通用的解題思路：
從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．
（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題
在商品經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問題
幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．
（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題
利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
1．（2024?北侖區(qū)一模）周末，小明和同學(xué)們一起去長江路地鐵站坐地鐵．在等車的過程中，他驚嘆于地鐵每次都能精準(zhǔn)的?？吭谕Ｖ咕€上．為什么每次地鐵?？慷寄敲礈?zhǔn)呢？里面一定包含著數(shù)學(xué)知識(shí)通過工作人員幫助，小明獲得了地鐵剎車開始的時(shí)間與地鐵到停止線的距離之間的表格信息：
當(dāng)小明拿到這些數(shù)據(jù)時(shí)，他作了如下的思考：
（1）依據(jù)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，小明需要將這些數(shù)據(jù)繪制在平面直角坐標(biāo)系中，并用平滑的曲線進(jìn)行連線，形成數(shù)據(jù)所生成的圖象，請(qǐng)你在圖中落實(shí)他的想法；
（2）根據(jù)圖象以及數(shù)據(jù)關(guān)系，它可能是我們所學(xué)習(xí)過的 二次 函數(shù)圖象（選填“一次”、“二次”或“反比例” ．請(qǐng)你選擇合適的數(shù)據(jù)求出該函數(shù)的表達(dá)式；
（3）地鐵從開始剎車到下次啟動(dòng)一共用時(shí)60秒．求地鐵的?？繒r(shí)間．
（?？繒r(shí)間指的是地鐵剎停后的靜止時(shí)間）
【分析】（1）根據(jù)描點(diǎn)，連線，畫出函數(shù)圖象即可求解；
（2）觀察函數(shù)圖象即可求解；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；
（3）將代入，解方程即可求出的值，再用即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）描點(diǎn)，連線，如圖：
（2）根據(jù)圖象以及數(shù)據(jù)關(guān)系，它可能是我們所學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)，
設(shè)，將點(diǎn)代入得：，
將，代入中，
得：，
解得：，
該函數(shù)的表達(dá)式為；
故答案為：二次；
（3）依題意，當(dāng)時(shí)，，
解得：，
，
地鐵的?？繒r(shí)間為28秒．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?官渡區(qū)一模）“有一種叫云南的生活”融和了豐富的多元文化、多彩的自然風(fēng)光和獨(dú)特的民俗風(fēng)情．在云南，風(fēng)里有花香，舌尖亦能有花香．“鮮花餅”是云南有名的特產(chǎn)，南屏街某商店銷售“鮮花餅”，進(jìn)價(jià)為20元盒，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該鮮花餅的銷售量（盒與銷售價(jià)（元盒）之間的關(guān)系如圖所示．規(guī)定售價(jià)不低于成本，不高于成本的2.5倍．
（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；
（2）求銷售該鮮花餅獲得的利潤的最大值．
【分析】（1）根據(jù)題意分和兩種情況，然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)該店日獲利潤為元，然后表示出，利用二次函數(shù)的增減性求解即可．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)與的函數(shù)解析式為，
根據(jù)題意，得，
解得，
；
當(dāng)時(shí)，
故與的函數(shù)解析式為；
（2）設(shè)該店日獲利潤為元，當(dāng)時(shí)，
，
，
拋物線開口向下，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為4000；
當(dāng)時(shí)，，
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)取得最大值，最大值為6000，
綜上所述，銷售該鮮花餅獲得的利潤的最大值為6000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，最大銷售利潤的問題常利用函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案，其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值）．
3．（2024?新吳區(qū)一模）天氣漸熱，某商家購進(jìn)一種冰鎮(zhèn)飲料，每瓶進(jìn)價(jià)是4元，并規(guī)定每瓶售價(jià)不得少于6元，日銷售量不低于40瓶．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每瓶售價(jià)定為6元時(shí)，日銷售量為60瓶，每瓶售價(jià)每提高1元，日銷售量減少5瓶．設(shè)每瓶售價(jià)為元，日銷售量為瓶．
（1）當(dāng)時(shí)， 50 ；
（2）當(dāng)每瓶售價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤（元最大？最大利潤是多少？
（3）判斷命題：“日銷售額最大時(shí)，日銷售利潤不是最大”是 命題（填“真”或“假” ，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)每瓶售價(jià)每提高1元，日銷售量減少5瓶，當(dāng)時(shí)，售價(jià)提高2元，則日銷售量減少10瓶，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)每瓶利潤日銷售量總利潤，可得關(guān)于的關(guān)系式，再根據(jù)題意求出自變量的取值范圍，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；
（3）設(shè)日銷售額為元，根據(jù)日銷售額銷售單價(jià)銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出取最大值時(shí)的值，再求出此時(shí)的利潤即可判斷．
【解答】解：（1），
故答案為：50；
（2）由題意可得，，
則，
每瓶售價(jià)不得少于6元，日銷售量不低于40瓶，
，
解得，
，
當(dāng) 時(shí)，有最大值，最大利潤為240，
答：當(dāng)每瓶售價(jià)定為10元時(shí)，日銷售利潤（元最大，最大利潤是240元；
（3）設(shè)日銷售額為元，
則，
，，
當(dāng)時(shí)，日銷售額有最大值為405元，
而此時(shí)日銷售利潤為225元，不是最大，
所以原命題是真命題，
故答案為：真．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是弄清題意，列出函數(shù)解析式并求出的取值范圍．
4．（2024?濱?？h校級(jí)模擬）綜合與實(shí)踐：
問題情境
小瑩媽媽的花卉超市以15元盆的價(jià)格新購進(jìn)了某種盆栽花卉，為了確定售價(jià)，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近，，，，五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價(jià)與日銷售量情況，記錄如下：
數(shù)據(jù)整理：
（1）請(qǐng)將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中：
模型建立
（2）分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，探究出日銷售量與售價(jià)之間的關(guān)系式．
拓廣應(yīng)用
（3）根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中．
①要想每天獲得400元的利潤，應(yīng)如何定價(jià)？
②售價(jià)定為多少時(shí)，每天能夠獲得最大利潤？
【分析】（1）根據(jù)銷售單價(jià)從小到大排列即可；
（2）用待定系數(shù)法求出日銷售量與售價(jià)之間的關(guān)系即可；
（3）①根據(jù)每天獲得400元的利潤，列出一元二次方程，解方程即可；
②設(shè)每天獲得的利潤為元，依據(jù)題意得，依據(jù)一元二次方程的性質(zhì)分析即可．
【解答】解：（1）根據(jù)銷售單價(jià)從小到大排列得下表：
故答案為：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；
（2）觀察表格可知銷售量是售價(jià)的一次函數(shù)；
設(shè)銷售量為盆，售價(jià)為元，，
把，代入得：
，
解得：，
；
（3）①每天獲得400元的利潤，
，
解得 或，
要想每天獲得400元的利潤，定價(jià)為25元或35元；
②設(shè)每天獲得的利潤為元．
根據(jù)題意得：，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值450，
售價(jià)定為30元時(shí)，每天能夠獲得最大利潤450元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程和一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
5．（2024?江陰市一模）某商店以30元件的進(jìn)價(jià)購進(jìn)了某種商品，這種商品在60天內(nèi)的日銷售價(jià)（單位：元件）與時(shí)間（單位：天）之間的關(guān)系如表格所示：
日銷售量（單位：件）與時(shí)間（單位：天）之間的函數(shù)表達(dá)式為，其中為整數(shù)．
（1）求第30天的銷售利潤；
（2）該商品在第幾天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？
日銷售利潤（日銷售價(jià)進(jìn)價(jià)）日銷售量
【分析】（1）求出第30天的銷售價(jià)格和銷售量，用（銷售價(jià)格成本）銷售量求解即可；
（2）該商品的日銷售利潤為元，然后分和兩種情況，由日銷售利潤（日銷售價(jià)進(jìn)價(jià)）日銷售量列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值，最后比較即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，日銷售價(jià)格為（元，
日銷售量為（件，
日銷售利潤為（元，
答：第30天的銷售利潤為750元；
（2）該商品的日銷售利潤為元，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為800；
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為590，
，
商品在第20天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是800元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵寫出日銷售利潤與銷售天數(shù)的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．
6．（2024?嶗山區(qū)一模）某商場新進(jìn)一批拼裝玩具，每件玩具進(jìn)價(jià)是30元，并規(guī)定每件售價(jià)不得少于50元．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件售價(jià)定為50元時(shí)，日銷售量為500件，每件售價(jià)每提高0.5元，日銷售量減少5件．設(shè)每件售價(jià)為元，日銷售量為件．
（1）當(dāng)時(shí)， 400 件；
（2）當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤（元最大？最大利潤是多少？
（3）當(dāng)日銷售利潤不低于6000元時(shí)，求每件玩具售價(jià)的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)“每件售價(jià)每提高0.5元，日銷售量減少5件”求解即可；
（2）根據(jù)“銷售利潤（售價(jià)成本）銷量”列關(guān)系式，并根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；
（3）先求出當(dāng)元時(shí)，的值，再根據(jù)開口方向確定時(shí)，自變量的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，（件，
故答案為：400；
（2）根據(jù)題意得：，
，
，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
由題意，
解得，
當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為12250，
答：當(dāng)每件售價(jià)定為65元時(shí)，日銷售利潤（元最大，最大利潤是12250元；
（3）當(dāng)元時(shí)，，
解得，，
，
開口向下，
當(dāng)時(shí)，，
又，
，
答：當(dāng)日銷售利潤不低于6000元時(shí)，每件玩具售價(jià)的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式．
7．（2024?龍湖區(qū)校級(jí)一模）某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件成本是50元，為了合理定價(jià)，投成市場進(jìn)行式銷，據(jù)調(diào)查，銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5伴，但要求銷售單價(jià)不得低于成本．
設(shè)銷售單價(jià)元，銷售利潤元．
（1）求出銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（2）該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，求出銷售單價(jià)的取值范圍？
【分析】（1）根據(jù)“利潤（售價(jià)成本）銷售量”列出函數(shù)解析式，根據(jù)利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）令，解方程求出的值，再根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出銷售利潤不低于4000元時(shí)銷售單價(jià)的取值范圍．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：
，
，
拋物線開口向下，
，對(duì)稱軸是直線，
當(dāng)時(shí)，；
即銷售單價(jià)為80元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是4500元；
（2）當(dāng)時(shí)，
，
解得，，
由函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，每天的銷售利潤不低于4000元，
銷售單價(jià)的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】此題題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．
8．（2024?撫州一模）如圖，要建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直放置一根水管，在水管的頂端安裝一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達(dá)到最高，高度為，水柱落地處離池中心．
（1）求水管的長度；
（2）若在噴水池中豎直放置一盞高為的景觀射燈，且景觀射燈的頂端恰好碰到水柱，求景觀射燈與之間的水平距離；
（3）現(xiàn)計(jì)劃擴(kuò)建噴水池，升高水管，使落水點(diǎn)與水管之間的距離為，已知水管升高后，噴水頭噴出的水柱形狀和對(duì)稱軸不變，則水管要升高多少？
【分析】（1）易得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．用頂點(diǎn)式設(shè)出拋物線的解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得二次項(xiàng)的系數(shù)，即可得到拋物線的解析式，取，求得的值即為水管的長度；
（2）取，代入（1）得到的拋物線解析式，求得合適的值，即可求得景觀射燈與之間的水平距離；
（3）根據(jù)噴水頭噴出的水柱形狀和對(duì)稱軸不變，可得新的拋物線的解析式的二次項(xiàng)系數(shù)，對(duì)稱軸與（1）中的解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)和對(duì)稱軸完全相同，進(jìn)而把代入可得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)．取，求得水管頂端與軸的交點(diǎn)，減去3.2即為水管要升高的長度．
【解答】解：（1）由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線的解析式為：．
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：．
解得：．
．
當(dāng)時(shí)，．
水管的長度為；
（2）當(dāng)時(shí)，．
．
．
解得：，（不合題意，舍去）．
景觀射燈與之間的水平距離為7 ．
答：景觀射燈與之間的水平距離為．
（3）設(shè)升高水管后，水柱所在的拋物線的解析式為．
經(jīng)過點(diǎn)，
．
解得：．
．
當(dāng)時(shí)，．
．
答：水管要升高．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：若所求的二次函數(shù)中有最高點(diǎn)（最低點(diǎn)），一般設(shè)函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式，求解析式計(jì)算比較簡便．
9．（2024?黔南州一模）如圖1是某公園噴水頭噴出的水柱．如圖2是其示意圖，點(diǎn)處有一個(gè)噴水頭，距離噴水頭的處有一棵高度是的樹，距離這棵樹的處有一面高的圍墻（點(diǎn)，，在同一直線上）．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．已知澆灌時(shí)，噴水頭噴出的水柱的豎直高度（單位：與水平距離（單位：近似滿足函數(shù)關(guān)系．
某次噴水澆灌時(shí)，測得與的幾組數(shù)據(jù)如下：
（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這些數(shù)據(jù)滿足的函數(shù)關(guān)系式．
（2）判斷噴水頭噴出的水柱能否越過這棵樹，并請(qǐng)說明理由．
