上方拋物線對稱軸上一點，點 P 在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以點A，D，M，P為頂點的四邊形是以為邊的菱形，請求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)
4．（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側(cè)），點為直線上的一動點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式．
(2)過點作軸的垂線，與拋物線交于點．若，求面積的最大值．
(3)拋物線與軸交于點，點為平面直角坐標(biāo)系上一點，若以為頂點的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．
5．（23-24九年級上·廣東中山·期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點在圖形的內(nèi)部，或在圖形上，且點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時，則稱點為圖形的“夢之點”．
(1)如圖①，矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，在點，，中，是矩形ABCD“夢之點”的是______；
(2)如圖②，已知點A，B是拋物線上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點．連接，判斷的形狀并說明理由．
(3)在（2）的條件下，點P為拋物線上一點，點Q為平面內(nèi)一點，是否存在點P、Q，使得以為對角線，以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
6．（23-24九年級上·重慶南岸·期末）如圖，已知拋物線與x軸交于和兩點，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若直線與拋物線交于點D，與直線交于點F，交x軸交于點E．當(dāng)取得最大值時，求m的值和的最大值；
(3)若拋物線的頂點為P，Q是該拋物線對稱軸上一點，在平面內(nèi)確定一點R，使得以點C，R，P，Q為頂點的四邊形是菱形，求點R的坐標(biāo)．
7．（2023·四川廣安·一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)P是拋物線上位于直線上方一動點，且在拋物線的對稱軸右側(cè)，過點P作y軸的平行線交直線于點E，過點P作x軸的平行線與拋物線的對稱軸交于點F，求的最大值及此時點P的坐標(biāo)；
(3)在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿x軸向右平移6個單位長度，平移后的拋物線與平移前的拋物線交于點H，M為平移前拋物線對稱軸上一點．在平面直角坐標(biāo)系中確定一點N，使得以點H，P，M，N為頂點的四邊形是菱形，求出所有符合條件的點N的坐標(biāo)．
8．（2023·山東濟寧·二模）如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線
(1)求拋物線的表達式；
(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形面積S的最大值及此時D點的坐標(biāo)；
(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
9．（2024·山東濟南·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 交軸于點， 兩點， 交軸于點．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)點是直線上方拋物線上的一動點，過點 作． 于點，過點作軸的平行線交直線于點 ，求周長的最大值及此時點的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2） 問的條件下，將該拋物線沿射線的方向平移 個單位后得到新拋物線．點 為平移后的新拋物線的對稱軸上一點． 在平面內(nèi)確定一點． 使得四邊形 是菱形，請求出符合條件的點 的坐標(biāo)．
10．（2024·湖南·一模）如圖，O為坐標(biāo)原點，拋物線與x軸交于，頂點為A．
(1)如圖1，求直線的函數(shù)解析式；
(2)如圖1，將直線繞點M順時針旋轉(zhuǎn)得到直線并交拋物線于點N，若Q為x軸上一點，求的最小值；
(3)如圖2，將拋物線平移得到，頂點由A平移到，若點B在直線上，點D和E分別在拋物線和上，那么四邊形是否可以為菱形？若可以，求出D點坐標(biāo)，若不可以，說明理由．
11．（2023·四川德陽·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A，與y軸交點C，拋物線過A，C兩點，與x軸交于另一點B．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在直線上方的拋物線上有一動點E，連接，與直線相交于點F，當(dāng)時，求E點坐標(biāo)．
(3)在（2）的條件下，若點E位于對稱軸左側(cè)，點M是拋物線對稱軸上一點，點N是平面上一點，當(dāng)以M，N，E，B為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點M的坐標(biāo)．
12．（2024·四川瀘州·一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，頂點為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若在線段上存在一點，使得，過點作交的延長線于點，求點的坐標(biāo)；
(3)點是軸上一動點，點是在對稱軸上一動點，是否存在點，，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標(biāo)，請說明理由．
13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于點和點B（點A在點B的左側(cè)）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)無論a取何值，拋物線一定經(jīng)過兩個定點M，N（點M在點N的左側(cè)），點H是線段上一點，連接，當(dāng)為直角三角形時，求點H的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，點P是線段上一點，則在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點Q（），使得以為頂點且以為邊的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
14．（2024·山東棗莊·一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點A，B，交y軸于點C，點B的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點P是x軸上一動點，軸，交直線于點M，交拋物線于點N．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)若點P在線段上運動（點P與點A、點O不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)．
(3)若點P在x軸上運動，則在y軸上是否存在點Q，使以M、N、C、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
15．（2024·甘肅天水·二模）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標(biāo)；
(3)若點在軸上運動，則在軸上是否存在點，使以為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
