通用的解題思路：
特殊三角形的討論問題，常見于中考試卷的壓軸題中，其融合了特殊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角比的應用等數(shù)學核心知識，考查了學生的分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學思想。雖部分特殊三角形的存在性問題有一定“套路”可循，但大多題目試題命題靈活，并無單一模式，對學生提出了相當大的挑戰(zhàn)。然而萬變不離其宗，從特殊三角形本身的性質(zhì)入手，結(jié)合邊、
角的相互轉(zhuǎn)化，就能撥開迷霧、追尋真跡。
一：等腰三角形的存在性
根據(jù)等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根據(jù)實際圖形的差異，其中某些情況會不存在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有2個甚至更多的解，在解題時需要尤其注意．
解題思路：
（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對應的函數(shù)式；
（2）根據(jù)條件分情況進行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式或根式方程）
（3）解出方程，并代回原題中進行檢驗，舍去增根．
二：直角三角形的存在性
在考慮△ABC是否為直角三角形時，很顯然需要討論三種情況：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多數(shù)問題中，其中某兩種情況會較為簡單，剩下一種則是考察重點，需要用到勾股定理。
解題思路：
（1）按三個角分別可能是直角的情況進行討論；
（2）計算出相應的邊長等信息；
（3）根據(jù)邊長與已知點的坐標，計算出相應的點的坐標．
三：等腰直角三角形的存在性
既要結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，又要結(jié)合直角三角形的性質(zhì)。需要分類討論哪個角是直角。
四：相似三角形的存在性
相似三角形存在性問題，分類討論步驟：
第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；
要先確定已知三角形是否有直角，或確定銳角（借助三角函數(shù)值-初中階段衡量角度問題的計算手段，二次函數(shù)角的存在性壓軸專題應用更為突出）
①若有已知的相等角，則其頂點對應；
②若沒有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。
第二步：確定相似后，根據(jù)對應邊成比例求解動點坐標：
①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導邊的大小；
②若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后用相似來列方程求解。
題型一：等腰三角形的存在性
1．（2024?運城模擬）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，是第一象限拋物線上的一個動點，若點的橫坐標為，連接，，，．
（1）求，，三點的坐標，并直接寫出直線的函數(shù)表達式．
（2）當四邊形的面積有最大值時，求出的值．
（3）在（2）的條件下，在軸上是否存在一點，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
2．（2024?青島一模）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點．與軸交于點，，點坐標為，連接、．
（1）請直接寫出二次函數(shù)的表達式；
（2）判斷的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，若點在線段上運動（不與點，重合），過點作，交于點，當面積最大時，求此時點的坐標；
（4）若點在軸上運動，當以點，，為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點的坐標．
3．（2024?遼寧一模）如圖1，正方形的頂點，的坐標分別為，，頂點，在第一象限．點從點出發(fā)，沿正方形按方向運動，同時，點從點出發(fā)，沿軸正方向以相同速度運動，當點到達點時，，兩點同時停止運動，設運動時間為，的面積（平方單位）．
（1）正方形的邊長為 ；
（2）當點由點運動到點時，過點作軸交軸于點，已知隨著點在上運動時，的面積與時間之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖2所示），
求：①點，兩點的運動速度為 ；
②關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為 ；
（3）當點由點運動到點時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)的面積是關(guān)于時間的二次函數(shù)，其中與部分對應取值如下表：
求：的值及關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（4）在（2）的條件下若存在2個時刻，對應的的形狀是以為腰的等腰三角形，點沿正方形按方向運動時直接寫出當時，的面積的值．
4．（2024?康縣一模）如圖，拋物線與直線相交于，兩點．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出頂點坐標；
（2）點為軸上一動點，當是以為底邊的等腰三角形時，求點的坐標；
（3）把拋物線沿它的對稱軸向下平移個單位長度，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求的最大值．
5．（2024?澄海區(qū)校級模擬）如圖，點、在軸正半軸上，點、在軸正半軸上，且，，，過、、三點的拋物線上有一點，使得．