（3）在另一次噴水澆灌時(shí)，已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系．假設(shè)噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，且不會(huì)澆到墻外，求出所滿足的關(guān)系式．
【分析】（1）依據(jù)題意，由表格中數(shù)據(jù)，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）依據(jù)題意，把代入（1）中解析式求出的值與2.3比較即可；
（3）根據(jù)題意可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)以及對(duì)稱軸直線即可求出的范圍．
【解答】解：（1）由題意，根據(jù)拋物線過原點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為，
把，和，代入得：，
解得，
拋物線解析式為；
（2）由題意，當(dāng)時(shí)，．
，
噴水頭噴出的水柱能越過這棵樹；
（3）噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，
當(dāng)時(shí)，，
即，
，
噴水頭噴出的水柱不會(huì)澆到墻外，
當(dāng)時(shí)，，
解，
，
拋物線對(duì)稱軸為，
噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，且不會(huì)澆到墻外，
對(duì)稱軸所在直線在圍墻與噴水頭中點(diǎn)的左側(cè)．
，
．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．
10．（2024?衢州一模）綜合與實(shí)踐
【分析】（1）按兩種思路，由矩形面積公式列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值，然后比較即可；
（2）按兩種思路，由矩形面積公式列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值，然后比較即可．
【解答】解：（1）思路1：設(shè)，則，
，
，，
當(dāng)時(shí)，；
思路2：設(shè)，則，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
矩形種植園面積最大為；
（2）圖示如下：
同（1）可分別求得：
思路，則，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為50；
思路，則，
，
，，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為48，
，
矩形種植園面積最大為，此時(shí)，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．
11．（2024?湖北模擬）如圖1，公園草坪的地面處有一根直立水管，噴水口可上下移動(dòng)，噴出的拋物線形水線也隨之上下平移，圖2是其示意圖．開始噴水后，若噴水口在處，水線落地點(diǎn)為，；若噴水口上升到處，水線落地點(diǎn)為，．
（1）求水線最高點(diǎn)與點(diǎn)之間的水平距離；
（2）當(dāng)噴水口在處時(shí)，
①求水線的最大高度；
②身高的小紅要從水線下某點(diǎn)經(jīng)過，為了不被水噴到，該點(diǎn)與的水平距離應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．易得噴水口在處的拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，那么可得拋物線的對(duì)稱軸，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得水線最高點(diǎn)與點(diǎn)之間的水平距離；
（2）①根據(jù)拋物線上下平移，對(duì)稱軸不變以及經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)求得當(dāng)噴水口在處時(shí)的水線所在的拋物線的解析式，水線的最大高度即為對(duì)稱軸與拋物線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)到軸的距離；
②取，代入①得到的拋物線解析式，求得對(duì)應(yīng)的的值，即可判斷出為了不被水噴到，該點(diǎn)與的水平距離應(yīng)滿足什么條件．
【解答】解：以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1），
點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．
所得拋物線的對(duì)稱軸為：直線．
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
水線最高點(diǎn)與點(diǎn)之間的水平距離為：；
（2）①設(shè)噴水口在處時(shí)，噴出的拋物線形水線的解析式為．
經(jīng)過點(diǎn)，，對(duì)稱軸與過點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸相同，
．
解得：．
．
當(dāng)時(shí)，．
答：水線的最大高度為；
②當(dāng)時(shí)，
．
．
．
，．
為了不被水噴到，該點(diǎn)與的水平距離應(yīng)滿足．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：在同一個(gè)拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，那么該拋物線的對(duì)稱軸為：直線；拋物線上下平移，對(duì)稱軸不變．
12．（2024?碑林區(qū)校級(jí)模擬）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦讓更多的人參與到了冰雪運(yùn)動(dòng)中來
如圖①是某處滑雪大跳臺(tái)的實(shí)景圖，建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系，其中段可以近似的看作拋物線：的一部分，軸，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且．某滑雪愛好者在一次滑雪比賽中沿斜坡加速至處騰空而起，近似地沿拋物線運(yùn)動(dòng)，在空中完成翻滾動(dòng)作，著陸在段上，已知當(dāng)他運(yùn)行的水平距離為2米時(shí)，達(dá)到離地面的最大高度為9米．
（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
（2）求該滑雪愛好者騰空后的拋物線的表達(dá)式；
（3）若此次滑雪評(píng)分細(xì)則規(guī)定：當(dāng)運(yùn)動(dòng)員的騰空高度與段之間的豎直最大距離不少于6米時(shí)，則該運(yùn)動(dòng)員在“騰空高度分”就可以給滿分．請(qǐng)通過計(jì)算說明該滑雪愛好者的“騰空高度分”是否能得到滿分．
【分析】（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）用待定系數(shù)法求解析式即可；
（3）設(shè)拋物線上一點(diǎn)，作軸，交拋物線于，設(shè)，則，從而得出，由函數(shù)性質(zhì)求出的最大值與6比較即可．
【解答】解：（1），
當(dāng)時(shí)，，
，
則，
故答案為：；
（2）由題意知，頂點(diǎn)為，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
把代入得，，
解得，
拋物線的表達(dá)式為；
（3）設(shè)拋物線上一點(diǎn)，作軸，交拋物線于，
設(shè)，則，
，
，
當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，
，
該滑雪愛好者的“騰空高度分”能得到滿分．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是關(guān)鍵．
13．（2024?蘭州模擬）如圖1，從遠(yuǎn)處看蘭州深安黃河大橋似張開的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黃河上，它采用疊合梁拱橋方案設(shè)計(jì)．深安黃河大橋主拱形呈拋物線狀，從上垂下若干個(gè)吊桿，與橋面相連．如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系，吊桿到原點(diǎn)的水平距離，吊桿到原點(diǎn)的水平距離，且，主拱形離橋面的距離與水平距離近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，其對(duì)稱軸為直線．
（1）求的長度；
（2）求主拱形到橋面的最大高度的長．
【分析】（1）因?yàn)?，，且，所以其?duì)稱軸為直線，可得的長；
（2）將（1）求得的值代入該二次函數(shù)，已知對(duì)稱軸，可得點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)代入該二次函數(shù)，解得的值，可得該二次函數(shù)的表達(dá)式，可得主拱形到橋面的最大高度的長．
【解答】解：（1）由題意得，其對(duì)稱軸為直線，即，，
答：的長度為；
（2），
，
直線是其對(duì)稱軸，
，
將點(diǎn)代入函數(shù)，
得，，
解得：，
，
，即，
答：主拱形到橋面的最大高度的長為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的對(duì)稱軸．
14．（2024?安陽模擬）大學(xué)生小麗暑假期間從小商品批發(fā)市場批發(fā)了一種新商品，新商品的進(jìn)價(jià)為30元件，經(jīng)過一段時(shí)間的試銷，她發(fā)現(xiàn)每月的銷售量會(huì)因售價(jià)的調(diào)整而不同．若設(shè)每月的銷售量為件，售價(jià)為元件，每月的總利潤為元．
（1）當(dāng)售價(jià)在元件時(shí)，每月的銷售量都為60件，則此時(shí)每月的總利潤最多是多少元？
（2）當(dāng)售價(jià)在元件時(shí)，每月的銷售量與售價(jià)的關(guān)系如圖所示．小麗決定每賣出一件商品就向福利院捐贈(zèng)為整數(shù)）元，若要保證小麗每月獲利仍隨的增大而增大，請(qǐng)你幫她計(jì)算的最小值是多少，并求此時(shí)售價(jià)為多少元時(shí)，她每月獲利最大．
【分析】（1）根據(jù)總利潤單件的利潤銷售量求解即可；
（2）首先求出當(dāng)售價(jià)在元時(shí)每月銷售量與售價(jià)的關(guān)系式，再根據(jù)小麗每月獲利仍隨的增大而增大，求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
【解答】解：（1）當(dāng)售價(jià)在元時(shí)，總利潤，
，
當(dāng)時(shí)，總利潤最多，為（元，
每月的總利潤最多是1200元；
（2）當(dāng)售價(jià)在元時(shí)，設(shè)每月銷售量，
，
解得
每月銷售量，
每月的總利潤，
二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
，且要保證小麗每月獲利仍隨的增大而增大，
，
解得，
的最小值是30，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為200元，
的最小值是30，此時(shí)售價(jià)為70元時(shí)，她每月獲利最大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理清題意，列出函數(shù)關(guān)系式．
15．（2024?許昌一模）如圖，某市青少年活動(dòng)中心的截面由拋物線的一部分和矩形組成，其中米，米，最高點(diǎn)離地面的距離為9米，以地面所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）暑期來臨之際，該活動(dòng)中心工作人員設(shè)計(jì)了6米長的豎狀條幅從頂棚拋物線部分懸掛下來（條幅的寬可忽略不計(jì)），為了安全起見，條幅最低處不能低于地面上方2米．設(shè)條幅與的水平距離為米，求出的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，求出，點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出頂點(diǎn)式，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）求出時(shí)的的值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）矩形，米，米，
米，米，
，，
拋物線的對(duì)稱軸為，
，
設(shè)拋物線的解析式為：，把代入，得：，
解得：，
；
（2）由題意，當(dāng)時(shí)：，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
16．（2024?合肥模擬）為了豐富學(xué)生的課余生活，加強(qiáng)同學(xué)們戶外鍛煉的意識(shí)，學(xué)校舉辦了排球賽．如圖，已知學(xué)校排球場的長度為18米，位于球場中線處球網(wǎng)的高度為2.24米，一隊(duì)員站在點(diǎn)處發(fā)球，排球從點(diǎn)的正上方1.7米的點(diǎn)向正前方做拋物線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)排球運(yùn)行至離點(diǎn)的水平距離為5米時(shí)，到達(dá)最高點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）這名隊(duì)員發(fā)球后，當(dāng)球上升的最大高度為3.7米時(shí)，他此次發(fā)球是否會(huì)過網(wǎng)？請(qǐng)說明理由；
（2）在（1）的條件下，對(duì)方距球網(wǎng)1米的點(diǎn)處站有一隊(duì)員，她起跳后夠到的最大高度為2.02米，則這次她是否可以攔網(wǎng)成功（假設(shè)她夠到球一定攔網(wǎng)成功）？請(qǐng)通過計(jì)算說明．
【分析】（1）根據(jù)題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，把代入解析式計(jì)算即可．
（2）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，與在2.02米比較，計(jì)算解答即可．
【解答】解：（1）他此次發(fā)球會(huì)過網(wǎng)，理由如下：
根據(jù)題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
設(shè)拋物線的解析式為，
把代入解析式，得，
解得．
．
，點(diǎn)為中點(diǎn)，
．
將代入解析式得，．
，
他此次發(fā)球會(huì)過網(wǎng)．
（2）這次她可以攔網(wǎng)成功；理由如下：
（米．
把代入，
得，
，
故她可以攔網(wǎng)成功．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的應(yīng)用，熟練掌握頂點(diǎn)式拋物線解析式的確定，把生活問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小比較是解題的關(guān)鍵．
17．（2024?焦作一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
【分析】任務(wù)1．以所在的直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入可得和的值，即可得到拋物線的解析式；
任務(wù)2．若有盞燈籠，則有個(gè)間隔，根據(jù)間隔的總長度列出不等式，即可求得的取值范圍，進(jìn)而可得的值；
任務(wù)3．最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)燈籠之間的間隔燈籠的半徑長，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可得到最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【解答】解：任務(wù)1．如圖，以所在的直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
正門是由一個(gè)矩形和一個(gè)拋物線形拱組成的軸對(duì)稱圖形，矩形的寬為，高為，拋物線形拱的高為．
拱頂?shù)淖鴺?biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線的解析式為：．
．
解得：．
；
任務(wù)2．
設(shè)燈籠數(shù)量有盞，那么間隔有個(gè)．
．
解得：．
懸掛燈籠的數(shù)量為雙數(shù)，
燈籠數(shù)量為4個(gè)；
任務(wù)3．
燈籠數(shù)量有4個(gè)，
燈籠之間的間隔有5個(gè)．
矩形的寬為10 ，每個(gè)燈籠的直徑為1 ．
燈籠的半徑是0.5 ，每個(gè)間隔的長度為：．
由題意得：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：．
答：最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)生活常識(shí)得到若在大門掛燈籠，有個(gè)燈籠就有個(gè)間隔是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)．
18．（2024?邯鄲模擬）圖1是兩層噴泉景觀的效果圖，圖2是其示意圖，兩層噴泉落在直徑為的圓內(nèi)，噴泉的水流均看作拋物線的一部分，下層噴泉的噴水口設(shè)在圓心處，落地點(diǎn)與圓心的水平距離為，水流的最高點(diǎn)距離地面；上層噴泉的噴水口設(shè)在圓心的正上方，且水流經(jīng)過下層噴泉水流的最高點(diǎn)，以圓心為原點(diǎn)，過圓心的一條水平線為軸，中心線為軸建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)水流的高度為（單位：，水流距離中心線的水平距離為（單位；．
（1）求圖3中下層噴泉所對(duì)應(yīng)拋物線的函數(shù)解析式；（不必寫的取值范圍）
（2）當(dāng)圖3中上層噴泉所對(duì)應(yīng)拋物線的函數(shù)解析式為時(shí)，視覺效果最佳．
①試推算，應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；
②結(jié)合實(shí)際環(huán)境．要求上層噴泉的水流最大高度不低于，且不高于，求出的取值范圍．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）①把代入拋物線的函數(shù)解析式為即可得出結(jié)論；②把①的結(jié)論代入得，求出拋物線的最大高度，求出的取值范圍，然后令和3.45，求出的值，再確定取值范圍．
【解答】解：（1）由題意可知，的頂點(diǎn)為，
設(shè)下層噴泉所對(duì)應(yīng)拋物線的函數(shù)解析式為，
將代入解析式得：，
解得，
下層噴泉所對(duì)應(yīng)拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）①上層噴泉所對(duì)應(yīng)拋物線經(jīng)過下層噴泉所對(duì)應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)，
，
整理得：，