16．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖甲，在y軸上找一點D，使為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標(biāo)；
(3)如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
17．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式．
(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標(biāo)．
(3)若點在軸上運動，則在軸上是否存在點，使以、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
18．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，點在原點的左側(cè)，點的坐標(biāo)為，與軸交于點，點是直線下方的拋物線上一動點．
(1)求這個二次函數(shù)的表達式．
(2)連接、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，請求出此時點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(3)當(dāng)點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標(biāo)和四邊形的最大面積．
19．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，頂點為．

(1)求拋物線的表達式；
(2)若點在第一象限內(nèi)對稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，若點是對稱軸上一點，點是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
20．（2024·山東淄博·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點，點D為拋物線的頂點．
(1)求該拋物線的表達式及頂點D的坐標(biāo)；
(2)如圖2，已知經(jīng)過點A的直線與拋物線在第一象限交于點E，與y軸交于點F，連接．當(dāng)時，求點E的坐標(biāo)；
(3)如圖3，在（2）的條件下，將直線與y軸的交點F向下平移個單位長度得到點P．
①連接，求的度數(shù)；
②將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，直線與x軸交于點M．設(shè)點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點，問在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在某個位置，使得四邊形為菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
題型三：矩形存在性
1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，過點作軸平行線交于點，過點作軸平行線交軸于點，求的最大值及點的坐標(biāo)；
(3)如圖2，設(shè)點為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)點，點運動時，在坐標(biāo)軸上確定點，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)．
2．（22-23九年級上·重慶開州·期末）如圖1，拋物線與x軸交于，，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，點P、Q為直線下方拋物線上的兩點，點Q的橫坐標(biāo)比點P的橫坐標(biāo)大1，過點P作軸，交于點M，過點Q作軸交于點N，求的最大值及此時點Q的坐標(biāo)；
(3)如圖3，將拋物線先向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到新的拋物線，在的對稱軸上有一點D，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點E，使得以點B、C、D、E為頂點的四邊形是矩形，且為矩形一邊，求出此時所有滿足條件的點E的坐標(biāo)．
3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）【生活情境】
為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長，寬的長方形水池進行加長改造（如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水池．同時，再建造一個周長為的矩形水池（如圖②，以下簡稱水池．
【建立模型】
如果設(shè)水池的邊加長長度為，加長后水池1的總面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：；設(shè)水池2的邊的長為，面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：，上述兩個函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖③．
【問題解決】
（1）求水池2面積的最大值；
（2）當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時，求的取值范圍；
【數(shù)學(xué)抽象】
（3）在圖③的圖象中，點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點（點不與頂點重合），點在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形且，請求出點的橫坐標(biāo)．
4．（23-24九年級下·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知：如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，，頂點為．

(1)求此拋物線的解析式：
(2)在直線下方的拋物線上，是否存在一點，使四邊形的面積最大？最大面積是多少？
(3)點在軸上的一個動點，點是坐標(biāo)平面上的一個動點，是否存在這樣的點和點，使點構(gòu)成矩形，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
5．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點、，其中點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為1，拋物線過點、．過作軸交拋物線另一點為點．以、長為邊向上構(gòu)造矩形．

(1)求拋物線的解析式；
(2)將矩形向左平移個單位，向下平移個單位得到矩形，點的對應(yīng)點落在拋物線上．
①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
②直線交拋物線于點，交拋物線于點．當(dāng)點為線段的中點時，求的值；
③拋物線與邊、分別相交于點、，點、在拋物線的對稱軸同側(cè)，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點，其中點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為，拋物線過點．過作軸交拋物線另一點為點．以長為邊向上構(gòu)造矩形．
6．（2024·吉林四平·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與軸交于點．點是拋物線上的任意一點（點不與點重合），點的橫坐標(biāo)為，拋物線上點與點之間的部分（包含端點）記為圖像．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時，圖像的最大值與最小值的差為，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；