（1）求過、、三點的拋物線的解析式．
（2）求點的坐標．
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．
6．（2024?仁和區(qū)一模）如圖，已知拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，對稱軸為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點是線段上的一個動點（不與點，重合），過點作軸的平行線交拋物線于點，連接．當線段長度最大時，判斷四邊形的形狀并說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，是的中點，過點的直線與拋物線交于點，且．在軸上是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
7．（2024?即墨區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)交軸于點，，交軸于點，在軸上有一點，連接．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值及此時點的坐標；
（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為以為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標即可；若不存在，請說明理由．
8 ．（2023?青海）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點和點，交軸于點．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設二次函數(shù)圖象的頂點為，對稱軸與軸交于點，求四邊形的面積（請在圖1中探索）；
（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）．
9．（2024?浦東新區(qū)二模）在平面直角坐標系中，已知直線與軸、軸分別交于點、點，拋物線經(jīng)過點、兩點，頂點為點．
（1）求、的值；
（2）如果點在拋物線的對稱軸上，射線平分，求點的坐標；
（3）將拋物線平移，使得新拋物線的頂點在射線上，拋物線與軸交于點，如果是等腰三角形，求拋物線的表達式．
10．（2024?金州區(qū)一模）【概念感知】
兩個二次函數(shù)只有一次項系數(shù)不同，就稱這兩個函數(shù)為“異族二次函數(shù)”．
【概念理解】
如圖1，二次函數(shù)的圖象交軸于點，，交軸于點，點為線段的中點，二次函數(shù)與是“異族二次函數(shù)”，其圖象經(jīng)過點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
【拓展應用】
（2）如圖2，直線，交拋物線于，，當四邊形為平行四邊形時，求直線的解析式；
（3）如圖3，點為軸上一點，過點作軸的垂線分別交拋物線，于點，，連接，，當為等腰三角形時，直接寫出點的坐標．
11．（2024?濟南一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于，兩點，與軸相交于點，是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上一個動點，設點的橫坐標為，過點作軸于點，與交于點．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應點為，判斷點是否落在拋物線上，并說明理由；
（3）求的最大值；
（4）如果是等腰三角形，直接寫出點的橫坐標的值．
12．（2024?微山縣一模）如圖，頂點坐標為的拋物線與軸交于，兩點（點在點的左邊），與軸交于點，是直線上方拋物線上的一個動點，連接交拋物線的對稱軸于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接，當?shù)闹荛L最小時，求點的坐標；
（3）過點作軸于點，交直線于點，連接．在點運動過程中，是否存在使為等腰三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
13．（2024?庫爾勒市一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過，兩點，并與軸交于另一點．
（1）求該拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求點坐標；
（3）設是拋物線上的一個動點，過點作直線軸于點，交直線于點．
①若點在第一象限內(nèi)，試問：線段的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時的值；若不存在，請說明理由；
②當點運動到某一位置時，能構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，求此時點的坐標及等腰的面積．
14．（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；
（3）在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．
15．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與軸交于點，直線與拋物線交于，兩點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若是以為腰的等腰三角形，求點的坐標；
（3）過點作軸的垂線，交直線于點，交直線于點．試探究：是否存在常數(shù)，使得始終成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
題型二：直角三角形的存在性
16．（2024?安慶一模）如圖，拋物線與軸交于點、兩點，與軸交于點．
（1）求此拋物線對應的函數(shù)表達式；
（2）點為直線上的任意一點，過點作軸的垂線與此拋物線交于點．