，應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是（形式不唯一）；
②由①得，，
拋物線的最大高度，
拋物線的對(duì)稱軸介于0和1之間，
即，
，
令，即，
解得（舍去），，
令，即，
解得（舍去），，
的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．
19．（2024?安康一模）某山體的隧道截面近似于拋物線，隧道最高點(diǎn)距離地面，隧道地面寬．如圖，以為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）現(xiàn)要在拋物線型隧道內(nèi)安裝一個(gè)矩形屏，屏長為，寬為，若矩形同屏的一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上且長邊需平行于．求屏底邊距離地面的最大高度．
【分析】（1）根據(jù)題意用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）畫出圖形，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，再代入（1）中解析式求出的值，再減去0.5即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，
設(shè)拋物線解析式為，
把代入解析式得：，
解得，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）如圖所示：
由題意可知，，，，
由（1）知，拋物線的對(duì)稱軸為直線，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
，
屏底邊距離地面的最大高度為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
20．（2024?東營一模）城市吉祥物是城市形象的重要視覺符號(hào)，承載著城市的文化內(nèi)涵、價(jià)值理念和人文情懷，是一座城市的形象圖騰．為宣傳東營城市文化，展示東營城市風(fēng)采，東營市文化局和旅游局對(duì)接多家專業(yè)設(shè)計(jì)公司，最終確定“河?xùn)|東”“海營營”為東營市城市吉祥物．一時(shí)間“河?xùn)|東”“海營營”套裝的銷售日益火爆，據(jù)調(diào)查某特許零售店“河?xùn)|東”“海營營”套裝每盒進(jìn)價(jià)7元，售價(jià)12元．
（1）商店老板計(jì)劃首月銷售320盒，經(jīng)過首月試銷售，老板發(fā)現(xiàn)單盒“河?xùn)|東”“海營營”套裝售價(jià)每增長2元，月銷量就將減少10盒．若老板希望“河?xùn)|東”“海營營”套裝月銷量不低于300盒，則每盒售價(jià)最高為多少元？
（2）實(shí)際銷售時(shí)，售價(jià)比（1）中的最高售價(jià)減少了元，月銷量比（1）中最低銷量300盒增加了盒，于是月銷售利潤達(dá)到了2100元，求的值；
（3）在（1）的條件下，當(dāng)每盒售價(jià)為多少元時(shí)，月銷售利潤最大？最大利潤為多少？
【分析】（1）設(shè)每盒“河?xùn)|東”“海營營”套裝的售價(jià)為元，則月銷量為盒，根據(jù)月銷量不低于300盒，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；
（2）利用月銷售利潤每盒的銷售利潤月銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)月銷售利潤為元，根據(jù)月利潤每盒的利潤銷售量列出函數(shù)解析式，在（1）的條件下由函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【解答】（1）設(shè)每盒“河?xùn)|東”“海營營”套裝的售價(jià)為元，則月銷量為盒，
依題意得：，
解得：，
答：每盒售價(jià)最高為16元：
（2）依題意得：
，
解得：，（不合題意，舍去）；
答：的值為2；
（3）設(shè)月銷售利潤為元，
根據(jù)題意得：
，
對(duì)稱軸為，
，，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為2700，
當(dāng)每盒售價(jià)為16元時(shí)，月銷售利潤最大，最大利潤為2700元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)、一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出函數(shù)解析式．
21．（2024?長安區(qū)一模）2023年5月28日，商業(yè)首航完成中國民航商業(yè)運(yùn)營國產(chǎn)大飛機(jī)正式起步．12時(shí)31分航班抵達(dá)北京首都機(jī)場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風(fēng)洗塵”，是國際民航中高級(jí)別的禮儀）．如圖1，在一次“水門禮”的預(yù)演中，兩輛消防車從機(jī)翼兩側(cè)向斜上方噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．當(dāng)兩輛消防車噴水口、的水平距離為80米時(shí)，兩條水柱恰好在拋物線的頂點(diǎn)處相遇，此時(shí)相遇點(diǎn)距地面20米，噴水口、距地面均為4米．如圖2，以地面兩輛消防車所在的直線為軸，過點(diǎn)所在的鉛直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)，并求出拋物線的關(guān)系式；
（2）兩輛消防車同時(shí)向后移動(dòng)相同的距離，此時(shí)兩個(gè)水柱的交點(diǎn)記為，若，請(qǐng)求出兩輛消防車移動(dòng)的距離．
【分析】（1）根據(jù)、的水平距離為80米可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為40，根據(jù)噴水口、距地面均為4米可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4；根據(jù)點(diǎn)距地面20米，點(diǎn)在軸可得點(diǎn)的坐標(biāo)；用頂點(diǎn)式表示出二次函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得的值，即可求出拋物線的關(guān)系式；
（2）兩個(gè)水柱的交點(diǎn)在軸，根據(jù)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)右側(cè)消防車向后移動(dòng)了米，則平移的后拋物線為：，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得的值即為平移的距離．
【解答】解：（1）、的水平距離為80米，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為40．
噴水口、距地面均為4米，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
點(diǎn)距地面20米，點(diǎn)在軸，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，．
由題意得：為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)．
將點(diǎn)代入得：，
解得：．
；
（2）
同時(shí)移動(dòng)后兩條水柱形成的拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，
就是平移后任意一條拋物線與軸的交點(diǎn)．
，，
．
設(shè)右側(cè)消防車向后移動(dòng)了米，
則平移的后拋物線為：．
將點(diǎn)代入上式，
解得：或（舍去）．
答：要使，兩輛消防車應(yīng)同時(shí)向后移動(dòng)10米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用；用到的知識(shí)點(diǎn)為：若二次函數(shù)可以判斷出頂點(diǎn)坐標(biāo)，用頂點(diǎn)式表示出二次函數(shù)的解析式，計(jì)算比較簡便；二次函數(shù)左右平移，只改變自變量的值，左加右減．
22．（2024?黔南州一模）如圖1為某公園的圓形噴水池，小玲學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，受到該圖啟發(fā)設(shè)計(jì)了一種新的噴水池，它的截面示意圖如圖2所示，為水池中心，噴頭、之間的距離為18米，噴射水柱呈拋物線形，水柱距水池中心處達(dá)到最高，高度為．水池中心處有一個(gè)圓柱形蓄水池，其高為1.75米．
（1）在圖2中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系，并求右邊這條拋物線的函數(shù)解析式．
（2）如圖3，擬在圓柱形蓄水池中心處建一噴水裝置，從點(diǎn)向四周噴射拋物線形水柱且滿足以下四個(gè)條件：不能碰到圖2中的水柱；落水點(diǎn)，的間距為；水柱的最高點(diǎn)與點(diǎn)的高度差為；從點(diǎn)向四周噴射與圖2中形狀相同的拋物線形水柱．
（1）在建立的坐標(biāo)系中，求落水點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求出噴水裝置的高度．
【分析】（1）易得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)為．用頂點(diǎn)式表示出拋物線的解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入后可得的值，即可求得拋物線的解析式；
（2）①易得點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1.75，取，代入（1）中得到的拋物線解析式中，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可判斷點(diǎn)的坐標(biāo)；
②根據(jù)從點(diǎn)向四周噴射與圖2中形狀相同的拋物線形水柱可得坐標(biāo)系右側(cè)上方的拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為，那么坐標(biāo)系右側(cè)上方的拋物線解析式可設(shè)為：．判斷出的最大值，根據(jù)水柱的最高點(diǎn)與點(diǎn)的高度差為可得的值，進(jìn)而根據(jù)該拋物線經(jīng)過點(diǎn)可得的值，的值即為的長度．
【解答】解：（1）由題意得：右邊這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)右邊這條拋物線的解析式為：．
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：．
解得：．
右邊這條拋物線的函數(shù)解析式為：；
（2）
①為1.75米，
點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1.75．
．
解得：（不合題意，舍去），．
點(diǎn)的坐標(biāo)為：．
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②設(shè)噴水裝置的高度為 ．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
坐標(biāo)系右側(cè)上方的拋物線解析式可設(shè)為：．
．
水柱的最高點(diǎn)與點(diǎn)的高度差為，
．
解得：（取正值）．
．
經(jīng)過點(diǎn)，
．
解得：．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：二次函數(shù)的圖象的形狀相同，開口方向相同，則二次函數(shù)的二次項(xiàng)的系數(shù)相同；二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則二次函數(shù)的解析式表示為，計(jì)算比較簡便．
23．（2024?東莞市校級(jí)一模）跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，如圖，運(yùn)動(dòng)員通過助滑道后在點(diǎn)處起跳經(jīng)空中飛行后落在著陸坡上的點(diǎn)處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分，這里表示起跳點(diǎn)到地面的距離，表示著陸坡的高度，表示著陸坡底端到點(diǎn)的水平距離，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度（單位：與水平距離（單位：近似滿足函數(shù)關(guān)系：，已知，，落點(diǎn)的水平距離是，豎直高度是．
（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；
（2）求滿足的函數(shù)關(guān)系；
（3）運(yùn)動(dòng)員再次起跳，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度（單位：與水平距離（單位：近似滿足函數(shù)關(guān)系：，問：運(yùn)動(dòng)員這次起跳著陸點(diǎn)的水平距離 第一次著陸點(diǎn)的水平距離（填“大于”、“小于”或“等于” ．
【分析】（1）根據(jù)題意可知直接求出，坐標(biāo)；
（2）把，坐標(biāo)代入，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（3）求出直線的解析式，再解方程求出直線和拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與40比較即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得，，，
故答案為：，；
（2）把，代入得：
，
解得
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（3）設(shè)直線的解析式為，
，，
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，
整理得，
解得（負(fù)值舍去），
，
故答案為：小于．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求出二次函數(shù)的關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
24．（2024?利川市校級(jí)模擬）某商品每件進(jìn)價(jià)25元，在試銷階段該商品的日銷售量（件與每件商品的日銷售價(jià)（元之間的關(guān)系如圖中的折線所示（物價(jià)局規(guī)定，該商品每件的銷售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)且不得高于50元）．
（1）直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若日銷售單價(jià)（元為整數(shù)，則當(dāng)日銷售單價(jià)（元為多少時(shí)，該商品每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少；
（3）若該商品每天的銷售利潤不低于1200元，求銷售單價(jià)的取值范圍．
【分析】（1）設(shè)，分兩種情況用待定系數(shù)法可得答案；
（2）設(shè)銷售利潤為元，根據(jù)總利潤等于每件利潤乘以銷售量，分兩種情況列函數(shù)關(guān)系式，求出的最大值，即可得到答案；
（3）結(jié)合（2）可得，即可解得的范圍．
【解答】解：（1）設(shè)，
當(dāng)時(shí)，把，代入得：
，
解得，
；
當(dāng)時(shí)，把，代入得：
，
解得，
；
綜上所述，；
（2）設(shè)銷售利潤為元，則：
①當(dāng)時(shí)，
，
時(shí)，元；
②當(dāng)時(shí)，
，
為整數(shù)，
或43時(shí)，取最大值，元，
，
當(dāng)日銷售單價(jià)為42元或43元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤為1224元；
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，該商品每天的最大銷售利潤為1000元；
只有在時(shí)，每天的銷售利潤才可能不低于1200元；
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．
25．（2024?安順一模）學(xué)校操場上有部分同學(xué)在玩丟沙包游戲，佳佳通過游戲得到啟發(fā)編制了一道數(shù)學(xué)題，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)單位長度代表1米長，佳佳在點(diǎn)處將沙包（看成點(diǎn)）拋出，其運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分，亮亮恰在點(diǎn)處接住，然后跳起將沙包回傳，其運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式：
（2）若佳佳向前跑1米，再豎直向上跳0.5米，剛好接到沙包，求出此時(shí)的值；
（3）若佳佳發(fā)現(xiàn)在軸上方1米的高度上，且到點(diǎn)水平距離不超過1米的范圍內(nèi)可以接到沙包，請(qǐng)直接寫出符合條件的的取值范圍．
【分析】（1）把代入，即可求得二次函數(shù)中二次項(xiàng)的系數(shù)，也就求得了二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）求出的值，再把代入求出的值；
（3）佳佳在軸上方的高度上，且到點(diǎn)水平距離不超過的范圍內(nèi)可以接到回傳回來的沙包，那么拋物線需要經(jīng)過連接點(diǎn)和的線段，把和代入，可得的值，進(jìn)而可得的取值范圍．
【解答】解：（1）把代入得，，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）對(duì)于，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
拋物線，
佳佳向前跑1米，再豎直向上跳0.5米，此時(shí)佳佳坐標(biāo)為，
把代入得，
，
解得；
（3）佳佳在軸上方的高度上，且到點(diǎn)水平距離不超過的范圍內(nèi)可以接到回傳回來的沙包，
拋物線需要經(jīng)過連接點(diǎn)和的線段．
①拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
，
解得：；
②拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
，
解得：，
的取值范圍是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)所給條件判斷出二次函數(shù)解析式的形式是解決本題的關(guān)鍵．
26．（2024?桐柏縣一模）要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心處豎直安裝一根水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之上下平移，但不影響拋物線的形狀，水柱落地點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平面，安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高米，噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1米處達(dá)到最高，高度為3米．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，水管所在的直線為軸，建立如圖的直角坐標(biāo)系．