(3)過點作軸于點，點為軸上的一點，縱坐標(biāo)為，以、為鄰邊構(gòu)造矩形，當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小時，直接寫出的取值范圍．
7．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖，點D是拋物線上的一個動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)是，過點D作直線軸，垂足為點E，交直線于點F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點中一個點平分另外兩點組成的線段時，求線段的長；
(3)若點P是拋物線上的一個動點（點P不與頂點重合），點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時，請直接寫出點P的橫坐標(biāo)．
8．（20-21九年級上·重慶沙坪壩·期中）如圖1，拋物線與x軸交于和兩點，與y軸交于點C．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)P是拋物線上位于直線上方的一個動點，過點P作軸交于點D，過點P作于點E，過點E作軸于點F，求出的最大值及此時點P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，將原拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線，與原拋物線相交于點M，點N為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點H，使以點A，M，N，H為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
9．（2024·山西呂梁·一模）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接，拋物線的對稱軸與軸于點，過點作交軸于點．
(1)求點的坐標(biāo)；
(2)點為拋物線上第四象限的一個動點，過點作軸于點，當(dāng)時，求的長；
(3)在（）的條件下，若點是軸上一點，則平面內(nèi)是否存在一點，使以為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
10．（2024·山西晉城·二模）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接．
(1)求，，三點的坐標(biāo)并直接寫出直線的函數(shù)表達式；
(2)點是第四象限內(nèi)拋物線上一點，過點作軸，交拋物線于點，當(dāng)平分時，求點坐標(biāo)．
(3)若點是拋物線對稱軸上的一點，點為平面內(nèi)一點，當(dāng)以點，，，為頂點的四邊形為矩形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．
題型四：正方形存在性
1．（2024·陜西·一模）如圖，拋物線的對稱軸l與x軸交于點A，與y軸交于點B．
(1)求點A、B的坐標(biāo)；
(2)C為該拋物線上的一個動點，點D為點C關(guān)于直線l的對稱點（點D在點C的左側(cè)），點M在坐標(biāo)平面內(nèi)，請問是否存在這樣的點C，使得四邊形是正方形？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2．（2024·河南洛陽·一模）如圖，拋物線過點，點是拋物線上一個動點，過點作矩形，使邊在軸上（點在點的左側(cè)），點在拋物線上，設(shè)點的橫坐標(biāo)是，當(dāng)時，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)m為何值時，四邊形是正方形？
3．（2024·山西太原·一模）綜合與探究
如圖1，已知拋物線與軸負半軸交于點，點在軸正半軸上，連接交拋物線于點，點的橫坐標(biāo)為．
(1)求點的坐標(biāo)，并直接寫出線段所在直線的函數(shù)表達式；
(2)如圖2，過點作軸于點，點為線段上方拋物線上的一個動點，連接交于點，過點作軸于點，交線段于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．
①求線段的長（用含的代數(shù)式表示）；
②已知點是軸上一點，是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，當(dāng)以點為頂點的四邊形是正方形時，直接寫出點的坐標(biāo)．
4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，已知拋物線與軸交于點，與軸交于，兩點．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若點是第二象限拋物線上的動點，軸，交直線于點，點在軸上，點在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
題型五：梯形存在性
1．（2022·上海楊浦·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點、、三點，且與軸交于點．
(1)求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸：
(2)分別聯(lián)結(jié)、、，直線與線段交于點，當(dāng)此直線將四邊形的面積平分時，求的值；
(3)設(shè)點為該拋物線對稱軸上的一點，當(dāng)以點、、、為頂點的四邊形是梯形時，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．
2．（22-23九年級上·甘肅慶陽·期中）如圖，已知拋物線與軸的交點為點、(點在點的右側(cè))，與軸的交點為點．
(1)直接寫出、、三點的坐標(biāo)；
(2)在拋物線的對稱軸上找一點，使得的值最小，并求出點的坐標(biāo)；
(3)設(shè)點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點，在拋物線上是否存在點，使得以、、、四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
3．（2022·上海青浦·一模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線，其頂點為．
(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點的坐標(biāo)；
(2)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點叫做這條拋物線的“不動點”．
①試求拋物線的“不動點”的坐標(biāo)；
②向左或向右平移拋物線，使所得新拋物線的頂點是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與軸交于點，且四邊形是梯形，求新拋物線的表達式．
4．（23-24九年級上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖，拋物線過點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，交拋物線于點．
(1)求拋物線的表達式及點的坐標(biāo)；
(2)點是直線上的點，若的面積與的面積相等，求點的坐標(biāo)；
(3)點在第四象限，且為拋物線上的點，若四邊形是梯形，求點的坐標(biāo)．
5．（2024·廣東肇慶·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于，兩點（點在軸上），與軸交于點，且．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若為直線下方拋物線上的一個動點，過點作交于點，交軸于點．
①求線段的最大值；
②是否存在點，使得四邊形為等腰梯形？若存在，請求出點的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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