①若點在第一象限，連接、，求面積的最大值；
②此拋物線對稱軸與直線交于點，連接，若為直角三角形，請直接寫出點坐標．
17．（2024?任城區(qū)一模）已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，在對稱軸上是否存在點，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，點在直線下方的拋物線上，連接交于點，當最大時，請直接寫出點的坐標．
18．（2024?涼州區(qū)一模）拋物線與軸交于點和，與軸交于點，連接．點是線段下方拋物線上的一個動點（不與點，重合），過點作軸的平行線交于，交軸于．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）過點作于點，．
①求點的坐標；
②連接，在軸上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
19．（2024?德陽模擬）平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點，的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）如圖，點是直線上的一個動點，連接，，是否存在點使最小，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．
20．（2023?煙臺）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．
（1）求直線及拋物線的表達式；
（2）在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．
21．（2024?廣安二模）如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點在線段上運動，過點作軸的垂線，與交于點，與拋物線交于點，連接，，求四邊形的面積的最大值．
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
22．（2024?金山區(qū)二模）已知：拋物線經(jīng)過點、，頂點為．
（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標；
（2）平移拋物線，使得平移后的拋物線頂點在直線上，且點在軸右側(cè)．
①若點平移后得到的點在軸上，求此時拋物線的解析式；
②若平移后的拋物線與軸相交于點，且是直角三角形，求此時拋物線的解析式．

23．（2024?宿豫區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過、、三點，已知，，．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）點是拋物線上任意一點，若，求點的坐標；
（3）點是拋物線上任意一點，若以、、為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出點的坐標．
24．（2024?雙峰縣模擬）如圖，拋物線與直線相交于，兩點，且拋物線經(jīng)過點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是拋物線在第四象限上的一個動點，過點作直線軸于點，交直線于點．當時，求點坐標；
（3）若拋物線上存在點，使得是以為直角邊的直角三角形，直接寫出點的坐標．
25．（2024?濱州一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值
26．（2024?倉山區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，且點坐標為，拋物線的對稱軸為直線，連接直線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，連接，交直線于點，連接，如圖2所示，記的面積為，的面積為，求的最大值；
（3）若點為對稱軸上一點，是否存在以，，為頂點的直角三角形，若存在，直接寫出滿足條件的點坐標；若不存在，請說明理由．
27．（2024?荊州模擬）如圖，直線與軸、軸分別交于點、點，經(jīng)過，兩點的拋物線與軸的另一個交點為，頂點為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點，使以，，為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）將該拋物線在軸上方的部分沿軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象軸下方的部分組成一個“”形狀的圖象，若直線與該“”形狀的圖象部分恰好有三個公共點，求的值．
題型三：等腰直角三角形的存在性
28．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．
（1）求出拋物線的解析式和頂點坐標．
（2）點是拋物線對稱軸右側(cè)圖象上的一點，過點作的垂線交軸于點，作拋物線關(guān)于直線對稱拋物線，則關(guān)于直線的對稱點為，若為等腰直角三角形，求出拋物線的解析式．
29．（2024?涼州區(qū)二模）如圖1，已知拋物線的圖象經(jīng)過點，，，過點作軸交拋物線于點，點是拋物線上的一個動點，連接，設點的橫坐標為．
（1）填空： ， ， ；
（2）在圖1中，若點在軸上方的拋物線上運動，連接，當四邊形面積最大時，求的值；
（3）如圖2，若點在拋物線的對稱軸上，連接、，是否存在點使為等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
30．（2024?高唐縣一模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；
（2）若點為第四象限內(nèi)拋物線上一點，當面積最大時，求點的坐標；
（3）若點為拋物線上一點，點是線段上一點（點不與兩端點重合），是否存在以、、為頂點的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