（1）求水柱高度與距離池中心的水平距離的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求水柱落地點(diǎn)到水池中心的距離．
（3）受場地的限時(shí)，噴水池的最大半徑為2.5米，為了不讓水噴到外面，噴頭高度至少降低多少米？
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為，把代入解析式求出即可；
（2）令，解方程即可；
（3）根據(jù)題意在調(diào)整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，設(shè)柱高度與距離池中心的水平距離的函數(shù)表達(dá)式為，先把代入解析式求出的值，再令求出的值，再用減去的值即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線解析式為，
把代入解析式得，，
解得，
水柱高度與距離池中心的水平距離的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）令，則，
解得，（舍去），
，
，
水柱落地點(diǎn)到水池中心的距離為；
（3）由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，
水柱高度與距離池中心的水平距離的函數(shù)表達(dá)式為，
把代入解析式得：，
解得，
水柱高度與距離池中心的水平距離的函數(shù)表達(dá)式為，
當(dāng)時(shí)，，
（米，
噴頭高度至少降低米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，重點(diǎn)是二次函數(shù)解析式的求法，直接利用二次函數(shù)的平移性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
27．（2024?元謀縣一模）云南地處高原環(huán)境，日照長，晝夜溫差大，利于糖分積累，是著名的藍(lán)莓產(chǎn)區(qū)，小李家今年種植的藍(lán)莓喜獲豐收，采摘上市15天全部銷售完，小李對(duì)銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，在該藍(lán)莓上市第天取整數(shù)）時(shí)，日銷售量（單位：千克）與之間的函數(shù)關(guān)系式為，藍(lán)莓價(jià)格（單位：元千克）與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）當(dāng)時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)日銷售額元，當(dāng)時(shí)，求的最大值．
【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)日銷售額售價(jià)銷售量列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
把，代入，得，
解得，
當(dāng)時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為6000，
的最大值為6000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．
28．（2024?鎮(zhèn)平縣一模）某校利用大課間開展陽光體育跳大繩活動(dòng)．跳繩時(shí)，繩搖到最高處時(shí)的形狀是拋物線．正在搖繩的小明和小強(qiáng)兩名同學(xué)拿繩的手間距為6米，到地面的距離和均為0.9米，身高為1.4米的小麗站在距點(diǎn)的水平距離為1米的點(diǎn)處，繩子搖到最高處時(shí)剛好通過她的頭頂點(diǎn)．以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)此拋物線的解析式為．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）如果身高為1.75米的王老師也想?yún)⒓犹K，小明和小強(qiáng)站原地正常搖繩的情況下，問繩子能否順利從王老師頭頂越過？請(qǐng)說明理由；
（3）如果身高1.7米的小張同學(xué)也想?yún)⒓犹K，他站在，之間，且離點(diǎn)的距離為米，當(dāng)繩子搖到最高處時(shí)，在什么范圍內(nèi)，繩子能順利越過他頭頂？請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法，把，代入，求出、的值，即可得到該拋物線的解析式；
（2）將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，得到繩子甩到最高處時(shí)的高度為1.8米，據(jù)此即可得到答案；
（3）令，求出的值，即為的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意可知，、、、，
把，代入得，
，
解得：，
該拋物線的解析式為；
（2）能，理由如下：
，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即繩子甩到最高處時(shí)的高度為1.8米，
，
繩子能順利從他頭頂越過；
（3）令，則，
解得：，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．
29．（2024?陜西二模）如圖，在一個(gè)斜坡上架設(shè)兩個(gè)塔柱，（可看作兩條豎直的線段），塔柱間掛起的電纜線下垂弧度可以近似看成拋物線的形狀．兩根塔柱的高度滿足，塔柱與之間的水平距離為，且兩個(gè)塔柱底端點(diǎn)與點(diǎn)的高度差為．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為單位長度構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系．
（1）求點(diǎn)，，的坐標(biāo)．
（2）經(jīng)測量得知：，段所掛電纜線對(duì)應(yīng)的拋物線的形狀與拋物線一樣，且電纜線距離斜坡面豎直高度至少為時(shí)，才符合設(shè)計(jì)安全要求．請(qǐng)結(jié)合所學(xué)知識(shí)判斷上述電纜的架設(shè)是否符合安全要求？并說明理由．
【分析】（1）如圖，設(shè)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，分別求出與點(diǎn)、、相關(guān)線段的長，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出坐標(biāo)即可；
（2）如圖，作軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，用待定系數(shù)法分別求出、所掛電纜線拋物線和直線的解析式，設(shè)、的坐標(biāo)，計(jì)算出的長度，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，然后和15.5米比較即可作出判斷．
【解答】解：（1）如圖1，設(shè)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，
由題意可知，米，
米，
米，
，
（米，
（米，
，，；
（2）這種電纜線的架設(shè)符合要求，理由如下：
如圖2，作軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
、段所掛電纜線的形狀與拋物線一樣，
設(shè)、所掛電纜線拋物線的解析式為，
拋物線過點(diǎn)，，
，
解得，
所以拋物線解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
直線過點(diǎn)，，
，
解得，
所以直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)，則，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值為18，
，
這種電纜線的架設(shè)符合要求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)線段的長度的相互轉(zhuǎn)換、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)．
30．（2024?杭州模擬）【問題背景】
水火箭是一種基于水和壓縮空氣的簡易火箭，通常由塑膠汽水瓶作為火箭的箭身，并把水當(dāng)作噴射劑．圖1是某學(xué)校興趣小組制做出的一款簡易彈射水火箭．
【實(shí)驗(yàn)操作】
為驗(yàn)證水火箭的一些性能，興趣小組同學(xué)通過測試收集了水火箭相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的水平距離（單位：與飛行時(shí)間（單位：的數(shù)據(jù)，并確定了函數(shù)表達(dá)式為：．同時(shí)也收集了飛行高度（單位：與飛行時(shí)間（單位：的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其近似滿足二次函數(shù)關(guān)系．?dāng)?shù)據(jù)如表所示：
【建立模型】
任務(wù)1：求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．
【反思優(yōu)化】
圖2是興趣小組同學(xué)在室內(nèi)操場的水平地面上設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)（距離地面的高度為，當(dāng)彈射高度變化時(shí)，水火箭飛行的軌跡可視為拋物線上下平移得到，線段為水火箭回收區(qū)域，已知，．
任務(wù)2：探究飛行距離，當(dāng)水火箭落地（高度為時(shí)，求水火箭飛行的水平距離．
任務(wù)3：當(dāng)水火箭落到內(nèi)（包括端點(diǎn)，，求發(fā)射臺(tái)高度的取值范圍．
【分析】任務(wù)1：易得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，用頂點(diǎn)式設(shè)出拋物線解析式，把代入后可求得的值，即可求得拋物線解析式；
任務(wù)2：用含的式子表示出，代入任務(wù)1得到的函數(shù)解析式可得關(guān)于的函數(shù)解析式，水火箭落地，那么高度為0，函數(shù)值取0可求得相應(yīng)的的值，找到符合題意的解即可；
任務(wù)3：設(shè)的長度為．那么水火箭的拋物線解析式為．把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得的值，進(jìn)而可得也就是的取值范圍．
【解答】解：任務(wù)二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線解析式為：．
拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
．
解得：．
關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為：；
任務(wù)，
．
．
當(dāng)水火箭落地（高度為時(shí)，．
解得：（不合題意，舍去），．
答：水火箭飛行的水平距離為36米；
任務(wù)3：設(shè)的長度為．
水火箭的拋物線解析式為．
①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)．
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
．
解得：．
②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)．
，．
．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
．
解得：．
水火箭落到內(nèi)（包括端點(diǎn)，，
．
．
答：發(fā)射臺(tái)高度的取值范圍為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，，，，拋物線的對(duì)稱軸為直線；二次函數(shù)上下平移，只改變常數(shù)項(xiàng)，上加下減．
31．（2024?梁園區(qū)校級(jí)模擬）某農(nóng)戶用噴槍將斜坡上的綠地噴灌，噴出水柱的形狀是拋物線．經(jīng)測量，處的噴水頭距地面，水柱在距噴水頭水平距離處達(dá)到最高，最高點(diǎn)與水平線的距離為，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的解析式為，其中是水柱距噴水頭的水平距離，是水柱距水平線的高度．
（1）求拋物線的表達(dá)式．
（2）若斜坡上有一棵高的樹，它與噴水頭的水平距離為，，請(qǐng)判斷從處噴出的水柱能否越過這棵樹的樹頂，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)拋物線解析式為，為拋物線的頂點(diǎn)，得到拋物線頂點(diǎn)式，由是拋物線與軸交點(diǎn)，將點(diǎn)代入解析式，求解出待定系數(shù)即可；
（2）連接，過點(diǎn)作，根據(jù)題意點(diǎn)、、點(diǎn)橫坐標(biāo)5，得，由．即可求出，從而得到，然后另代入（1）中求解出的解析式中，得到，比較與即可．
【解答】解：（1）過頂點(diǎn)坐標(biāo)，
設(shè)拋物線解析式為：，
又拋物線過點(diǎn)，
將點(diǎn)代入解析式，
，
解得：，
拋物線解析式為：；
（2）不能，理由：
如圖，過點(diǎn)作，由題意得點(diǎn)、、的橫坐標(biāo)5，即，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
處噴出的水柱不能越過這棵樹的樹頂．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用噴水問題，解直角三角形斜坡問題，熟練掌握二次函數(shù)待定系數(shù)法求解析式、讀懂題意、把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題和熟記二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
32．（2024?汕頭校級(jí)模擬）某商店銷售一種進(jìn)價(jià)50元件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的每天銷售量（件是售價(jià)（元件）的一次函數(shù)，其售價(jià)、銷售量的二組對(duì)應(yīng)值如表：
（1）求出關(guān)于售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)商店銷售該商品每天獲得的利潤為（元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？
【分析】（1）設(shè)，代入兩組數(shù)據(jù)可得、的值，即得關(guān)于售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利潤銷售量件利潤，可得與的關(guān)系式，可解得當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大．
【解答】解：（1）設(shè)，
由題意得，，
解得：，，
答：關(guān)于售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為：；
（2）由題意得，，
當(dāng)時(shí)，有最大值為1250，
答：當(dāng)銷售單價(jià)定為75元時(shí)，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是正確解方程組．
33．（2024?天寧區(qū)校級(jí)模擬）常州市著名旅游景區(qū)“中華恐龍園”應(yīng)疫情防控要求，嚴(yán)格控制每日來訪旅客人數(shù)．已知于219年春節(jié)長假期間，共接待游客達(dá)20萬人次，而在2021年春節(jié)長假期間，接待游客僅達(dá)16.2萬人次．
（1）則“中華恐龍園”2019至2021年春節(jié)長假期間接待游客人次的年平均減少率為 ；
（2）“中華恐龍園”景區(qū)內(nèi)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價(jià)為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，在旅游旺季，若每杯定價(jià)25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價(jià)格降低1元，則平均每天可多銷售30杯，2022年春節(jié)期間，店家決定進(jìn)行降價(jià)促前活動(dòng)，則當(dāng)每杯售價(jià)定為多少元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天6300元的利潤額？
【分析】（1）設(shè)年平均減少率為，由題意得關(guān)于的一元二次方程，解方程并根據(jù)問題的實(shí)際意義作出取舍即可；
（2）設(shè)每杯售價(jià)定為元，由題意得關(guān)于的一元二次方程，解方程并根據(jù)問題的實(shí)際意義作出取舍即可．
【解答】解：（1）設(shè)年平均減少率為，由題意得：
，
解得：，（舍去）．
故答案為：；
（2）設(shè)每杯售價(jià)定為元，由題意得：
，
解得：，．
為了能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，故取20．
答：每杯售價(jià)定為20元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天6300元的利潤額．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并正確地列出方程是解題的關(guān)鍵．
34．（2024?蒲城縣模擬）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它的出現(xiàn)使人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．如圖，某菜農(nóng)搭建了一個(gè)橫截面為拋物線的大棚，寬度為8米，棚頂最高點(diǎn)距離地面高度為4米．以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若借助橫梁在大棚正中建一個(gè)2米高的門到地面的距離為2米），求橫梁的長度是多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）
【分析】（1）由題意得，、、，設(shè)兩點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式，代入點(diǎn)，可得該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）到地面的距離為2米，即、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，令，求得、的橫坐標(biāo)，可得橫梁的長度．
【解答】解：（1）由題意得，、、，
設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)，
得，
解得：，
，
答：該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）到地面的距離為2米，
、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