31．（2024?咸豐縣模擬）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接．若點在線段上運動（點不與點，重合），過點作軸的垂線，交拋物線于點，交軸于點．設點的橫坐標為．
（1）求點，，的坐標，并直接寫出直線的函數(shù)解析式．
（2）若，求的值．
（3）在點的運動過程中，是否存在使得為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
題型四：相似三角形的存在性
32．（2024?金平區(qū)校級一模）如圖，二次函數(shù)交軸于點和交軸于點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，在第一象限有一點，到點距離為2，線段與的夾角為，且，連接，求的長度；
（3）對稱軸交拋物線于點，交交于點，在對稱軸的右側(cè)有一動直線垂直于軸，交線段于點，交拋物線手點，動直線在沿軸正方向移動到點的過程中，是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形與相似？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
33．（2024?東莞市一模）已知：在平面直角坐標系中，點為坐標原點，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點，與軸的另一交點為點．
（1）如圖1，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點為直線上方拋物線上一動點，連接、，設直線交線段于點，的面積為，的面積為．當時，求點的坐標；
（3）在（2）的條件下，且點的橫坐標小于2，是否在數(shù)軸上存在一點，使得以、、為頂點的三角形與相似，如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
34．（2024?亳州一模）已知拋物線經(jīng)過點和．
（1）試確定該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖，設該拋物線與軸交于，兩點（點在點左側(cè)），其頂點為，對稱軸為，與軸交于點．
①求證：是直角三角形；
②在上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
35．（2023?隨州）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點，和，連接，點，為拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，交軸于點．
（1）直接寫出拋物線和直線的解析式；
（2）如圖2，連接，當為等腰三角形時，求的值；
（3）當點在運動過程中，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似（其中點與點相對應），若存在，直接寫出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．
36．（2024?青海一模）如圖，二次函數(shù)的對稱軸是直線，圖象與軸相交于點和點，交軸于點．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）點是對稱軸上一點，當時，求點的坐標（請在圖1中探索）；
（3）二次函數(shù)圖象上是否存在點，使的面積與的面積相等？若存在，請求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）．
37．（2024?虹口區(qū)二模）新定義：已知拋物線（其中，我們把拋物線稱為的“輪換拋物線”．例如：拋物線的“輪換拋物線”為．
已知拋物線的“輪換拋物線”為，拋物線、與軸分別交于點、，點在點的上方，拋物線的頂點為．
（1）如果點的坐標為，求拋物線的表達式；
（2）設拋物線的對稱軸與直線相交于點，如果四邊形為平行四邊形，求點的坐標；
（3）已知點在拋物線上，點坐標為，當時，求的值．
38．（2024?安溪縣模擬）已知拋物線與軸只有一個公共點．
（1）求的值；
（2）若將拋物線向右平移1個單位長度得到拋物線，拋物線與軸交于點，頂點為．
①試問：拋物線上是否存在這樣的點，使得？
②若直線與拋物線交于，，，，點關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點記為與不重合），軸交直線于點，直線與直線交于點，求的值．
39．（2024?蘇州一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為，，，，其中，且，與軸的交點為，直線軸，在軸上有一動點，過點作直線軸，與拋物線、直線的交點分別為、．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當時，求面積的最大值；
（3）當時，是否存在點，使以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
40．（2024?雁塔區(qū)校級四模）已知拋物線與軸交于點、（點在點的左側(cè)），與軸交于點，對稱軸為直線．
（1）求此二次函數(shù)表達式和點、點的坐標；
（2）點為第四象限內(nèi)拋物線上一動點，將拋物線平移得到拋物線拋物線，使得拋物線的頂點為點，拋物線與軸交于點，過點作軸的垂線交軸于點．是否存在這樣的點，使得以點、、為頂點的三角形與相似，請你寫出平移過程，并說明理由．
41．（2023?樂至縣）如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點，拋物線經(jīng)過、兩點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點是拋物線在第二象限內(nèi)的點，過點作軸的平行線與直線交于點，求的長的最大值；