令，則，
解得：，，
，、，，
，
答：橫梁的長度是米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式．
35．（2024?泗縣一模）如圖1，某灑水車的噴水口距地面．如圖2，已知噴水口噴出最遠(yuǎn)的水柱是拋物線，軸是地面，位于軸上，則點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)．（注拋物線水柱的寬度忽略）
（1）求該灑水車噴水能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離的長；
（2）如圖3，將拋物線向左平移使其經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)拋物線是該灑水車噴出的最近水柱，拋物線交軸于點(diǎn)．
（?。┣蟮拈L；
（ⅱ）如圖4，已知一條隔離綠化帶的橫截面是矩形，，，設(shè)灑水車到綠化帶的距離，若該灑水車在行駛過程中能澆到完整的這條隔離綠化帶，求的取值范圍．
【分析】（1）把點(diǎn)代入，求出，從而解決問題；
（2）由對(duì)稱軸知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則拋物線是由拋物線向左平移6個(gè)單位得到的，由點(diǎn)坐標(biāo)可得點(diǎn)的坐標(biāo)；
根據(jù)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用增減性可得的最大值為最小值，從而得出答案；
【解答】解：（1）把點(diǎn)代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為，
令，則，
解得（負(fù)值舍去），
，，
，
答：該灑水車噴水能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離的長為；
（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線，
的對(duì)稱點(diǎn)為，
將拋物線向左平移使其經(jīng)過點(diǎn)，
拋物線是由拋物線向左平移6個(gè)單位得到的，
點(diǎn)是點(diǎn)向左平移6個(gè)單位得到的，
，，即，，
；
，
的縱坐標(biāo)為1，
，
解得，（舍去），
，
時(shí)，隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，要使，則，
時(shí)，隨的增大而增大，且時(shí)，，
當(dāng)時(shí)要使，則，
，該灑水車在行駛過程中能澆到完整的這條隔離綠化帶，
的最大值為，
下邊緣拋物線，噴出的水能灌溉到綠化帶底部的條件是，
的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．
36．（2024?深圳模擬）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】
【項(xiàng)目主題】自動(dòng)旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭灌溉蔬菜
【項(xiàng)目背景】尋找生活中的數(shù)學(xué)，九（1）班分四個(gè)小組，開展數(shù)學(xué)項(xiàng)目式實(shí)踐活動(dòng)，獲取所有數(shù)據(jù)共享，對(duì)蔬菜噴水管建立數(shù)學(xué)模型．菜地裝有1個(gè)自動(dòng)旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭，灌溉蔬菜．如圖1所示，觀察噴頭可順、逆時(shí)針往返噴灑．
【項(xiàng)目素材】
素材一：甲小組在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，噴水口中心有一噴水管，從點(diǎn)向外噴水，噴出的水柱最外層的形狀為拋物線．以水平方向?yàn)檩S，點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)（噴水口）在軸上，軸上的點(diǎn)為水柱的最外落水點(diǎn)．
素材二：乙小組測得種植農(nóng)民的身高為1.75米，他常常往返于菜地之間．
素材三：丙小組了解到需要給蔬菜大鵬里拉一層塑料薄膜用來保溫保濕，以便蔬菜更好地生長．
【項(xiàng)目任務(wù)】
任務(wù)一：丁小組測量得噴頭的高米，噴水口中心點(diǎn)到水柱的最外落水點(diǎn)水平距離為8米，其中噴出的水正好經(jīng)過一個(gè)直立木桿的頂部處，木桿高米，距離噴水口米．求出水柱所在拋物線的函數(shù)解析式．
任務(wù)二：乙小組發(fā)現(xiàn)這位農(nóng)民在與噴水口水平距離是米時(shí)，不會(huì)被水淋到，求的取值范圍．
任務(wù)三：丙小組測量發(fā)現(xiàn)薄膜所在平面和地面的夾角是，截面如圖3，求薄膜與地面接觸點(diǎn)與噴水口的水平距離是多少米時(shí)，噴出的水與薄膜的距離至少是10厘米？（直接寫出答案，精確到0.1米）．
【分析】（1）拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入拋物線，求得，，的值，即可得到水柱所在拋物線的函數(shù)解析式；
（2）取農(nóng)民的身高，求得的值即為這位農(nóng)民與噴水口的水平距離，即可求得的取值范圍；
（3）薄膜所在平面可看成是一條直線，解析式可設(shè)為：，求得此直線與拋物線相切時(shí)的值，進(jìn)而把直線向右平移0.1米，得到新的直線解析式，取，即可求得薄膜與地面接觸點(diǎn)與噴水口的水平距離．
【解答】解：任務(wù)一、設(shè)水柱所在拋物線的函數(shù)解析式為：．
由題意得：拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
．
解得：．
水柱所在拋物線的函數(shù)解析式為：；
任務(wù)二、當(dāng)時(shí)，．
，
．
解得：，．
．
任務(wù)三、
薄膜所在平面可看成是一條直線．
薄膜所在平面和地面的夾角是，
薄膜所在平面的直線解析式為：．
當(dāng)薄膜所在直線與水柱所在拋物線相切時(shí)，
．
．
．
只有一個(gè)交點(diǎn)，
．
．
．
．
直線與軸的交點(diǎn)為．
過點(diǎn)于點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)．
．
由題意得：，
新的直線解析式為：．
當(dāng)時(shí)，．
答：薄膜與地面接觸點(diǎn)與噴水口的水平距離為8.4米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：直線與軸軸）的夾角為，直線解析式的比例系數(shù)的絕對(duì)值等于1；二次函數(shù)左右平移，不改變二次項(xiàng)的系數(shù)，只改變自變量的值，左加右減．
37．（2024?石阡縣模擬）某俱樂部購進(jìn)一臺(tái)如圖1的籃球發(fā)球機(jī)，用于球員籃球訓(xùn)練．該發(fā)球機(jī)可以以不同力度發(fā)射出籃球，籃球運(yùn)行的路線都是拋物線．出球口離地面高1米，以出球口為原點(diǎn)，平行于地面的直線為軸，垂直于地面的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．力度變化時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上移動(dòng)，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線（如圖．
（1）若．
①發(fā)球機(jī)發(fā)射出的籃球運(yùn)行到距發(fā)球機(jī)水平距離為時(shí)，離地面的高度為．請(qǐng)直接寫出該球在運(yùn)行過程中離地面的最大高度；
②若發(fā)球機(jī)發(fā)射出的籃球在運(yùn)行過程中離地面的最大高度為，求該球運(yùn)行路線的解析式，及此球落地點(diǎn)離發(fā)球機(jī)的水平距離；
（2）球員小剛訓(xùn)練時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)籃球運(yùn)行到離地面高度為至之間（包含端點(diǎn)）是最佳接球區(qū)間，若，直接寫出當(dāng)滿足什么條件時(shí)，距發(fā)球機(jī)水平距離的小剛在前后不挪動(dòng)位置的前提下，能在最佳區(qū)間接到球．
【分析】（1）①根據(jù)發(fā)球機(jī)發(fā)射出的籃球運(yùn)行到距發(fā)球機(jī)水平距離為時(shí)，離地面的高度為，得到拋物線經(jīng)過，從而有對(duì)稱軸為直線，根據(jù)題意得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出最大高度；
②根據(jù)發(fā)球機(jī)發(fā)射出的籃球在運(yùn)行過程中離地面的最大高度為，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)列出方程組，求出函數(shù)解析式，將代入函數(shù)解析式即可得到結(jié)果；
（2）當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)解析式為，由函數(shù)解析式可得頂點(diǎn)為，將頂點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式得到的值，根據(jù)由籃球運(yùn)行到離地面高度為至之間（包含端點(diǎn)）時(shí)最佳接球區(qū)間且距發(fā)球機(jī)水平距離的小剛在前后不挪動(dòng)位置的前提下，即可求出的取值范圍．
【解答】解：（1）①當(dāng)時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上移動(dòng)，
發(fā)球機(jī)發(fā)射出的籃球運(yùn)行到距發(fā)球機(jī)水平距離為時(shí)，離地面的高度為，
拋物線經(jīng)過，
拋物線具有對(duì)稱性，
對(duì)稱軸為直線，
由拋物線的頂點(diǎn)在直線上，把代入，
拋物線的頂點(diǎn)為，
出球口離地面高1米，
該球在運(yùn)行過程中離地面的最大高度為；
②發(fā)球機(jī)發(fā)射出的籃球在運(yùn)行過程中離地面的最大高度為，
拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
把代入，得，
拋物線的頂點(diǎn)為，
由頂點(diǎn)為，得，
解得，
拋物線的解析式為，
把代入，
得，
解得，（不合題意，舍去），
此球落地點(diǎn)離發(fā)球機(jī)的水平距離為；
（2）當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)解析式為，
由拋物線，對(duì)稱軸為直線，
得拋物線的頂點(diǎn)為，
把代入，
得，
整理得，
拋物線的解析式為，
由籃球運(yùn)行到離地面高度為至之間（包含端點(diǎn)）時(shí)最佳接球區(qū)間，
且距發(fā)球機(jī)水平距離的小剛在前后不挪動(dòng)位置的前提下，
得將代入，得，
解得，
將代入，得，
解得，
當(dāng)時(shí)，距發(fā)球機(jī)水平距離的小剛在前后不挪動(dòng)位置的前提下，能在最佳區(qū)間接到球．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用拋物線的對(duì)稱軸和條件中頂點(diǎn)的特點(diǎn)解題．
38．（2023?黃石）某工廠計(jì)劃從現(xiàn)在開始，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號(hào)設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬元件．設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備的售價(jià)為萬元件，售價(jià)與之間的函數(shù)解析式是，其中是正整數(shù)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
（1）求，的值；
（2）設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為件，且與滿足關(guān)系式．
①當(dāng)時(shí)，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤最大？最大的利潤是多少萬元？
②當(dāng)時(shí)，若有且只有3個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出，的值即可；
（2）①當(dāng)時(shí)，根據(jù)利潤（售價(jià)成本）設(shè)備的數(shù)量，可得出關(guān)于的二次函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
②求出時(shí)關(guān)于的函數(shù)解析式，再畫出關(guān)于的函數(shù)圖象的簡圖，由題意可得結(jié)論．
【解答】解：（1）把時(shí)，；時(shí)，代入得：
，
解得，；
（2）①設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤為萬元，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，，
，
，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為405，
工廠第14個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤最大，最大的利潤是405萬元；
②當(dāng)時(shí)，，
，
，
則與的函數(shù)圖象如圖所示：
由圖象可知，若有且只有3個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，
當(dāng)，15時(shí)，
當(dāng)，16時(shí)，，
的取值范圍．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，明確一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)并分類討論是解題的關(guān)鍵．
39．（2024?臺(tái)州模擬）為打造旅游休閑城市，某村莊為吸引游客，沿綠道旁的母親河邊打造噴水景觀．為保持綠道地面干燥，水柱要噴入母親河中．圖2是其截面圖，已知綠道路面寬米，河道壩高米，壩面的坡比為（其中，當(dāng)水柱離噴水口處水平距離為2米時(shí)，離地平面距離的最大值為3米．
（1）出于安全考慮，在河道的壩邊處安裝護(hù)欄，要求水柱不能噴射到護(hù)欄上，則護(hù)欄的最大高度是多少米？（結(jié)果保留一位小數(shù)）
（2）河中常年有水，但一年中河水離地平面的距離會(huì)隨著天氣的變化而變化，水柱落入水中能蕩起美麗的水花，從美觀角度考慮，水柱落水點(diǎn)要在水面上；
①河水降至離地平面距離為多少時(shí)，水柱剛好落在壩面上？
②為保證水柱的落水點(diǎn)始終在水面上，決定安裝可上下伸縮的噴水口，設(shè)壩中水面離地平面距離為米，噴水口離地平面的最小高度隨著的變化而變化，直接寫出與的關(guān)系式
【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的解析式，取，求得的值即為護(hù)欄的最大高度；
（2）①求出線段的解析式，與（1）中求得的拋物線的解析式組成方程組求解，即可求得河水降至離地平面距離為多少時(shí)，水柱剛好落在壩面；
②易得平移后的拋物線解析式為：．根據(jù)壩中水面離地平面距離為米，可得此時(shí)水面與的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入平移后的拋物線解析式，整理可得與的關(guān)系式．
【解答】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）①由題意得：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：．
經(jīng)過原點(diǎn)，
．
解得：．
該二次函數(shù)的解析式為：．
當(dāng)時(shí)，．
答：護(hù)欄的最大高度為1.3米；
（2）①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則．
米，壩面的坡比為，
．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)的解析式為．
．
解得：．
．
．
解得：（不合題意，舍去），．
當(dāng)時(shí)，．
河水降至離地平面距離為米時(shí)，水柱剛好落在壩面上；
②如圖，當(dāng)水柱剛好不落在壩面上時(shí)，拋物線向上平移米，水面離地面米．此時(shí)水面與的交點(diǎn)為，，設(shè)平移后的拋物線解析式為：．
．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：若能判斷出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用頂點(diǎn)式表示出二次函數(shù)，求二次函數(shù)的解析式比較簡便；二次函數(shù)上下平移，只改變函數(shù)值，上加下減．
40．（2024?建昌縣一模）某廠家特制了一批高腳杯，分為男士杯和女士杯（如圖，相關(guān)信息如下：
根據(jù)以上素材內(nèi)容，嘗試求解以下問題：
（1）求拋物線和拋物線的解析式；
（2）當(dāng)杯子水平放置及杯內(nèi)液體靜止時(shí)，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度均為，求兩者液體最上層表面圓面積之差；（結(jié)果保留
（3）當(dāng)杯子水平放置及杯內(nèi)液體靜止時(shí)，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度相等，兩者液體最上層表面圓面積相差，求杯中液體的深度．
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得的值，即可求得拋物線的解析式；設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得的值，即可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)、、、的坐標(biāo)可得男士杯中液體深度為時(shí)，最上層表面圓的半徑為，若女士杯中的液體深度為，那么（1）中求得的函數(shù)解析式的縱坐標(biāo)為9，即可求得的值，也就是女士杯中液體最上層表面圓的半徑的平方，兩者液體最上層表面圓面積之差，把相關(guān)數(shù)值代入化簡即可；
（3）男士杯子中液體最上層表面圓的半徑的平方可分為在點(diǎn)以下和在之間兩種情況，進(jìn)而根據(jù)兩者液體最上層表面圓面積相差列出方程即可求得相應(yīng)的的值，減去5即為液體的深度．
【解答】解：（1）點(diǎn)為拋物線和拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，
設(shè)拋物線的解析式為：，
將點(diǎn)，代入，得：
，
解得：．
拋物線的解析式為：．
設(shè)拋物線的解析式為：，
將點(diǎn)，代入，得：
，
解得：．
拋物線的解析式為：．
答：拋物線的解析式為：；拋物線的解析式為：；
（2）設(shè)男士杯中的液體與女士杯中的液體最上層表面圓的半徑分別為 ， ，
由題可知，當(dāng)男士杯中的液體與女士杯中的液體深度均為時(shí)，．
在拋物線中：將代入解析式得：
．
．
．
兩者液體最上層表面圓面積之差為．
答：兩者液體最上層表面圓面積之差為；
（3）設(shè)男士杯中的液體與女士杯中的液體最上層表面圓的半徑分別為 ， ，
當(dāng)時(shí)，，．
，．
．
．
解得：．
此時(shí)深度為：．
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
．
．
解得：．
此時(shí)深度為：．
綜上所述：杯中液體深度為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為軸，與軸的交點(diǎn)為，可設(shè)所求的二次函數(shù)解析式為．在本題中，注意求得和即可，不用特地求出和的值．
41．（2024?余姚市一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
【分析】任務(wù)1．設(shè)的長為 ，則的長為，根據(jù)四邊形的面積為列出方程求解后進(jìn)而根據(jù)得到和合適的解；
任務(wù)2．根據(jù)可得和的長度，根據(jù)垂直平分可得和的長度，即可判斷出點(diǎn)、、的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)、、的坐標(biāo)，那么可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得的值，即可求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
任務(wù)3．根據(jù)平行線分線段成比例定理可得的長度，加上的長度即為的長度，易得的長度，那么長方形的面積，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．
【解答】解：任務(wù)1．
設(shè)的長為 ，則的長為，根據(jù)題意得：
．
解得：，．
，
， ．
任務(wù)2．
， ，
， ．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．
由題意得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．
經(jīng)過點(diǎn)，
．
解得：．
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；
任務(wù)3．
，
．
．
解得：．
由題意得：，
．
．
長方形紙片的面積．
答：至少選擇面積為1200 的長方形紙片．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積對(duì)角線的積；拋物線的對(duì)稱軸為軸，一次項(xiàng)系數(shù)為0．
42．（2024?市南區(qū)一模）某工廠生產(chǎn)某種玩具的成本價(jià)為20元件，工廠決定采取電商銷售和門店銷售兩種方式同時(shí)銷售該玩具．電商銷售：售價(jià)為30元件；門店銷售：第一天售價(jià)為50元件，此后售價(jià)每天比前一天每件降低0.5元，該方式每天還需支付租金、人工等固定費(fèi)用455元．已知兩種銷售方式第天的銷售數(shù)量（件均滿足．（1）直接寫出門店銷售方式每天的售價(jià)（元件）與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該玩具銷售過程中，在第幾天獲得的利潤總和（元最大？利潤總和最大是多少？
（3）該玩具銷售過程中，哪些天門店銷售的利潤不低于電商銷售的利潤？
【分析】（1）門店銷售方式每天的售價(jià)第一天的售價(jià)，把相關(guān)數(shù)值代入化簡即可；
（2）利潤總和電商銷售的利潤門店銷售的利潤電商銷售每個(gè)玩具的利潤銷售數(shù)量門店銷售每個(gè)玩具的利潤銷售數(shù)量固定費(fèi)用，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的二次項(xiàng)的比例系數(shù)，判斷出符合實(shí)際情況的天數(shù)及最大利潤總和；
（3）根據(jù)門店銷售的利潤不低于電商銷售的利潤列出不等式，根據(jù)二次函數(shù)與不等式的關(guān)系判斷出相應(yīng)的天數(shù)即可．
【解答】解：（1）；
（2）
．
，
當(dāng)時(shí)，有最大值．
天數(shù)為正整數(shù)，
該玩具銷售過程中，在第30天或第31天時(shí)，獲得的利潤總和（元最大．利潤總和最大（元．
答：該玩具銷售過程中，在第30天或第31天時(shí)，獲得的利潤總和（元最大，利潤總和最大為820元；
（3）．
．
設(shè)．
當(dāng)時(shí)，．
．
．
解得，．
如圖所示：當(dāng)時(shí)，．
答：第6、7、8、9、10、11、12、13、14、15天時(shí)，門店銷售的利潤不低于電商銷售的利潤．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：二次函數(shù)的比例系數(shù)小于0，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值．函數(shù)值不小于0，看函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)及軸上方的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的自變量的取值即可．
43．（2024?新鄉(xiāng)一模）數(shù)字農(nóng)業(yè)正帶領(lǐng)現(xiàn)代農(nóng)業(yè)進(jìn)入一個(gè)嶄新的時(shí)代，而智能溫室大棚將成為現(xiàn)代農(nóng)業(yè)發(fā)展進(jìn)程中重要的參與者之一．某種植大戶對(duì)自己的溫室大棚進(jìn)行改造時(shí)，先將大門進(jìn)行了裝修，如圖2所示，該大門門頭示意圖由矩形和拋物線形組成，測得，，．以水平線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求此門頭拋物線部分的表達(dá)式；
（2）改造時(shí)，為了加固，要在棚內(nèi)梁的四等分點(diǎn)，處焊接兩排鍍鋅管支撐大棚，已知定制的每根鍍鋅管成品長，問是否需要截取，截取多少？
【分析】（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)已知易得：頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后設(shè)此門頭拋物線部分的表達(dá)式為：，再把代入中進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
（2）過點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，從而可得，然后把代入中，進(jìn)行計(jì)算可求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而求出的長，即可解答．
【解答】解：（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)此門頭拋物線部分的表達(dá)式為：，
把代入中得：，
解答：，
此門頭拋物線部分的表達(dá)式為：；
（2）如圖：過點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)，
由題意得：，
點(diǎn)，是的四等分點(diǎn)，
，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
，
，
，
需要截取，截?。?br>【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
44．（2024?武漢模擬）問題提出
在2024年中考即將到來之際，學(xué)校準(zhǔn)備開展“百日誓師，指戰(zhàn)中考”活動(dòng)，小星同學(xué)對(duì)會(huì)場進(jìn)行裝飾．
如圖1所示，他在會(huì)場的兩墻、之間懸掛一條近似拋物線的彩帶，如圖2所示，已知墻與等高，且、之間的水平距離為8米．
（1）建立模型如圖2，直接寫出兩墻、的高度，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
解決問題
（2）為了使彩帶的造型美觀，小星把彩帶從點(diǎn)處用一根細(xì)線吊在天花板上，如圖3所示，使得點(diǎn)到墻距離為3米，使拋物線的最低點(diǎn)距墻的距離為2米，離地面2米，求點(diǎn)到地面的距離；
（3）為了盡量避免人的頭部接觸到彩帶，小星現(xiàn)將到地面的距離提升為3米，通過適當(dāng)調(diào)整的位置，使拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)始終為，若設(shè)點(diǎn)距墻的距離為米，拋物線的最低點(diǎn)到地面的距離為米，探究與的關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
【分析】（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解；
（2）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，，即可求解；
（3）設(shè)出拋物線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，得到，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）由題意得，拋物線的對(duì)稱軸為，
則，
解得：；
則拋物線的表達(dá)式為：，
則點(diǎn)，即（米，
當(dāng)時(shí)，，
即頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；
（2）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，（米，
即點(diǎn)到地面的距離為2.25米；
（3）由題意知，點(diǎn)、縱坐標(biāo)均為3，則右側(cè)拋物線關(guān)于、對(duì)稱，
則拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，
則拋物線的表達(dá)式為：，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，
整理得：；
當(dāng)時(shí)，即，
解得：（不合題意的值已舍去）；
當(dāng)時(shí)，
同理可得：，
故的取值范圍為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答此類問題的關(guān)鍵是明確題意，求出函數(shù)相應(yīng)的解析式，根據(jù)函數(shù)的頂點(diǎn)式可以求得函數(shù)的最值．
45．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù)，在距水槍水平距離為米的地點(diǎn)，水柱距離湖面高度為米．
請(qǐng)解決以下問題：
（1）在下邊網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接．
（2）請(qǐng)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，估出噴泉的落水點(diǎn)距水槍的水平距離約為 7.0 米（精確到；
（3）公園增設(shè)了新的游玩項(xiàng)目，購置了寬度3米，頂棚到水面高度為4.5米的平頂游船，游船從噴泉正下方通過，別有一番趣味，請(qǐng)通過計(jì)算說明游船是否有被噴泉淋到的危險(xiǎn)．
【分析】（1）建立坐標(biāo)系，描點(diǎn)、用平滑的曲線連接即可；
（2）觀察圖象并根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求出最高點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，求解即可；
（3）把代入關(guān)系式，計(jì)算出的值與4.5比較即可．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）由圖象可知噴泉最高點(diǎn)距離湖面的高度為5.6米；
根據(jù)圖象設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
將代入得，
拋物線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得或（舍去），
所以噴泉的落水點(diǎn)距水槍的水平距離約為米，
故答案為：2，；
（3）當(dāng)時(shí)，，
答：游船沒有被噴泉淋到的危險(xiǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)噴泉的應(yīng)用，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型．
46．（2024?河南一模）信陽位于中國南北地理分界線，地處淮河中上游，素有“北國江南，江南北國”美譽(yù)，自古雨水充沛，河流眾多，降雨量和人均水資源量久居河南第一，素以“水廣橋多”著稱，被譽(yù)為“千湖之市”．其中一座橋的橋洞形狀符合拋物線形狀，如圖1所示，橋墩高3米，拱頂與起拱線相距4米，橋孔寬6米．
（1）若以起拱點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并求其頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）河面的平均水位2米，信陽游客服務(wù)部門打算建造河上觀賞船，故應(yīng)考慮船下水后的吃水線問題．額定載客后，觀賞船吃水線上面部分的截面圖為矩形（如圖，當(dāng)船寬為3米時(shí)．①求吃水線上船高約多少米時(shí)，可以恰好通過此橋；②若考慮澇季水面會(huì)再往上升1米，則求此時(shí)吃水線上船高的設(shè)計(jì)范圍．
【分析】（1）易得拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，那么拋物線的對(duì)稱軸是直線，所以拱頂坐標(biāo)為，為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用頂點(diǎn)式表示出拋物線的解析式，把代入可得的值，即可求得拋物線的解析式；
（2）①水深2米，橋墩高3米，可得在下方1米．所以把截面矩形放在拋物線的正中間，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入（1）中得到的拋物線解析式，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，加上起拱線下面的部分可得吃水線上船高約多少米時(shí)，可以恰好通過此橋；
（3）澇季水面會(huì)再往上升1米，船也向上升1米，那么吃水線上船高就要減少1米．
【解答】解：（1）由題意得：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
拋物線的對(duì)稱軸為．
拱頂?shù)淖鴺?biāo)為，為拋物線的頂點(diǎn)．
設(shè)拋物線解析式為：．
經(jīng)過點(diǎn)，
．
解得：．
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）①如圖，把船放在拋物線的正中間．
水深2米，橋墩高3米，
在起拱線下方1米處．
米，米，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：．
當(dāng)時(shí)，．
吃水線上船高約為（米．
答：吃水線上船高約為4米；
②澇季水面上升1米，
船也會(huì)上升1米．
船高應(yīng)不超過米．
答：此時(shí)吃水線上船高的設(shè)計(jì)范圍應(yīng)不超過3米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)題意判斷出截面在拋物線中的位置是解決本題的關(guān)鍵．
47．（2024?孝南區(qū)一模）園林基地計(jì)劃投資種植花卉及樹木，已知種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系，種植花卉的利潤與投資量的平方成正比例關(guān)系，并根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，得到了表格中的數(shù)據(jù)．
（1）請(qǐng)根據(jù)表格填空：利潤與投資量的函數(shù)關(guān)系式為 ；
利潤與投資量的函數(shù)關(guān)系式為 ；
（2）如果這個(gè)基地計(jì)劃以6萬元資金全部投入種植花卉和樹木，設(shè)投入種植花卉的金額為萬元，種植花卉和樹木共獲利萬元，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求該基地至少獲得多少利潤？基地能獲取的最大利潤是多少？
（3）若該基地想獲利不低于12萬，在（2）的條件下，請(qǐng)直接寫出投資種植花卉的金額的范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)、，將表格中數(shù)據(jù)分別代入求解可得；
（2）由種植花卉萬元，則投入種植樹木萬元，根據(jù)“總利潤花卉利潤樹木利潤”列出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可；
（3）根據(jù)獲利不低于12萬，列出方程求解可得．
【解答】解：（1）設(shè)，把代入得，
解得，
故利潤關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是；
設(shè)，把代入得，
解得，
故利潤關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是：；
故答案為：，；
（2）因?yàn)榉N植花卉萬元，則投入種植樹木萬元，
，
，，
當(dāng)時(shí)，的最小值是10，
，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大
，
當(dāng)時(shí)，的最大值是18，
答：該基地至少獲得10萬元利潤，他能獲取的最大利潤是18萬元；
（3）由題意得，，
解得或4，
，，
當(dāng)利潤不低于12萬元時(shí)，的取值范圍是或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
48．（2024?欽州一模）問題探究
（1）如圖1，在菱形中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且，連接、、，求的面積；
問題解決
（2）為響應(yīng)市政府“建設(shè)美麗城市，改善生活環(huán)境”的號(hào)召，某小區(qū)欲建造如圖2所示的四邊形休閑廣場，，米，米．按照規(guī)劃要求，點(diǎn)、分別在邊、上，滿足米，連接、、，其中為健身休閑區(qū)，其他區(qū)域?yàn)榫坝^綠化區(qū)，為了使綠化面積盡可能大，希望健身休閑區(qū)的面積盡可能小，那么按此要求修建的這個(gè)健身休閑區(qū)是否存在最小面積？若存在，求出最小面積及此時(shí)的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，如何根據(jù)即可得出答案；
（2）由題意可知四邊形是矩形，設(shè)米，則米，米，米，可得，然后化為頂點(diǎn)式即可求得結(jié)果．
【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，
，
在菱形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
．
（2），
四邊形是矩形，
米，米，
設(shè)米，則米，米，米，
．
當(dāng)時(shí)，的最小值為750．