（3）點是線段上的動點，點是拋物線在第一象限內(nèi)的動點，連結(jié)交軸于點．是否存在點，使與相似，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
42．（2024?恩施市校級一模）如圖，拋物線交軸于，，交軸于點，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線上找點，使為以為腰的等腰三角形，求點的坐標．
（3）在拋物線上是否存在異于的點，過點作于，使與相似？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．
43．（2024?陽泉模擬）綜合與探究
如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，對稱軸與軸交于點，連接，作直線．
（1）求，，三點的坐標，并直接寫出直線的表達式．
（2）如圖1，若點是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，其橫坐標為，過點分別作軸、軸的垂線，交直線于點，，試探究線段長的最大值．
（3）如圖2，若點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，直線與軸交于點，連接，在點運動的過程中，是否存在點，使以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
44．（2024?龍江縣一模）綜合與探究：
如圖，拋物線與軸交于點，（點在點的右側(cè)），與軸交于點，頂點為，直線與軸交于點，與拋物線交于點，連接，，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①點的坐標為 ；
② ；
③點在拋物線上，，則的取值范圍是 ；
（3）若點在直線上，且，求的值；
（4）在第四象限內(nèi)存在點，使與相似，且為的直角邊，請直接寫出點的坐標．
45．（2023?武漢）拋物線交軸于，兩點在的左邊），交軸于點．
（1）直接寫出，，三點的坐標；
（2）如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于，，三點，連接，若與相似，求的值；
（3）如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點．直線與拋物線交于，兩點，過的中點作直線（異于直線交拋物線于，兩點，直線與直線交于點．問點是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．
46 ．（2023?沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸的交點為點，和點．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）點，在軸正半軸上，，點在線段上，．以線段，為鄰邊作矩形，連接，設．
①連接，當與相似時，求的值；
②當點與點重合時，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到△，點，的對應點分別為、，連接．當△的邊與線段垂直時，請直接寫出點的橫坐標．
47．（2024?濟南模擬）拋物線與軸交于點，兩點，與軸交于點，直線，點在拋物線上，設點的橫坐標為．
（1）求拋物線的表達式和，的值；
（2）如圖1，過點作軸的垂線與直線交于點，過點作，垂足為點，若，求的值；
（3）如圖2，若點在直線下方的拋物線上，過點作，垂足為，求的最大值．
48．（2024?錫山區(qū)一模）如圖，拋物線交軸交于，兩點（點在點的左邊），交軸于點，連接，其中．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點為線段上方拋物線上一動點，過點作于點，若，求點的坐標；
（3）過線段上的點作軸的垂線交拋物線于點，當與相似時，點的坐標為

49．（2024?倉山區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，且點坐標為，拋物線的對稱軸為直線，連接直線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，連接，交直線于點，連接，如圖2所示，記的面積為，的面積為，求的最大值；
（3）若點為對稱軸上一點，是否存在以，，為頂點的直角三角形，若存在，直接寫出滿足條件的點坐標；若不存在，請說明理由．
50．（2024?荊州模擬）如圖，直線與軸、軸分別交于點、點，經(jīng)過，兩點的拋物線與軸的另一個交點為，頂點為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點，使以，，為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）將該拋物線在軸上方的部分沿軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象軸下方的部分組成一個“”形狀的圖象，若直線與該“”形狀的圖象部分恰好有三個公共點，求的值．
51．（2024?平?jīng)鲆荒＃┤鐖D，拋物線經(jīng)過點，點，交軸于點．連接，．為上的動點，過點作軸，交拋物線于點，交于點．
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式；
（2）過點作，垂足為，設點的坐標為，請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當為何值時有最大值，最大值是多少？
（3）點在運動過程中，是否存在一點，使得以，，為頂點的三角形與相似．若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．
52．（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸分別交于點，，與軸交于點，連接．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點作直線軸于點，交于點，連接，，．的面積記為，的面積記為，當時，求的值；