按此要求修建的這個(gè)健身休閑區(qū)存在最小面積，最小面積為750平方米，此時(shí)的長為10米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，割補(bǔ)法求圖形面積，特殊角三角函數(shù)值的應(yīng)用和利用二次函數(shù)求最值，靈活運(yùn)用割補(bǔ)法和將的最小值轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值是解題關(guān)鍵．
49．（2024?高新區(qū)校級(jí)二模）如圖，某糧倉的橫截面由拋物線的一段和矩形構(gòu)成．以地面所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，其中，米，米．若拋物線的表達(dá)式為，為平行于地面的一排除濕板．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）已知除濕板與地面間的距離為6.8米，若除濕板上方需安裝一排與地面平行的隔熱板，且隔熱板與除濕板相距1.95米，求隔熱板的最小長度．
【分析】（1）根據(jù)已知易得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可解答；
（2）根據(jù)題意可得：隔熱板與地面間的距離為8.75米，然后把代入中進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：（1）米，米，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
把，代入中得：
，
解得：，
該拋物線的表達(dá)式為：；
（2）由題意得：隔熱板與地面間的距離（米，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，，
（米，
隔熱板的最小長度為10米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
50．（2023?無錫）某景區(qū)旅游商店以20元的價(jià)格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價(jià)格不低于22元，不高于45元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量與銷售價(jià)格（元之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)銷售價(jià)格定為多少時(shí)，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤（銷售價(jià)格采購價(jià)格）銷售量】
【分析】（1）由圖象可知，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)銷售利潤為元，再根據(jù)銷售利潤（銷售價(jià)格采購價(jià)格）銷售量列出與的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，
將，代入解析式得，，
解得，
函數(shù)表達(dá)式為：；
當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為：，
將，代入解析式得，，
解得，
函數(shù)表達(dá)式為：，
綜上，與的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）設(shè)利潤為元，當(dāng)時(shí)，，
在范圍內(nèi)，隨著的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為400；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為450；
，
當(dāng)銷售價(jià)格為35元時(shí)，利潤最大為450元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出二次函數(shù)的解析式以及利用增減性求出最值．
51．（2024?北京一模）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺(tái)決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個(gè)極具難度的（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系．如果她從點(diǎn)起跳后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度（單位：米）與水平距離（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．
（1）在平時(shí)訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，全紅蟬的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出的值為 11.25 ，直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式： ；
（2）比賽當(dāng)天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系，記她訓(xùn)練的入水點(diǎn)的水平距離為；比賽當(dāng)天入水點(diǎn)的水平距離為，則 （填“”“ ”或“” ；
（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達(dá)最高點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，若點(diǎn)到水平面的距離為，則她到水面的距離與時(shí)間之間近似滿足，如果全紅嬋在達(dá)到最高點(diǎn)后需要1.6秒的時(shí)間才能完成極具難度的動(dòng)作，請(qǐng)通過計(jì)算說明，她當(dāng)天的比賽能否成功完成此動(dòng)作？
【分析】（1）待定系數(shù)法求出解析式，即可；
（2）分別求出兩個(gè)解析式當(dāng)時(shí)，的值，進(jìn)行比較即可；
（3）先求出的值，再求出時(shí)的值，進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：（1）由表格可知，圖象過點(diǎn)，，，
，
，
，
解得：，
；
故答案為：11.25，，
，
當(dāng)時(shí)：，
解得：或（不合題意，舍去）；
米；
，
當(dāng)時(shí)：，
解得：或（不合題意，舍去）；
，
，
故答案為：；
（3），
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
即她在水面上無法完成此動(dòng)作，
她當(dāng)天的比賽不能成功完成此動(dòng)作．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)解析式．
52．（2024?唐山一模）為了給觀光綠化帶澆水，擬安裝一排噴水口，如圖2為噴水口噴水的橫截面，該噴水口離地豎直高度為．可以把噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其中，．其下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為，高出噴水口，噴水口到綠化帶的水平距離為（單位：．
（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；
（2）通過計(jì)算求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）綠化帶右側(cè)（圖中點(diǎn)的右側(cè)）1米外是人行道，要使噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，同時(shí)不會(huì)淋濕行人，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）易得上邊緣的拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，用頂點(diǎn)式設(shè)出拋物線解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得二次項(xiàng)系數(shù)的值，即可求得上邊緣的拋物線的解析式，取，求得相對(duì)應(yīng)的的正值，求得點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得的長度；
（2）求得點(diǎn)在上邊緣的拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，即可判斷出下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移幾個(gè)單位長度得到的，就能求得下邊緣的拋物線解析式，取，求得相對(duì)應(yīng)的的正值，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）要使噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，則上邊緣拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)；不會(huì)淋濕行人，那么上邊緣拋物線恰好經(jīng)過人行道的左邊緣，求出相關(guān)的的值，即可求得的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意得：拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)上邊緣的拋物線解析式為：．
經(jīng)過點(diǎn)，
．
解得：．
上邊緣的拋物線解析式為：．
當(dāng)時(shí)，．
．
解得：，．
點(diǎn)在軸正半軸，
．
噴出水的最大射程長6 ；
（2）點(diǎn)在上邊緣拋物線拋物線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．
下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4個(gè)單位長度得到．
下邊緣的拋物線解析式為：．
當(dāng)時(shí)，．
解得：，．
點(diǎn)在軸的正半軸，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）由題意得：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.5．
若上邊緣拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則．
．
解得：，．
點(diǎn)在第一象限，
．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
．
，
．
若上邊緣的拋物線恰好經(jīng)過人行道的左邊緣．則：．
．
解得：，．
距離為正數(shù)，
．
的取值范圍為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：二次函數(shù)左右平移，只改變自變量的值，左加右減．第三問理解“噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，同時(shí)不會(huì)淋濕行人”與二次函數(shù)的關(guān)系是解決本題的難點(diǎn)．
53．（2024?廣平縣模擬）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到綠化帶的距離為（單位：．
（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；
（2）求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）由頂點(diǎn)得，設(shè)，再根據(jù)拋物線過點(diǎn)，可得的值，從而解決問題；
（2）由對(duì)稱軸知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用增減性可得的最大值為最小值，從而得出答案．
【解答】解：（1）如圖1，由題意得是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)，
又拋物線過點(diǎn)，
，
，
上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得，（舍去），
噴出水的最大射程為；
（2）對(duì)稱軸為直線，
點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3），
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.5，
，
解得，
，
，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，要使，
則，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，且時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，要使，則，
，灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，
的最大值為，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，
的最小值為2，
綜上所述，的取值范圍是．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．
54．（2024?駐馬店一模）某公園要在小廣場建造一個(gè)噴泉景觀．在小廣場中央處垂直于地面安裝一個(gè)高為1.25米的花形柱子，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過的任一平面上拋物線路徑如圖1所示，為使水流形狀較為美觀，設(shè)計(jì)成水流在距的水平距離為1米時(shí)達(dá)到最大高度，此時(shí)離地面2.25米．
（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，水流到水平距離為米，水流噴出的高度為米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時(shí)他離花形柱子的距離為米，求的取值范圍；
（3）為了美觀，在離花形柱子4米處的地面、處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成角，如圖3所示，光線交匯點(diǎn)在花形柱子的正上方，其中光線所在的直線解析式為，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．
【分析】（1）根據(jù)題意得到第一象限內(nèi)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將拋物線設(shè)成頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出第一象限內(nèi)的拋物線解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出時(shí)的取值范圍即可；
（3）先作輔助線，作出直線的平行線，使它與拋物線相切于點(diǎn)，然后設(shè)出直線的解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，利用相切，方程只有一個(gè)解，解出直線的解析式，從而得到直線與軸交點(diǎn)，最后利用銳角三角函數(shù)求出直線與直線之間的距離．
【解答】解：（1）根據(jù)題意第一象限內(nèi)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，
設(shè)第一象限內(nèi)的拋物線解析式為，
將點(diǎn)代入物線解析式，
，
解得，
第一象限內(nèi)的拋物線解析式為；
（2）根據(jù)題意，令，
即，
解得，，
，拋物線開口向下，
當(dāng)時(shí)，，
的取值范圍為；
（3）作直線的平行線，使它與拋物線相切于點(diǎn)，分別交軸，軸于點(diǎn)，，過點(diǎn)，作，垂足為，如圖所示，
，
設(shè)直線的解析式為，
聯(lián)立直線與拋物線解析式，
，
整理得，
直線與拋物線相切，
方程只有一個(gè)根，
△，
解得，
直線的解析式為，
令，則，
，
，
即，
射燈射出的光線與地面成角，
，
，
，
，
光線與拋物線水流之間的最小垂直距離為米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，直線的平移，直線和拋物線相切等知識(shí)，關(guān)鍵是求拋物線解析式．
55．（2024?梁溪區(qū)校級(jí)模擬）某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，圖中的線段表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本（單位：元）與產(chǎn)量（單位：之間的函數(shù)關(guān)系；線段表示該產(chǎn)品銷售價(jià)（單位：元）與產(chǎn)量（單位：之間的函數(shù)關(guān)系，已知，．
（1）求線段所表示的與之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若，該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）若，該產(chǎn)品獲得的利潤最大利潤是 1200元 ．
【分析】（1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）先求出時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)：總利潤銷售量（售價(jià)成本）列出函數(shù)關(guān)系式，配方后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得其最值情況；
（3）用含的式子表示出與之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)：總利潤銷售量（售價(jià)成本）列出函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合判斷其最值情況．
【解答】解：（1）設(shè)線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
根據(jù)題意，得：，
解得：，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）若，設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
根據(jù)題意，得：，
解得：，
這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為：，
設(shè)產(chǎn)量為時(shí)，獲得的利潤為元，根據(jù)題意，得：
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為1350，
答：若，該產(chǎn)品產(chǎn)量為時(shí)，獲得的利潤最大，最大利潤是1350元；
（3）設(shè)，由題意得：，解得：，
這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為：，
，
，
，，
，即該拋物線對(duì)稱軸在軸左側(cè)，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，的值最大，元．
時(shí)，該產(chǎn)品產(chǎn)量為時(shí)，獲得的利潤最大，最大利潤為1200元．