（3）在（2）的條件下，點在拋物線上，直線與直線交于點，當與相似時，請直接寫出點的坐標．
53．（2024?茌平區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸分別相交于，兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點，過點作軸的垂線交于點，交軸于點．
①求的最大值；
②若是的中點，以點，，為頂點的三角形與相似，求點的坐標．
54．（2024?海勃灣區(qū)校級模擬）如圖（1），在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點的坐標為，且，點和點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．
（1）分別求出，的值和直線的解析式；
（2）直線下方的拋物線上有一點，過點作于點，作平行于軸交直線于點，交軸于點，求的周長的最大值；
（3）在（2）的條件下，如圖2，在直線的右側(cè)、軸下方的拋物線上是否存在點，過點作軸交軸于點，使得以點、、為頂點的三角形與相似？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
55．（2024?涼州區(qū)一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸分別交于，兩點，與軸交于點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖1，點為第四象限拋物線上一點，連接，交于點，求的最大值；
（3）如圖2，連接，，過點作直線，點，分別為直線和拋物線上的點，試探究：在第一象限是否存在這樣的點，，使．若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
56．（2024?香洲區(qū)校級一模）已知拋物線與軸交于點和，與軸交于點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，點是線段上的一個動點（不與點，重合），過點作軸的垂線交拋物線于點，聯(lián)結(jié)，當四邊形恰好是平行四邊形時，求點的坐標；
（3）如圖2，在（2）的條件下，是的中點，過點的直線與拋物線交于點，且，在直線上是否存在點，使得與相似？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
題型五：銳角三角形的存在性
57．（2024?南關(guān)區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線，是常數(shù)）經(jīng)過、兩點．點為拋物線上一點，且點的橫坐標為．（1）求該拋物線對應的函數(shù)表達式；
（2）點為拋物線對稱軸上一點，連結(jié)，，求周長的最小值；
（3）已知點，連結(jié)，以為對角線作矩形，且矩形各邊垂直于坐標軸．
①拋物線在矩形內(nèi)的部分圖象隨增大而減小，且最高點與最低點的縱坐標之差為2時，求的值；
②連結(jié)，設的中點為，當以、、為頂點的三角形為銳角三角形時，直接寫出的取值范圍．
題型六：鈍角三角形的存在性
58．（2024?綠園區(qū)一模）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線是常數(shù)）經(jīng)過點．點在拋物線上，其橫坐標為．點是平面直角坐標系中的一點，其坐標為．點是拋物線的頂點．
（1）求該拋物線對應的函數(shù)表達式；
（2）當點恰好落在拋物線上，且點不與點重合時，求線段的長；
（3）連結(jié)、、，當是鈍角三角形時，求的取值范圍；
（4）當時，連結(jié)并延長交拋物線的對稱軸于點，過點作直線的垂線，垂足為點，連結(jié)、、．當折線與拋物線有兩個交點（不包括點時，設這兩個交點分別為點、點，當四邊形（或四邊形的面積是四邊形的面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．
題型七：全等三角形的存在性
59．（2024?南丹縣一模）如圖，拋物線與軸交于點，點，點是拋物線的頂點，過點作軸的垂線，垂足為點．
（1）求拋物線所對應的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點是拋物線上一點，且位于軸上方，橫坐標為，連接，
若，求的值；
（3）如圖2，將拋物線平移后得到頂點為的拋物線．點為拋物線上的一個動點，過點作軸的平行線，交拋物線于點，過點作軸的平行線，交拋物線于點．當以點，，為頂點的三角形與全等時，請直接寫出點的坐標．
題型八：等邊三角形的存在性
60．（2024?南康區(qū)模擬）如圖，已知拋物線與直線相交于，．
（1） ；
（2）拋物線隨其頂點沿直線向上平移，得到拋物線，拋物線與直線相交于，（點在點左邊），已知拋物線頂點的橫坐標為．
①當時，拋物線的解析式是 ， ；
②連接，，當為等邊三角形時，求點的坐標．
61．（2023?恩施州）在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點．
（1）如圖，若，拋物線的對稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若為軸上的點，為軸上方拋物線上的點，當為等邊三角形時，求點，的坐標；
（3）若拋物線經(jīng)過點，，，且，求正整數(shù)，的值．
62．（2023?雅安）在平面直角坐標系中，已知拋物線過點，對稱軸是直線．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點的坐標；
（2）若點在拋物線上，過點作軸的平行線交拋物線于點，當是等邊三角形時，求出此三角形的邊長；
（3）已知點在拋物線的對稱軸上，點的坐標為，是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
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