故答案為：1200元．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，根據(jù)相等關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，熟練根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的最值情況是解題的關(guān)鍵．
56．（2024?西城區(qū)校級(jí)模擬）某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分，若記水柱上某一位置與水管的水平距離為米，與湖面的垂直高度為米，下面的表中記錄了與的五組數(shù)據(jù)：
根據(jù)上述信息，解決以下問題：
（1）在如下網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示與函數(shù)關(guān)系的圖象；
（2）若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為米，則 1.5 ；
（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過，如圖所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為1.5米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
【分析】（1）建立坐標(biāo)系，描點(diǎn)．用平滑的曲線連接即可；
（2）觀察圖象即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求出最高點(diǎn)的高度，設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，求解原拋物線的解析式；設(shè)出二次函數(shù)圖象平移后的解析式，根據(jù)題意求解即可．
【解答】解：（1）以噴泉與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示：
（2）根據(jù)題意可知，該拋物線的對(duì)稱軸為，此時(shí)最高，
即，
故答案為：1.5；
（3）根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，
將代入，得，
拋物線的解析式為：，
設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：，
由題意可知，當(dāng)橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上調(diào)節(jié)米，
（米，
公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到米才能符合要求．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查待定函數(shù)求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵在于掌握由二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型．
57．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分．若記水柱上某一位置與水管的水平距離為米，與湖面的垂直高度為米．下面的表中記錄了與的五組數(shù)據(jù)：
根據(jù)上述信息，解決以下問題：
（1）在下面網(wǎng)格（圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示與函數(shù)關(guān)系的圖象；
（2）若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為米，則 1.5 ；
（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過．如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
【分析】（1）建立坐標(biāo)系，描點(diǎn)．用平滑的曲線連接即可；
（2）觀察圖象即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求出最高點(diǎn)的高度，設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，求解原拋物線的解析式；設(shè)出二次函數(shù)圖象平移后的解析式，根據(jù)題意求解即可．
【解答】解：（1）以噴泉與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示：
（2）根據(jù)題意可知，該拋物線的對(duì)稱軸為，此時(shí)最高，
即，
故答案為：1.5．
（3）根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，
將代入，得，
拋物線的解析式為：，
設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：，
由題意可知，當(dāng)橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上調(diào)節(jié)1.6米，
（米，
公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到2.1米才能符合要求．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查待定函數(shù)求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵在于掌握由二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型．
58．（2023?貴州）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點(diǎn)在處，對(duì)稱軸與水平線垂直，，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離是1．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點(diǎn)，加裝拉桿，，同時(shí)使拉桿的長度之和最短，請(qǐng)你幫小星找到點(diǎn)的位置并求出坐標(biāo)；
（3）為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計(jì)拋物線，其表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為，待定系數(shù)法求解即可；
（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；
（3）分三種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，建立不等式求得的取值范圍即可．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，
把點(diǎn)代入，得：
，
解得：，
拋物線的解析式為：；
（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；
把代入，得：
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
，
令，得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3），
拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，得：
，
解得：，
，
當(dāng)時(shí)，
由，得：
，
，
解得：，
；
由，得：
，
，
；
當(dāng)時(shí)，都成立；
當(dāng)時(shí)，得：
，
解得：，
都成立；
綜上所述，的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．
59．（2024?東湖區(qū)校級(jí)模擬）綜合與應(yīng)用
如果將運(yùn)動(dòng)員的身體看作一點(diǎn)，則他在跳水過程中運(yùn)動(dòng)的軌跡可以看作為拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)起跳，從起跳到入水的過程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度與水平距離滿足二次函數(shù)的關(guān)系．
（1）在平時(shí)的訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員甲的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如表：
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的關(guān)系式；
（2）在（1）的這次訓(xùn)練中，求運(yùn)動(dòng)員甲從起點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長；
（3）信息1：記運(yùn)動(dòng)員甲起跳后達(dá)到最高點(diǎn)到水面的高度為，從到達(dá)到最高點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，則他到水面的距離與時(shí)間之間滿足．
信息2：已知運(yùn)動(dòng)員甲在達(dá)到最高點(diǎn)后需要的時(shí)間才能完成極具難度的動(dòng)作．
問題解決：
①請(qǐng)通過計(jì)算說明，在（1）的這次訓(xùn)練中，運(yùn)動(dòng)員甲能否成功完成此動(dòng)作？
②運(yùn)動(dòng)員甲進(jìn)行第二次跳水訓(xùn)練，此時(shí)他的豎直高度與水平距離的關(guān)系為，若選手在達(dá)到最高點(diǎn)后要順利完成動(dòng)作，則的取值范圍是 ．
【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系為，代入，，，算出、、的值，即可得到函數(shù)表達(dá)式；
（2）把代入，即可求出結(jié)果；
（3）①把二次函數(shù)整理為，得，把代入，計(jì)算的值，再與1.6比較即可得到結(jié)果；
②求得頂點(diǎn)為，得，把代入，得，由，列不等式即可求出的取值范圍．
【解答】（1）解：由運(yùn)動(dòng)員的豎直高度與水平距離滿足二次函數(shù)的關(guān)系，
設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系為，
代入，，，
得，
解得，
關(guān)于的關(guān)系式為；
（2）把代入，
得，
解得，（不合題意，舍去），
運(yùn)動(dòng)員甲從起點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長為2米；
（3）①運(yùn)動(dòng)員甲不能成功完成此動(dòng)作，理由如下：
由運(yùn)動(dòng)員的豎直高度與水平距離滿足二次函數(shù)的關(guān)系為，
整理得，
得運(yùn)動(dòng)員甲起跳后達(dá)到最高點(diǎn)到水面的高度為，即，
把代入，
得，
解得，（不合題意，舍去），
，
運(yùn)動(dòng)員甲不能成功完成此動(dòng)作；
②由運(yùn)動(dòng)員甲進(jìn)行第二次跳水訓(xùn)練，豎直高度與水平距離的關(guān)系為，
得頂點(diǎn)為，
得，
得，
把代入，
得，
由運(yùn)動(dòng)員甲在達(dá)到最高點(diǎn)后需要的時(shí)間才能完成極具難度的動(dòng)作，得，
則，即，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是理清題目條件，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．
60．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)三模）已知四邊形為一塊板材，，，米，米，現(xiàn)需從中裁剪一個(gè)等腰三角形零件，，其中頂點(diǎn)、、分別在邊、及上．
（1）如圖1，若剪裁要求，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長；
（2）如圖2，若剪裁要求，為了節(jié)省材料，能否裁出一個(gè)面積最小的等腰？若能裁出，請(qǐng)求出面積的最小值；若不能裁出，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）設(shè)長米，作于點(diǎn)，證明，可得米，米，根據(jù)，可得長米，進(jìn)而根據(jù)長41米列出方程即可求得的值，也就是的長；
（2）延長、交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．根據(jù)的長度可得的長度，進(jìn)而可得的長度為42米．類比（1）可得，那么，．設(shè)，，則，根據(jù)的長度為42米列出方程，整理后用表示出．作于點(diǎn)，用表示出，的長，根據(jù)勾股定理可得，作于點(diǎn)，根據(jù)的三角函數(shù)值可得，進(jìn)而表示出的面積，求出最小值即可．
【解答】解：（1）設(shè)長米，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
．
．
，
．
．
，
．
又，
．
（米，（米．
，
（米．
米，
．
解得：．
的長為米；
（2）
延長、交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
．
，，
，，．
是等邊三角形，．
，．
，．
．
，
．
．
又，
．
，．
設(shè)，．
．
，
．
米，
（米．
（米．
．
．
米．
作于點(diǎn)．
．
（米．
（米，米．
．
作于點(diǎn)．
．
，
．
．
．
當(dāng)時(shí)，最小，最小值為：（平方米）．
答：為了節(jié)省材料，能裁出一個(gè)面積最小的等腰，面積的最小值為平方米．
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查二次函數(shù)的應(yīng)用．用未知數(shù)表示出等腰三角形的腰長和腰上的高是解決本題第二問的關(guān)鍵．
（秒
0
4
8
12
16
20
24
（米
256
196
144
100
64
36
16
售價(jià)（元盆）
日銷售量（盆
20
50
30
30
18
54
22
46
26
38
售價(jià)（元盆）
18




日銷售量（盆





售價(jià)（元盆）
18
20
22
26
30
日銷售量（盆
54
50
46
38
30
第天為整數(shù)）
日銷售價(jià)（元件）
40
0
2
6
10
12
14
16
0
0.88
2.16
2.80
2.88
2.80
2.56
矩形種植園最大面積探究
情境
實(shí)踐基地有一長為12米的墻，研究小組想利用墻和長為40米的籬笆，在前面的空地圍出一個(gè)面積最大的矩形種植園．假設(shè)矩形一邊，矩形種值園的面積為．

分析
要探究面積的最大值，首先應(yīng)將另一邊用含的代數(shù)式表示，從而得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，同時(shí)求出自變量的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求出最值．
探究
思考一：將墻的一部分用來替代籬笆
按圖1的方案圍成矩形種植園（邊為墻的一部分）
思考二：將墻的全部用來替代籬笆
按圖2的方案圍成矩形種植園（墻為邊的一部分）
解決問題
（1）根據(jù)分析，分別求出兩種方案中的的最大值：比較并判斷矩形種植園的面積最大值為多少．
類比應(yīng)用
（2）若“情境”中籬笆長為20米，其余條件不變，請(qǐng)畫出矩形種植園面積最大的方案示意圖（標(biāo)注邊長）．
設(shè)計(jì)小區(qū)大門燈籠的懸掛方案
素材1
圖1是某小區(qū)的正門，圖2是正門的示意圖，小航查閱相關(guān)資料獲得以下信息：①正門是由一個(gè)矩形和一個(gè)拋物線形拱組成的軸對(duì)稱圖形，②矩形的寬為，高為，拋物線形拱的高為．

素材2
為迎接龍年春節(jié)，擬在圖1正門拋物線形拱上懸掛直徑為的燈籠，如圖3．為了美觀，要求懸掛燈籠的數(shù)量為雙數(shù)，且平均分布，間隔在之間．

問題解決
任務(wù)1
確定拋物線形拱形狀
在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2
探究懸掛數(shù)量
給出符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量．
任務(wù)3
擬定設(shè)計(jì)方案
根據(jù)你建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
飛行時(shí)間
0
2
4
6
8
飛行高度
0
10
16
18
16
售價(jià)（元件）
55
65
銷售量（件天）
90
70
素材
內(nèi)容
素材1
如圖1，這種高腳杯從下往上分為三部分：
杯托，杯腳，杯體．杯托為一個(gè)圓，水平放置時(shí)候，杯腳經(jīng)過杯托圓心，并垂直任意直徑，杯體的水平橫截面都為圓，這些圓的圓心都在杯腳所在直線上．
素材2
圖2坐標(biāo)系中，特制男士杯可以看作由線段，，拋物線（實(shí)線部分），線段，線段繞軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形（不考慮杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由線段，，拋物線（虛線部分）繞軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形．
素材3
已知，圖2坐標(biāo)系中，，記為，，，，，，，，．
如何制作簡易風(fēng)箏？
素材1
圖1是簡易“箏形”風(fēng)箏的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)以兩條線段，作為骨架，垂直平分且，并按的比例固定骨架，骨架與共消耗竹條，四邊形的面積為．

素材2
考慮到實(shí)際需要，蒙面（風(fēng)箏面）邊緣離骨架的端點(diǎn)要留出一定距離．如圖2，現(xiàn)以上部分的蒙面設(shè)計(jì)為拋物線形狀，過距離，，三點(diǎn)分別為，，的，，三點(diǎn)繪制拋物線（建立如圖的直角坐標(biāo)系）．以下部分的蒙面設(shè)計(jì)為，點(diǎn)在延長線上且．
素材3
從一張長方形紙片中裁剪無拼接的風(fēng)箏蒙面（包括以上拋物線部分及以下三角形部分），長方形各邊均與骨架平行（或垂直）．
問題解決
任務(wù)1
確定骨架長度
求骨架和的長度．
任務(wù)2
確定蒙面形狀
求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)3
選擇紙張大小
至少選擇面積為多少的長方形紙片？
（米
0
1
2
3
4
（米
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
投資量（萬元）
2
種植樹木利潤（萬元）
4
種植花卉利潤（萬元）
2
水平距離
0
3
3.5
4
4.5
豎直高度
10
10
10
6.25
（米
0
1
2
3
4
（米
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
（米
0
1
2
3
4
（米
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
水平距離
0
1
1.5
豎直高度
10
10
6.25

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